ESTATÍSTICA PROFESSOR: ALEXSANDRO DE SOUSA

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1 E.E. Dona Antônia Valadares MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - 3º ANO ESTATÍSTICA PROFESSOR: ALEXSANDRO DE SOUSA

2 ESTATÍSTICA Origem no latim Status (estado) + isticum (contar) Informações referentes ao estado Coleta, Organização, Descrição, Análise e Interpretação de Dados

3 Estatística é a ciência que tem por objetivo orientar a coleta, o resumo, a apresentação, a análise e a interpretação de dados. Podem ser identificadas duas grandes áreas de atuação desta ciência: Estatística Descritiva: é o ramo da estatística voltada para a organização, o resumo e a descrição de conjuntos de dados. Inferência Estatística: é o ramo da estatística que utiliza dados obtidos de uma amostra para fazer estimativas ou testar hipóteses sobre características de interesse de uma população.

4 Razões para entender Estatística Descrever e apresentar informações de forma adequada. Tirar conclusões sobre grandes populações baseado na informação obtida da amostra. Saber melhorar processos baseado em informações amostrais. Obter previsões confiáveis. Para aqueles que tomam decisões, o principal papel da estatística é fornecer-lhes os métodos para obtenção e conversão de dados (valores, fatos, observações ou medições) em informações úteis.

5 ESTATÍSTICA Uma representação didática Dados Informação Decisão Estatística Conhecimento

6 População, amostra e dados População: é a coleção de todos os elementos de interesse num estudo Amostra: é uma porção da população Exemplo: Pesquisa eleitoral na cidade de Divinópolis - MG População: Todos os eleitores da cidade de Divinópolis Amostra: 2000 eleitores da cidade de Divinópolis Cada um dos 2000 eleitores pesquisados, darão suas opiniões e a essas opiniões chamamos de dados. Dados: são as informações obtidas de uma unidade experimental ou de observação.

7 Características desconhecidas Técnicas de amostragem Amostra Inferência estatística População Características conhecidas

8 Deseja-se fazer uma pesquisa para estimar a preferência dos cariocas para a prefeitura Como selecionar uma amostra de n pessoas (n grande) dentre os moradores do município?

9 Esta amostra é representativa da população?

10 Esta amostra é representativa da população?

11 Esta amostra é representativa da população?

12 Variável Suponha que tenhamos interesse em saber o perfil dos professores dos cursos superiores de Divinopolis. Podemos estar interesssados em conhecer várias características desses profissionais como: Salário Escolaridade Número de especializações Quantidade de línguas estrangeiras que domina, A cada uma dessas características denominamos variável. Variável: é toda característica que, observada em uma unidade experimental, pode variar de uma unidade para outra.

13 Tipos de variáveis É de interesse classificar as variáveis de acordo com suas características pois existem técnicas estatísticas e apresentações mais adequadas para cada tipo de variável. Qualitativa Quantitativa Nominal Ordinal Contínua Discreta sexo, cor dos olhos ou cabelo, esporte favorito (não tem uma relação de ordem entre eles) classe social, grau de instrução (incluem uma relações de ordem) peso, altura, salário, idade (valores são medidos numa escala métrica e onde todos os valores fracionários são possíveis) número de filhos, número de carros,números de meninas por turma (valores são medidos numa escala métrica e porém só admitem valores inteiros)

14 Turma com 46 alunos do curso de medicia Idade Instituição de Ensino Variáveis Qualitativa Quantitativa Estatística Descritiva A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A Pública Privada Privada Privada Privada Pública Privada Privada A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A Pública Privada Privada Privada Privada Privada Privada Privada A17 A18 A19 A20 A21 A22 A23 A Privada Privada Privada Privada Cenec Cenec Privada Privada A25 A26 A27 A28 A29 A30 A31 A Privada Pública Privada Privada Privada Privada Privada Privada A33 A34 A35 A36 A37 A38 A39 A Privada Privada Privada Privada Privada Privada Privada Privada A41 A42 A43 A44 A45 A Privada Privada Privada Privada Privada Privada

15 Rol: é o arranjo dos dados brutos em ordem de frequência crescente ou decrescente Tabela 1 Idades dos alunos do curso Medicina

16 Dados organizados em uma tabela Idade Alunos Freqüência Absoluta(F A) Freqüência Relativa (FR) /46 = 10,86 % /46 = 56,52 % /46 = 15,21 % /46 = 2,17 % /46 = 2,17 % /46 = 4,34 % /46 = 4,34 % /46 = 4,34 % % Tabela 2 Idades dos alunos do Curso de Medicina

17 número de alunos MATEMÁTICA, 9º Ano Dados organizados em um gráfico de colunas 30 Anglo Medicina 2009 Alunos do curso de medicina Idade

18 Dados organizados em setores circulares ( torta ou pizza ) Anglo Medicina 2009 Alunos do curso de medicina

19 GRÁFICOS Os gráficos estatísticos são representações dos dados estatísticos, com o objetivo de permitir uma visão mais completa e rápida dos fatos estudados.

20 A representação gráfica deve ser utilizada levando-se em conta algumas qualidades essenciais básicas para a construção destes: Simplicidade: as informações contidas em um gráfico devem ser diretas e detalhes secundários devem ser omitidos; Ás vezes na construção de um gráfico o ideal é a forma mais simples e direta de apresentação. Clareza: as informações devem ser claras possibilitando uma interpretação correta sem dúvidas sobre os resultados; Veracidade: o gráfico deve expressar a verdade sobre os dados estudados.

21 GRÁFICOS Principais tipos de gráficos: Diagramas Gráficos geométricos dispostos em, no máximo, duas dimensões. Cartogramas Ilustrações relativas a cartas geográficas, utilizadas Geografia, História e Demografia. Pictogramas Processo gráfico no qual constam figuras. em

22 Diagramas Gráfico em linha ou em curva. Gráfico em colunas ou em barras. Gráfico em colunas ou em barra múltiplas. Gráfico em setores. Cartogramas Pictogramas

23 GRÁFICOS EM LINHA OU EM CURVA Utiliza uma linha poligonal. Utiliza o Sistema de Coordenadas Cartesianas.

24 GRÁFICOS EM LINHA OU EM CURVA

25 GRÁFICO EM COLUNAS Utiliza retângulos dispostos verticalmente. Os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos respectivos dados.

26 GRÁFICO EM COLUNAS

27 GRÁFICOS EM BARRAS Utiliza retângulos dispostos horizontalmente. Os retângulos têm a mesma altura e os comprimentos das bases são proporcionais aos respectivos dados

28 GRÁFICO EM COLUNAS/BARRAS MÚLTIPLOS Representa simultaneamente dois ou mais fenômenos estudados com o objetivo de comparálos.

29 Gráficos de pizza. GRÁFICO EM SETORES Construído com base em um círculo, dividido em setores, de acordo com o numero de parcelas. Os disponíveis no círculo são repartidos proporcionalmente. Regra de 3 simples, onde a soma de todas as parcelas corresponde a Ressalta a participação de cada parcela no todo.

30 GRÁFICO EM SETORES

31 CARTOGRAMA Representam a cartas geográficas Objetivo: apresentar dados estatísticos relacionados com áreas geográficas ou políticas. Utilizado em Geografia, História e Demografia. Dados absolutos (população): pontos em numero proporcional aos dados. Dados relativos (densidade): hachuras ou cores.

32 CARTOGRAMA

33 CARTOGRAMAS Taxa de mortalidade infantil em grupo de 1000 nascimentos nas regiões brasileiras em 1984

34 CARTOGRAMAS

35 CARTOGRAMAS

36 Processo gráfico no qual constam figuras. PICTOGRAMAS População Urbana no Brasil em 1980 (x10)

37 PICTOGRAMAS

38 EXERCÍCIOS Considere os dados da tabela e faça a representação da série em gráfico em linhas; em colunas; em barras; em setores;

39 EXERCÍCIOS

40 CÁLCULO NUMÉRICO DE MEDIDAS AMOSTRAIS Medidas de Tendência Central Média Mediana Moda Medidas de Dispersão Variância Desvio Padrão

41 MÉDIA É um valor típico representativo de um conjunto de dados. Fisicamente representa o ponto de equilíbrio da distribuição. Modo de calcular x = S x / n S x = Soma dos valores n = tamanho da amostra x = ( ) 8 x = 18,75

42 x f fx Total x = S fx / n S fx = Soma dos produtos dos valores distintos com a frequência n = tamanho da amostra x = 134 x = 4,

43 Cálculo para agrupamentos em classes Classes f x fx , ,5 277, ,5 332, , ,5 442,5 Total ,5 x = S fx / n S fx = Soma dos produtos dos valores distintos com a frequência n = tamanho da amostra x = 1695,5 x = 67,82 25

44 MEDIANA É o valor que ocupa a posição central de um conjunto de dados ordenados. Para um número par de termos a mediana é obtida através da média aritmética dos dois valores intermediários. Interpretação: 50% dos valores estão abaixo ou coincidem com a mediana e 50% estão acima ou coincidem com a mediana.

45 Cálculo da mediana PMd =(n+1) / 2 PMd = (9+1) / 2 PMd = 5 o Termo Mediana (Md) = 6

46 Cálculo da mediana para valores distintos x f fa o o o o o o o Total 28 - PMd =(n+1) / 2 PMd = (28+1) / 2 PMd = 14,5 x entre 14 o e 15 o Termo Mediana (Md) = 5

47 Cálculo da mediana para agrupamentos em classes Classes f x fa ,5 4 º ,5 9 º ,5 14 º ,5 20 º ,5 25 o PMd =(n+1) / 2 PMd = (25+1) / 2 PMd = 13 o Termo Classe Mediana Mediana (Md) = 66,5 (estimativa) Total

48 MODA É o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados. Símbolo = Mo Exemplos: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 AMODAL 2, 3, 3, 4, 5, 6,7 MODA = 3 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6 BIMODAL (Mo = 3 e Mo = 5)

49 3) Moda para agrupamentos em classes Classes f x fa ,5 4 º ,5 9 º ,5 14 º ,5 20 º ,5 25 o Total Moda Bruta Ponto médio da classe de maior frequência Mo = 77,5 É uma estimativa

50 EXERCÍCIO N o 1 Determine a média, a mediana e a moda para o seguinte conjunto de dados

51 EXERCÍCIO N o 2 Determine o menor valor, o maior valor, a média, a mediana e a moda para o seguinte conjunto de dados

52 Medidas de Dispersão: Vimos que um conjunto de valores pode ser convenientemente sintetizado, por meio de procedimentos matemáticos, em poucos valores representativos - média aritmética, mediana e moda. Para qualificar os valores de uma dada variável, ressaltando a maior ou menor dispersão ou variabilidade entre esses valores e a sua medida de posição, a Estatística recorre às medidas de dispersão ou de variabilidade.

53 Considere a seguinte situação: Dois candidatos disputam uma única vaga em uma empresa. Foram realizados vários testes com esses dois candidatos: Eduardo e Vicente. A tabela a seguir mostra os desempenhos dos dois candidatos nesses testes:

54

55 Tabela de Desempenho Eduardo Vicente Português 8,5 9,5 Matemática 9,5 9,0 Física 8,0 8,5 Inglês 7,0 8,0 Espanhol 7,0 5,0

56 Note que as médias de Eduardo e Vicente são iguais: Eduardo: x E 8,5 9, ,0 Vicente: x V 9,5 9 8, ,0

57 Os dois candidatos obtiveram a mesma média! Como proceder matematicamente para determinar qual dos dois teve o melhor desempenho na avaliação? A comparação entre os dois desempenhos pode ser feita através das seguintes medidas estatísticas:

58 I) Desvio absoluto médio(d.am.) Determina o quanto cada nota está afastada da média. Essas diferenças são chamadas de desvio: Exemplo: D.A.M(Eduardo) : 8,5 8 9, D. A. M 5 0,8

59 Vicente: 9, , D. A. M 1,2 5

60 Conclusão: As notas de Eduardo estão, em média, 0,8 acima ou abaixo da média, enquanto as notas de Vicente estão, em média, 1,2 acima ou abaixo da média aritmética (8,0). Isso mostra que as notas de Eduardo são menos dispersas que as notas de Vicente. Então: Eduardo merece a vaga.

61 VARIÂNCIA É uma outra medida estatística que indica o afastamento de uma amostra em relação a média aritmética. ( 2 ) Define-se Variância como a média aritmética dos quadrados dos desvios dos elementos da amostra:

62 Exemplo: Eduardo (8,5 8) (9,5 8) (8 8) 2(7 8) 5 Vicente: 2 2 0, (9,5 8) (9 8) (8,5 8) (8 8) (5 8) 2 2, 5 5

63 Conclusão Por esse processo, as notas de Eduardo são menos dispersas que as notas de Vicente. Quanto menor a variância, menos dispersas são as notas. Logo, Eduardo teve um desempenho mais regular.

64 Desvio Padrão Desvio Padrão é a raiz quadrada da Variância. Eduardo: 0,9 0, Vicente: 2, 5 1, 58114

65 Conclusões Logo, por esse processo, as notas de Eduardo são menos dispersas que as notas de Vicente. Quanto menor for o desvio padrão, menos dispersas são as notas. Conclusão: Eduardo é sempre melhor que Vicente.

66 Exercício Considere as seguintes medidas descritivas das notas finais dos alunos de três turmas:

67 Turma Número de Alunos Média Desvio Padrão A 15 6,0 1,31 B 15 6,0 3,51 C 14 6,0 2,61

68 Com base nesses dados, considere as seguintes afirmativas: 1. Apesar de as médias serem iguais nas três turmas, as notas dos alunos da turma B foram as que se apresentaram mais heterogêneas. 2. As três turmas tiveram a mesma média, mas com variação diferente. 3. As notas da turma A se apresentaram mais dispersas em torno da média.

69 Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa 3 é verdadeira. b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. d) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. e) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.

70 (1) Verdadeira. Como o desvio padrão dessa turma é o mais alto, as notas são as mais dispersas, portanto mais heterogêneas. (2) Verdadeira. Cada turma tem um desvio padrão diferente, logo as variações são diferentes. (3) Falsa. Como o desvio padrão dessa turma é o menor, suas notas são menos dispersas. OPÇÃO D

71 ENEM 2010

72 A) Marco, pois a média e a mediana são iguais. B) Marco, pois obteve o menor desvio padrão. C) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 pontos em Português. D) Paulo, pois obteve a maior mediana. E) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.

73 Resposta certa letra... B

74 A distribuição dos salários de uma empresa é dada na tabela a seguir: Salário(em Reais) 500, , , , , ,00 1 Total 31 Número de Funcionários Calcule a média, a mediana e a moda dos salários dessa empresa?

75 Solução:a) A média (aritmética) é o quociente entre o produto das variáveis pela frequência em que ocorreram e o total de dados:

76 x E ,00 A mediana é o elemento que ocupa a posição que divide os valores ordenados em subconjuntos de mesma quantidade. Como há 31 dados. A Mediana ocupará a 16ª posição ou seja, R$1.500,00. Moda= R$500,00 e Moda =R$2.000,00(BIMODAL)