UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA. Variáveis Aleatórias. Departamento de Estatística Luiz Medeiros

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Variáveis Aleatórias Departamento de Estatística Luiz Medeiros

2 Introdução Como sabemos, características de interesse em diversas áreas estão sujeitas à variação; Essa variabilidade ocorre ao acaso, pois resulta de uma soma de fatores não-controlados; Toda vez que uma variável é influenciada pela aleatoriedade, diz-se que esta é uma variável aleatória.

3 Formalmente, uma variável aleatória é uma função do espaço amostral nos números reais: espaço amostral nos números reais: X: U R Note que uma v.a. assumirá sempre valores numéricos.

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5 Uma variável aleatória pode ser discreta ou contínua. Dizemos que uma v.a. é discreta quando seus possíveis valores podem ser dispostos em uma lista (finita ou infinita) Exemplos: Número de filhos. Número de funcionários de uma empresa. Número de tumores detectados por um exame. Número de ações vendidas de uma empresa.

6 Dizemos que uma v.a. é contínua quando ela pode assumir qualquer valor em um dado intervalo Obs: Se o conjunto é inumerável, não há sentido em falar de valores específicos e portanto: P(X x) 0 Exemplos: Tempo até a cura de uma doença Cotação do dólar Peso de recém-nascidos Concentração de CO na água

7 Variáveis Aleatórias Discretas Entende-se por distribuição de probabilidade o conjunto de todos os valores que podem ser assumidos por uma v.a. discreta, com as respectivas probabilidades. A distribuição de probabilidades permite a definição de um modelo matemático apropriado a cada situação. Exemplo: considere o experimento verificar a face após o lançamento de 3 moedas. Temos, U {C-C-C, C-C-K, C-K-C, K-C-C, C-K-K, K-C-K, K-K-C, K-K-K} X: O número de caras x 0 3 Total P(Xx) /8 3/8 3/8 /8

8 Variáveis Aleatórias Discretas Seja X uma variável aleatória discreta, então X pode assumir os valores x, x,... Chamaremos de distribuição de probabilidade da variável aleatória X, a função que a cada x i associa sua probabilidade de ocorrência, ou seja, P ( X x ) p( x i i ) Uma distribuição de probabilidade deve satisfazer : a) b) 0 p( x i ) p ( x i ) i

9 A distribuição de probabilidades permite a definição de um modelo matemático apropriado a cada situação. modelo matemático apropriado a cada situação. O modelo para v.a. discretas que estudaremos será o Modelo Binomial. No caso de v.a. contínuas a distribuição de probabilidades dá lugar à função densidade de probabilidade que depende de conceitos matemáticos um pouco mais complexos e não será abordada nesse curso. Lidaremos com o modelo para v.a.'s contínuas denominado modelo Normal, o qual é apropriado a diversas situações nas mais diferentes áreas.

10 Exemplo O Departamento de Administração da UFPB é formado por 35 professores, sendo homens e 4 mulheres. Uma comissão de 3 professores será constituída sorteando, ao acaso, três membros do departamento. Qual é a probabilidade da comissão ser formada por pelo menos duas mulheres? Vamos definir a v.a. X: nº de mulheres na comissão. Quais são os possíveis valores que X pode assumir?

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12 ESPERANÇA E VARIÂNCIA Nos modelos matemáticos aleatórios parâmetros podem ser empregados para caracterizar a distribuição de probabilidade. Logo, a cada distribuição de probabilidade podemos associar certos parâmetros os quais fornecem informações sobre a distribuição. MÉDIA (Esperança) VARIÂNCIA OBJETIVO: Definir medidas para as variáveis aleatórias que sintetizem características relevantes de uma distribuição de probabilidade.

13 ESPERANÇA (VALOR MÉDIO) DEFINIÇÃO: Dada uma variável aleatória discreta X, assumindo os valores x,x,...,x n, a esperança matemática de X é definida por se x i.p(x i ) < E( X ) i x p( x i i ), NOTAÇÃO: E(x) µ

14 Propriedades da Esperança. A média de uma constante é a própria constante. E ( K ) K.. Multiplicando-se uma variável aleatória X por uma constante, sua média fica multiplicada por essa constante. E( KX ) KE( X ) 3. A média da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias é, respectivamente, a soma ou diferença das médias. E( X ± Y) E( X ) ± E( Y) Observação: Note que toda função de uma variável aleatória X é também uma variável aleatória. Podemos, portanto, falar na esperança de X, X+, dentre outras.

15 Exemplo Considere a variável aleatória discreta X: x i 0 p(x i ) /4 / /4 Calcule a E(X), E( X) 3 i x p( i x i ) , 4

16 VARIÂNCIA DEFINIÇÃO: Seja X uma variável aleatória com esperança dada por E(X). A variância de X é definida por dada por E(X). A variância de X é definida por Var [ ( )] ( X ) E ( X ) E X OBSERVAÇÃO: A variância nos dá a dispersão dos valores da variável em relação ao valor esperado. NOTAÇÃO: Var ( X ) σ Desvio Padrão: É definido como a raiz quadrada positiva da variância, isto é, DP ( X ) Var ( X )

17 Propriedades da Variância. A variância de uma constante é zero. V ( K) 0. Multiplicando-se uma variável aleatória por uma constante sua variância fica multiplicada pelo quadrado da constante. V ( KX ) 3. Somando-se ou subtraindo-se uma constante à variável aleatória, sua variância não se altera. 4. A variância da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias é dada por: V ( X ± Y ) V ( X ) + V ( Y ) ± cov( X, Y ) Onde K V ( X ) V ( K ± X ) V ( X ) OBS.: Quando X e Y são variáveis aleatórias independentes, E( XY) E( X ) E( Y), conseqüentemente, cov(x,y)0, logo [ ][ ] { } cov( X, Y) E X E( X ) Y E( Y) E( XY) E( X ) E( Y) V ( X ± Y) V ( X ) + V ( Y)

18 Exemplos: ) Se X a, em que a é uma constante, então E(X) a e Var(X) 0. ) Se Y ax + b, em que a e b são constantes, então e E(Y) E(aX + b) ae(x) + b Var(Y) Var(aX + b) a Var(X).

19 Exemplo 3 Considere a variável aleatória discreta X: Calcule a Var(X) x i 0 p(x i ) /4 / / , ) ( ) ( i i x i p x X E + + 3, ) ( ) ( i i x i p x X E 3 3 () 3 )] ( [ ) ( ) ( X E X E X Var

20 Exemplo 4 Uma livraria mantém extensos registros das vendas diárias dos livros. Com os dados coletados construiu a seguinte distribuição de probabilidade da variável aleatória X número de livros vendidos por semana: x i p(x i ) 0,05 0,5 0,4 0,0 0,08 0,0 a) Calcule o número esperado de livros vendidos por semana. b) Calcule a Var(X). c) Calcule a probabilidade de se vender mais que livros vendidos por semana. d) Calcule a probabilidade de se vender no máximo um livro. e) O lucro da livraria é obtido através da relação Y3X +X-. Qual o lucro esperado da livraria?

21 Exemplo 5 Considere uma variável aleatória X com a seguinte função de probabilidade: P( X k) c, para k, 3, 5 c, para k, 4 a) Determine o valor da constante "C" que torna legítima a função de probabilidade acima. b) Calcule a P(X>), P(X 3), P(X 4), P(5/<X 5).

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