PROJETO E ANÁLISES DE EXPERIMENTOS (PAE) INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS ESTATÍSTICOS EM ENGENHARIA

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1 PROJETO E ANÁLISES DE EXPERIMENTOS (PAE) INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS ESTATÍSTICOS EM ENGENHARIA

2 VARIABILIDADE NA MEDIDA DE DADOS CIENTÍFICOS Se numa pesquisa, desenvolvimento de um processo ou produto, o valor observado na medida de uma propriedade fosse sempre a mesma, assim como atingisse sempre a meta, não haveria a necessidade de MÉTODOS ESTATÍSTICOS Na etapa coleta de dados científicos em uma pesquisa ou processo de manufatura, a medida de uma propriedade específica não será sempre a mesma MÉTODOS ESTATÍSTICOS foram desenvolvidos para contribuir com o processo de realizar JULGAMENTOS CIENTÍFICOS diante de INCERTEZA E VARIAÇÃO Os métodos estatísticos utilizam as leis fundamentais da PROBABILIDADE e da INFERÊNCIA ESTATÍSTICA para chegar a conclusões sobre tais problemas

3 MÉTODO CIENTÍFICO (OU DE ENGENHARIA) vs MÉTODO ESTATÍSTICO MÉTODO CIENTÍFICO: Procedimento para formular e resolver problemas de interesse da sociedade, pela aplicação eficiente de PRINCÍPIOS CIENTÍFICOS MÉTODO ESTATÍSTICO: Metodologia para nos ajudar a entender a VARIABILIDADE, isto é, sucessivas observações de um sistema ou fenômeno não produzem exatamente o mesmo resultado Método Científico Método Estatístico Leis Físicas Amostra Variabilidade Projeto ou Desenvolvimento Inferência Estatística População

4 USO DE PROBABILIDADE NOS MÉTODOS ESTATÍSTICOS Cálculos de Probabilidades nos permitem quantificar a força ou confiança de nossas conclusões à cerca de um experimento Os conceitos probabilísticos formam o principal componente que completa os métodos estatísticos e auxilia a medir a força da inferência estatística PROBABILIDADE DE UM EVENTO: Se um experimento pode resultar em qualquer um de N diferentes resultados equiprováveis, e se exatamente n desses resultados correspodem ao evento A, então a PROBABILIDADE do evento A é:

5 USO DE PROBABILIDADE NOS MÉTODOS ESTATÍSTICOS EXEMPLO 1: Uma sala de aula de uma disciplina inicial de um curso de engenharia consiste de 25 estudandes de engenharia industrial, 10 de mecânica, 10 de elétrica e 8 de engenharia civil. Se uma pessoa é selecionada aleatoriamente pelo professor para responder a uma pergunta, determine a probabilidade de que o (a) estudante escolhido (a) seja, Um estudante de engenharia industrial (I) Um estudante de engenharia mecânica (M) Um estudante de engenharia eletríca (E) Um estudante de engenharia civil (C)

6 USO DE PROBABILIDADE NOS MÉTODOS ESTATÍSTICOS

7 USO DE PROBABILIDADE NOS MÉTODOS ESTATÍSTICOS EXEMPLO 2: Calcule a probabilidade de ganhar o prêmio máximo da Mega Sena fazendo jogadas com as seguintes quantidades de dezenas 6 dezenas 8 dezenas 10 dezenas 15 dezenas Cálculos envolvendos combinações simples dos números selecionados e o total das possíveis combinações simples dos 60 números Aplicação do conceito de probabilidade

8 USO DE PROBABILIDADE NOS MÉTODOS ESTATÍSTICOS

9 MEDIDAS LOCALIZAÇÃO: MÉDIA E MEDIANA

10 MEDIDAS DE VARIABILIDADE: VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO Medidas de localização em uma amostra ou população não fornecem uma síntese apropriada da natureza do conjunto de dados A variabilidade em um conjunto de dados desempenha um papel importante para uma análise mais confiável Não é possível tirar conclusões confiáveis a cerca de um fenômeno sem levar em conta a variabilidade dos dados A variância (s 2 ) e o desvio padrão (s) são os parâmetros mais utilizados

11 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA Um ou mais conjuntos de dados podem ser descritos pelo uso da Distribuição de Frequência, na qual os dados são agrupados em diferentes classes ou intervalos Considere o conjunto de dados obtidos de uma amostra aleatória de 40 medidas que representa as estaturas dos alunos de uma escola secundária Classes (cm) Quantidade Percentual 145,0 150,0 1 2,5 150,0 155,0 8 20,0 155,0 160, ,5 160,0 165, ,0 165,0 170,0 6 15,0 170,0 175,0 2 5,0

12 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA: HISTOGRAMA Número de Observações ,0 % 27,5 % 30,0 % 15,0 % 2 2,5 % 5,0 % Classes Número de Observações ,0 % 27,5 % 30,0 % 15,0 % 2 2,5 % 5,0 % Classes

13 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE Dada uma variável aleatória X, a qual assume valores x, a função f(x) é denominada função de densidade de probabilidade (distribuição de probabilidade) A função f(x) é definida no conjunto de números reais R, de acordo com as seguintes propriedades:

14 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE NORMAL A mais importante das distribuições de probabilidade contínuas em todo o campo da Estatística é a Distribuição Normal A distribuição normal descreve muitos fenômenos que ocorrem na natureza, na indústria e nas pesquisas Medições de grandezas físicas, medições de peças manufaturadas, quantidade de defeitos, por exemplo, são bem explicadas pela distribuição normal Erros em medições científicas são muito bem aproximados pela distribuição normal

15 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE NORMAL A equação matemática para a distribuição de probabilidade da variável normal X depende de dois parâmetros, µ e σ, sua média e seu desvio padrão

16 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE NORMAL A área abaixo da curva delimitada pelas duas ordenadas x = x 1 e x = x 2 é igual a probabilidade de que a variável aleatória X assuma um valor entre os limites

17 DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO Com o objetivo de facilitar a resolução da integral, as observações da variável aleatória X são transformadas em um novo grupo de observações de variável aleatória Z, com média 0 e variância 1

18 DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO Os resultados das integrais (áreas abaixo da curva normal padrão) são apresentados em TABELAS, cujos valores correspondem a P(Z < z), para valores de z que variam de -3,49 a 3,49. Assim, a probabilidade de que Z seja menor que 1,74 ou P(Z < 1,74) é calculada diretamente na Tabela de Distribuição Normal: P(Z < 1,74) = 0,9591. Exemplo 1: Dada uma distribuição normal padrão, determine a área abaixo da curva que está á direita de z = 1,84. P(Z > 1,84) = 1 P(Z < 1,84) = 1-0,9671 = 0,0329

19 DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO Exemplo 2: Dada uma distribuição normal padrão, determine a área abaixo da curva que está entre z = -1,97 e z = 0,86. P(-1,97 < Z < 0,86) = P( Z < 0,86) - P(Z < -1,97) = 0,8051-0,0244 = 0,7807

20 DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO Exemplo 3: Dado que X tem distribuição normal com média populacional µ = 300 e desvio padrão populacional σ = 50, determine a probabilidade de que X assuma um valor maior que 362. P(X > 362) = P(Z > 1,24) = 1 P(Z < 1,24) = 1 0,8925 = 0,1075

21 DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO Exemplo 4: Uma indústria de material elétrico fabrica lâmpadas que têm vida útil, antes de queimarem, normalmente distribuída com média populacional igual a 800 horas e desvio padrão de 40 horas. Determine a probabilidade de que uma lâmpada queime entre 778 e 834 horas P(778 < X < 834) = P(-0,55 < Z < 0,85) = P(Z < 0,85) P(Z < - 0,55) = 0,8023 0,2912 = 0,5111

22 TESTE DE HIPÓTESES Os engenheiros e cientistas enfrentam problemas complexos que precisam ser solucionados, como por exemplo, A formação de um procedimento com base em dados que possa produzir uma conclusão sobre algum sistema científico ou tecnológico O engenheiro ou cientista postula ou conjectura algo sobre um sistema O processo envolve o uso de dados experimentais e a tomada de decisão com base na análise de dados A conjectura pode ser colocada na forma de hipótese estatística Uma hipótese estatística é uma afirmação ou conjectura sobre uma ou mais populações

23 TESTE DE HIPÓTESES Nunca saberemos com absoluta certeza se uma hipótese estatística é verdadeira ou falsa, a não ser que examinemos a população inteira Uma amostra aleatória é retirada da população de interesse e os dados contidos nela são usados para fornecer evidências que apoiem ou refutem a hipótese Evidências amostrais inconsistentes com a hipótese afirmada levam à rejeição da mesma A probabilidade desempenha um papel fundamental no teste de hipótese O procedimento de decisão deve ser feito com a consciência da probabilidade de uma conclusão errada A estrutura do Teste de Hipóteses é formulada com o uso do termo de hipótese nula, H 0, e hipótese alternativa, H 1.

24 TESTE DE HIPÓTESES A hipótese alternativa costuma representar a questão a ser respondida, a teoria a ser testada A hipótese nula anula ou opõe-se a H 1. O analista chega a uma das duas conclusões: Rejeitar H 0 : a favor de H 1, pois há evidência suficiente nos dados Não rejeitar H 0 : pois NÃO há evidência suficiente nos dados Por exemplo: um engenheiro postula que a fração de rejeitos em um processo produtivo é 10 %, porém pode ser que a mesma exceda 10 %: H 0 = 10 % H 1 > 10 %

25 TESTE DE HIPÓTESES Para executar o teste de hipóteses efetuamos cálculos estatísticos, baseado em dados obtidos de uma variável aleatória O procedimento de decisão poderia levar a duas conclusões errôneas: Erro tipo I: rejeição da hipótese nula quando ela é verdadeira Erro tipo II: não rejeição da hipótese nula quando ela é falsa A probabilidade de cometer um erro tipo I é chamado de nível de significância, α, isto é α = P(rejeitar H 0 H 0 é verdadeira) β = P(não rejeitar H 0 H 0 é falsa) É mais comum usar o valor p, ou seja, o nível de significância (α) mais baixo para o qual o valor observado da estatística de teste é significante

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