Universidade Estadual de Londrina. 10 de outubro de Lucas Santana da Cunha

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1 TESTES DE HIPÓTESES PARA DIFERENÇA DE MÉDIAS Lucas Santana da Cunha Universidade Estadual de Londrina 10 de outubro de 2016

2 Amostras Independentes Um dos testes mais frequentes em estatística consiste na avaliação da diferença entre duas amostras independentes, ou seja, naqueles casos em que os dados de uma das amostras não estão relacionados com os valores da outra.

3 Amostras Independentes Um dos testes mais frequentes em estatística consiste na avaliação da diferença entre duas amostras independentes, ou seja, naqueles casos em que os dados de uma das amostras não estão relacionados com os valores da outra. Na condução de experimentos dessa ordem, procura-se verificar se a diferença observada é de tal magnitude que permita concluir que as amostras foram retiradas de populações distintas.

4 Amostras Independentes Variâncias conhecidas Consideremos duas amostras aleatórias, X 1, X 2,..., X n1 de tamanho n 1 e Y 1, Y 2,..., Y n2 de tamanho n 2, ambas com distribuição normal, médias µ 1 e µ 2 e variâncias σ1 2 e σ2 2 conhecidas, respectivamente. Assim, a estatística do teste é dada por: Z = (X Y ) (µ 1 µ 2 ) σ 2 1 n 1 + σ2 2 n 2 N(0, 1).

5 Exemplo 1 Duas marcas de veículos pretendem comparar o desempenho de seus modelos populares em relação ao consumo de combustível (km/l). Para isso, a marca A selecionou n = 12 veículos de sua produção e fez um teste de consumo. A marca B também retirou uma amostra com n = 12 veículos e realizou o mesmo teste. As empresas afirmam que ambas têm a mesma variabilidade, σ 2 = 0, 81. Marca A 13,5 12,8 11,4 10,9 11,9 12,3 10,7 11,9 10,9 11,5 11,8 12,1 Marca B 12,8 12,8 13,6 13,8 10,1 11,1 11,9 11,4 10,8 12,2 12,4 12,5 Supondo que o desempenho em km/l tem distribuição Normal, pode-se dizer que as marcas de veículos têm desempenho médio igual a 5% de significância?

6 Exercício 1 Uma indústria compra componentes eletrônicos dos fornecedores A e B, mas o fornecedor A garante que o tempo médio de vida (em horas) do seu produto supera o da marca B em mais de 300 horas. Sabe-se que as variâncias dos tempos de vida, em horas, dos produtos dos fornecedores A e B são de 400 e 1600, respectivamente. Para testar a afirmação do fornecedor A, foram selecionadas duas amostras de componentes, uma de cada fornecedor, e obteve-se os seguintes tempos de vida: Marca A Marca B Teste a afirmação do fornecedor A ao nível de significância 5%, supondo que o tempo de vida em horas tem distribuição normal.

7 Amostras Independentes Variâncias desconhecidas Consideremos agora duas amostras aleatórias, X 1, X 2,..., X n1 de tamanho n 1 e Y 1, Y 2,..., Y n2 de tamanho n 2, com apenas uma diferença do caso anterior: as variâncias são desconhecidas, porém iguais, isto é, σ1 2 = σ2 2 = σ2. Temos que a estatística do teste é dada por: T = ( X Ȳ ) (µ 1 µ 2 ) s p 1 n n 2 t n1 +n 2 2 em que s p = (n 1 1)s1 2 + (n 2 1)s2 2. n 1 + n 2 2

8 Exemplo 1 Um grupo de planejamento urbano está interessado em estimar a diferença entre a média de rendimentos familiares para dois bairros em uma grande área metropolitana. Amostras aleatórias independentes de famílias nos bairros forneceram os seguintes resultados: Bairro 1: n 1 = 8; X = R$1570, 00; s 1 = R$70, 00 Bairro 2: n 2 = 12; Ȳ = R$1450, 00; s 1 = R$85, 00 Supondo que o rendimento familiar, em reais, tem distribuição normal, pode-se concluir, ao nível de significância de 5%, que as rendas familiares sejam diferentes nos dois bairros?

9 Exercício 1 Uma empresa deseja estudar a eventual eficácia da aplicação dos programas de treinamento ministrados pela sua área de recursos humanos. Para isso analisou duas amostras de desempenhos de seus funcionários: Grupo A, treinamento de 20 horas/aula e o Grupo B com 40 horas/aula. Os desempenhos dos funcionários foram Grupo A Grupo B Verifique se os treinamentos podem ser considerados equivalentes, ao nível de 1%, supondo que o desempenho têm distribuição normal.