UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA. Variáveis Aleatórias. Departamento de Estatística Luiz Medeiros

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA. Variáveis Aleatórias. Departamento de Estatística Luiz Medeiros"

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Variáveis Aleatórias Departamento de Estatística Luiz Medeiros

2 Introdução Como sabemos, características de interesse em diversas áreas estão sujeitas à variação; Essa variabilidade ocorre ao acaso, pois resulta de uma soma de fatores não-controlados; Toda vez que uma variável é influenciada pela aleatoriedade, diz-se que esta é uma variável aleatória.

3 Formalmente, uma variável aleatória é uma função do espaço amostral nos números reais: espaço amostral nos números reais: X: U R Note que uma v.a. assumirá sempre valores numéricos.

4

5 Uma variável aleatória pode ser discreta ou contínua. Dizemos que uma v.a. é discreta quando seus possíveis valores podem ser dispostos em uma lista (finita ou infinita) Exemplos: Número de filhos. Número de funcionários de uma empresa. Número de tumores detectados por um exame. Número de ações vendidas de uma empresa.

6 Dizemos que uma v.a. é contínua quando ela pode assumir qualquer valor em um dado intervalo Obs: Se o conjunto é inumerável, não há sentido em falar de valores específicos e portanto: P(X x) 0 Exemplos: Tempo até a cura de uma doença Cotação do dólar Peso de recém-nascidos Concentração de CO na água

7 Variáveis Aleatórias Discretas Entende-se por distribuição de probabilidade o conjunto de todos os valores que podem ser assumidos por uma v.a. discreta, com as respectivas probabilidades. A distribuição de probabilidades permite a definição de um modelo matemático apropriado a cada situação. Exemplo: considere o experimento verificar a face após o lançamento de 3 moedas. Temos, U {C-C-C, C-C-K, C-K-C, K-C-C, C-K-K, K-C-K, K-K-C, K-K-K} X: O número de caras x 0 3 Total P(Xx) /8 3/8 3/8 /8

8 Variáveis Aleatórias Discretas Seja X uma variável aleatória discreta, então X pode assumir os valores x, x,... Chamaremos de distribuição de probabilidade da variável aleatória X, a função que a cada x i associa sua probabilidade de ocorrência, ou seja, P ( X x ) p( x i i ) Uma distribuição de probabilidade deve satisfazer : a) b) 0 p( x i ) p ( x i ) i

9 A distribuição de probabilidades permite a definição de um modelo matemático apropriado a cada situação. modelo matemático apropriado a cada situação. O modelo para v.a. discretas que estudaremos será o Modelo Binomial. No caso de v.a. contínuas a distribuição de probabilidades dá lugar à função densidade de probabilidade que depende de conceitos matemáticos um pouco mais complexos e não será abordada nesse curso. Lidaremos com o modelo para v.a.'s contínuas denominado modelo Normal, o qual é apropriado a diversas situações nas mais diferentes áreas.

10 Exemplo O Departamento de Administração da UFPB é formado por 35 professores, sendo homens e 4 mulheres. Uma comissão de 3 professores será constituída sorteando, ao acaso, três membros do departamento. Qual é a probabilidade da comissão ser formada por pelo menos duas mulheres? Vamos definir a v.a. X: nº de mulheres na comissão. Quais são os possíveis valores que X pode assumir?

11

12 ESPERANÇA E VARIÂNCIA Nos modelos matemáticos aleatórios parâmetros podem ser empregados para caracterizar a distribuição de probabilidade. Logo, a cada distribuição de probabilidade podemos associar certos parâmetros os quais fornecem informações sobre a distribuição. MÉDIA (Esperança) VARIÂNCIA OBJETIVO: Definir medidas para as variáveis aleatórias que sintetizem características relevantes de uma distribuição de probabilidade.

13 ESPERANÇA (VALOR MÉDIO) DEFINIÇÃO: Dada uma variável aleatória discreta X, assumindo os valores x,x,...,x n, a esperança matemática de X é definida por se x i.p(x i ) < E( X ) i x p( x i i ), NOTAÇÃO: E(x) µ

14 Propriedades da Esperança. A média de uma constante é a própria constante. E ( K ) K.. Multiplicando-se uma variável aleatória X por uma constante, sua média fica multiplicada por essa constante. E( KX ) KE( X ) 3. A média da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias é, respectivamente, a soma ou diferença das médias. E( X ± Y) E( X ) ± E( Y) Observação: Note que toda função de uma variável aleatória X é também uma variável aleatória. Podemos, portanto, falar na esperança de X, X+, dentre outras.

15 Exemplo Considere a variável aleatória discreta X: x i 0 p(x i ) /4 / /4 Calcule a E(X), E( X) 3 i x p( i x i ) , 4

16 VARIÂNCIA DEFINIÇÃO: Seja X uma variável aleatória com esperança dada por E(X). A variância de X é definida por dada por E(X). A variância de X é definida por Var [ ( )] ( X ) E ( X ) E X OBSERVAÇÃO: A variância nos dá a dispersão dos valores da variável em relação ao valor esperado. NOTAÇÃO: Var ( X ) σ Desvio Padrão: É definido como a raiz quadrada positiva da variância, isto é, DP ( X ) Var ( X )

17 Propriedades da Variância. A variância de uma constante é zero. V ( K) 0. Multiplicando-se uma variável aleatória por uma constante sua variância fica multiplicada pelo quadrado da constante. V ( KX ) 3. Somando-se ou subtraindo-se uma constante à variável aleatória, sua variância não se altera. 4. A variância da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias é dada por: V ( X ± Y ) V ( X ) + V ( Y ) ± cov( X, Y ) Onde K V ( X ) V ( K ± X ) V ( X ) OBS.: Quando X e Y são variáveis aleatórias independentes, E( XY) E( X ) E( Y), conseqüentemente, cov(x,y)0, logo [ ][ ] { } cov( X, Y) E X E( X ) Y E( Y) E( XY) E( X ) E( Y) V ( X ± Y) V ( X ) + V ( Y)

18 Exemplos: ) Se X a, em que a é uma constante, então E(X) a e Var(X) 0. ) Se Y ax + b, em que a e b são constantes, então e E(Y) E(aX + b) ae(x) + b Var(Y) Var(aX + b) a Var(X).

19 Exemplo 3 Considere a variável aleatória discreta X: Calcule a Var(X) x i 0 p(x i ) /4 / / , ) ( ) ( i i x i p x X E + + 3, ) ( ) ( i i x i p x X E 3 3 () 3 )] ( [ ) ( ) ( X E X E X Var

20 Exemplo 4 Uma livraria mantém extensos registros das vendas diárias dos livros. Com os dados coletados construiu a seguinte distribuição de probabilidade da variável aleatória X número de livros vendidos por semana: x i p(x i ) 0,05 0,5 0,4 0,0 0,08 0,0 a) Calcule o número esperado de livros vendidos por semana. b) Calcule a Var(X). c) Calcule a probabilidade de se vender mais que livros vendidos por semana. d) Calcule a probabilidade de se vender no máximo um livro. e) O lucro da livraria é obtido através da relação Y3X +X-. Qual o lucro esperado da livraria?

21 Exemplo 5 Considere uma variável aleatória X com a seguinte função de probabilidade: P( X k) c, para k, 3, 5 c, para k, 4 a) Determine o valor da constante "C" que torna legítima a função de probabilidade acima. b) Calcule a P(X>), P(X 3), P(X 4), P(5/<X 5).

DA PARAÍBA. Variáveis Aleatórias. Departamento de Estatística Luiz Medeiros

DA PARAÍBA. Variáveis Aleatórias. Departamento de Estatística Luiz Medeiros UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Variáveis Aleatórias Departamento de Estatística Luiz Medeiros Introdução Como sabemos, características de interesse em diversas áreas estão sujeitas à variação Essa variabilidade

Leia mais

Variáveis Aleatórias. Esperança e Variância. Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB

Variáveis Aleatórias. Esperança e Variância. Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB Variáveis Aleatórias Esperança e Variância Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB ESPERANÇA E VARIÂNCIA Nos modelos matemáticos aleatórios parâmetros podem ser empregados para caracterizar

Leia mais

Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Cálculo das Probabilidades e Estatística I Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Variáveis Aleatórias Ao descrever um espaço

Leia mais

Variáveis Aleatórias. Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB

Variáveis Aleatórias. Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB Variáveis Aleatórias Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB Introdução Ao descrever o espaço amostral de um experimento aleatório, não especificamos que um resultado individual seja

Leia mais

Variáveis Aleatórias. Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB

Variáveis Aleatórias. Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB Variáveis Aleatórias Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB Introdução Ao descrever o espaço amostral de um experimento aleatório, não especificamos que um resultado individual seja

Leia mais

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL VARIÁVEIS ALEATÓRIAS e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 1 Variável Aleatória Uma função X que associa a cada elemento w do espaço amostral W um valor x R é denominada uma variável aleatória. Experimento: jogar 1

Leia mais

VARIÁVEL ALEATÓRIA e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

VARIÁVEL ALEATÓRIA e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL VARIÁVEL ALEATÓRIA e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 1 Variável Aleatória Uma função X que associa a cada elemento w do espaço amostral W um valor x R é denominada uma variável aleatória. Experimento: jogar 1 dado

Leia mais

VARIÁVEL ALEATÓRIA e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

VARIÁVEL ALEATÓRIA e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL VARIÁVEL ALEATÓRIA e DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Variável Aleatória Uma função X que associa a cada elemento ω do espaço amostral Ω um valor x R é denominada uma variável aleatória. A variável aleatória pode

Leia mais

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância 06/14 1 / 19

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância 06/14 1 / 19 Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância 06/14 1 / 19 Nos modelos matemáticos aleatórios parâmetros podem ser

Leia mais

Variáveis Aleatórias. Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB

Variáveis Aleatórias. Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB Variáveis Aleatórias Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB Introdução Ao descrever o espaço amostral de um experimento aleatório, não especificamos que um resultado individual seja um

Leia mais

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 1

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 1 Variável Aleatória Uma função X que associa a cada elemento w do espaço amostral W um valor x R é denominada uma variável aleatória. Experimento: jogar 1 dado duas vezes e observar

Leia mais

Probabilidade. Variáveis Aleatórias e Distribuição de Probabilidades

Probabilidade. Variáveis Aleatórias e Distribuição de Probabilidades Probabilidade Variáveis Aleatórias e Distribuição de Probabilidades Na aula de hoje, vamos 1 - Estender o conceito de variável, definindo o conceito de variável aleatória; 2 Entender porque as variáveis

Leia mais

Lucas Santana da Cunha de junho de 2017

Lucas Santana da Cunha de junho de 2017 VARIÁVEL ALEATÓRIA Lucas Santana da Cunha email: lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ Universidade Estadual de Londrina 19 de junho de 2017 Uma função que associa um número real aos resultados

Leia mais

Bioestatística. AULA 6 - Variáveis aleatórias. Isolde Previdelli

Bioestatística. AULA 6 - Variáveis aleatórias. Isolde Previdelli Universidade Estadual de Maringá Mestrado Acadêmico em Bioestatística Bioestatística Isolde Previdelli itsprevidelli@uem.br isoldeprevidelli@gmail.com AULA 6 - Variáveis aleatórias 30 de Março de 2017

Leia mais

Estatística Aplicada II. } Revisão: Probabilidade } Propriedades da Média Amostral

Estatística Aplicada II. } Revisão: Probabilidade } Propriedades da Média Amostral Estatística Aplicada II } Revisão: Probabilidade } Propriedades da Média Amostral 1 Aula de hoje } Tópicos } Revisão: } Distribuição de probabilidade } Variáveis aleatórias } Distribuição normal } Propriedades

Leia mais

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Joaquim H Vianna Neto Relatório Técnico RTE-03/013 Relatório Técnico Série Ensino Variáveis

Leia mais

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Esperança e Variância Variáveis Contínuas 10/13 1 / 1 Esperança Definição 2.1:(Valor Esperado

Leia mais

4.1. ESPERANÇA x =, x=1

4.1. ESPERANÇA x =, x=1 4.1. ESPERANÇA 139 4.1 Esperança Certamente um dos conceitos mais conhecidos na teoria das probabilidade é a esperança de uma variável aleatória, mas não com esse nome e sim com os nomes de média ou valor

Leia mais

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 1

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 1 Na prática é, muitas vezes, mais interessante associarmos um número a um evento aleatório e calcularmos a probabilidade da ocorrência desse número do que a probabilidade do evento.

Leia mais

Estatística. Capítulo 3 - Parte 1: Variáveis Aleatórias Discretas. Professor Fernando Porto

Estatística. Capítulo 3 - Parte 1: Variáveis Aleatórias Discretas. Professor Fernando Porto Estatística Capítulo 3 - Parte 1: Variáveis Aleatórias Discretas Professor Fernando Porto Lançam-se 3 moedas. Seja X o número de ocorrências da face cara. O espaço amostral do experimento é: W = {(c,c,c),(c,c,r),(c,r,c),(c,r,r),(r,c,c),(r,c,r),(r,r,c),(r,r,r)}

Leia mais

Variável Aleatória. Gilson Barbosa Dourado 6 de agosto de 2008

Variável Aleatória. Gilson Barbosa Dourado 6 de agosto de 2008 Variável Aleatória Gilson Barbosa Dourado gdourado@uneb.br 6 de agosto de 2008 Denição de Variável Aleatória Considere um experimento E e seu espaço amostral Ω = {a 1, a 2,..., a n }. Variável aleatória

Leia mais

Prof. Dr. Lucas Santana da Cunha de maio de 2018 Londrina

Prof. Dr. Lucas Santana da Cunha de maio de 2018 Londrina Prof. Dr. Lucas Santana da Cunha email: lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ 21 de maio de 2018 Londrina 1 / 14 Variável aleatória Introdução Definição Uma função que associa um número real

Leia mais

Avaliação e Desempenho Aula 5

Avaliação e Desempenho Aula 5 Avaliação e Desempenho Aula 5 Aula passada Revisão de probabilidade Eventos e probabilidade Independência Prob. condicional Aula de hoje Variáveis aleatórias discretas e contínuas PMF, CDF e função densidade

Leia mais

Variáveis Aleatórias. Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu

Variáveis Aleatórias. Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Variáveis Aleatórias Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Exemplo No lançamento de duas moedas ao ar, os resultados possíveis são: FF, FC, CF ou CC. No entanto, o nosso interesse

Leia mais

Variáveis Aleatórias - VA

Variáveis Aleatórias - VA Variáveis Aleatórias - VA cc ck kc kk 0 1 2 1/4 1/2 Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr. Departamento de Estatística - PPGEMQ / PPGEP - UFSM - Introdução Se entende por VA ou V. indicadoras uma lista de valores

Leia mais

Bioestatística F. Modelo Binomial. Enrico A. Colosimo

Bioestatística F. Modelo Binomial. Enrico A. Colosimo Bioestatística F Modelo Binomial Enrico A. Colosimo Departamento de Estatística Universidade Federal de Minas Gerais http://www.est.ufmg.br/~enricoc 2011 1 / 1 Variável aleatória discreta Definição Uma

Leia mais

ESTATÍSTICA MULTIVARIADA. Tiago Teles de Abreu Tarré

ESTATÍSTICA MULTIVARIADA. Tiago Teles de Abreu Tarré Tiago Teles de Abreu Tarré 1 Variáveis Aleatórias É uma função que a cada acontecimento ω do espaço de resultados, faz corresponder um valor real, x = X (). Ω IR ω 1 x = X(ω 1 ) Variáveis Aleatórias Exemplo

Leia mais

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 1 / 25

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 1 / 25 Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 1 / 25 Função de Distribuição Definição 8.1:(Função de Distribuição)

Leia mais

Daniel Queiroz VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

Daniel Queiroz VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Daniel Queiroz VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS INTRODUÇÃO O que é uma variável aleatória? Um tipo de variável que depende do resultado aleatório de um experimento aleatório. Diz-se que um experimento é

Leia mais

Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Cálculo das Probabilidades e Estatística I Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Distribuição Normal Motivação: Distribuição

Leia mais

3 3. Variáveis Aleatórias

3 3. Variáveis Aleatórias ÍNDICE 3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS...49 3.. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS...49 3.2. VARIÁVEIS DISCRETAS FUNÇÃO DE PROBABILIDADE E FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE...50 3.2.. Função de probabilidade...50

Leia mais

1 Variáveis Aleatórias

1 Variáveis Aleatórias Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Estatística Básica - 2013 Aula 5 Professor: Carlos Sérgio UNIDADE 3 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS (Notas de aula) 1 Variáveis

Leia mais

Variáveis Aleatórias. Probabilidade e Estatística. Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva

Variáveis Aleatórias. Probabilidade e Estatística. Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva Probabilidade e Estatística Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva http://paginapessoal.utfpr.edu.br/ngsilva Variáveis Aleatórias Variável Aleatória Variável aleatória (VA) é uma função que associa a cada

Leia mais

Aula 5. Variáveis Aleatórias Discretas

Aula 5. Variáveis Aleatórias Discretas Aula 5. Variáveis Aleatórias Discretas Definição formal : Variável aleatória é qualquer função definida em espaço Ω. Ω função é uma regra que para cada valor de domínio corresponde um valor de R R Definição

Leia mais

Distribuições de Probabilidade. Variáveis aleatórias contínuas

Distribuições de Probabilidade. Variáveis aleatórias contínuas Distribuições de Probabilidade Variáveis aleatórias contínuas 1 Variáveis contínuas Uma variável aleatória contínua toma um nº infinito não numerável de valores (intervalos de números reais), os quais

Leia mais

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE.1 INTRODUÇÃO Admita que, de um lote de 10 peças, 3 das quais são defeituosas, peças são etraídas ao acaso, juntas (ou uma a uma, sem reposição). Estamos

Leia mais

Estatística (MAD231) Turma: IGA. Período: 2018/2

Estatística (MAD231) Turma: IGA. Período: 2018/2 Estatística (MAD231) Turma: IGA Período: 2018/2 Aula #03 de Probabilidade: 19/10/2018 1 Variáveis Aleatórias Considere um experimento cujo espaço amostral é Ω. Ω contém todos os resultados possíveis: e

Leia mais

Teoria das Filas aplicadas a Sistemas Computacionais. Aula 08

Teoria das Filas aplicadas a Sistemas Computacionais. Aula 08 Teoria das Filas aplicadas a Sistemas Computacionais Aula 08 Universidade Federal do Espírito Santo - Departamento de Informática - DI Laboratório de Pesquisas em Redes Multimidia - LPRM Teoria das Filas

Leia mais

Variáveis Aleatórias. Henrique Dantas Neder. April 26, Instituto de Economia - Universidade Federal de Uberlândia

Variáveis Aleatórias. Henrique Dantas Neder. April 26, Instituto de Economia - Universidade Federal de Uberlândia Variáveis Aleatórias Henrique Dantas Neder Instituto de Economia - Universidade Federal de Uberlândia April 2, 202 VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA O conceito de variável aleatória está intrínsicamente relacionado

Leia mais

Lucas Santana da Cunha 23 de maio de 2018 Londrina

Lucas Santana da Cunha   23 de maio de 2018 Londrina Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ 23 de maio de 2018 Londrina 1 / 14 Variável aleatória Introdução Definição Uma função que associa um número real aos resultados de um experimento

Leia mais

NOTAS DA AULA. Prof.: Idemauro Antonio Rodrigues de Lara

NOTAS DA AULA. Prof.: Idemauro Antonio Rodrigues de Lara 1 NOTAS DA AULA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS. ESPERANÇA E VARIÂNCIA Prof.: Idemauro Antonio Rodrigues de Lara 2 Objetivo geral da aula Caracterizar variáveis aleatórias discretas e contínuas. Compreender e aplicar

Leia mais

Probabilidade e Estatística

Probabilidade e Estatística Probabilidade e Estatística Aula 5 Probabilidade: Distribuições de Discretas Parte 1 Leitura obrigatória: Devore, 3.1, 3.2 e 3.3 Chap 5-1 Objetivos Nesta parte, vamos aprender: Como representar a distribuição

Leia mais

Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu. Engenharia e Gestão Industrial

Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu. Engenharia e Gestão Industrial Variáveis Aleatórias Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Engenharia e Gestão Industrial 1 Exemplo No lançamento de duas moedas ao ar, os resultados possíveis são: FF, FC,

Leia mais

Modelos Probabilísticos Teóricos Discretos e Contínuos. Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Exponencial, Normal

Modelos Probabilísticos Teóricos Discretos e Contínuos. Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Exponencial, Normal Modelos Probabilísticos Teóricos Discretos e Contínuos Bernoulli, Binomial, Poisson, Uniforme, Exponencial, Normal Distribuição de Probabilidades A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória:

Leia mais

Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Variáveis Aleatórias

Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Variáveis Aleatórias Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo Variáveis Aleatórias Professora Renata Alcarde Piracicaba março 2014 Renata Alcarde Estatística Geral 27 de Março de 2014 1 / 42

Leia mais

Variável Aleatória Contínua:

Variável Aleatória Contínua: Distribuição Contínua Normal Luiz Medeiros de Araujo Lima Filho Departamento de Estatística UFPB Variável Aleatória Contínua: Assume valores num intervalo de números reais. Não é possível listar, individualmente,

Leia mais

MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 5: Resumo de Probabilidade

MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 5: Resumo de Probabilidade MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 5: Resumo de Probabilidade Edson de Faria Departamento de Matemática IME-USP 26 de Agosto, 2013 Probabilidade: uma Introdução / Aula 5 1 Variáveis aleatórias Definição

Leia mais

1 Noções de Probabilidade

1 Noções de Probabilidade Noções de Probabilidade Já vimos que para se obter informações sobre alguma característica da população, podemos utilizar uma amostra. Estudaremos agora a probabilidade, que é uma ferramenta usada e necessária

Leia mais

Medidas resumo. Wagner H. Bonat Elias T. Krainski Fernando P. Mayer

Medidas resumo. Wagner H. Bonat Elias T. Krainski Fernando P. Mayer Medidas resumo Wagner H. Bonat Elias T. Krainski Fernando P. Mayer Universidade Federal do Paraná Departamento de Estatística Laboratório de Estatística e Geoinformação 28/03/2018 WB, EK, FM ( LEG/DEST/UFPR

Leia mais

Capítulo 2. Variáveis Aleatórias e Distribuições

Capítulo 2. Variáveis Aleatórias e Distribuições Capítulo 2 Variáveis Aleatórias e Distribuições Experimento Aleatório Não existe uma definição satisfatória de Experimento Aleatório. Os exemplos dados são de fenômenos para os quais modelos probabilísticos

Leia mais

Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Cálculo das Probabilidades e Estatística I Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Modelos de distribuição Para utilizar a teoria

Leia mais

Processos Estocásticos. Variáveis Aleatórias. Variáveis Aleatórias. Luiz Affonso Guedes. Como devemos descrever um experimento aleatório?

Processos Estocásticos. Variáveis Aleatórias. Variáveis Aleatórias. Luiz Affonso Guedes. Como devemos descrever um experimento aleatório? Processos Estocásticos Luiz Affonso Guedes Sumário Probabilidade Funções de Uma Variável Aleatória Funções de Várias Momentos e Estatística Condicional Teorema do Limite Central Processos Estocásticos

Leia mais

Estatística Aplicada I

Estatística Aplicada I Estatística Aplicada I ESPERANCA MATEMATICA AULA 1 25/04/17 Prof a Lilian M. Lima Cunha Abril de 2017 EXPERIMENTO RESULTADOS EXPERIMENTAIS VARIÁVEL ALEATÓRIA X = variável aleatória = descrição numérica

Leia mais

CAPÍTULO 5: VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS Todas as coisas aparecem e desaparecem por causa da concorrência de causas e condições. Nada nunca existe inteiramente só, tudo está em relação com todo

Leia mais

Estatística Aplicada

Estatística Aplicada Estatística Aplicada Variável Aleatória Contínua e Distribuição Contínua da Probabilidade Professor Lucas Schmidt www.acasadoconcurseiro.com.br Estatística Aplicada DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE

Leia mais

Variáveis Aleatórias Discretas 1/1

Variáveis Aleatórias Discretas 1/1 Variáveis Aleatórias Discretas Professores Eduardo Zambon e Magnos Martinello UFES Universidade Federal do Espírito Santo DI Departamento de Informática CEUNES Centro Universitário Norte do Espírito Santo

Leia mais

Estatística I Aula 6. Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

Estatística I Aula 6. Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc. statística I Aula 6 Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc. VARIÁVIS ALATÓRIAS Variáveis Aleatórias xaminemos as seguintes situações: Um estudante que fez um teste do tipo verdadeiro ou falso está interessado

Leia mais

Processos Estocásticos. Variáveis Aleatórias. Variáveis Aleatórias. Variáveis Aleatórias. Variáveis Aleatórias. Luiz Affonso Guedes

Processos Estocásticos. Variáveis Aleatórias. Variáveis Aleatórias. Variáveis Aleatórias. Variáveis Aleatórias. Luiz Affonso Guedes Processos Estocásticos Luiz Affonso Guedes Sumário Probabilidade Funções de Uma Variável Aleatória Funções de Várias Momentos e Estatística Condicional Teorema do Limite Central Processos Estocásticos

Leia mais

Processos Estocásticos. Luiz Affonso Guedes

Processos Estocásticos. Luiz Affonso Guedes Processos Estocásticos Luiz Affonso Guedes Sumário Probabilidade Variáveis Aleatórias Funções de Uma Variável Aleatória Funções de Várias Variáveis Aleatórias Momentos e Estatística Condicional Teorema

Leia mais

Variáveis aleatórias

Variáveis aleatórias Variáveis aleatórias Joaquim Neto joaquim.neto@ufjf.edu.br www.ufjf.br/joaquim_neto Departamento de Estatística - ICE Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF) Versão 3.0 Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF

Leia mais

UNIDADE II. José J. C. Hernández. April 9, 2017 DE - UFPE. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

UNIDADE II. José J. C. Hernández. April 9, 2017 DE - UFPE. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60 INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA UNIDADE II José J. C. Hernández DE - UFPE April 9, 2017 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, 2017 1 / 60 Variável aleatória Seja X : Ω R uma função real de Ω

Leia mais

Variáveis aleatórias. Universidade Estadual de Santa Cruz. Ivan Bezerra Allaman

Variáveis aleatórias. Universidade Estadual de Santa Cruz. Ivan Bezerra Allaman Variáveis aleatórias Universidade Estadual de Santa Cruz Ivan Bezerra Allaman DEFINIÇÃO É uma função que associa cada evento do espaço amostral a um número real. 3/37 Aplicação 1. Seja E um experimento

Leia mais

Estatítica Descritiva e Exploratória

Estatítica Descritiva e Exploratória Gledson Luiz Picharski e Wanderson Rodrigo Rocha 3 de Abril de 2008 Estatística Descritiva e exploratória 1 Introdução à análise exploratória de dados 2 Análise exploratória de dados: Medidas-resumo 3

Leia mais

LCE Introdução à Bioestatística Florestal 3. Variáveis aleatórias

LCE Introdução à Bioestatística Florestal 3. Variáveis aleatórias LCE0216 - Introdução à Bioestatística Florestal 3. Variáveis aleatórias Profa. Dra. Clarice Garcia Borges Demétrio Monitores: Giovana Fumes e Ricardo Klein Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz

Leia mais

Professora Ana Hermínia Andrade. Período

Professora Ana Hermínia Andrade. Período Distribuições de probabilidade Professora Ana Hermínia Andrade Universidade Federal do Amazonas Faculdade de Estudos Sociais Departamento de Economia e Análise Período 2016.2 Modelos de distribuição Para

Leia mais

Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade

Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade de Fernando de Pol Mayer Laboratório de Estatística e Geoinformação (LEG) Departamento de Estatística (DEST) Universidade Federal do Paraná (UFPR) Este conteúdo está disponível por meio da Licença Creative

Leia mais

Aula de hoje. administração. São Paulo: Ática, 2007, Cap. 3. ! Tópicos. ! Referências. ! Distribuição de probabilidades! Variáveis aleatórias

Aula de hoje. administração. São Paulo: Ática, 2007, Cap. 3. ! Tópicos. ! Referências. ! Distribuição de probabilidades! Variáveis aleatórias Aula de hoje! Tópicos! Distribuição de probabilidades! Variáveis aleatórias! Variáveis discretas! Variáveis contínuas! Distribuição binomial! Distribuição normal! Referências! Barrow, M. Estatística para

Leia mais

3 a Lista de PE Solução

3 a Lista de PE Solução Universidade de Brasília Departamento de Estatística 3 a Lista de PE Solução. Se X representa o ganho do jogador, então os possíveis valores para X são,, 0, e 4. Esses valores são, respectivamente, correspondentes

Leia mais

Distribuições de Probabilidade

Distribuições de Probabilidade Distribuições de Probabilidade 7 6 5 4 3 2 1 0 Normal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Exemplos: Temperatura do ar 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Assimetrica Positiva 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Exemplos: Precipitação

Leia mais

Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Variáveis Aleatórias

Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Variáveis Aleatórias Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo Variáveis Aleatórias Professora Renata Alcarde Sermarini Piracicaba Abril 2016 Renata Alcarde Sermarini Estatística Geral 27 de

Leia mais

Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias Definição: Uma variável aleatória v.a. é uma função que associa elementos do espaço amostral a valores numéricos, ou seja, X : Ω A, em que A R. Esquematicamente As variáveis aleatórias

Leia mais

Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias Conceitos, Discretas, Contínuas, Propriedades Itens 5. e 6. BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 Variável aleatória Uma variável

Leia mais

Par de Variáveis Aleatórias

Par de Variáveis Aleatórias Par de Variáveis Aleatórias Luis Henrique Assumpção Lolis 7 de abril de 2014 Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 1 Conteúdo 1 Introdução 2 Par de Variáveis Aleatórias Discretas 3

Leia mais

Variáveis Aleatórias Discretas

Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Discretas Ricardo Ehlers ehlers@icmc.usp.br Departamento de Matemática Aplicada e Estatística Universidade de São Paulo Introdução Definição Uma variável aleatória é uma função definida

Leia mais

Variáveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias Definição: Uma variável aleatória v.a. é uma função que associa elementos do espaço amostral a valores numéricos, ou seja, X : I, em que I. Esquematicamente: As variáveis aleatórias

Leia mais

Estatística Básica. Variáveis Aleatórias Contínuas. Renato Dourado Maia. Instituto de Ciências Agrárias. Universidade Federal de Minas Gerais

Estatística Básica. Variáveis Aleatórias Contínuas. Renato Dourado Maia. Instituto de Ciências Agrárias. Universidade Federal de Minas Gerais Estatística Básica Variáveis Aleatórias Contínuas Renato Dourado Maia Instituto de Ciências Agrárias Universidade Federal de Minas Gerais Lembrando... Uma quantidade X, associada a cada possível resultado

Leia mais

Cálculo das Probabilidades I

Cálculo das Probabilidades I Cálculo das Probabilidades I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 1 / 19 Calculamos algumas características da

Leia mais

3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 011 Variável aleatória é o espaço amostral de um eperimento aleatório. Uma variável aleatória,, é uma função que atribui um número real a cada resultado em. Eemplo. Retira-, ao

Leia mais

Unidade III ESTATÍSTICA. Prof. Fernando Rodrigues

Unidade III ESTATÍSTICA. Prof. Fernando Rodrigues Unidade III ESTATÍSTICA Prof. Fernando Rodrigues Medidas de dispersão Estudamos na unidade anterior as medidas de tendência central, que fornecem importantes informações sobre uma sequência numérica. Entretanto,

Leia mais

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição t de Student 02/14 1 / 1 A distribuição t de Student é uma das distribuições

Leia mais

Probabilidade e Estatística

Probabilidade e Estatística Probabilidade e Estatística stica Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva http://paginapessoal.utfpr.edu.br/ngsilva Inferência Estatística stica e Distribuições Amostrais Inferência Estatística stica O objetivo

Leia mais

Estatística Descritiva e Exploratória

Estatística Descritiva e Exploratória Gledson Luiz Picharski e Wanderson Rodrigo Rocha 9 de Maio de 2008 Estatística Descritiva e exploratória 1 Váriaveis Aleatórias Discretas 2 Variáveis bidimensionais 3 Váriaveis Aleatórias Continuas Introdução

Leia mais

Introdução à probabilidade e estatística I

Introdução à probabilidade e estatística I Introdução à probabilidade e estatística I Variáveis Aleatórias Prof. Alexandre G Patriota Sala: 298A Email: patriota@ime.usp.br Site: www.ime.usp.br/ patriota Probabilidade Daqui por diante utilizaremos

Leia mais

Variável aleatória. O resultado de um experimento aleatório é designado variável aleatória (X)

Variável aleatória. O resultado de um experimento aleatório é designado variável aleatória (X) Variável aleatória O resultado de um experimento aleatório é designado variável aleatória (X) Função densidade de probabilidade A função densidade de probabilidade associa cada possível valor da variável

Leia mais

PARTE 2. Profª. Drª. Alessandra de Ávila Montini

PARTE 2. Profª. Drª. Alessandra de Ávila Montini PARTE 2 Profª. Drª. Alessandra de Ávila Montini Conteúdo Introdução a Probabilidade Conceito de Experimento Conceito de Espaço Amostral Conceito de Variável Aleatória Principais Distribuições de Probabilidade

Leia mais

PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES

PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES Certas distribuições de probabilidades se encaixam em diversas situações práticas As principais são: se v.a. discreta Distribuição de Bernoulli Distribuição binomial

Leia mais

AULA 15 - Distribuição de Bernoulli e Binomial

AULA 15 - Distribuição de Bernoulli e Binomial AULA 15 - Distribuição de Bernoulli e Binomial Susan Schommer Introdução à Estatística Econômica - IE/UFRJ Variável Aleatória de Bernoulli Podemos dizer que as variáveis aleatórias mais simples entre as

Leia mais

a) o time ganhe 25 jogos ou mais; b) o time ganhe mais jogos contra times da classe A do que da classe B.

a) o time ganhe 25 jogos ou mais; b) o time ganhe mais jogos contra times da classe A do que da classe B. Universidade de Brasília Departamento de Estatística 5 a Lista de PE. Um time de basquete irá jogar uma temporada de 44 jogos. desses jogos serão disputados contra times da classe A e os 8 restantes contra

Leia mais

ESTATÍSTICA I Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias Discretas. Helena Penalva 2006/2007

ESTATÍSTICA I Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias Discretas. Helena Penalva 2006/2007 ESTATÍSTICA I Variáveis Aleatórias 1 Definição: A uma função X de domínio Ω com valores em Ñ X:Ω Ñ, ω X(ω)=x, chamamos variável aleatória (v.a.) em Ω. Ao contradomínio da função X, designaremos por V X

Leia mais

Prof. Lorí Viali, Dr.

Prof. Lorí Viali, Dr. Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~viali/ s KKK CKK KKC KCK CCK CKC KCC CCC S X 0 1 2 3 R x X(s) X(S) Uma função X que associa a cada elemento de S (s S) um número real

Leia mais

Variável Aleatória. O conjunto de valores. Tipos de variáveis. Uma função X que associa a cada

Variável Aleatória. O conjunto de valores. Tipos de variáveis. Uma função X que associa a cada Variável Aleatória Uma função X que associa a cada Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~viali/ elemento de S (s S) um número real x X(s) é denominada variável aleatória. O

Leia mais

a) Considerando o lançamento de dois dados, o espaço amostral é Tabela 1: Tabela de distribuição de X. X P 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36

a) Considerando o lançamento de dois dados, o espaço amostral é Tabela 1: Tabela de distribuição de X. X P 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36 1 Exercício 1 Um par de dados não viciados é lançado. Seja X a variável aleatória denotando o menor dos dois números observados. a) Encontre a tabela da distribuição dessa variável. b) Construa o gráfico

Leia mais

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 1 / 31

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 1 / 31 Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 1 / 31 Um teorema de grande importância e bastante utilidade em probabilidade

Leia mais

{ C(1 x 2 ), se x ( 1, 1), f(x) = Cxe x/2, se x > 0, x + k, se 0 x 3; 0, c.c. k, se 1 < x 2; kx + 3k, se 2 < x 3;

{ C(1 x 2 ), se x ( 1, 1), f(x) = Cxe x/2, se x > 0, x + k, se 0 x 3; 0, c.c. k, se 1 < x 2; kx + 3k, se 2 < x 3; Universidade de Brasília Departamento de Estatística 4 a Lista de PE 1. Seja X uma variável aleatória com densidade { C(1 x 2 ), se x ( 1, 1), 0, se x / ( 1, 1). a) Qual o valor de C? b) Qual a função

Leia mais

Distribuições Discretas Prof. Walter Sousa

Distribuições Discretas Prof. Walter Sousa Estatística Distribuições Discretas Prof. Walter Sousa DISTRIBUIÇÕES EMPÍRICAS DE VARIÁVEIS DISCRETAS Variável aleatória É uma função X que associa um número real x a cada resultado do espaço amostral

Leia mais

Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidade

Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidade Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades - parte II 29 de Março de 2011 Distribuição Uniforme Discreta Média Propriedade da falta de memória Objetivos Ao final deste capítulo você

Leia mais

Exercícios propostos:

Exercícios propostos: INF 16 Exercícios propostos: 1. Sabendo-se que Y=X-5 e que E(X)= e V(X)=1, calcule: a)e(y); b)v(y); c)e(x+y); d)e(x + Y ); e)v(x+y); Resp.: 1; 9; 5; 15; 81. Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas.

Leia mais

ESTATÍSTICA TÓPICO 7 VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA / DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL / DISTRIBUIÇÃO NORMAL

ESTATÍSTICA TÓPICO 7 VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA / DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL / DISTRIBUIÇÃO NORMAL ESTATÍSTICA TÓPICO 7 VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA / DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL / DISTRIBUIÇÃO NORMAL VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Como já vimos no estudo das probabilidades, o conjunto de todos os possíveis resultados

Leia mais

Estatística (MAD231) Turma: IGA. Período: 2017/2

Estatística (MAD231) Turma: IGA. Período: 2017/2 Estatística (MAD231) Turma: IGA Período: 2017/2 Aula #03 de Probabilidade: 04/10/2017 1 Variáveis Aleatórias Considere um experimento cujo espaço amostral é Ω. Ω contém todos os resultados possíveis: e

Leia mais

Teoria das Filas aplicadas a Sistemas Computacionais. Aula 09

Teoria das Filas aplicadas a Sistemas Computacionais. Aula 09 Teoria das Filas aplicadas a Sistemas Computacionais Aula 09 Universidade Federal do Espírito Santo - Departamento de Informática - DI Laboratório de Pesquisas em Redes Multimidia - LPRM Teoria das Filas

Leia mais