Física Geral - Laboratório (2014/1) Estimativas e erros em medidas diretas (II) Níveis de confiança, compatibilidade e combinação

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1 Física Geral - Laboratório (2014/1) Estimativas e erros em medidas diretas (II) Níveis de confiança, compatibilidade e combinação 1

2 Resumo: estimativa do valor esperado estimativa do valor esperado ± erro (unidade) x x = s x p N Estimativa do erro de cada medida s x = v ux N t i=1 (x i x) 2 N 1 Estimativa do erro da média x = s x p N 2

3 Resumo: Erro da média 3

7 Resumo: Erro da média Distribuição das médias de 100 experimentos, cada um com 100 medidas 4

8 Incertezas aleatórias: distribuição de Gauss 5

9 Incertezas aleatórias: distribuição de Gauss Fração de occorrências 5

14 Incertezas aleatórias: distribuição de Gauss f (x; µ, x) =A e (x µ) x Fração de occorrências σx μ σx 6

15 Incertezas aleatórias: Lei dos Erros Lei dos Erros : Para um número indefinidamente grande de medidas a distribuição das frequências se comporta como uma distribuição de Gauss f (x; µ, x) =A e (x µ) x 7

16 Incertezas aleatórias: distribuição de Gauss 8

17 Incertezas aleatórias: distribuição de Gauss σx σx 8

18 Incertezas aleatórias: distribuição de Gauss σx σx 2σx 2σx 8

19 Incertezas aleatórias: distribuição de Gauss 68,3% da área entre (μ - σx) e (μ + σx) 95,5% da área entre (μ - 2σx) e (μ + 2σx) 99,7% da área entre (μ - 3σx) e (μ + 3σx)... σx σx 2σx 2σx 8

20 Incertezas aleatórias: Intervalo de confiança estimativa do valor esperado ± erro (unidade) x x = s x p N 9

21 Incertezas aleatórias: Intervalo de confiança estimativa do valor esperado ± erro (unidade) x x = s x p N As estimativas do valor esperado e de seu erro associado definem um intervalo ao qual atribuímos um nível de confiança, de que o intervalo contenha o valor esperado Se considerarmos que as medidas se distribuem de acordo com uma distribuição de Gauss (Lei dos Erros), os valores dos níveis de confiança são determinados pela sua área correspondente 9

22 Incertezas aleatórias: Intervalo de confiança estimativa do valor esperado ± erro (unidade) x x = s x p N Intervalo de Confiança Nível de Confiança (cl) Intervalo de confiança de 68,3% (x 0,67 x, x + 0,67 x ) 50,0% (x 1,00 x, x + 1,00 x ) 68,3% (x 1,65 x, x + 1,65 x ) 90,0% (x 1,96 x, x + 1,96 x ) 95,0% (x 2,00 x, x + 2,00 x ) 95,5% (x 3,00 x, x + 3,00 x ) 99,7% Intervalo de confiança de 95,5% 10

23 Compatibilidade com um valor de referência Exemplo: Suponha que estamos medindo a densidade do ferro, com valor de referência ρref = 7,86 g/cm 3 11

24 Compatibilidade com um valor de referência Exemplo: Suponha que estamos medindo a densidade do ferro, com valor de referência ρref = 7,86 g/cm 3 Resultado Exp. 1: ρ1 = 8,1 ± 0,2 g/cm 3 ρ 3 (g/cm ) 8,6 8,4 8,2 8,0 7,8 7,6 0,2 68% (CL) ref 11

25 Compatibilidade com um valor de referência Exemplo: Suponha que estamos medindo a densidade do ferro, com valor de referência ρref = 7,86 g/cm 3 Resultado Exp. 1: ρ1 = 8,1 ± 0,2 g/cm 3 Resultado Exp. 2: ρ2 = 8,4 ± 0,1 g/cm 3 ρ 3 (g/cm ) ρ (g/cm 3 ) 8,6 8,6 0,1 8,4 8,2 8,0 0,2 68% (CL) 8,4 8,2 8,0 68% (CL) 7,8 ref 7,8 ref 7,6 7,6 11

26 Compatibilidade com um valor de referência Os resultados ρ1 e ρ2 são compatíveis com o valor de referência (ρref)? Resultado Exp. 1: ρ1 = 8,1 ± 0,2 g/cm 3 ρ 3 (g/cm ) 8,6 8,4 8,2 8,0 7,8 7,6 0,2 68% (CL) ref 12

27 Compatibilidade com um valor de referência Os resultados ρ1 e ρ2 são compatíveis com o valor de referência (ρref)? Resultado Exp. 1: ρ1 = 8,1 ± 0,2 g/cm 3 Discrepância ρ1 - ρref = 8,1-7,86 = 0,24 ~ 1σ ρ 3 (g/cm ) 8,6 8,4 8,2 8,0 7,8 7,6 0,2 68% (CL) ref 12

28 Compatibilidade com um valor de referência Os resultados ρ1 e ρ2 são compatíveis com o valor de referência (ρref)? Resultado Exp. 1: ρ1 = 8,1 ± 0,2 g/cm 3 Discrepância ρ1 - ρref = 8,1-7,86 = 0,24 ~ 1σ ρ 3 (g/cm ) 8,6 8,4 8,2 8,0 0,2 68% (CL) Note que, segundo a Lei dos erros, há uma expectiva de apenas ~68% de que o intervalo contenha o valor esperado 7,8 ref 7,6 12

29 Compatibilidade com um valor de referência Os resultados ρ1 e ρ2 são compatíveis com o valor de referência (ρref)? Resultado Exp. 1: ρ1 = 8,1 ± 0,2 g/cm 3 Discrepância ρ1 - ρref = 8,1-7,86 = 0,24 ~ 1σ ρ 3 (g/cm ) 8,6 8,4 8,2 8,0 7,8 0,2 68% (CL) ref Note que, segundo a Lei dos erros, há uma expectiva de apenas ~68% de que o intervalo contenha o valor esperado A discrepância não é estatisticamente significativa 7,6 12

30 Compatibilidade com um valor de referência Os resultados ρ1 e ρ2 são compatíveis com o valor de referência (ρref)? Resultado Exp. 2: ρ2 = 8,4 ± 0,1 g/cm 3 ρ (g/cm 3 ) 8,6 8,4 8,2 8,0 7,8 7,6 0,1 68% (CL) ref 13

31 Compatibilidade com um valor de referência Os resultados ρ1 e ρ2 são compatíveis com o valor de referência (ρref)? Resultado Exp. 2: ρ2 = 8,4 ± 0,1 g/cm 3 Discrepância ρ2 - ρref = 8,4-7,86 = 0,54 > 3σ ρ (g/cm 3 ) 8,6 8,4 8,2 8,0 7,8 7,6 0,1 68% (CL) ref 13

32 Compatibilidade com um valor de referência Os resultados ρ1 e ρ2 são compatíveis com o valor de referência (ρref)? Resultado Exp. 2: ρ2 = 8,4 ± 0,1 g/cm 3 Discrepância ρ2 - ρref = 8,4-7,86 = 0,54 > 3σ ρ (g/cm 3 ) 8,6 8,4 8,2 0,1 68% (CL) Uma discrepância de valor maior que 3 erros padrão é muito pouco provável (< 1%) e podemos dizer que o resultado é incompatível com o valor de referência 8,0 7,8 ref 7,6 13

33 Compatibilidade com um valor de referência Os resultados ρ1 e ρ2 são compatíveis com o valor de referência (ρref)? Resultado Exp. 2: ρ2 = 8,4 ± 0,1 g/cm 3 Discrepância ρ2 - ρref = 8,4-7,86 = 0,54 > 3σ ρ (g/cm 3 ) 8,6 8,4 8,2 0,1 68% (CL) Uma discrepância de valor maior que 3 erros padrão é muito pouco provável (< 1%) e podemos dizer que o resultado é incompatível com o valor de referência 8,0 7,8 ref A discrepância é significativa 7,6 13

34 Compatibilidade com um valor de referência A compatibilidade ou incompatibilidade de um resultado com um valor de referência depende portanto do nível de confiança associado. Por exemplo, dizemos que o resultado é incompatível quando a expectativa de se obter uma determinada discrepância é menor que 5%, 1% ou 0,1%? 14

35 Compatibilidade com um valor de referência A compatibilidade ou incompatibilidade de um resultado com um valor de referência depende portanto do nível de confiança associado. Por exemplo, dizemos que o resultado é incompatível quando a expectativa de se obter uma determinada discrepância é menor que 5%, 1% ou 0,1%? Regra prática: Vamos considerar um resultado compatível com um valor de referência quando a discrepância for menor que dois erros padrão. Se a discrepância for maior que três erros padrão ela é significativa e os resultados incompatíveis: x x ref < 2 x Compatíveis x x ref > 3 x Incompatíveis 2 x < x x ref < 3 x Inconclusivo 14

36 Compatibilidade de duas estimativas Se queremos avaliar a compatibilidade entre duas estimativas, podemos considerar a compatibilidade da diferença entre elas em relação ao valor de referência zero e considerando o erro associado entre as estimativas 15

37 Compatibilidade de duas estimativas Se queremos avaliar a compatibilidade entre duas estimativas, podemos considerar a compatibilidade da diferença entre elas em relação ao valor de referência zero e considerando o erro associado entre as estimativas Estimativa 1: Estimativa 2: x 1 ± x 2 ± x1 x2 15

38 Compatibilidade de duas estimativas Se queremos avaliar a compatibilidade entre duas estimativas, podemos considerar a compatibilidade da diferença entre elas em relação ao valor de referência zero e considerando o erro associado entre as estimativas Estimativa 1: x 1 ± x1 Discrepância: x 1 x 2 q Estimativa 2: x 2 ± x2 Erro associado: = 2 x1 + 2 x 2 15

39 q Compatibilidade de duas estimativas Se queremos avaliar a compatibilidade entre duas estimativas, podemos considerar a compatibilidade da diferença entre elas em relação ao valor de referência zero e considerando o erro associado entre as estimativas Exemplo (ρref = 7,86 g/cm 3 ): ρ1 = 8,1 ± 0,2 g/cm 3 ρ2 = 8,4 ± 0,1 g/cm 3 p ρ ρ (g/cm 3 ) 1 2 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0-0,2 1 σ 2 σ zero ± ± 16

40 q Compatibilidade de duas estimativas Se queremos avaliar a compatibilidade entre duas estimativas, podemos considerar a compatibilidade da diferença entre elas em relação ao valor de referência zero e considerando o erro associado entre as estimativas Exemplo (ρref = 7,86 g/cm 3 ): ρ1 = 8,1 ± 0,2 g/cm 3 ρ2 = 8,4 ± 0,1 g/cm 3 p ρ ρ (g/cm 3 ) 1 2 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0-0,2 1 σ 2 σ zero Discrepância 1 2 =0, 3g/cm 3 Erro associado: = p (0, 2) 2 +(0, 1) 2 0, 2g/cm 3 ± ± 16

41 q Compatibilidade de duas estimativas Se queremos avaliar a compatibilidade entre duas estimativas, podemos considerar a compatibilidade da diferença entre elas em relação ao valor de referência zero e considerando o erro associado entre as estimativas Exemplo (ρref = 7,86 g/cm 3 ): ρ1 = 8,1 ± 0,2 g/cm 3 ρ2 = 8,4 ± 0,1 g/cm 3 p ρ ρ (g/cm 3 ) 1 2 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0-0,2 1 σ 2 σ zero Discrepância 1 2 =0, 3g/cm 3 Erro associado: = p (0, 2) 2 +(0, 1) 2 0, 2g/cm 3 As estimativas são compatíveis entre si (discrepância < 2σ) ± ± 16

42 Combinação de resultados compatíveis A partir de várias estimativas independentes {xi} do valor esperado de uma grandeza e respectivos erros padrão {σi}, o resultado combinado pode ser obtido da seguinte forma: 17

43 Combinação de resultados compatíveis A partir de várias estimativas independentes {xi} do valor esperado de uma grandeza e respectivos erros padrão {σi}, o resultado combinado pode ser obtido da seguinte forma: Estimativa padrão para o valor esperado: x = P N i=1 x i2 i P N i=1 1 2 i 17

44 Combinação de resultados compatíveis A partir de várias estimativas independentes {xi} do valor esperado de uma grandeza e respectivos erros padrão {σi}, o resultado combinado pode ser obtido da seguinte forma: Estimativa padrão para o valor esperado: Erro padrão associado: x = P N i=1 x i2 i P N i=1 1 2 i 1 = 2 x NX i=1 ou 1 2 i x = q PN i=1 1 2 i 1 17

45 Combinação de resultados compatíveis A partir de várias estimativas independentes {xi} do valor esperado de uma grandeza e respectivos erros padrão {σi}, o resultado combinado pode ser obtido da seguinte forma: Exemplo: 18

46 Combinação de resultados compatíveis A partir de várias estimativas independentes {xi} do valor esperado de uma grandeza e respectivos erros padrão {σi}, o resultado combinado pode ser obtido da seguinte forma: Exemplo: Estimativa 1: Estimativa 2: x 1 ± x 2 ± x1 x2 18

47 Combinação de resultados compatíveis A partir de várias estimativas independentes {xi} do valor esperado de uma grandeza e respectivos erros padrão {σi}, o resultado combinado pode ser obtido da seguinte forma: Exemplo: Estimativa 1: x 1 ± x1 x = = 1 Estimativa 2: x 2 ± x2 q

48 Combinação de resultados compatíveis A partir de várias estimativas independentes {xi} do valor esperado de uma grandeza e respectivos erros padrão {σi}, o resultado combinado pode ser obtido da seguinte forma: Exemplo: Estimativa 1: x 1 ± x1 x = = 1 Estimativa 2: x 2 ± x2 x = NX i=1 i q x i = 1 2 x x 2 18

49 Combinação de resultados compatíveis A partir de várias estimativas independentes {xi} do valor esperado de uma grandeza e respectivos erros padrão {σi}, o resultado combinado pode ser obtido da seguinte forma: Exemplo (ρref = 7,86 g/cm 3 ): ρ1 = 8,1 ± 0,2 g/cm 3 ρ2 = 8,4 ± 0,1 g/cm 3 19

50 Combinação de resultados compatíveis A partir de várias estimativas independentes {xi} do valor esperado de uma grandeza e respectivos erros padrão {σi}, o resultado combinado pode ser obtido da seguinte forma: Exemplo (ρref = 7,86 g/cm 3 ): ρ1 = 8,1 ± 0,2 g/cm 3 ρ2 = 8,4 ± 0,1 g/cm 3 = 1 q =0, (0,2) (0,1) 2 19

51 Combinação de resultados compatíveis A partir de várias estimativas independentes {xi} do valor esperado de uma grandeza e respectivos erros padrão {σi}, o resultado combinado pode ser obtido da seguinte forma: Exemplo (ρref = 7,86 g/cm 3 ): ρ1 = 8,1 ± 0,2 g/cm 3 ρ2 = 8,4 ± 0,1 g/cm 3 = = 1 q =0, (0,2) (0,1) 2 0, 2 2 8, 1+ 0, 1 2 8, 4=8,

52 Combinação de resultados compatíveis A partir de várias estimativas independentes {xi} do valor esperado de uma grandeza e respectivos erros padrão {σi}, o resultado combinado pode ser obtido da seguinte forma: Exemplo (ρref = 7,86 g/cm 3 ): ρ1 = 8,1 ± 0,2 g/cm 3 ρ2 = 8,4 ± 0,1 g/cm 3 = = 1 q =0, (0,2) (0,1) 2 0, 2 2 8, 1+ 0, 1 2 8, 4=8, 3400 ) =(8, 34 ± 0, 09) g/cm 3 19