Aula 7 Medidas de Tendência Central 2ª parte

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Samuel Barateiro Figueira
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1 1 Estatística e Probabilidade Aula 7 Medidas de Tendência Central 2ª parte Professor Luciano Nóbrega

2 Medidas de posição Resumo Média aritmética ( x ) É a razão entre o somatório dos valores das variáveis e a quantidade de variáveis. n x = xi i = 1 n x = xifi fi Moda (mo) É o valor de maior frequência em um conjunto de dados. Mediana (md) É um valor real que separa o ROL ao meio. 1º) Identifique qual a maior frequência; 2º) A moda é o xi correspondente a essa frequência. 1º) Calculamos as frequências acumuladas; 2º) Determinamos o(s) termo(s) mediano(s); 3º) Aplicamos a fórmula da mediana. n ímpar, termo do meio; n par, média dos meios. md = lmd + n /2 - Fant. h fmd

Mediana (md) É um valor real que separa o ROL ao meio.

3 Testando os conhecimentos 1 A distribuição a seguir representa os salários dos funcionários de um escritório de contabilidade. Calcule a média, a moda e a mediana da série: Salários (R$) f i x i x i f i F i md = lmd + n /2 - Fant. h fmd

Calcule a média, a moda e a mediana da série: Salários (R$) f i x i x i f i F i

4 Medidas de posição Moda (mo) É o valor de maior frequência em um conjunto de dados. Outros tipos de Moda (mo) Alguns métodos foram desenvolvidos que justificam a formulação para a obtenção da moda de um conjunto de dados. Vejamos alguns deles: Moda bruta (mo) Já vimos! É o método mais simples, consiste em tomar como moda o ponto médio da classe modal. Classe modal determinada pela maior frequência. mo = 170 Altura (cm) f i x i

conjunto de dados. Vejamos alguns deles: Moda bruta (mo) Já vimos!

5 (Continuação) mo = 3.md 2.xmo = 3.(23,33) 2.(22,5) = 25 Medidas de posição Moda de Pearson (mo) mo = 3.md 2.x Exemplo: Vejamos o cálculo da moda através da fórmula de Pearson: Classes f i x i x i f i F i º) Preencher a tabela; 2º) Determinar a média; x = xifi = 270 = 22,5 fi 12 3º) Determinar a mediana; n = 12 (é par) => 6º Termo Usando a fórmula: md = lmd + n/2 - Fant. h fmd md = / md = 23,33 ok ok ok

x Exemplo: Vejamos o cálculo da moda através da fórmula de Pearson: Classes f i x i x i f i F i 5 5 1 0 --- 10 1 10 --- 20 3 20

6 Medidas de posição Moda de King (mo) mo = lmo + fpost. h fant + fpost Classes f i x i x i f i F i Onde: lmo-lim. Inf. da classe modal; fpost-freq. Da classe posterior; fant-freq. Da classe anterior; h-amplitude da classe. Exemplo: Vejamos o cálculo da moda de King: mo = mo = 24

12 15 25 35 45 150 70 270 4 10 12 Onde: lmo-lim. Inf. da classe modal; fpost-freq.

7 Medidas de posição Moda de Czuber (mo) mo = lmo + fmo - fant. h 2fmo -(fant + fpost) Onde: lmo-lim. Inf. da classe modal; fpost-freq. Da classe posterior; fant-freq. Da classe anterior; h-amplitude da classe. fmo-freq. Da classe modal Classes f i x i x i f i F i Exemplo: Vejamos o cálculo da moda de Czuber: mo = (6) (3 + 2) mo = 24,29

8 Moda de Pearson mo = 3.md 2.x Moda de Czuber mo = lmo + fmo - fant. h 2fmo -(fant + fpost) Testando os conhecimentos 2 A distribuição a seguir representa os salários dos funcionários de um escritório de contabilidade. Calcule a média, a moda e a mediana da série: Calcule a moda de Pearson, a moda de King e a moda de Czuber. Salários (R$) f i x i F i Moda de King mo = lmo + fpost. h fant + fpost

9 Moda de Pearson mo = 3.md 2.x Moda de Czuber mo = lmo + fmo - fant. h 2fmo -(fant + fpost) Testando os conhecimentos 3 A distribuição a seguir representa os salários dos funcionários de um escritório de contabilidade. Calcule a média, a moda e a mediana da série: Calcule a moda de Pearson, a moda de King e a moda de Czuber. Salários (R$) f i x i F i Moda de King mo = lmo + fpost. h fant + fpost

10 Medidas de posição As separatrizes São números que separam a sequência ordenada de dados em partes que contêm a mesma quantidade de elementos da série. Exemplo: A mediana divide o ROL em duas partes iguais, sendo assim, a mediana é também uma separatriz. Centil, decil e quartil: Pi O centil (ou percentil) divide a série em 100 partes. Di O decil separa a série em 10 partes. Qi Da mesma forma, o quartil faz a série ser dividida em quatro.

Exemplo: A mediana divide o ROL em duas partes iguais, sendo assim, a mediana é também uma separatriz.

11 Medidas de posição Cálculo das separatrizes Vamos estudar o percentil, uma vez que as demais separatrizes são múltiplos dele. Por exemplo: P25 = Q1 ; P20 = D2 ; P75 = Q3 Dados brutos ou em ROL 1º) Identificamos a medida Pi que queremos obter, para isso, calculamo i% de n. 2º) Identificamos o elemento que Pi ocupa e se i% de n for: Inteiro Pi é o elemento da série; Racional Pi é a média dos valores próximos. Exemplo: 1, 2, 5, 5, 5, 8, 10, 11, 12, 12, 13, 15. Identifique: a) Q1 = P25 = 25% de 12 (pois n = 12) => P25 = 3 (3º termo do ROL) => Portanto Q1 = 3º termo = 5

de n. 2º) Identificamos o elemento que Pi ocupa e se i% de n for: Inteiro Pi é o elemento da série; Racional Pi é a média dos valores próximos.

12 Medidas de posição Cálculo das separatrizes Vamos estudar o percentil, uma vez que as demais separatrizes são múltiplos dele. Por exemplo: P25 = Q1 ; P20 = D2 ; P75 = Q3 Exemplo: 1, 2, 5, 5, 5, 8, 10, 11, 12, 12, 13, 15. Identifique: b) D7 = P70 = 70% de 12 => P70 = 8,4 (média entre o 8º e o 9º termo do ROL) => P70 = D7 = (8º + 9º):2 => Portanto D7 = ( ):2 = 11,5 Agora é com vocês: c) P23 =? d) Q2 =?

Por exemplo: P25 = Q1 ; P20 = D2 ; P75 = Q3 Exemplo: 1, 2, 5, 5, 5, 8, 10, 11, 12, 12, 13, 15.

13 Medidas de posição Dados agrupados sem intervalos de classes Da mesma forma que no cálculo da mediana, devemos preencher a coluna da frequência acumulada ( Fi ). Exemplo: Determine os valores de D4 e Q3, para isso: 1º) Preencha Fi Idade (x i ) Nº alunos (f i ) Freq. Acum. (F i ) Total 25 //////////////////// 2º) Determine as posições de Pi e, em seguida, seu valor D4 = P40 =40% de 25 D4 = 10 D4 = 10º termo D4 = 19 Q3 =?

Exemplo: Determine os valores de D4 e Q3, para isso: 1º) Preencha Fi Idade (x i ) 18 3 19 8 20 5 21 9 Nº alunos

14 md = lmd + n /2 - Fant. h fmd Medidas de posição Dados agrupados com intervalos de classes Vamos precisar daquela fórmula da mediana. Observe que md = P50 Convertendo a fórmula: P50 = l n /100 - Fant. h f50 Altura (cm) f i F i Exemplo: Determine Q3 e D4 Generalizando: Pi = li + i.n /100 - Fant. h fi Q3 = P75 => P75 = 75% de 24 => P75 = 18º P75 = l x24 /100 - Fant. h f75 P75 = P75 = Q3 = 188,33 Agora D4 é com vocês!

Observe que md = P50 Convertendo a fórmula: P50 = l50 + 50n /100 - Fant.

15 Pi = li + i.n /100 - Fant. h Testando os conhecimentos fi 1 A distribuição a seguir representa os salários dos funcionários de um escritório de contabilidade. Determine D2, Q1 Q3 e P1 Salários (R$) f i F i

salários dos funcionários de um escritório de contabilidade.

16 Testando os conhecimentos 2 Determine D3, Q1, Q3 e P3 Pi = li + i.n /100 - Fant. h fi Classes f i F i

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