Probabilidades e Estatística - LEIC + LERCI + LEE 2 o semestre 2004/05

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1 Departamento de Matemática Secção de Estatística e Aplicações - IST Probabilidades e Estatística - LEIC + LERCI + LEE 2 o semestre 2004/05 3 o Teste 4/6/2005 9h O Teste que vai realizar tem a duração total de 90 minutos e consiste em três grupos, divididos por alíneas, com as cotações indicadas no enunciado. As respostas devem ser dadas nas folhas onde se encontram os enunciados. Justifique convenientemente todas as respostas! Nome: Número: Curso: O quadro abaixo destina-se à correcção da prova. Por favor não escreva nada. Grupo I 6.0 Val Grupo II 8.0 Val Grupo III 6.0 Val NOTA FINAL: Elementos de trabalho: Formulário: páginas 2 e 3; Tabela da função de distribuição da Normal reduzida : página 4. Tabela de quantis da distribuição t-student : página 5. Tabela de quantis da distribuição χ 2 : página 6. Página de 4

2 Formulário Distribuição e contradomínio de X P(X = k µ = E[X] σ 2 = Var[X] Uniforme ({, 2,..., n} /n (n + /2 (n 2 /2 x {, 2,..., n} Hipergeométrica (N, K, n x {max{0, n (N M},...,min{n, M}}} Binomial (n, p x {0,,..., n} ( K N K k( / ( N n k n n K N n K N N K N N n N ( n k p k ( p n k np np( p Geométrica (p ( p k p /p ( p/p 2 x IN Poisson (λ e λ λ k /k! λ λ x IN 0 Distribuição e contradomínio de X f X (x µ = E[X] σ 2 = Var[X] Uniforme (a, b b a (a + b/2 (b a 2 /2 x [a, b] Exponencial (λ λe λx /λ /λ 2 x IR + 0 Normal (µ, σ 2 2πσ e (x µ2 2σ 2 µ σ 2 x IR Tabela : Famílias importantes de distribuições Aproximação... da distribuição... Condições Binomial Hipergeométrica(N, K, n n/n < 0. Poisson Binomial (n, p p < 0. Normal Binomial(n, p n min(p, p > 5 Normal Poisson(λ λ > 5 Tabela 2: Condições de aproximações de funções de distribuição Cov(X, Y Par aleatório Discreto x y xyp(x = x, Y = y E[X]E[Y ] Tabela 3: Covariância para duas v.a. Página 2 de 4

3 n grande X µ σ/ n N(0, X µ S/ n N(0, X p X( X/n N(0, ; X p p( p/n N(0, X N(µ, σ 2 X µ σ/ n N(0, (n S 2 σ 2 χ 2 n X µ S/ n t n Tabela 4: Resultados para {X j, j n} iid X com µ = E[X], σ 2 = Var[X], X = n j= X j/n e S 2 = n j= ( Xj X 2 /(n n e n 2 grandes ( X X 2 (µ µ 2 N(0, σ 2 n + σ2 2 n 2 ( X X 2 (µ µ 2 N(0, S 2 n + S2 2 n 2 ( X X i N(µ i, σi 2 X 2 (µ µ 2 N(0, σ 2 n + σ2 2 n 2 ( X X 2 (µ µ 2 [ ] n + n 2 (n S 2 +(n2 S2 2 n +n 2 2 σ =σ 2 tn+n 2 2 Tabela 5: Resultados para {X ij, j n i } iid X i, i =, 2, com X e X 2 independentes, sendo µ i = E[X i ], σi 2 = Var[X i], Xi = n i j= X ij/n i e Si 2 = n i ( j= Xij X 2/(ni i k i= (O i E i 2 E i χ 2 (k β r s (O ij Êij2 i= j= Ê ij χ 2 (r (s Y i = β 0 + β x i + ε i Ŷ i = ˆβ 0 + ˆβ x i ˆβ0 = Ȳ ˆβ x ˆβ = ˆσ 2 = n 2 n i= ˆβ 0 β 0 ( t n 2 n + x 2 x 2 ˆσ i n x 2 2 [ ( 2 n ( Y i Ŷi = Yi 2 nȳ 2 n 2 ˆβ n 2 i= ˆβ β ˆσ 2 x 2 i n x 2 t n 2 (ˆβ0 + ˆβ x 0 (Y X = x 0 ( t n 2 R 2 = + n + (x0 x2 x 2 ˆσ i n x 2 2 Tabela 7: Resultados para o modelo de regressão linear simples i= x 2 i n x 2 ] n x i Y i n xȳ i= n x 2 i n x2 i= (ˆβ0 + ˆβ x 0 (β 0 + β x 0 [ n ( n + (x0 x2 x 2 i n x 2 [ n x i Y i n xȳ i= ˆσ 2 ] 2 n x2][ n ] x 2 i Yi 2 nȳ 2 i= i= t n 2 Página 3 de 4

4 Tabelas Página 4 de 4

5 Tabelas Página 5 de 4

6 Tabelas Página 6 de 4

7 Grupo I val. Suponha que se pretende estudar a duração X (em minutos de chamadas regionais entre assinantes de uma rede fixa. Admita que X tem distribuição N(µ, σ 2, e considere uma amostra aleatória X, X 2,..., X n de X. a Deduza, justificando, um intervalo de confiança aleatório a 90% para o valor esperado de X, admitindo que a variância é conhecida. (2.5 b Calcule a probabilidade do intervalo aleatório ] X σ n, X + σ n [ conter µ. (2.0 c Admitindo que σ = 2, determine a dimensão mínima que a amostra deve ter para garantir que o comprimento do intervalo determinado na alínea a seja menor que 0.3. (.5 Página 7 de 4

8 dff Página 8 de 4

9 Grupo II val.. O operador da rede fixa considerado no grupo anterior quer lançar um novo pacote de preços, especialmente vocacionado para assinantes que fazem chamadas regionais de longa duração (i.e., chamadas que ultrapassam os 5 minutos. O departamento comercial deste operador alega que não vale a pena lançar este pacote, uma vez que a proporção de aderentes a esta campanha deverá ser, no máximo, de 5%. Para testar esta opinião do departamento comercial, é lançado um inquérito aos assinantes, onde se pergunta se estarão interessados ou não no novo pacote de preços. Suponha que 200 assinantes respondem ao inquérito, e que 34 manifestam interesse neste pacote promocional. Acha que a opinião do departamento comercial é consistente com o resultado produzido por esta amostra? Proceda a um teste de hipóteses, tomando decisão com base no valor-p. (4.0 Página 9 de 4

10 f Página 0 de 4

11 2. Uma equipa de futebol realizou num dado período de tempo 00 jogos, relativamente aos quais foi registada a seguinte informação: vitórias derrotas jogos em casa jogos fora Para o nível de significância de 5% poder-se-à concluir que o desempenho desta equipa é influenciado pelo facto de jogar ou não em casa? Proceda ao teste adequado, explicitando devidamente as hipóteses que está a testar. (4.0 Página de 4

12 d Página 2 de 4

13 Grupo III val. Os dados do quadro seguinte representam os quocientes de inteligência (X e os respectivos resultados (Y que 9 indivíduos obtiveram num dado teste: x i y i pelo que 9 i= xi = 2065, 9 i= yi = 345, 9 i= x2 i = 22885, 9 i= y2 i = e 9 i= xiyi = Com base nestes valores foi ajustado um modelo de regressão linear simples, tendo-se obtido ˆβ 0 = e ˆβ =.049. a Com base na recta estimada de regressão dos mínimos quadrados, calcule uma estimativa da diferença esperada das notas dos testes de dois indivíduos cujos QI s diferem de 0. Como interpreta este valor? b Será que se pode concluir, para um nível de significância de %, que o resultado esperado no teste aumente com o QI dos indivíduos? Indique todas as hipóteses sobre o modelo que achar convenientes. (.0 (4.0 c Se a escala do teste for 0 00, indique, justificando, um intervalo de valores de QI com a maior am- (.0 plitude possível, onde a recta de regressão possa eventualmente ser usada para predizer o resultado de um indivíduo no teste. Página 3 de 4

14 d Página 4 de 4

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