Física Geral - Laboratório. Aula 2: Organização e descrição de dados e parâmetros de dispersão e correlação

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1 Física Geral - Laboratório Aula 2: Organização e descrição de dados e parâmetros de dispersão e correlação 1

2 Física Geral - Objetivos Ao final do período, o aluno deverá ser capaz de compreender as principais características do método científico; realizar medições de comprimentos com instrumentos de escala direta; construir tabelas e histogramas; caracterizar, do ponto de vista da estatística descritiva, quaisquer conjuntos de medidas diretas. 2

3 Física Geral Bibliografia: Estimativas e Erros em Experimentos de Física (EdUERJ) Organizar e descrever conjuntos genéricos de dados (cap 2.); Estimar erros em medidas diretas (cap. 3) e indiretas (cap. 4) Determinar parâmetros físicos a partir de ajustes lineares (cap. 4) 3

4 Resumo: conjuntos de dados Idades dos estudantes: {18; 19; 18} (anos) Medidas do comprimento de uma mesa: {150,3; 152,0; 150,4; 151,8} (cm) Tipo sanguíneo dos estudantes de FG:... { O- ; A- ; O+ } Mesa Comprimento (cm) 1 150, , , ,8 4

5 Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas Para um conjunto de dados (de idades): {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) 5

6 Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas Para um conjunto de dados (de idades): {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) Escolha 1: Classe de idades (anos) Frequências

7 Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas Para um conjunto de dados (de idades): {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) Escolha 1: Classe de idades (anos) Frequências Classe de idades (anos) Frequências [6, 7) 1 [7, 8) 3 [8, 9) 3 [9, 10) 3 [10, 11) 6 [11, 12) 1 [12, 13) 3 [13, 14) 1 [14, 15) 2 [15, 16) 1 5

8 Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas Para um conjunto de dados (de idades): Escolha 1: {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) 6 7 Classe de idades (anos) Frequências Classe de idades (anos) Frequências [6, 7) 1 [7, 8) 3 [8, 9) 3 [9, 10) 3 [10, 11) 6 [11, 12) 1 [12, 13) 3 [13, 14) 1 [14, 15) 2 [15, 16) 1 5

9 Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas Para um conjunto de dados (de idades): Escolha 1: {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) 7 8 Classe de idades (anos) Frequências Classe de idades (anos) Frequências [6, 7) 1 [7, 8) 3 [8, 9) 3 [9, 10) 3 [10, 11) 6 [11, 12) 1 [12, 13) 3 [13, 14) 1 [14, 15) 2 [15, 16) 1 5

10 Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas Para um conjunto de dados (de idades): Escolha 1: {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) 8 9 Classe de idades (anos) Frequências Classe de idades (anos) Frequências [6, 7) 1 [7, 8) 3 [8, 9) 3 [9, 10) 3 [10, 11) 6 [11, 12) 1 [12, 13) 3 [13, 14) 1 [14, 15) 2 [15, 16) 1 5

11 Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas Para um conjunto de dados (de idades): {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) Escolha 1: Classe de idades (anos) Frequências [6, 7) 1 [7, 8) 3 [8, 9) 3 [9, 10) 3 [10, 11) 6 [11, 12) 1 [12, 13) 3 [13, 14) 1 [14, 15) 2 [15, 16) 1 6

12 Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas Para um conjunto de dados (de idades): Escolha 1: {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) Escolha 2: Classe de idades (anos) Frequências [6, 7) 1 [7, 8) 3 [8, 9) 3 [9, 10) 3 [10, 11) 6 [11, 12) 1 [12, 13) 3 Classe de idades (anos) Frequência [6, 8) 4 [8, 10) 6 [10, 12) 7 [12, 14) 4 [14, 16) 3 [13, 14) 1 [14, 15) 2 [15, 16) 1 6

13 Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas Conjunto de idades: {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) Classe de idades (anos) Frequência [6, 8) 4 [8, 10) 6 [10, 12) 7 [12, 14) 4 [14, 16) 3 7

14 Resumo: organizando conjuntos de dados em Histogramas Conjunto de idades: {10, 7, 10, 11, 10, 15, 8, 12, 14, 9, 6, 8, 7, 14, 10, 10, 7, 12, 12, 9, 13, 10, 9, 8} (anos) Classe de idades (anos) Frequência [6, 8) 4 [8, 10) 6 [10, 12) 7 [12, 14) 4 [14, 16) 3 7

15 Resumo: parâmetros de posição i) Média: Valor médio de um conjunto de dados {x1, x2,..., xn} ou de dados agrupados em M classes (intervalos) com ponto médio {x1, x2,..., xm} e frequência {n1, n2,..., nn} x = 1 N ii) Moda: Valor mais frequente de um conjunto de dados {x1, x2, x3,..., xn} (ponto médio da classe de maior frequência) v u iii) Média quadrática: raiz quadrada da média x rms = t 1 N dos quadrados dos dados x i x = 1 N MX j=1 x j n j x 2 i iv) Mediana: valor que divide uma distribuição ordenada de dados de forma que a metade dos dados está acima, e metade está abaixo deste valor. 8 x med = x (N+1)/2 x med = x N/2 + x (N/2+1) 2

16 Parâmetros de dispersão i) Amplitude: Diferença entre os valores máximo e mínimo de uma coleção de dados {x1, x2,..., xn} A = x max x min 9 Física Física Geral Geral Aula - Aula 1 1

17 Parâmetros de dispersão ii) Desvio médio: Média dos módulos dos desvios, em relação à média x = 1 N x i = 1 N x i x = x 1 x x N x N 10 Física Física Geral Geral Aula - Aula 1 1

18 Parâmetros de dispersão iii) Variância: Média dos quadrados dos desvios (δxi) 2 x = 1 N ( x i ) 2 = 1 N (x i x) 2 = (x 1 x) (x N x) 2 N Note que a expressão para a variância pode ser simplificada por: 2 x = 1 N x 2 i 1 N x i! 2 = x 2 x 2 11 Física Física Geral Geral Aula - Aula 1 1

19 Parâmetros de dispersão iv) Desvio padrão: Raiz quadrada da variância, ou média quadrática dos desvios x = v u t 1 N ( x i ) 2 = s (x 1 x) (x N x) 2 N x = q x 2 x 2 12 Física Física Geral Geral Aula - Aula 1 1

20 Resumo: parâmetros de dispersão 13 Física Geral Aula 1

21 Resumo: parâmetros de dispersão i) Amplitude: Diferença entre os valores máximo e mínimo de uma coleção de dados {x1, x2,..., xn} A = x max x min 13 Física Geral Aula 1

22 Resumo: parâmetros de dispersão i) Amplitude: Diferença entre os valores máximo e mínimo de uma coleção de dados {x1, x2,..., xn} A = x max x min ii) Desvio médio: Média dos módulos dos desvios, em relação à média x = 1 N x i = 1 N x i x = x 1 x x N x N 13 Física Geral Aula 1

23 Resumo: parâmetros de dispersão i) Amplitude: Diferença entre os valores máximo e mínimo de uma coleção de dados {x1, x2,..., xn} A = x max x min ii) Desvio médio: Média dos módulos dos desvios, em relação à média x = 1 N x i = 1 N iii) Variância: Média dos quadrados dos desvios (δxi) Note que a expressão para a variância pode ser simplificada por: 2 x = 1 N x i x = x 1 x x N x N ( x i ) 2 = 1 N 2 x = 1 N x 2 i (x i x) 2 = (x 1 x) (x N x) 2 N 1 N! 2 x i = x 2 x 2 13 Física Geral Aula 1

24 Resumo: parâmetros de dispersão iv) Desvio padrão: Raiz quadrada da variância, v ou média quadrática dos desvios u x = x = q x 2 x 2 u t 1 N ( x i ) 2 = s (x 1 x) (x N x) 2 N 14 Física Geral Aula 1

25 Resumo: parâmetros de dispersão iv) Desvio padrão: Raiz quadrada da variância, v ou média quadrática dos desvios u x = x = q x 2 x 2 u t 1 N ( x i ) 2 = s (x 1 x) (x N x) 2 N v) Largura a meia altura: Comprimento do intervalo limitado pelos valores (x1,x2) correspondentes à metade da frequência máxima f max Símbolo: = x 2 x 1 f max /2 Γ 14 x1 2 Física x Geral x Aula 1

26 Atividade de aula 1- Obtenha as coleções de dados das idades, massas e alturas de todos os estudantes da turma de Física Geral 2- Construa uma tabela com os dados ordenados 3- Defina as classes de agrupamento (intervalos) dos dados relativos a cada atributo (idade, massa, altura) 4- Construa tabelas com as frequências de cada classe de agrupamento e para cada atributo 5- Em um papel milimetrado, construa os histogramas para a partir das tabelas de frequências 6- Compute o valor máximo, o valor mínimo, a média, a moda, a média quadrática e a mediana para cada coleção de dados 15 Física Geral Aula 2

27 Atividade - Aula T.1 Estudante Idade (anos) Massa (Kg) Altura (cm)

28 Atividade - Aula 1 Idade (anos) Nr. de estudantes [17,19) 11 [19,21) 9 [21,23) 4 [23,25) 1 [25,27) 1 [27,29) 0 [29,31) 0 [31,33) 0 [33,35) 0 [35,37) 1 17

29 Atividade - Aula 1 Massa (Kg) Nr. de estudantes [45,50) 1 [50,55) 0 [55,60) 4 [60,65) 2 [65,70) 6 [70,75) 6 [75,80) 0 [80,85) 3 [85,90) 2 [90,95) 0 [95,100) 1 [100,105) 0 [105,110) 0 [110,115) 1 [115,120) 0 [120,125) 0 [125,130) 0 [130,135 0 [135,140) 1 18

30 Atividade - Aula 1 Estudante Altura Nr. de (cm) Altura (cm) 1 estudantes [160,163) [163,166) [166,169) [169,172) [172,175) [175,178) [178,181) [181,184)

31 Representando duas variáveis Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)} Exemplo: Considere N = 1 um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) (x1, y1) 20

32 Representando duas variáveis Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)} Exemplo: Considere N =3 (x3, y3) um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) (x1, y1) (x2, y2) 21

33 Representando duas variáveis Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)} Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) N = 6 22

34 Representando duas variáveis Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)} Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) N = 12 23

35 Representando duas variáveis Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)} Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) N = 20 24

36 Representando duas variáveis Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)} Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) N = 50 25

37 Representando duas variáveis Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)} Exemplo: Considere um conjunto de dados de duas variáveis (x,y) N =

38 Representando duas variáveis Diagrama de dispersão: Gráfico representando medidas em duas variáveis {(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)} Outro exemplo: dados de altura e massa de uma lista de estudantes: 27

39 Parâmetros de correlação i) Covariância: média dos produtos dos desvios nas duas variáveis (δxi e δyi) xy = 1 N x i y i = 1 N (x i x)(y i ȳ) = (x 1 x)(y 1 ȳ)+... +(x N x)(y N ȳ) N 28

40 Parâmetros de correlação i) Covariância: média dos produtos dos desvios nas duas variáveis (δxi e δyi) xy = 1 N x i y i = 1 N (x i x)(y i ȳ) = (x 1 x)(y 1 ȳ)+... +(x N x)(y N ȳ) N Note que a expressão para a covariância pode ser simplificada por: xy = xy xȳ 28

41 Parâmetros de correlação i) Covariância: média dos produtos dos desvios nas duas variáveis (δxi e δyi) xy = 1 N x i y i = 1 N (x i x)(y i ȳ) = (x 1 x)(y 1 ȳ)+... +(x N x)(y N ȳ) N Note que a expressão para a covariância pode ser simplificada por: xy = xy xȳ e que não importa a ordem das variáveis: xy = yx 28

42 Parâmetros de correlação: covariância Covariância: xy = 1 N (x i x)(y i ȳ) 29

43 Parâmetros de correlação: covariância Covariância: xy = 1 N (x i x)(y i ȳ) ȳ 0 x 0 29

44 Parâmetros de correlação: covariância Covariância: xy = 1 N (x i x)(y i ȳ) ȳ 0 xy > 0 x 0 29

45 Parâmetros de correlação: covariância Covariância: xy = 1 N (x i x)(y i ȳ) 30

46 Parâmetros de correlação: covariância Covariância: xy = 1 N (x i x)(y i ȳ) ȳ 0 x 0 30

47 Parâmetros de correlação: covariância Covariância: xy = 1 N (x i x)(y i ȳ) ȳ 0 xy < 0 x 0 30

48 Parâmetros de correlação ii) Coeficiente de correlação linear de Pearson: covariância entre duas variáveis, dividida por seus desvios padrão r = x xy y 1 r apple 1 Correlação linear, perfeita e positiva: r =1 Correlação linear, perfeita e negativa: r = 1 31

49 Atividade - Aula 1 Idade (anos) Massa (Kg) Altura (cm)

50 Atividade - Aula 1 Idade (anos) Massa (Kg) Altura (cm)

51 Atividade - Aula 1 Idade (anos) Massa (Kg) Altura (cm)

52 Atividade de aula 1- Com as coleções de dados das idades, massas e alturas dos estudantes da turma de Física Geral: i) Obtenha a variância e o desvio-padrão para cada atributo ii) Covariância de todos os pares de variáveis (massa x idade, altura x idade, altura x massa) e respectivo coeficiente de correlação 2- Exercícios do livro Estimativas e erros em Experimentos de Física 35