ESTATÍSTICA PROFESSOR ARGEU CARDIM. Só Concursos e Afins - (71)

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1 ESTATÍSTICA PROFESSOR ARGEU CARDIM 1

2 NOÇÕES DE ESTATÍSTICA A realização de uma pesquisa envolve muitas etapas, como a escolha de uma amostra, a coleta e organização dos dados (informações), o resumo desses dados (em tabelas, gráficos etc) e a interpretação dos resultados. A parte das ciências que trata desses assuntos é a Estatística. INTRODUÇÃO A ESTATÍSTICA 1) DEFINIÇÃO É a parte da matemática que trabalha com a coleta, organização, apresentação, análise e interpretação de dados, visando uma tomada de decisão. Vale lembrar que a ferramenta principal da estatística é a pesquisa. 2) CONCEITOS INICIAIS 2.1) A ESTATÍSTICA DESCRITIVA: 2.2) A ESTATÍSTICA INFERENCIAL: 2.3) POPULAÇÃO: 2.4) AMOSTRA: 2.5) AMOSTRAGEM: 2.6) CENSO: 2.7) CLASSIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS ESTATÍSTICA: 2.7.1) VARIÁVEL QUANTITATIVA: 2.7.2) VARIÁVEL QUALITATIVA: 2

3 3) CLASSIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS ESTATÍSTICAS Discretas (Descontínuas): São variáveis de números inteiros. Ex: Quantidade de tv s; Quantidade de pessoas, idades, etc Quantitativas. VARIÁVEIS Contínuas: São variáveis de números decimais. medições. Ex: Altura, Salários, Medidas de comprimento, etc Qualitativas: Nominais: não tem ordem Ex: Pesquisa Eleitoral; Cor preferida, etc Ordinais: tem ordem (hierarquia) Ex: Patentes; Cargos, etc 4) REPRESENTAÇÃO DAS INFORMAÇÕES 4.1) DADOS BRUTOS: São os dados da forma como foram coletados (sem receber nenhum tipo de tratamento). EXEMPLO Numa pesquisa para saber o nº de TVs nas casas de uma determinada rua, obteve-se os seguintes resultados: (4;5;1;1;2;3;0;0;2;1) 4.2) ROL: São os dados colocados em ordem crescente ou decrescente (normalmente em ordem crescente...) EXEMPLO A situação acima: (0;0;1;1;1;2;2;3;4;5) 3

4 4.3) SÉRIES ESTATÍSTICAS: São dados apresentados em quadros ou tabelas, as quais expressam o resultado de um estudo estatístico. Ao observarmos a tabela devemos identificar: 1) OBJETO DO ESTUDO; 2) LOCAL; 3) ÉPOCA. Ao identificarmos esses fatos podemos classificarmos a série estatística. CLASSIFICANDO AS SÉRIES ESTATÍSTICAS 4.3.1) SÉRIE HISTÓRICA: EXEMPLO PRODUÇÃO DE MINÉRIO DE FERRO (BRASIL) ANOS QUANTIDADE (ton) ) SÉRIE GEOGRÁFICA: EXEMPLO PRODUTO INTERNO BRUTO (1980) PAÍSES US $ (Bilhões) HOLANDA 126,3 ITÁLIA 106,3 FRANÇA 103,6 PORTUGAL 92, ) SÉRIE ESPECÍFICA: EXEMPLO NÚMERO DE ALUNOS CONCLUDENTES EM SALVADOR (2010) CURSOS N DE ALUNOS DIREITO 1238 MEDICINA 567 ENGENHARIAS 1485 MATEMÁTICA 67 4

5 4.3.4) DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA: EXEMPLO Salário Frequência IMPORTANTE!!! Na distribuição de freqüência há perda de informação (a informação não é tão precisa) ) AMPLITUDE DA CLASSE: (H) É a diferença entre o limite superior ( ) e o limite inferior ( ) de uma classe, ou seja: EXEMPLO Utilizando a distribuição de freqüência acima calculando a amplitude da primeira classe, temos: Daí, notamos que a amplitude dessa classe é IMPORTANTE!!! É normal, mas não é regra, que as classes tenham a mesma amplitude ) PONTO MÉDIO DA CLASSE (PM) É o valor que está situado no meio de uma classe e para determiná-lo devemos calcular através da fórmula: EXEMPLO Utilizando a mesma distribuição de freqüência acima, vamos calcular o ponto médio da 3ª classe. Daí, o valor que está no meio da 3 classe é IMPORTANTE!!! O ponto médio da classe é o seu legítimo representante. 5

6 OBSERVAÇÃO!!! Existe um tipo de tabulação chamado de diagrama de ramos e folhas. Veja exemplo abaixo. EXEMPLO EXERCÍCIOS 1. Os clientes da Distribuidora de arroz ABC Ltda. têm fichas de cadastro numeradas consecutivamente de 261 a 973. Deve-se selecionar uma amostra aleatória de 25 pacientes para serem pesquisados quanto à "satisfação de atendimento por parte da Distribuidora". O número de elementos dessa população é: a) 712 b) 710 c) 973 d) 713 e) 800 6

7 2. Assinale a opção correta: a) Estatística Inferencial compreende um conjunto de técnicas destinadas à síntese de dados numéricos. b) O processo utilizado para se medirem as características de todos os membros de uma dada população recebe o nome de censo. c) A Estatística Descritiva compreende as técnicas por meio das quais são tomadas decisões sobre uma população com base na observação de uma amostra. d) Uma população só pode ser caracterizada se forem observados todos os seus componentes. e) Parâmetros são medidas características de grupos, determinadas por meio de uma amostra aleatória. 3. Assinale a opção correta: a) Em estatística, entende-se por população um conjunto de pessoas. b) A variável é discreta quando pode assumir qualquer valor dentro de determinado intervalo. c) Frequência relativa de uma variável aleatória é o número de repetições dessa variável. d) A série estatística é cronológica quando o elemento variável é o tempo. e) Amplitude total é a diferença entre dois valores quaisquer do atributo. 4. Os dados de um determinado estudo representam muitas variáveis para cada uma das pessoas que se submeteram ao estudo. Uma variável considerada qualitativa é a seguinte: a) Idade; b) Altura; c) Sexo; d) Peso. 5. Considerando a tabela a seguir indicada, pode-se concluir que seus dados refletem uma série: a) Especificativa ou específica; b) Geográfica; c) Temporal; d) Distribuição de frequência. PRODUTOS QUANTIDADE (ton) ARROZ AÇÚCAR MILHO FEIJÃO

8 5) TIPOS DE FREQUÊNCIAS Simples: é o número de vezes que aparece a variável Freqüência absoluta (f): Acumulada crescente Acumulada decrescente Simples Freqüência relativa (F): Acumulada crescente Acumulada decrescente Vale lembrar que frequência relativa é a razão entre a frequência absoluta e o universo, ou seja,. EXEMPLO 1 ) Calcule as freqüências acumuladas das distribuição de freqüência abaixo. a) Classes b) Classes c) Classes % % % % % 8

9 2 ) Calcule as freqüências simples das distribuição de freqüência abaixo. a) Classes b) Classes IMPORTANTE!!! DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA SIMÉTRICA: É uma distribuição de freqüências onde as classes extremas (são a 1ª e a última) e as classes eqüidistantes das extremas tem SEMPRE a mesma freqüência simples e a mesma amplitude. OBSERVAÇÃO!!! Não é freqüência acumulada, mas pode ser relativa ou absoluta. EXEMPLOS Classes Classes

10 6) TIPOS DE GRÁFICOS A estatística utiliza-se de representações gráficas para representar suas informações. Abaixo segue alguns exemplos de representações gráficas. 6.1) GRÁFICO DE SEGMENTOS A tabela que segue mostra a venda de livros em uma livraria no segundo semestre de determinado ano: Meses do 2º semestre Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro Número de livros vendidos Usando eixos cartesianos, localizamos os seis pares ordenados e construímos um gráfico de segmentos: Jul Ago Set Out Nov Dez Os gráficos de segmentos são utilizados principalmente para mostrar a evolução das freqüências dos valores de uma variável durante certo período. 6.2) GRÁFICO DE BARRAS A partir do desempenho em Química demonstrado pelos alunos de uma classe, um professor elaborou a seguinte tabela Desempenho em Química Freqüência Absoluta Freqüência Relativa Insuficiente Regular Bom Ótimo % 25% 35% 25% TOTAL % Com os dados da tabela é possível construir o gráfico de barras: 40% Porcentagem 35% 30% 25% 25% 20% 15% 10% 0% Insuf. Reg. Bom Ótimo Desempenho em Química 10

11 6.3) GRÁFICO DE SETORES Em um shopping Center há 3 salas de cinema e o número de expectadores em cada uma delas num determinado período dia da semana foi de 300 na sala A, 200 na B e 500 na C. Veja a situação representada em uma tabela de freqüência e depois em um gráfico de setores: SALA Freqüência Absoluta A 300 B C Freqüência Relativa 30% 20% 50% A 108 O B 72 O C 180 O Na construção do gráfico de setores, determina-se o ângulo correspondente a cada setor por regra de três. Veja como exemplo o da sala A: 6.4) HISTOGRAMA x 360 o x 108 o Quando uma variável tem seus valores indicados por classes, é comum o uso de um tipo de gráfico conhecido por histograma. Ex.: Consideremos a altura (em cm) dos alunos de uma classe: ALTURA (classes) Frequência Absoluta Frequência Relativa % % % % % O gráfico correspondente a tabela seria: F.A. (%) F.A Altura (cm) 11

12 6.6) POLIGONAL DE FREQUÊNCIAS É o gráfico formado a partir dos segmentos que ligam em sequência os pontos médios das bases superiores. Também é conhecido como polígono do histograma F.A. (%) Altura (cm) OBSERVAÇÃO: A mesma área que está abaixo do polígono de freqüência é a mesma área que as barras do histograma ocupa. 6.7) POLIGONAL CARACTERÍSTICO É o gráfico formado a partir do contorno do Histograma. OBSERVAÇÃO: A mesma área que está abaixo do polígono de freqüência é a mesma área que as barras do histograma ocupa. 6.8) CURVAS DE FREQUÊNCIAS É a curva formada como se fôssemos fazer o polígono de frequência, em forma de curva, não muito preocupado em passar, necessariamente, pelo ponto médio das classes, como o polígono de frequência. 12

13 EXEMPLOS DE CURVAS DE FREQUÊNCIAS Representa uma distribuição de freqüência simétrica. Representa uma distribuição de freqüência assimétrica (as maiores freqüências aconteceram nos menores valores) Representa uma distribuição de freqüência assimétrica (as maiores freqüências aconteceram nos maiores valores) 6.9) OGIVA É um tipo de Histograma que representam freqüências acumuladas 13

14 EXERCÍCIOS 1. (IRB 2006 ESAF) No campo estatístico, ogivas são: a) Polígonos de frequência acumulada; b) Polígonos de frequência acumulada relativa ou percentual; c) Histograma de distribuição de frequência; d) Histograma de distribuição de frequência relativa ou percentual; e) O equivalente à amplitude do intervalo. 2. (IRB 2006 ESAF) Histograma e Polígono de frequência são: a) A mesma representação gráfica (idênticas) de uma distribuição de frequência; b) Um texto descritivo e uma representação gráfica de uma distribuição de frequência; c) Um texto descritivo e uma função gráfica de uma distribuição de frequência; d) Duas representações gráficas de uma distribuição de frequência; e) Duas representações gráficas de uma distribuição de frequência, porém com sentidos opostos. 3. Gráficos são instrumentos úteis na análise estatística. Assinale a afirmação incorreta: a) Um histograma representa uma distribuição de frequências para variáveis do tipo contínuo. b) O gráfico de barras representa, por meio de uma série de barras, quantidades ou frequências para variáveis categóricas. c) O gráfico de setores é apropriado, quando se quer representar as divisões de um montante total. d) Um histograma pode ser construído utilizando-se, indistintamente, as frequências absolutas ou relativas de um intervalo de classe. e) Uma ogiva pode ser obtida ligando-se os pontos médios dos topos dos retângulos de um histograma. 4. (ESAF) Analise a opção correta. a) A utilização de gráficos da barra ou de colunas exige amplitude de classe constante na distribuição de frequência. b) O histograma é um gráfico construído com frequências de uma distribuição de frequências ou de uma série temporal. c) O polígono de frequência é um indicador gráfico da distribuição de probabilidade que se ajusta à distribuição empírica a que ele se refere. d) O histograma pode ser construído para a distribuição de uma variável discreta ou contínua. e) O polígono de frequência é construído unindo-se os pontos correspondentes aos limites inferiores dos intervalos de classe da distribuição de frequência. 5. Em relação aos tipos de gráficos, assinale a opção correta. a) Uma série categórica é representada por um gráfico de linha. b) Uma série cronológica é melhor representada por um gráfico de setores. c) Se uma distribuição de frequências apresenta intervalos de tamanhos desiguais, o melhor gráfico para representá-la é um polígono de frequências. d) O gráfico de barras é usado somente para séries geográficas. e) O gráfico de setores é usado para comparar proporções. 14

15 6. O gráfico estatístico, destinado a representar uma distribuição de frequência por classe, denominase: a) Cronograma; b) Polígono de frequência; c) Histograma; d) Gráfico de colunas; e) Gráfico em barras. 7. Para responder à próxima questão, considere a tabela abaixo, que representa as notas finais obtidas por 30 alunos de uma classe, em um exame de língua portuguesa. Notas Nº de alunos Ao construir um gráfico de setores relativo à tabela dada, o setor correspondente à classe 5 6 será de: a) 48 b) 55 c) 60 d) 66 e) 72 GABARITO 1. A 2. D 3. E 4. C 5. E 6. C 7. E IMPORTANTE!!! INTERPOLAÇÃO LINEAR DA OGIVA Apesar do nome, não vou precisar pegar o gráfico da Ogiva OBSERVAÇÃO!!! Eu tenho que usar o SEMPRE. EXEMPLOS 1. Considerando a distribuição de frequência abaixo, determine qual o valor da variável X (qual o peso) que não é superado por cerca de 70% das observações? Pesos (Kg) fi TOTAL 20 15

16 2. (AFRF ) Utilize a tabela que se segue: Freqüências acumuladas de salários anuais, em milhões de reais, da Cia. Alfa. Classes (3;6] 12 (6;9] 30 (9;12] 50 (12;15] 60 (15;18] 65 (18;21] 68 Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a partir de uma amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando interpolação linear da ogiva, a freqüência populacional de salários anuais iguais ou inferiores a R$ 7000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde a esse número; a) 150 b) 180 c) 170 d) 160 e) 140 EXERCÍCIOS 1. (AFRF 2002 ESAF) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de frequências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a frequência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes P (%) Assinale a opção que corresponde à estimativa da frequência relativa de observações de X menores ou iguais a 145. a) 62,5% b) 70,0% c) 50,0% d) 45,0% e) 53,4% 16

17 2. (AFRF ) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de frequências seguintes: Classes Frequência (f) 29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59, ,5-69, ,5-79, ,5-89, ,5-99,5 10 Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos na população com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5. a) 700 b) 638 c) 826 d) 995 e) (AFRF 2003) Considere a tabela de frequências seguinte correspondente a uma amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes Fac (%) Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x da distribuição amostral de X que não é superado por cerca de 80% das observações. a) b) c) d) e) GABARITO 1. A 2.C 3.E 17

18 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Existem situações onde o número obtido é a medida da tendência central dos vários números usados, ou seja, vamos concentrar todas as informações de um grupo de valores em um único valor. A MÉDIA ARITMÉTICA é a mais conhecida das medidas de tendência central, mas além dela, vamos estudar a MEDIANA e a MODA. 1) MÉDIA ARITMÉTICA ( ) Devemos lembrar que média aritmética é a razão entre a soma dos termos e a quantidade de termos. Existem varias formas de calcular a média aritmética de acordo com os tipos de representações das informações. 1.1) CÁLCULO PARA ROL: Para determinarmos a média aritmética num Rol, faremos: EXEMPLO 1 ) Calcule a média aritmética do Rol (3;4;5;8;10) 1.2) CÁLCULO PARA DADOS TABULADOS: Para determinarmos a média aritmética de dados tabulados, faremos: ou EXEMPLO 1 ) Calcule a média aritmética da tabela abaixo

19 1.3) CÁLCULO PARA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS: Para determinarmos a média aritmética numa distribuição de frequência, faremos: ou EXEMPLO 1 ) Calcule a média aritmética da distribuição de frequência abaixo Classes PROPRIEDADES DE MÉDIA ARITMÉTICA 1 PROPRIEDADE: A média aritmética é sensível a todos os elementos do conjunto. EXEMPLO Considere a sequência ( 3; 4; 5; 8; 10) em que a média aritmética é média aritmética irá mudar?, mas se mudarmos o 10 por 20 a 2 PROPRIEDADE: A soma dos desvios em torno da média aritmética é sempre igual a zero, ou seja, EXEMPLO Considere a sequência ( 3; 4; 5; 8; 10) em que a média aritmética é zero?, então a soma dos desvios valerá 3 PROPRIEDADE: A média aritmética é influenciada pelas quatros operações. EXEMPLO Considere a sequência ( 3; 4; 5; 8; 10) em que a média aritmética é somarmos 2 unidades a todos os termos? E se dobrarmos os termos?, então a média irá alterar se 19

20 4 PROPRIEDADE: A média aritmética das médias aritméticas. EXEMPLOS 1 ) Numa empresa há 120 homens e 80 mulheres e a média salarial dos homens é R$ 800,00 e a média salarial das mulheres é R$ 700,00. Determine a média salarial dos funcionários dessa empresa. 2 ) Numa empresa a média das idades de todos os funcionários é 42 anos, mas a média de idade das mulheres é 40 anos e a média de idade dos homens é 50 anos. Qual é a relação da quantidade de homens pela quantidade de mulheres? IMPORTANTE!!! CÁLCULO DA MÉDIA USANDO A VARIAVEL TRANSFORMADA: Esse método é um processo prático para que possamos calcular a média aritmética nas distribuições de frequências de forma mais rápida e prática. EXEMPLOS 1 ) Calcule a média de distribuição de frequências dos casos abaixo: a) Classes (10;15] 12 (15;20] 30 (20;25] 28 (25;30] 12 (30;35] 18 20

21 2 ) (AFRF 2000) A tabela abaixo representa a distribuição de frequências do salário anual dos funcionários da empresa Cia. Alfa (em milhões de reais). PROFESSOR ARGEU CARDIM Classes (3;6] 12 (6;9] 18 (9;12] 20 (12;15] 10 (15;18] 5 (18;21] 3 Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a opção que representa a aproximação: a) 9,93 b) 15,00 c) 13,50 d) 10,00 e) 12,50 EXERCÍCIOS

22 3. Em uma amostra, realizada para obter-se informação sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1200,00. O salário médio para os homens foi de R$ 1300,00 e para as mulheres foi de R$ 1100,00. Assinale a opção correta: a) O número de homens na amostra é igual ao número de mulheres. b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres. c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres. d) O número de mulheres é o dobro do número de homens. e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 4. Em uma empresa, o salário médio dos empregados é de R$ 500,00. Os salários médios pagos aos empregados dos sexos masculino e feminino são de R$520,00 e R$420,00, respectivamente. Então nessa empresa: a) o número de homens é o dobro do número de mulheres b) o número de homens é o triplo do número de mulheres c) o número de homens é o quádruplo do número de mulheres d) o número de mulheres é o triplo do número de homens e) o número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 5. Em certa empresa, o salário médio era de $ ,00 e o desvio padrão era de $ ,00. Todos os salários receberam um aumento de 10%. O salário médio passou a ser de: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 6. Assinale a opção que dá o valor de "a" para o qual a equação é sempre verdadeira. a) A média dos valores de x b) a mediana dos valores de x c) A moda dos valores de x d) O desvio padrão dos valores de x e) O coeficiente de variação dos valores de x. GABARITO 1. B 2. A 3. A 4. C 5. D 6. A 22

23 2) MEDIANA (Md) É outra medida de posição definida como o número que se encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem. Em outras palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto que separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos. Daí, devemos lembrar que mediana divide o conjunto ao meio, por isso é chamado de uma das separatrizes. Existem varias formas de calcular a mediana de acordo com os tipos de representações das informações. OBSERVAÇÃO!!! Para facilitar as contas devemos sempre usar a frequência acumulada para determinar a mediana. 2.1) CÁLCULO PARA ROL E DADOS TABULADOS: 1º caso Se o universo (n) for ímpar então devemos procurar o termo de posição EXEMPLOS 1 ) Calcule a mediana do Rol (1;1;2;3;4;6;8) 2 ) Calcule a mediana da tabela abaixo EXEMPLOS 2º caso Se o universo (n) for par então a mediana é a média aritmética dos 2 termos centrais, em que as posições serão e 1 ) Calcule a mediana do Rol (3;3;3;4;4;5;7;8;9;9) 23

24 2 ) Calcule a mediana da tabela abaixo ) CÁLCULO PARA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA: Para calcularmos a mediana referente a distribuição de frequência devemos estar ciente das observações abaixo. OBSERVAÇÕES!!! Não há distinção para n par ou ímpar, a mediana será a mesma. Usaremos o método da interpolação linear da ogiva procurando o termo correspondente a posição. EXEMPLOS 1 ) Calcule a mediana das distribuições de frequências abaixo. a) Classes b) Classes

25 c) Classes SITUAÇÃO PROBLEMA!!! 1) Imagine que numa escola foi feita uma pesquisa e constatou-se que a média salarial era R$ 5000,00 e a mediana é R$ 4500,00. A média nos diz que se redistribuíssemos os salários daria para pagar a todo mundo R$ 5000,00 e a mediana nos mostra que a metade do grupo ganha abaixo de R$ 4500,00 e a outra metade ganha acima. 2) Com base na conclusão acima, podemos dizer que tem mais gente ganhando mais que R$ 4500,00? Não, pois a mediana é uma separatriz, ou seja, ele dividiu ao meio (quantidade igual). PROPRIEDADES DE MÉDIANA 1 PROPRIEDADE: A mediana não é sensível por valores extremos. EXEMPLO Considere a sequência (2;3;3;3;4;5;6;7;9) se trocar 9 por 90 (2;3;3;3;4;5;6;7;90) a mediana não muda? OBSERVAÇÃO: Agora, se trocássemos 9 por 1, aí a mediana iria mudar, pois isso não altera a posição do termo médio. 2 PROPRIEDADE: A mediana é influenciada pelas 4 operações. EXEMPLO Considere a sequência (2;3;3;3;4;5;6;7;9) se multiplicarmos todos os termos por 3 irá se alterar a mediana? E se adicionarmos 2 unidades a todos os elementos a mediana mudará? 25

26 COMPARAÇÃO DA MÉDIA COM A MEDIANA Regra do cabo de guerra: EXEMPLOS 1 ) Calcule e compare a média com a mediana do rol (2;2;3;3;3;4;5;6;7;8) 2 ) Calcule e compare a média com a mediana do rol (1;2;3;5;6;7;7;7;8;8) 3 ) Da sequência (1;2;3;4;5;6;7;8;9;10), sem calcular, podemos afirmar que a mediana é maior que a? 4 ) Da sequência (2;2;3;5;6;6;7;7;8;9), sem calcular, podemos afirmar que a mediana é maior que a? PERGUNTA IMPORTANTE!!! 1) A média salarial brasileira é maior ou menor que a mediana salarial? EXERCÍCIOS

27 3. Quer-se estimar o salário mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde ao valor aproximado desta estatística, com base na distribuição de frequências. a) 12,5 b)9,60 c)9,00 d)12,00 e)12, Considere o diagrama de ramos e folhas abaixo correspondente à sequência de observações (91, 91,..., 140, 145, 158). Assinale a opção que dá a mediana das observações de X a) 110 b)120 c)116 d)113 e)111 27

28 GABARITO 1. B 2. C 3. B 4. A 5. C 3) MODA (Mo) É o valor de maior frequência, ou seja, o elemento mais frequente. Existem varias formas de calcular a moda de acordo com os tipos de representações das informações. EXEMPLOS 3.1) CÁLCULO PARA ROL: Para determinação da moda no Rol, não te dificuldade alguma, basta observarmos qual dos termos mais repete. 1 ) Determine qual (ais) a(s) moda(s) nos casos que se seguem abaixo: a) (2;2;3;3;3;5;6;7;8) b) (2;2;3;3;5;5;5;6;6;6;7) c) (1;2;2;2;3;3;3;4;4;4;5;7) d) (1;2;3;4;5;6) 3.2) CÁLCULO PARA DADOS TABULADOS: EXEMPLOS Analogamente, para determinarmos a moda nos dados tabulados, basta observarmos na coluna das freqüências o que apresenta maior valor. 1 ) Determine a moda nos casos abaixo. a)

29 b) c) ) CÁLCULO PARA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA: Em distribuição de freqüências, a moda poderá calculada a partir das fórmulas de CZUBER e KING. Observe abaixo a fórmula de Czuber. Amplitude de classe modal Limite inferior da classe modal Observe abaixo a fórmula de King. Amplitude de classe modal Limite inferior da classe modal 29

30 EXEMPLOS 1 ) Determine a moda nos casos abaixo. a) Classes b) Classes EXERCÍCIOS 1. Marque a opção que representa a moda das idades dos funcionários em a) 35,97 anos b) 36,26 anos c) 36,76 anos 30

31 d) 37,03 anos e) 37,31 anos 2. Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9,10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 Com base nestes dados, assinale a opção que corresponde ao preço modal. a) 7 b) 23 c) 10 d) 8 e) 9 3. Dados os conjuntos de valores A = {1,1,2,3,4,5,8,8,8,8,9,10} B = {6,7,8,9,10,11,12} C = {1,2,4,4,4,4,5,6,9,9,9,9,10} Em relação à moda, afirmamos que: I A é unimodal e a moda é 8 II B é unimodal e a moda é 9 III C é bimodal e as modas são 4 e 9 Então, em relação às afirmativas, é correto dizer que: 4. a) Todas são verdadeiras; b) Todas são falsas; c) Somente l e ll são verdadeiras; d) Somente l e lll são verdadeiras; e) Somente ll e lll são verdadeiras. GABARITO 1. B 2. D 3. D 4. A 31

32 4 ) CURVA SIMÉTRICA E ASSIMÉTRICA 4.1) DISTRIBUIÇÃO SIMÉTRICA COMPARAÇÃO DA MÉDIA COM A MEDIANA E A MODA As curvas simétricas apresentam grau de assimetria nulo: A = 0. Em curvas desse tipo, temos: Média = Mediana = Moda. Veja: 4.2) DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA POSITIVA OU ASSIMÉTRICA À DIREITA As curvas assimétricas a direita apresentam grau de assimetria positivo, A > 0. Em curvas desse tipo, temos: Moda < Mediana < Média. Veja: 4.3) DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA NEGATIVA OU ASSIMÉTRICA À ESQUERDA As curvas assimétricas a esquerda apresentam grau de assimetria negativa, A < 0. Em curvas desse tipo, temos: Média < Mediana < Moda. Veja: 5 ) SEPARATRIZES Mediana: divide a distribuição de dados em duas partes iguais, tendo 50% dos dados cada uma. Dizemos que a mediana supera 50% dos dados. Quartis: dividem a distribuição de dados em quatro partes iguais, tendo 25% dos dados cada uma. Existem 3 quartis. O 1º Quartil (Q1) supera 25% dos dados, o 2º Quartil (Q2) supera 50% dos dados e o 3º Quartil (Q3) supera 75% dos dados. Note que Q2 coincide com mediana. Decis: dividem a distribuição de dados em dez partes iguais, tendo 10% dos dados cada uma. Existem 9 decis. O 1º Decil (D1) supera 10% dos dados, o 2º Decil (D2) supera 20% dos dados, o 3º Decil (D3) supera 30% dos dados, o 4º Decil (D4) supera 40% dos dados, o 5º Decil (D5) supera 50% dos dados, o 32

33 6º Decil (D6) supera 60% dos dados, o 7º Decil (D7) supera 70% dos dados, o 8º Decil (D8) supera 80% dos dados e o 9º Decil (D9) supera 90% dos dados. Note que D5 coincide com a mediana. Percentis: dividem a distribuição de dados em 100 partes iguais, tendo 1% dos dados cada uma. EXEMPLOS 1. Considere a tabela abaixo: CLASSES fi [20;30) 25 [30;40) 35 [40;50) 48 [50;60) 42 [60;70) 32 [70;80) 18 Calcule: a) Q 1 b) D 3 c) P Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes P (%) Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição de X. a) 138 b) 140 c)136,67 d) 139,01 e) 140,66 b) 33

34 6 ) MÉDIAS ESPECIAIS 6.1) MÉDIA GEOMÉTRICA (G) A média geométrica de n termos corresponde à raiz n-ésima do produto dos n fatores. Fórmula: EXEMPLOS 1. Calcule a média geométrica de (2; 9; 12) 2. Em 2005 tivemos uma inflação de 20% e 2006 foi de 80% então qual foi a inflação média do biênio ? 6.2) MÉDIA HARMÔNICA (H) A média harmônica corresponde ao inverso da média dos inversos dos valores. Fórmula: EXEMPLOS 1. A média harmônica corresponde ao rol (2; 3; 5) 2. Um automóvel partiu de uma cidade A em direção à cidade B com uma velocidade de 40 km/h e fez o mesmo percurso de volta, contudo com uma velocidade de 60 km/h. Qual a velocidade média desse automóvel nesse percurso? 34

35 COMPARAÇÃO DAS MÉDIAS Para um conjunto de n valores positivos sempre é verdade que: OBSERVAÇÃO!!! A igualdade das médias só ocorrerá quando todos os elementos forem iguais,ou seja, se um rol for (5;5;5) então. EXEMPLOS 01. (AFRF 2005) Assinale a opção que expresse a relação entre as médias aritmética (X), geométrica (G) e harmônica (H), para um conjunto de n valores positivos (X 1, X 2,..., X n ): a) G H X, com G = H = X somente se os n valores forem todos iguais. b) G X H, com G = X = H somente se os n valores forem todos iguais. c) X G H, com X = G = H somente se os n valores forem todos iguais. d) H G X, com H = G = X somente se os n valores forem todos iguais. e) X H G, com X = H = G somente se os n valores forem todos iguais. 02. (SEFAZ CE 2007 ESAF) Indicando por: X : a média aritmética de uma amostra; m g : a média geométrica da mesma amostra; e m h : a média harmônica também da mesma amostra. E desde que todos os valores da amostra sejam positivos e diferentes entre si, é verdadeiro afirmar que a relação entre estas médias é: a) X < mg < mh b) X > mg > mh c) mg < X < mh d) X < mg = mh e) X = mg = mh 03. (Tec Receita Federal 2005 ESAF) Um motorista de táxi faz 10 viagens ida e volta do aeroporto Santos Dumont ao aeroporto do Galeão, no Rio de Janeiro. Ele calcula e anota a velocidade média, em quilômetros por hora, em cada uma dessas viagens. O motorista quer, agora, saber qual a velocidade média do táxi para aquele percurso, em quilômetros por hora, considerando todas as 10 viagens ida e volta. Para tanto, ele deve calcular a média a) aritmética dos inversos das velocidades médias observadas. b) geométrica das velocidades médias observadas. c) aritmética das velocidades médias observadas. d) harmônica das velocidades médias observadas. e) harmônica dos inversos das velocidades médias observadas. 35

36 REVISÃO DA PARTE INICIAL 1. (MP-2004-ESAF) A distribuição de frequências de determinado atributo X é dada na tabela abaixo. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes Frequências Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor de X que não é superado por 80% das observações do atributo X. a) d) b) e) c) (AFRF-2002 ESAF) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de frequências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a frequência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes P (%) Assinale a opção que corresponde à estimativa da frequência relativa de observações de X menores ou iguais a 145. a) 62,5% d) 45,0% b) 70,0% e) 53,4% c) 50,0% 36

37 3. (IRB 2004 ESAF) Na distribuição de frequências abaixo, não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classe Frequência Acumulada 129,5-139, ,5-149, ,5-159, ,5-169, ,5-179, ,5-189, ,5-199,5 100 Assinale a opção que corresponde à estimativa, via interpolação da ogiva, do número de observações menores ou iguais ao valor 164. a) 46 d) 35 b) 26 e) 20 c) (FTE-PA-2002/ESAF) A tabela de frequências abaixo apresenta as frequências acumuladas (F) correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) em R$ 1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com as extremidades das classes salariais. Classes F 29,5 3 9,5 2 39,5 49,5 6 49,5 59, ,5 69, ,5 79, ,5 89, ,5 99,5 50 Assinale a opção que corresponde ao valor q, obtido por interpolação da ogiva, que, estima-se, não é superado por 80% das realizações de Y. a) 82,0 d) 74,5 b) 80,0 e) 84,5 c) 83,9 37

38 5. (FTE-Piauí-2001/ESAF) A Tabela abaixo mostra a distribuição de frequência obtida de uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As frequências são acumuladas. Classes de Salário Frequências ( ) 12 ( ) 28 ( ) 52 ( ) 74 ( ) 89 ( ) 97 ( ) 100 Deseja-se estimar, via interpolação da ogiva, o nível salarial populacional que não é ultrapassado por 79% da população. Assinale a opção que corresponde a essa estimativa. a) R$ ,00 b) R$ 9.500,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 6. (ISS-SP 2006 FCC) No presente mês, o salário médio mensal pago a todos os funcionários de uma firma foi de R$ 530,00. Sabe-se que os salários médios mensais dos homens e mulheres são respectivamente iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. No próximo mês, todos os homens receberão um adicional de R$ 20,00 e todas as mulheres um reajuste salarial de 10%, sobre os salários atuais. Supondo que o quadro de funcionários não se alterou, após esses reajustes o salário médio mensal de todos os funcionários passará a ser igual a: (A) R$ 540,00 (B) R$ 562,00 (C) R$ 571,00 (D) R$ 578,00 (E) R$ 580,00 7. (MPU 2007 FCC) Dados os conjuntos de números P = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e Q = {220, 225, 230, 235, 240, 245}, pode-se afirmar, de acordo com as propriedades da média, que a média dos elementos de Q é igual a (A) constante 220 somada ao produto da média dos elementos de P por 5. (B) média dos elementos de P mais a constante 220. (C) média dos elementos de P multiplicada por uma constante arbitrária. (D) média dos elementos de P mais a constante 220 e esse último resultado multiplicado por 5. (E) média dos elementos de P mais a constante (Analista BACEN 2005 FCC) A média aritmética dos salários dos 100 empregados em uma empresa é de R$ 1.500,00. Na hipótese de serem demitidos 20 empregados, que ganham cada um o salário de R$ 2500,00, e ser concedido, posteriormente, um aumento de 10% em todos os salários dos remanescentes, a nova média aritmética dos salários será de (A) R$ 1 375,00 (B) R$ 1 350,00 (C) R$ 1 345,00 (D) R$ 1 320,00 (E) R$ 1 300,00 38

39 9. (AFPS-2002/ESAF) Assinale a opção que dá o valor de a para o qual a equação verdadeira. n i 1 ( x é sempre i a) 0 a) A média dos valores x. b) A mediana dos valores x. c) A moda dos valores x. d) O desvio padrão dos valores x. e) O coeficiente de assimetria dos valores x. 10. (TCDF-95) Em uma empresa, o salário médio dos empregados é de R$500,00. Os salários médios pagos aos empregados dos sexos masculino e feminino são de R$520,00 e R$420,00, respectivamente. Então, nessa empresa: a) o número de homens é o dobro do número de mulheres. b) O número de homens é o triplo do número de mulheres. c) O número de homens é o quádruplo do número de mulheres. d) O número de mulheres é o triplo do número de homens. e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 11. (Auditor do Tesouro Municipal Recife 2003/ ESAF) Em uma amostra, realizada para se obter informação sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta. a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres. b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres. c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres. d) O número de mulheres é o dobro do número de homens. e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 12. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 Com base nestes dados, assinale a opção que corresponde ao preço modal. a) 7 b) 23 c) 10 d) 8 e) (SEFAZ/MG-2005-ESAF) Considere o diagrama de ramos e folhas abaixo correspondente à sequência de observações (91, 91,..., 140, 145, 158). Assinale a opção que dá a mediana das observações de X

40 a) 110 b) 120 c) 116 d) 113 e) (IRB 2004 ESAF) O diagrama de ramos e folhas apresentado abaixo corresponde à sequência de observações amostrais (34, 38,..., 97) de um atributo X. Assinale a opção que dá a mediana amostral de X a) 69,5 b) 71,0 c) 70,5 d) 72,0 e) 74,0 40

41 15. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) Dados os conjuntos de valores: A = {1, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 8, 8, 8, 9, 10} B = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} C = {1, 2, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 9, 9, 9, 9, 10} Em relação à moda, afirmamos que: I A é unimodal e a moda é 8. II B é unimodal e a moda é 9. III C é bimodal e as modas são 4 e 9. Então, em relação às afirmativas, é correto dizer que: a) Todas são verdadeiras. b) Todas são falsas. c) Somente I e II são verdadeiras. d) Somente I e III são verdadeiras. e) Somente II e III são verdadeiras. 16. (MP-2007-ESAF) Considere o histograma da variável X a seguir, em que as frequências simples absolutas foram anotadas no interior dos retângulos. O valor do terceiro quartil de X é: a) 40 d) 25 b) 35 e) 12 c) (ESAF/TTN) Dado o gráfico abaixo, onde fi é a frequência simples ou absoluta da i-ésima classe, então: fi idades a) a moda se encontra na 4 a classe e é igual a 9; b) o número de observações é 42; c) como a distribução é assimétrica, moda = média = mediana; 41

42 d) a frequência acumulada crescente da 3 a classe é 20; e) 7 i 1 fi 48 QUESTÕES 18 E 19 (TTN-94) Considere a distribuição de frequências transcrita a seguir: Xi fi A média da distribuição é igual a: a) 5,27 b) 5,24 c) 5,21 d) 5,19 e) 5, A mediana da distribuição é igual a: a) 5,30kg b) 5,00kg c) um valor inferior a 5kg d) 5,10kg e) 5,20kg 20. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) As distâncias, em milhares de quilômetros, percorridas em um ano pelos 20 táxis de uma empresa, estão representadas no quadro seguinte: Distâncias Número de Táxis Total Nestas condições, é correto afirmar que a mediana dessa distribuição, em milhares de quilômetros é: a) 57 b) 61 c) 65 d) 69 e) 73 42

43 21. (AFTN/1994) Com relação à distribuição de frequências abaixo, podemos dizer que a mediana e a moda: classes fi a) Têm valor superior ao da média aritmética. b) Têm valor inferior ao da média aritmética. c) Têm o mesmo valor. d) Diferem por um valor igual a 10% da média aritmética. e) Diferem por um valor superior a 10% da média aritmética. 22. Considere a seguinte distribuição de frequências: classes Fi Total 90 Nesta distribuição : a) A mediana é menor que a média. b) A média é menor que a moda. c) A moda é maior que a mediana. d) A moda é igual a média que por sua vez é igual a mediana. e) A moda é igual a média, mas é diferente da mediana. 43

44 QUESTÕES 23 A 27 (AFTN-96) Para efeito das cinco próximas questões, considere os seguintes dados: DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1 o /1/90 Classes de Idades (anos) Frequências (fi) Pontos Médios (Xi) Xi 37 5 di fi. di fi. di 2 fi. di 3 fi. di 4 19,5 24, ,5 29, ,5 34, ,5 39, ,5 44, ,5 49, ,5 54, TOTAL Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em 1 o /1/90. a) 37,4 anos d) 38,6 anos b) 37,8 anos e) 39,0 anos c) 38,2 anos 24. Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários em 1 o /1/90. a) 35,49 anos d) 37,26 anos b) 35,73 anos e) 38,01 anos c) 35,91 anos 25. Marque a opção que representa a moda das idades dos funcionários em 1 o /1/90. a) 35,97 anos d) 37,03 anos b) 36,26 anos e) 37,31 anos c) 36,76 anos 26. Marque a opção que representa a média das idades dos funcionários em 1 o /1/96. a) 37,4 anos d) 43,8 anos b) 39,0 anos e) 44,6 anos c) 43,4 anos 27. Marque a opção que representa a mediana das idades dos funcionários em 1 o /1/96. a) 35,49 anos d) 41,91 anos b) 36,44 anos e) 43,26 anos c) 41,49 anos 44

45 QUESTÕES 28 E 29 (AFRF-2002) Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado que segue. Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de frequências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a frequência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes P (%) Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X. a) 140,10 d) 140,00 b) 115,50 e) 138,00 c) 120, Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição de X. a) 138,00 d) 139,01 b) 140,00 e) 140,66 c) 136,67 QUESTÕES 30 E 31 (AFRF ) Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado que segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de frequências seguinte: Classes Frequência (f) 29,5 39,5 4 39,5 49,5 8 49,5 59, ,5 69, ,5 79, ,5 89, ,5 99,

46 30. Assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana amostral do atributo X. a) 71,04 b) 65,02 c) 75,03 d) 68,08 e) 70, Assinale a opção que corresponde ao valor modal do atributo X no conceito de Czuber. a) 69,50 b) 73,70 c) 71,20 d) 74,53 e) 80,10 QUESTÕES 32 E 33 (FTE-PA-2002/ESAF) A tabela de frequências abaixo deve ser utilizada nas duas próximas questões e apresenta as frequências acumuladas (F) correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) em R$ 1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com as extremidades das classes salariais. Classes F 29,5 39,5 2 39,5 49,5 6 49,5 59, ,5 69, ,5 79, ,5 89, ,5 99, Assinale a opção que corresponde ao salário anual médio estimado para o departamento de fiscalização da Cia. X. a) 70,0 b) 69,5 c) 68,0 d) 74,4 e) 60,0 33. Assinale a opção que corresponde ao salário modal anual estimado para o departamento de fiscalização da Cia. X, no conceito de Czuber. a) 94,5 b) 74,5 c) 71,0 d) 69,7 e) 73,8 34. (ACE-MICT-1998/ESAF) Num estudo sobre a distribuição do preço de venda de um produto obteve-se, a partir de uma amostra aleatória de 25 revendedores, a tabela de frequências seguinte: Classe de Preços mi fi [ 5 9) 7 3 [ 9 13) 11 5 [13 17) 15 7 [17 21) 19 6 [21 25) 23 3 [25 29)

47 Deseja-se obter informação sobre o preço mediano praticado na amostra. Assinale a opção que melhor aproxima este valor. a) 16 b) 19 c) 17 d) 11 e) 14,2 35. (Fiscal-Campinas-2002) Dada a distribuição de frequência abaixo, indique o valor da Moda e Mediana, respectivamente Classes Fi a) 7,14 7,28 d) 5,84 7,5 b) 6,54 5,78 e) 6,24 6,78 c) 7,24 6, (FTE-Piauí-2001/ESAF) A Tabela abaixo mostra a distribuição de frequência obtida de uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As frequências são acumuladas. Classes de Salário Frequências ( ) 12 ( ) 28 ( ) 52 ( ) 74 ( ) 89 ( ) 97 ( ) 100 Assinale a opção que corresponde ao salário mediano a) R$ b) R$ c) R$ d) R$ e) R$ 9.500, 37. (AFR 2009) 47

48 38. (ESAF/TTN) Assinale a opção correta. a) A moda é uma medida de posição que permite dividir a distribuição em duas partes de igual frequência. b) A média harmônica é a média geométrica dos inversos das determinações da variável. c) A média aritmética não é influenciada pelos valores extremos da distribuição. d) A moda e a mediana são influenciadas pelos valores extremos da distribuição. e) A moda, a mediana e a média aritmética são expressas na mesma unidade de medida da variável a que se referem. Gabarito: 01. C 02. A 03. D 04. C 05. E 06. C 07. A 08. A 09. A 10. C 11. A 12. D 13. C 14. B 15. D 16. B 17. E 18. A 19. B 20. C 21. A 22. D 23. B 24. D 25. B 26. D 27. E 28. E 29. C 30. A 31. B 32. B 33. E 34. A 35. A 36. D 37. E 38. E MEDIDAS DE DISPERSÃO ABSOLUTA Já estudamos as medidas de tendência central (, Mo e Me). Elas tem como objetivo concentrar em um único número os diversos valores de uma pesquisa. Veremos agora casos que elas são insuficientes: SITUAÇÃO PROBLEMA Uma pessoa é encarregada de organizar atividades de lazer para um grupo de pessoas e recebe a informação de que a média de idade do grupo é 20 anos. Nesse caso, apenas a informação da média não é suficiente para planeja as atividades; pois podemos ter grupos com média de idade de 20 anos e característica totalmente diferentes. Observamos alguns grupos possíveis: GRUPO A: 20 anos; 20 anos; 20 anos; 20 anos; 20 anos e 20 anos x 20anos 6 GRUPO B: 22 anos; 23 anos; 18 anos; 19 anos; 20 anos e 18 anos x 20anos 6 GRUPO C: 6 anos; 62 anos; 39 anos; 4 anos; 8 anos e 1 ano x 20anos 6 Como a medida de tendência central é suficiente para caracterizar o grupo C, é conveniente utilizar medidas que expressam o grau de dispersão de um grupo de dados. As medidas usadas são a variância e o desvio padrão. 48

49 1) AMPLITUDE TOTAL Já sabemos que Amplitude é a diferença entre o limite superior de uma classe e o limite inferior dessa mesma classe, sendo assim, ficará fácil entender que Amplitude Total será: EXEMPLOS 1 ) Determine a amplitude total nos casos abaixo. a) (3;4;5;6;6;6;7;8;9) b) Classes ) AMPLITUDE INTERQUALÍTICA A amplitude interquartílica é definida como a diferença entre Q 3 e Q 1. Veja: EXEMPLO 1. (AFC-2008-ESAF) Dado o seguinte conjunto de dados ( 58, 95, 17, 44, 63, 9, 57, 21, 88, 12, 31, 28, 73, 5 e 56 ). Determine a amplitude interquartilica Q3 Q1. a) 33 d) 46 b) 37 e) 51 c) 40 49

50 3) VARIÂNCIA (POPULACIONAL) A variância é também denominada de Desvio Quadrático Médio. Dado um conjunto de dados, seu cálculo é obtido pela média dos quadrados dos desvios em relação à média. A seguir, serão apresentadas as várias situações nas quais seremos solicitados a calcular a variância. 1ª) SITUAÇÃO: ROL. População: Amostra: 2ª) SITUAÇÃO: DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ABSOLUTA. População: Amostra: IMPORTANTE!!! Variância (2º Modo de Cálculo) Quando a média é um número decimal ou os dados são apresentados em tabelas de distribuição, a variância é mais rapidamente calculada pela fórmula: ou ou ou Para efeito de memorização, a fórmula acima é lida como: média dos quadrados menos o quadrado da média. A fórmula acima é populacional. Para transformá-la em amostral, basta multiplicá-la pelo Fator de Bessel: 50

51 EXEMPLOS 1. Uma empresa que possui 5 copiadoras registrou em cada uma delas no último mês (em unidades): 20, 23, 25, 27, 30 cópias, respectivamente. O valor da variância desta população é: a) 5 b) 11,6 c) 14,5 d) Dada a sequência de valores 4,4,2,7e3 assinale a opção que dá valor da variância se o denominador for 4 em seus cálculos: a)5,5 b)4,5 c)3,5 d)6,0 e)16,0 3. Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9,10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 Os valores seguintes foram calculados para a amostra: Σi Xi = 490 e Σi Xi2 (Σi Xi )2/ 50 = 668 Assinale a opção que corresponde à mediana e à variância amostral, respectivamente (com aproximação de uma casa decimal) a) (9,0 ; 13,6) b) (8,0 ; 13,6) c) (9,5 ; 14,0) d) (9,0 ; 14,0) e) (8,0 ; 15,0) 4) DESVIO PADRÃO (DISPERSÃO ABSOLUTA) O desvio-padrão é definido como a raiz quadrada da variância. Veja: População: ou Amostral: ou 51