1 Inferência Estatística - Teoria da Estimação

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1 1 Inferência Etatítica - Teoria da Etimação 1.1 Introdução Nete capítulo abordaremo ituaçõe em que o interee etá em obter informaçõe da população com bae em amotra. Como exemplo, conidere a eguinte ituaçõe. Uma indútria de produto de cabelo pretenda invetigar a aceitação de eu novo produto tonalizante em mulhere. Um piquiatra pretende determinar o tempo de reação de um medicamento antidepreivo em criança. Neta dua ituaçõe, deeja-e determinar um valor que repreente a população. Para tanto, elecionamo uma amotra, repectivamente, de mulhere que utilizaram o produto e verificamo qual é percentual de aprovação dete produto e uma amotra de criança que utilizam o medicamento e analiamo o tempo médio de reação. O procedimento de inferência etatítica compreende dua metodologia. Uma é chamada de etimação, por meio da qual nó uamo um valor obtido de uma etatítica para etimar o valor deconhecido do correpondente parâmetro; a outra, tete de hipótee, pela qual nó uamo o reultado amotral para avaliar e um valor aumido para o parâmetro (uma hipótee) é utentável ou não. Teoria de etimação é o aunto principal dete capítulo e tete de hipótee erá retomado no próximo capítulo. A eguir vamo definir algun conceito. Parâmetro Medida numérica que decreve uma caracterítica da população. São valore fixo, repreentado por caractere grego tai como, µ (média populacional), σ (devio-padrão populacional), e outra. Etatítica Qualquer valor calculado com bae no elemento da amotra é chamado etatítica. Por exemplo, a média amotral, o devio-padrão amotral, etc. A etatítica variam de amotra para amotra, endo, poi, ela própria variávei aleatória. Etimador Uma etatítica detinada a etimar um parâmetro populacional é chamada etimador. Cada um do valore que o etimador pode aumir é chamado de etimativa ou valor etimado do parâmetro populacional. É deejável que o etimador de um parâmetro tenha certa propriedade que permitem avaliar e o etimador é um bom ubtituto do parâmetro que e pretende etimar. Etimação Pontual 1

2 A etimativa e baeia em um valor único para o parâmetro. Por exemplo, e a proporção de mulhere com oteoporoe em uma comunidade for etimada em 45%, eta etimativa é pontual poi e baeia em único valor numérico. Muita veze, entretanto, queremo coniderar, conjuntamente, o etimador e a precião com que etimamo o parâmetro. A forma uual de apreentar ito é por meio do chamado intervalo de confiança. Etimação Intervalar (Intervalo de Confiança) Com uma amotra diponível, nó podemo uar propriedade da ditribuição amotral para formar um intervalo de confiança, ito é, um intervalo de valore que deve conter o parâmetro com uma probabilidade prédeterminada, referida por nível de confiança. O centro do intervalo da etimativa intervalar é ocupado pela etimativa pontual. O intervalo é contruído, em geral, ubtraindo e omando a etimativa pontual por um múltiplo do erro padrão da etimativa. Nete tipo de etimação, nó acreditamo, com um certo nível de confiança, que o intervalo contem o valor do parâmetro. Um exemplo, eria dizer que a proporção etimada de mulhere com oteoporoe etá entre 40% e 50% com um nível de 95% de confiança. 2 Etimação de uma Proporção Populacional Neta eção o dado ão referente a contagen, como o percentual de fumante, número de unidade defeituoa em uma linha de produção, e aim por diante. Inicialmente, abordamo a etimativa pontual do parâmetro p e em eguida, contruiremo etimativa intervalare. 2.1 Etimativa Pontual Conideremo o cao em que o parâmetro a er etimado é a proporção p de uma população, que apreenta certa caracterítica. Retira-e da população uma amotra de tamanho n. X erá o número de elemento da amotra que apreentam a caracterítica em etudo. Um etimador da proporção populacional p erá a proporção amotral: ˆp = X n 2.2 Etimação por Intervalo Um intervalo de confiança etá aociado a um grau de confiança que é uma medida da noa certeza de que o intervalo contém o parâmetro populacional. A definição de grau de confiança utiliza α para decrever uma probabilidade que correponde a uma área. O devio-padrão da ditribuição 2

3 amotral da proporçõe, p também conhecido como erro-padrão, pode er etimado pelo dado da amotra. ˆp ˆq p = n Uando a aproximação normal, o intervalo de confiança erá: ˆp ˆq ˆp z α/2 n p ˆp + z ˆp ˆq α/2 n Exemplo 4.1: Um epecialita em educação pretende avaliar a aceitação de um projeto educacional numa cidade. Depoi de apreentá-lo a ecola do município, o reponávei por ua execução deejam avaliar o valor aproximado do parâmetro p =, a proporção de diretore favorávei ao projeto, dentre a ecola do município. Para etimar ete parâmetro, o epecialita planeja obervar uma amotra aleatória imple de n = 600 ecola. Por exemplo, e na amotra 420 ão favorávei, temo a eguinte etimativa pontual para o parâmetro p: ˆp = ˆp = 0, 70 Uando um nível de 95% de confiança temo o eguinte intervalo: 0, 70 0, 30 0, , 7 1, 96 p 0, , , 663 p 0, 737 Ou eja, o intervalo de 66,3% a 73,7% contem, com 95% de confiança, a porcentagem de favorávei ao projeto, dentre toda a ecola municipai. Exemplo 4.2: Uma amotra aleatória de 400 cliente de uma farmácia inclui 180 que utilizam regularmente cupon de deconto. Contrua um intervalo de confiança de 98% para a proporção do cliente da farmácia que utilizam o cupon. Etimativa pontual : ˆp = ˆp = 0, 45 Intervalo de confiança: 0, 45 0, 55 0, 45 0, 55 0, 45 2, 33 p 0, 45 2, , 39 p 0, 51 Ou eja, temo 98% de confiança de que o intervalo de 39% a 51% contem, a porcentagem de cliente que uam o cupon, dentre todo o cliente que freqüentam a farmácia. 3

4 3 Etimação de uma Média Populacional 3.1 Etimativa Pontual A etimativa para a média populacional, µ é a média amotral X. 3.2 Intervalo de Confiança Para etimar o parâmetro µ, a partir de X, podemo eguir o memo princípio da etimação de uma proporção, poi, para amotra grande, a ditribuição amotral de X, também e aproxima de uma ditribuição normal. O erro padrão da média amotral pode er etimado, a partir do deviopadrão amotral: x = n Quando temo uma amotra grande, podemo avaliar o erro máximo da etimativa por: E = z α/2 n em que z pode er obtido da tabela da normal padrão, em função do nível de confiança deejado. x z α/2 µ x + z n α/2 n Exemplo 4.3: Tetou-e uma amotra de 38 cigarro de uma certa marca, a fim de verificar o teor de nicotina preente. Ea amotra indicou um teor médio de 25 e um devio-padrão de 3. Determine um intervalo de 99% de confiança para o parâmetro, a média efetiva do teor de nicotina dea marca de cigarro. 25 2, µ , , 74 µ 26, 26 Aim, temo que o intervalo entre 23,7 a 26,3 contem o nível médio de nicotina preente no cigarro da marca em etudo, com 99% de confiança. 3.3 Amotra Pequena Quando dipomo de uma amotra pequena (n < 30), não temo a garantia de que a ditribuição amotral da média e aproxime de uma ditribuição normal. A teoria etatítica motra que é poível contruir etimativa intervalare para média populacional, µ, utilizando uma certa ditribuição, 4

5 denominada t de Student. Nete cao, E = t σ n, em que t depende do nível de confiança deejado e é encontrado uando a tabela de t de Student com n 1 grau de liberdade. A ditribuição t, tem forma parecida com a da normal padrão, endo um pouco mai dipera. Eta diperão varia com o tamanho da amotra, endo batante dipera para amotra pequena, ma e aproximando da normal padrão para amotra grande. Em geral, a ditribuição é apreentada em função de um parâmetro, denominado grau de liberdade, gl, definido, no cao de etimação de uma média, por gl = n 1. Definição: [o número de grau de liberdade para um conjunto de dado correponde ao número de valore que podem variar apó terem ido impota certa retriçõe a todo o valore.] Intervalo de Confiança para a Média Populacional µ (com bae em uma amotra pequena e σ deconhecido) x t α/2 µ x + t n α/2 n Condição: Para que a ditribuição t de Student eja aplicável, a ditribuição da população báica deve er eencialmente normal; não precia er exatamente normal, ma e tem apena uma moda e é baicamente imétrica, obtemo bon reultado em geral (tai como intervalo de confiança precio). Se há forte evidência de que a população tem ditribuição batante não-normal, então devemo utilizar método não-paramétrico. Pode parecer um pouco etranho que, com uma população ditribuída normalmente, venhamo eventualmente a utilizar a ditribuição t para achar valore crítico; ma quando σ não é conhecido, a utilização de de uma amotra pequena incorpora outra fonte de erro. Para manter o grau deejado de confiança compenamo a variabilidade adicional ampliando o intervalo de confiança por um proceo que ubtitui o valor crítico z α/2 por um valor crítico maior t α/2. Exemplo 4.4: Para verificar a eficácia de um programa de prevenção de acidente de trabalho, fez-e um etudo experimental, implementando ete programa em dez emprea da contrução civil, ecolhida ao acao numa certa região. O dado abaixo referem-e ao percentuai de redução de acidente de trabalho, na amotra deta dez emprea em que o programa foi implementado. Amotra

6 Etatítica Média: x = 18 Devio-padrão: = 6, 65 O objetivo é etimar o parâmetro µ = média da redução percentual de acidente de trabalho, devido ao programa preventivo, em toda a emprea da contrução civil da região. Podemo obter uma etimativa para o erro padrão da média, como egue: x = 6, = 2, 103 Uando nível de 95% de confiança e grau de liberdade gl = 9 (poi, n = 10 e gl = n 1), obtemo na tabela o valor t α/2 = 2, 26, donde podemo calcular o erro máximo da etimativa: 6, 65 E = t α/2 = 2, 26 = 4, 753 n 10 Então, temo o eguinte intervalo de 95% de confiança para o parâmetro µ: x t α/2 µ x + t n α/2 n 18 4, 753 µ , , 247 µ 22, Etimação Intervalar para a Diferença entre Dua Média Populacionai µ 1 e µ 2 1 o cao: quando o devio padrão populacionai σ 1 e σ 2 ão conhecido (ou e n 1 e n 2 30). Sendo X 1 e X 2 variávei aleatória independente, então X 1 X 2 é normalmente ditribuída com média µ 1 µ 2 e devio-padrão σ σ X1 X = + σ2 2 n 1 n 2 Portanto, o intervalo de confiança para µ 1 µ 2 erá dado por: ( X 1 X 2 ) ± z α/2 σ X1 X 2 6

7 Exemplo 4.5: Dua populaçõe normai X 1 e X 2 tem devio-padrão de 1,7 e 1,3, repectivamente. Da população 1 foi extraída uma amotra de 25 elemento obtendo-e x 1 = 42 e da população 2 foi extraída uma amotra de 16 elemento obtendo-e x 2 = 35. Contruir o I.C. de 90% para a diferença de média. 2 o cao: quando o devio-padrão populacionai σ 1 e σ 2 ão deconhecido (e e n 1 e n 2 < 30). O intervalo de confiança para µ 1 µ 2 erá dado por: ( X 1 X 2 ) ± t α/2 2 p ( 1 n1 + 1 n2 ) em que 2 p = (n 1 1) (n 2 1) 2 2 n 1 + n 2 2 Exemplo 4.6: Um experimento realizado com funcionário de uma emprea conitia em ditribuir porçõe de café olúvel entre conumidore de café. Ea porçõe deveriam er miturada com água quente e tomada ante de dormir. O batimento cardíaco deveriam er medido ante e depoi de tomar o café e a diferença regitrada. Um grupo recebeu porçõe de café com cafeína e outro, de um placebo. O dado da diferença entre o batimento cardíaco etão apreentado abaixo. Contruir o intervalo de confiança de 90% para a diferença entre a média. Café com cafeína Placebo

8 5 Determinação do tamanho da amotra (n) Supondo que há condiçõe para aplicação do TCL, a fórmula para o cálculo de n, ão derivada da expreõe para o erro máximo provável, B. Na Amotragem Aleatória Simple a fórmula ão: etimação de µ σ deve er previamente etimado etimação de Π ( ) zσ 2 n = E 2 Π(1 Π) n = z E 2 Π deve er previamente etimado Sugetõe para etimação prévia de σ e Π: uar etimativa de um etudo imilar feito anteriormente ou de uma amotra piloto argumentação teórica: σ amplitude 4 e Π(1 Π) é no máximo igual a 0,25. Ao ubtituir por 0,25, o tamanho da amotra pode er maior que o neceário. Quando N (tamanho da amotra) é conhecido, o valor de n pode er corrigido (n ): n = Nn N+n Obervação: Se N muito maior que n, então n é aproximadamente n. 6 Exercício Propoto 1. Uma pequia efetuada com 130 funcionário elecionado ao acao de uma emprea revelou que 52 dele não mantinham convênio com alguma emprea particular de aitência médica. Contrua um intervalo de confiança de 90% para a proporção de funcionário que mantém convênio com alguma emprea particular de aitência médica. 2. Entrevitaram em uma cidade 1500 peoa em idade de trabalho e contata-e que 145 etão deempregada. Contruir um intervalo de 95% de confiança para a taxa de deemprego. 3. Tetou-e uma amotra de 36 cigarro de uma certa marca, a fim de verificar o teor de nicotina preente. Ea amotra indicou uma média de 22 e um devio-padrão de 4. Determine um intervalo de 98% de confiança para o parâmetro, a média efetiva do teor de nicotina dea marca de cigarro. 4. Dada uma amotra de tamanho 150 e uma proporção amotral de 0,32. (a) Calcule o erro-padrão da proporção (b) Contrua um I.C. de 95% (c) Qual é a etimativa pontual? 8

9 5. Uma amotra de 400 peoa indicou 280 etudante que foram claificado, de acordo com ua capacidade de vião, como enxergando melhor com o olho direito. Etime a fração de toda a população compota por peoa que enxergam melhor com olho direito. Ue um coeficiente de confiança de 95%. 6. A média e o devio-padrão de uma amotra com 19 medida foram determinado como endo 24,7 e 1,8, repectivamente. Determine um intervalo de 98% de confiança para a média populacional correpondente. 7. O lucro por carro novo vendido por uma agência de automóvei varia de carro para carro, devido à variação do abatimento dado ao comprador. A tabela a eguir regitra o lucro com a venda da emana paada. Determine um intervalo de 90% de confiança para o lucro médio por venda de carro. Lucro na venda Uma pequia efetuada com 130 funcionário elecionado ao acao de uma emprea revelou que 52 dele não mantinham convênio com alguma emprea particular de aitência médica. Contrua um intervalo de confiança de 90% para a proporção de funcionário que mantém convênio com alguma emprea particular de aitência médica. 9. Entrevitaram em uma cidade 1500 peoa em idade de trabalho e contata-e que 145 etão deempregada. Contruir um intervalo de 95% de confiança para a taxa de deemprego. 10. Uma máquina automática de refrigerante foi projetada para decarregar, em média, 7 onça de bebida em cada copo. Para tetar ea máquina, retiram-e 10 copo de refrigerante, medindo o conteúdo de cada um. A média e o devio-padrão obtido foram, repectivamente, 7,1 e 0,12 onça de bebida. Determine um intervalo de 90% de confiança para a decarga média da máquina. 11. Calcule o intervalo de confiança para a média em cada um do cao abaixo: 12. Uma amotra aleatória de 625 dona de caa revela que 70% dela preferem a marca K de detergente. Contruir um intervalo de 90% de confiança para p =proporção da dona de caa que preferem K. 9

10 Média amotral Tamanho da amotra Devio-padrão Grau de confiança a % b % c % d. 3,2 18 0,447 95% 13. Tetou-e uma amotra de 36 cigarro de uma certa marca, a fim de verificar o teor de nicotina preente. Ea amotra indicou uma média de 22 e um devio-padrão de 4. Determine um intervalo de 98% de confiança para?, a média efetiva do teor de nicotina dea marca de cigarro. 14. Dada uma amotra de tamanho 150 e uma proporção amotral de 0,32. (a) Calcule o erro-padrão da proporção (b) Contrua um I.C. de 95% (c) Qual é a etimativa pontual? 15. Calcule o erro-padrão da média com a eguinte amotra compota de 32 ecore: Com a média amotral do problema anterior, calcule: (a) Intervalo de Confiança de 95% (b) Intervalo de Confiança de 99% 17. Calcule o erro-padrão da média com a eguinte amotra compota de 30 ecore: Com a média amotral do problema anterior, calcule: (a) Intervalo de confiança de 95% (b) Intervalo de confiança de 99% 19. Suponha que utilizemo uma amotra para etimar uma proporção populacional p. Determine a margem de erro que correponde ao valore dado de n, x e ao grau de confiança: (a) n = 800, x = 200 e 1 α = 95% (b) n = 4275, x = 2576 e 1 α = 98% 10

11 Ação A Ação B x A = 45, 33 x B = 43, 54 2 A = 1, 54 2 B = 2, O preço que dua açõe atingiram ao final do dia foram anotado durante um período de 14 dia. A média e variância obtida foram: Determine um intervalo de confiança de 99% para a diferença entre o preço médio dee doi conjunto de açõe. 21. Realizou-e uma experiência a fim de comparar doi tipo de dieta, A e B, detinado à redução de peo. Doi grupo, cada um com 30 peoa gorda, foram tratada, cada um uando uma dea dieta, endo cada peoa aociada a uma dieta aleatoriamente. Ante e depoi de um período de 30 dia de dieta, foram anotado o peo de toda a peoa, obtendo-e o reultado a eguir, expreo em termo da redução de peo verificada. Dieta A Dieta B x A = 21, 3 x B = 13, 4 2 A = 2, 6 2 B = 1, 9 Determine um intervalo de confiança de 95% para a diferença entre a média de perda de peo da peoa que fizeram o doi tipo de dieta. 22. Qual é o tamanho de amotra neceário para etimar a renda média anual entre família norte-americana, a um erro máximo provável de $1000 com 95% de confiança. Sabe-e que a renda famliar etá entre 4000 e Determinar o tamanho de amotra neceário para etimar a proporção de família da periferia que moram em caa própria, fixando um nível de confiança de 95% para um erro de etimação de 4%. (N = família). 11