ERROS. Representação de Números

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1 ERROS Desea-se oter respostas confiáveis para os prolemas porém nem sempre acontece. Isso é ustificado pela ocorrência de erros provenientes de várias fontes, alguns deles provenientes da fase de modelagem e outros da fase de otenção da solução numericamente. Nesta última fase podem ocorrer erros na precisão dos dados de entrada, na forma de armazenamento dos dados, nas operações numéricas efetuadas e erros de truncamento (troca de uma série infinita por uma finita). O Cálculo Numérico tratará somente dos erros que decorrem das operações numéricas efetuadas e do truncamento. Quando se resolvem prolemas com métodos numéricos não é incomum encontrar resultados finais distantes do que se esperava oter, mesmo que todas as fases de resolução tenham sido realizadas corretamente. Tais resultados dependem, da precisão dos dados de entrada, da forma como estes dados são representados no computador e das operações numéricas efetuadas. Imprecisões nos dados iniciais decorrem dos equipamentos utilizados em sua coleta e sua magnitude não pode ser medida numa disciplina de Cálculo Numérico, portanto nos fiaremos na análise das ultimas fontes de erros. Representação de Números A representação de um número depende da ase numérica escolhida ou disponível na máquina em uso e do número máimo de dígitos usados na sua representação. O número π, por eemplo, não pode ser representado por um número finito de dígitos decimais e assim, dependendo do número de dígitos utilizados, podem ser otidas respostas diferentes para um mesmo prolema (calcule por eemplo o comprimento da circunferência de raio m, utilizando π 3., π 3. e π Além disto, um número pode ter representação finita numa ase e não-finita em outras ases. A ase é a mais utilizada atualmente e um computador opera normalmente no sistema inário. Oserve o que em geral acontece quando você utiliza o computador. Ao entrar com os dados no sistema decimal todos são convertidos para o sistema inário para que as operações seam efetuadas neste sistema. Finalmente os resultados serão convertidos para o sistema decimal e transmitidos a você. Todo esse processo de conversão é uma fonte de erros que afeta os resultados finais. Uma reve introdução de como é feita a mudança da representação de um número de uma determinada ase numérica para outra: ) Conversão de números inteiros do sistema inário para o decimal: Um número na ase β, a a... a a, pode ser escrito na forma polinomial: ( a ) β β, a β + a β a β + a β + a β a,...,,

2 Com esta representação um número é facilmente convertido do sistema inário para o decimal. Eemplo: 5 3 () Processo Prático: Considere o número ( a a a... aa ). Colocando, sucessivamente, o algarismo em evidência na representação a + a a + a + a é possível se chegar ao processo prático a seguir para determinar a representação, :... a a a a + + +, deste número na ase Eercício: Utilize o processo prático para oter a representação de () na ase decimal. ) Conversão de números inteiros do sistema decimal para o inário: Se N é um número inteiro na ase, sua representação inária ( a a... a a a pode ser otida com o algoritmo que segue: Passo N ) N Passo Otenha q e r tais que: N q + r Faça a r Passo : Se q, pare. Caso contrário, faça N q + Faça + e volte para o passo.

3 Eercício: Encontrar a representação do número 7, na ase inária. 3) Conversão de números fracionários do sistema decimal para o inário: Se r é um número fracionário entre e na ase, os dígitos inários de sua representação inária (. d d... d...) podem ser otidos através do algoritmo: Passo r r,. Passo Calcule r Se r, faça d Caso contrário faça Passo : Faça r r d + Se r + pare. Caso contrário: d Passo 3: Faça + e volte para o passo. Eercício: Utilizar o algoritmo para encontrar a representação inária dos números a).5 ). Os eemplos apresentados no eercício mostram que um número real entre e, com representação decimal finita, pode ter sua representação no sistema inário, finita ou não. O fato de um número não ter representação finita no sistema inário pode acarretar erros, aparentemente ineplicáveis, em cálculos efetuados em sistemas computacionais inários. Não deie de confirmar, resolvendo o eercício!!! ) Conversão de números fracionários do sistema inário para o decimal: De r (. d d... d...) para ( ) Algoritmo: Passo r r,. Passo Calcule w ( ) r

4 Sea z a parte inteira de w é a conversão de para a ase. Passo : Faça r w z + Se r + pare. Caso contrário: Passo 3: Faça + e volte para o passo. z Os. As operações devem ser feitas no sistema inário. Eercício: Determinar a representação decimal de (. ) Aritmética de Ponto Flutuante Um computador ou calculadora representa um número real no sistema denominado aritmética de ponto flutuante. Neste sistema, um número r será e representado na forma ± (. dd... d t )β onde β é a ase em que a máquina opera; t é o número de dígitos na mantissa; d β,,..., t, ; e é o epoente no intervalo [ l, u] ; Portanto, em qualquer máquina, apenas um suconunto dos números reais é representado eatamente. Eemplo: Considere uma máquina que opera no sistema: β 5; t ; e [,]. e Neste sistema os números serão representados por ± (. dd d3d )5 com d,,...,, d e e [,] ; O menor número, em valor asoluto, representado nessa máquina é - m.5 e o maior M.5. Oservações: ) Quando o resultado de uma operação é superior ao maior número representado pela máquina esta retornará a mensagem: Overflow ) Quando o resultado de uma operação é inferior ao menor número representado pela máquina esta retornará a mensagem: Underflow 3) Algumas linguagens de programação permitem que as variáveis seam declaradas em precisão dupla. Neste caso a variável será representada

5 no sistema de aritmética de ponto flutuante da máquina, mas com aproimadamente o doro de dígitos disponíveis na mantissa. Arredondamento e Truncamento Quando um número representado na ase decimal possui a quantidade de dígitos maior que a permitida, para a adequação pode ser utilizado: a) Truncamento: que simplesmente despreza os dígitos etras. E: Se o número total de dígitos na mantissa é quatro, o número.357 será interpretado como.35; ) Arredondamento: caso o primeiro dígito etra é menor que 5, desprezasse todos os dígitos etras na mantissa (como no truncamento). Noutro caso, o dígito anterior a este é acrescido de e todos os dígitos etras são desprezados. E. Se o número total de dígitos na mantissa é quatro, o número.357 será interpretado como.3 enquanto que o número.35 será interpretado como.35; Erro Asoluto: diferença entre o valor eato de um número e seu valor aproimado : EA Em geral, apenas o valor de é conhecido. Neste caso é impossível calcular o valor eato do erro asoluto. O que se faz é oter um limitante superior ou uma estimativa para o módulo do erro asoluto. Por eemplo, saendo que π (3.,3.5), escolhe-se para π um valor, π, dentro deste intervalo e então π π <.. Erro Relativo: erro asoluto dividido pelo valor aproimado: ER Eemplo Considere os números 5. 9 e y. 7 com EA. EAy, isto é (5., 53) e y (.,.). É lógico que emora os erros asolutos para amos os números coincide, não podemos considerar que estes estão sendo representados com a mesma precisão (. tem significados diferentes em número com a magnitude de 5.9 ou a magnitude de y. 7 ). Os erros relativos serão EA. EA 5 y. ER < 3.9 e ER. <, y 55.9 y.7 confirmando que o número está representado com maior precisão que o número y.

6 Análise do Erro nas Operações Aritméticas de Pontos Flutuantes Dada uma seqüência de operações, como, por eemplo, s [( + y) u t] + z, é importante se ter a noção de como o erro propagase ao longo das operações. Nos eemplos a seguir, usaremos aritmética de pontos de dígitos, na ase. Eemplo. Dados,5 e y,3 oter a) + y. Utilizando arredondamento, + y,5 +,,59 Utilizando truncamento, + y,5 +,3,593 ). y Utilizando arredondamento ou truncamento:. y,5,3, Utilizando truncamento, + y,5,3,5 c) [. + ( + y) y Utilizando arredondamento ou truncamento: [. + ( + y)] y [,73 +,59 [,73,733,,735 Utilizando truncamento, [. + ( + y)] y [,73 +,593 [,73,73 +, ],, +, ],5,735 ], ],5