PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA

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1 1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO DE ANEIRO Lorena Drumond Loureiro Vieira Efeito da etimação do parâmetro obre o deempenho conjunto do gráfico de controle de X-barra e S Tee de Doutorado Tee apreentada ao Programa de Pó-Graduação em Engenharia de Produção da PUC-Rio como requiito para obtenção do título de Doutor em Engenharia de Produção. Orientador: Prof. Eugenio Kahn Epprecht Rio de aneiro unho de 16

2 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO DE ANEIRO Lorena Drumond Loureiro Vieira Efeito da etimação do parâmetro obre o deempenho conjunto do gráfico de controle de X-barra e S Tee apreentada como requiito parcial para obtenção do grau de Doutor pelo Programa de Pó-Graduação em Engenharia de Produção da PUC-Rio. Aprovada pela Comião Examinadora abaixo ainada. Prof. Eugenio Kahn Epprecht Orientador Departamento de Engenharia Indutrial - PUC-Rio Prof. Fernando Luiz Cyrino Oliveira Departamento de Engenharia Indutrial PUC-Rio Prof. Maya Sacramento de Magalhãe Fundação Intituto Braileiro de Geografia e Etatítica ENCE/ IBGE Prof. Mônica Barro Ecola Nacional de Ciência Etatítica - ENCE Profeor Bruno Francico Teixeira Simõe Univeridade Federal do Etado do Rio de aneiro - UNIRIO Prof. Marcio da Silveira Carvalho Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico PUC-Rio Rio de aneiro, de junho de 16

3 3 Todo o direito reervado. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho em autorização da univeridade, do autor e do orientador. Lorena Drumond Loureiro Vieira Graduou-e em Engenharia de Produção pela Univeridade do Etado do Pará em 4. Obteve o Título de Epecialita em Controle Etatítico da Qualidade pela Univeridade Federal do Pará em 6 e o Título de Metre em Engenharia de Produção pela Pontifícia Univeridade Católica em 8. Ficha Catalográfica Vieira, Lorena Drumond Loureiro Efeito da etimação do parâmetro obre o deempenho conjunto do gráfico de controle de X-barra e S/ Lorena Drumond Loureiro; Orientador: Eugenio Kahn Epprecht f. ; 3cm Tee (doutorado) Pontifícia Univeridade Católica do Rio de aneiro, Departamento de Engenharia Indutrial, 16. Inclui bibliografia 1. Engenharia Indutrial Tee.. Gráfico da média. 3. Gráfico do devio-padrão. 4. Probabilidade de Alarme Falo. 5. Fae I. 6. Fae II. I. Epprecht, Eugenio Kahn. II. Pontifícia Univeridade Católica do Rio de aneiro. Departamento de Engenharia Indutrial. III. Título. CDD: 658.5

4 4 Ao meu pai, Eduardo e Conceição, à minha irmã Kelly, Luciana e Karine, ao meu marido Hilbert e à minha filha Beatriz, pelo apoio e incentivo. A toda minha família.

5 5 Agradecimento A Deu que, com Sua infinita bondade, permitiu que eu chegae até aqui. Ao meu pai, Eduardo e Conceição, e irmã, Kelly, Luciana e Karine, pelo incentivo e por etarem empre preente em minha vida. Ao meu marido Hilbert, meu parceiro de jornada, pelo carinho e apoio incondicional. A minha filha Beatriz, razão de toda a coia. Ao meu Profeor, Orientador e amigo Eugenio Kahn Epprecht, pelo eninamento, pela dedicação, apoio e parceria nete trabalho, em todo o momento. A toda minha família, em epecial à minha tia Thereza, empre entuiata da minha conquita. Ao profeore e funcionário do Departamento de Engenharia Indutrial da PUC-Rio, pelo eninamento e aitência pretada durante a realização do Doutorado. A Cape, a PUC-Rio e a Fiocruz pelo apoio financeiro concedido a mim durante o curo.

6 6 Reumo Vieira, Lorena Drumond Loureiro; Epprecht, Eugenio Kahn. Efeito da etimação do parâmetro obre o deempenho conjunto do gráfico de controle de X-barra e S. Rio de aneiro, p. Tee de Doutorado Departamento de Engenharia Indutrial, Pontifícia Univeridade Católica do Rio de aneiro. A probabilidade de alarme falo, α, do gráfico de controle de proceo depende do eu limite de controle, que, por ua vez, dependem de etimativa do parâmetro do proceo. Eta tee apreenta inicialmente uma revião do principai trabalho obre o efeito do erro de etimação do parâmetro do proceo obre α quando e utiliza o gráfico de X e S individualmente e em conjunto. O deempenho do gráfico é medido atravé de medida de deempenho (número médio de amotra até o inal, taxa de alarme falo, ditribuição do número de amotra até o inal, que, em geral, ão variávei aleatória, função do erro de etimação. Pequia recente têm focado na propriedade da ditribuição condicional do número de amotra até o inal, ou ainda, na propriedade da ditribuição da taxa de alarme-falo condicional. Eta tee adota eta abordagem condicional e analia o efeito da etimação do parâmetro do proceo no deempenho conjunto do gráfico de X e S em doi cao: Cao KU ( Média conhecida Variância deconhecida ) e Cao UU ( Média deconhecida Variância deconhecida ). A quae totalidade do trabalho anteriore coniderou apena um gráfico, ioladamente; obre efeito da etimação do parâmetro obre o deempenho conjunto conhecemo apena um trabalho, obre gráfico de X e R, ma nenhum obre gráfico de X e S. O reultado da análie motram que o deempenho do gráfico pode er muito afetado pela etimação de parâmetro e que o número de amotra iniciai requerido para garantir um deempenho deejado é muito maior que o número tradicionalmente recomendado na literatura normativa de controle etatítico de proceo (livro texto e manuai). Ee número é, porém, menor que o máximo entre o número requerido para o gráfico de X e de S individualmente. Quetõe a erem invetigada como dedobramento dea pequia ão também indicada na Conideraçõe Finai e Recomendaçõe.

7 7 Palavra-chave Gráfico da média; gráfico do devio-padrão; probabilidade de alarme falo; Fae I; Fae II; etimação de parâmetro; ARL; número de amotra; tamanho de amotra; medida de deempenho.

8 8 Abtract Vieira, Lorena Drumond Loureiro; Epprecht, Eugenio Kahn (Advior). Effect of Parameter Etimation on the oint Performance of the X-bar and S Chart. Rio de aneiro, p. Doctoral Diertation Departamento de Engenharia Indutrial, Pontifícia Univeridade Católica do Rio de aneiro. The fale-alarm rate of control chart, α, depend on the control limit calculated, which depend, in turn, on the etimated proce parameter. Thi diertation initially preent a review of the main reearch article about the effect of the etimation error of the proce parameter upon α when X and S chart are ued eparately and together. The chart performance i evaluated through performance meaure (average run-length, fale-alarm rate, run-length ditribution, etc), which are, in general, random variable, function of the etimation error. Recent reearche focued on the propertie of the conditional run-length, or till (in the cae of Shewhart chart) on the propertie of the conditional fale-alarm rate ditribution. Thi diertation adopt thi conditional approach and invetigate the effect of parameter etimation on the joint behavior of X and S chart in two cae: KU Cae (Known mean Unknown variance) and UU Cae (Unknown mean - Unknown variance). Almot all previou work conidered jut only one chart eparately jut only one joint performance work i known by the author, one about the effect of the etimation error of the proce parameter upon X e R joint performance. The reult how that the chart performance can be everely affected by the parameter etimation and the number of initial ample required to enure the deirable performance i greater than the number of initial ample recommended by traditional tatitical proce control reference text (book and manual). Thi number i, however, maller than the maximum between the number of ample required by the X and the S chart eparately. Additional iue for follow-up reearch are recommended in the concluding ection.

9 9 Keyword Mean control chart; tandard deviation control chart; fale-alarm rate; Phae I; Phae II; parameter etimation; ARL; number of ample; ample ize; performance meaure.

10 1 Sumário 1 Introdução 1 Trabalho Precedente 8.1. Análie do Deempenho do Gráfico de X.. Análie do Deempenho do Gráfico de S (ou S ).3. Análie do Deempenho conjunto do Gráfico de X e S (ou S ) Modelo Matemático para análie do deempenho conjunto do Gráfico de X e S Definiçõe Iniciai Probabilidade de alarme falo do Gráfico de X Cao do Gráfico de X centrado no valor-alvo Cao do Gráfico de X centrado em X Probabilidade de alarme falo do Gráfico de S Probabilidade de alarme falo conjunta do Gráfico de X e S 59 4 Metodologia de Análie, Reultado e Dicuão Análie 1: Determinação da ditribuição acumulada P > b, parametrizada por n e m 64 complementar da, ( ) Gráfico da Média centrado no valor alvo Cao KU Gráfico da Média centrado em X Cao UU Análie : Determinação do Quanti de,95 e,9 da, parametrizada por n e m Gráfico da Média centrado no valor alvo Cao KU 75

11 Gráfico da Média centrado em X Cao UU Análie 3: Número mínimo de amotra m para cada tamanho de amotra n que garante com um percentual de probabilidade p que não é maior que ε% em relação à α Gráfico da Média centrado no valor alvo Cao KU j Gráfico da Média centrado em X Cao UU 88 5 Conideraçõe Finai e Recomendaçõe 9 6 Referência bibliográfica 94 Apêndice A Tabela e Gráfico da Análie 1 Gráfico da Média centrado no valor alvo - Cao KU Apêndice B Tabela e Gráfico da Análie 1 Gráfico da Média centrado em X - Cao UU Apêndice C Tabela e Gráfico da Análie Gráfico da Média centrado no valor alvo - Cao KU Apêndice D Tabela e Gráfico da Análie Gráfico da Média centrado em X - Cao UU Apêndice E Tabela da Análie 3 Gráfico da Média centrado no valor alvo - Cao KU Apêndice F Tabela da Análie 3 Gráfico da Média centrado em X - Cao UU

12 1 Lita de tabela Tabela 1 Probabilidade de exceder um valor b, para n= 5, 1, e 5, α =,1 e etimador S p, Cao KU Tabela Probabilidade de exceder um valor b, para n = 5, 1, e 5, α =,1 e etimador S c4, Cao KU Tabela 3 Probabilidade de exceder um valor b para n = 5, 1, e 5, α =,1 e etimador Sp, Cao UU Tabela 4 Probabilidade de exceder o valor,11, para n=1 e α j =,1 (exemplo da Tabela B. e B.4 Cao UU) Tabela 5 Quanti de,95 e,9 da, em função de n e m e etimador S P (Cao KU). Tabela 6 - Probabilidade de exceder um valor b para n = 5 e 1 da Tabela B Tabela do Apêndice A Tabela A.1 Probabilidade de exceder um valor b, para n = 5, 1, e 5, α =,54 e etimador S c4, Cao KU. Tabela A. (Tabela no texto) Probabilidade de exceder um valor b, para n = 5, 1, e 5, α =,1 e etimador S c4, Cao KU. Tabela A.3 Probabilidade de exceder um valor b, para n = 5, 1, e 5, α =,54 e etimador S p, Cao KU. Tabela A.4 (Tabela 1 no texto) Probabilidade de exceder um valor b, para n = 5, 1, e 5, α =,1 e etimador Sp, Cao KU Tabela do Apêndice B Tabela B.1 Probabilidade de exceder um valor b, para n = 5, 1, e 5, α =,54 e etimador S c4, Cao UU. 113

13 13 Tabela B. Probabilidade de exceder um valor b, para n = 5, 1, e 5, α =,1 e etimador S c4, Cao UU. Tabela B.3 Probabilidade de exceder um valor b, para n = 5, 1, e 5, α =,54 e etimador S p, Cao UU. Tabela B.4 (Tabela 3 no texto) Probabilidade de exceder um valor b, para n = 5, 1, e 5, α =,1 e etimador S p, Cao UU Tabela do Apêndice C Tabela C.1 (Tabela 5 no texto) Quanti de,95 e,9 da, em função de n e m e etimador S P, Cao KU. 15 Tabela do Apêndice D Tabela D.1 (Tabela 7 no texto) Quanti de,95 e,9 da, em função de n e m e etimador S p, Cao UU. 19 Tabela do Apêndice E Tabela E.1 (Tabela 8 no texto) Número mínimo de amotra iniciai m em função de n, com p = 5, 1 e 15%, ε = 1,, 3, 4 e 5% e etimador S P, Cao KU. 133 Tabela do Apêndice F Tabela F.1 (Tabela 9 no texto) Número mínimo de amotra iniciai m em função de n, com p = 5, 1 e 15%, ε = 1,, 3, 4 e 5% e etimador S P, Cao UU. 135

14 14 Lita de figura Figura do Apêndice A Figura A.1 Gráfico da Probabilidade de exceder um valor b, para n = 5 e 1, α =,54 e etimador S c4, Cao KU. Figura A. Gráfico da ditribuição acumulada complementar P( >a), para n = e 5, α =,54 e etimador S c4, Cao KU. Figura A.3 Gráfico da Probabilidade de exceder um valor b, para n = 5 e 1, α =,1 e etimador S c4, Cao KU. Figura A.4 Gráfico da Probabilidade de exceder um valor b, para n = e 5, α =,1 e etimador S c4, Cao KU. Figura A.5 Figura A.5 - Gráfico da Probabilidade de exceder um valor b, para n = 5 e 1, α =,54 e etimador Sp, Cao KU. Figura A.6 Gráfico da Probabilidade de exceder um valor b, para n = e 5, α =,54 e etimador Sp, Cao KU. Figura A.7 (figura 1 no texto) Gráfico da Probabilidade de exceder um valor b, para n = 5 e 1, α =,1 e etimador Sp, Cao KU. Figura A.8 Gráfico da Probabilidade de exceder um valor b, para n = e 5, α =,1 e etimador Sp, Cao KU Figura do Apêndice B Figura B.1 Gráfico da Probabilidade de exceder um valor b, para n = 5 e 1, α =,54 e etimador S c4, Cao UU. Figura B. Gráfico da Probabilidade de exceder um valor b, para n = e 5, α =,54 e etimador S c4, Cao UU. Figura B.3 Figura B.3 - Gráfico da Probabilidade de exceder um valor b, para n = 5 e 1, α =,1 e etimador S c4, Cao UU

15 15 Figura B.4 Figura B.4 - Gráfico da Probabilidade de exceder um valor b, para n = e 5, α =,1 e etimador S, Cao UU. c 4 Figura B.5 Gráfico da Probabilidade de exceder um valor b, para n = 5 e 1, α =,54 e etimador S p, Cao UU. Figura B.6 Gráfico da Probabilidade de exceder um valor b, para n = e 5, α =,54 e etimador S p, Cao UU. Figura B.7 Gráfico da Probabilidade de exceder um valor b, para n = 5 e 1, α =,1 e etimador S p, Cao UU. Figura B.8 Gráfico da Probabilidade de exceder um valor b, para n = e 5, α =,1 e etimador S p, Cao UU Figura do apêndice C Figura C.1 Gráfico do quanti de,95 e,9 da, em função de n e m, α j =,54 e etimador S P, Cao KU. Figura C. Gráfico do quanti de,95 e,9 da, em função de n e m, α j =,1 e etimador S P, Cao KU Figura do apêndice D Figura D.1 (Figura no texto) Gráfico do quanti de,95 e,9 da, em função de n e m, α j =,54, etimador S p, Cao UU. Figura D. (Figura 3 no texto) Gráfico do quanti de,95 e,9 da, em função de n e m, α j =,1, etimador S p, Cao UU

16 16 Lita de abreviatura e ímbolo α α j A AARL AFAR ARL ARL ARL 1 b B i, B j c.d.f. c 4 CARL CEP CEQ S X CRL probabilidade de alarme falo nominal epecificada probabilidade de alarme falo conjunta nominal epecificada Contante tabelada, utilizada no cálculo do gráfico da amplitude amotral Média ou valor eperado do RL taxa de alarme falo obtida average run lenght in control average run length out of control average run lenght quantil de p da ditribuição de probabilidade de ou limite de previão Limite de controle calculado para diferente ubgrupo função denidade de probabilidade acumulada contante tabelada ARL condicional controle etatítico do proceo controle etatítico da qualidade taxa de alarme falo obtida taxa de alarme falo condicional taxa de alarme fala conjunta obtida taxa de alarme falo obtida para o gráfico de S taxa de alarme falo obtida para o gráfico de X RL obtido CUSUM cumulative um chart

17 17 D 3 D 4 ε EWMA f F Contante tabelada, utilizada no cálculo do gráfico da amplitude amotral Contante tabelada, utilizada no cálculo do gráfico da amplitude amotral Valor percentual maior que o rico α nominal exponentially weighted moving average chart Função de denidade de probabilidade função de ditribuição acumulada 1 F função de ditribuição acumulada invera Φ FAR FCF H H 1 IC KU função de ditribuição normal padrão acumulada fale-alarm rate fator de correção/ efeito da etimação da média por X hipótee proceo ob controle etatítico hipótee proceo fora de controle etatítico in control média conhecida e devio-padrão deconhecido LCL lower control limit LCL ˆ etimated lower control limit LCLX m Limite inferior de controle do gráfico de X número de amotra µ média do proceo em controle ˆµ µ etimativa da média do proceo em controle µ média da ditribuição da variável aleatória X X n n i NMA tamanho da amotra i-éima amotra da Fae I número médio de amotra até o inal

18 18 OOC p Q q p χn 1 χ( n 1), α χ n 1, α χ m ( n 1), α out of control Probabilidade epecificada de ultrapaagem etatítica de Queenberry p-éimo quantil da ditribuição da RFS Variável aleatória qui-quadrado com (n-1) grau de liberdade quantil de (1 α) da ditribuição da variável qui-quadrado com m(n-1) grau de liberdade quantil de (1 α) da ditribuição da variável qui-quadrado com (n-1) grau de liberdade quantil de (1 α) da ditribuição da variável qui-quadrado com m(n-1) grau de liberdade R r RFS RL RLOA S S p S S Si amplitude amotral ubgrupo amotrai de queenberry taxa de alarme falo entre todo o gráfico run length valor eperado da média do número de amotra entre alarme falo do gráfico devio-padrão amotral devio-padrão combinado ou pooled tandard deviation Média do m devio-padrão amotrai variância amotral variância do i-éimo ubgrupo σ devio-padrão do proceo quando etá em controle ˆ σ etimativa do devio-padrão do proceo em controle σ S Devio-padrão da ditribuição da variável aleatória S

19 19 σ X SDRL U UCL Devio-padrão da ditribuição da variável aleatória X devio-padrão do RL Formato da curva upper control limit UCL ˆ etimated upper control limit UCL Limite uperior de controle do gráfico de S S UCLX UU v V Var w W Limite uperior de controle do gráfico de X média e devio-padrão deconhecido quantil da ditribuição de probabilidade de v erro padronizado de etimação da média (variável aleatória normal padrão). Variância quantil da ditribuição de probabilidade de W fator de erro de etimação do devio-padrão (variável aleatória qui-quadrado, com mn grau de liberdade). w b valor de W que reulta em um valor para igual a b * wv X X valor de W que, quando V=v, reulta em = b variável aleatória normal média amotral da variável X X i i-éimo valor de X na Fae II X j X k X j-éimo valor de X na Fae II média do k-éimo ubgrupo Etimativa da média do proceo y quantil da ditribuição de probabilidade de Y Y variável aleatória qui-quadrado com ( n 1) liberdade m grau de

20 z α quantil da ditribuição de probabilidade de Z z quantil de ( 1 α ) da ditribuição normal padrão z 1 quantil da ditribuição de probabilidade de Z 1 Z Z 1 variável aleatória normal padrão Variável aleatória normal-padrão

21 1 1 Introdução O controle etatítico do proceo (CEP), que contitui uma área do controle etatítico da qualidade (CEQ), tem como objetivo a detecção de alteraçõe no proceo ao longo do tempo. Todo e qualquer proceo etará ujeito a certa variabilidade, inevitável e difícil de er eliminada, por melhor que eja o eu planejamento e controle. Trata-e da variabilidade natural do proceo, que é fruto de uma érie de pequena perturbaçõe que ocorrem aleatoriamente. Quando o proceo apreenta apena a variabilidade natural, devida à caua aleatória, dize que ele etá ob controle etatítico ou em controle (in control, em inglê IC). Um proceo pode apreentar, também, outro tipo de variabilidade, decorrente de caua epeciai (chamada também de atribuívei ou ainalávei), que ão maiore quando comparada à variabilidade natural do proceo e têm o efeito de modificar a ditribuição da variável aleatória X, delocando a média e/ou o deviopadrão em relação a eu valore ob controle (valore-alvo). Quando, além da caua aleatória de variabilidade, caua epeciai etão preente, diz-e que o proceo etá fora de controle etatítico (out of control, em inglê OOC). Para detectar a preença de caua epeciai, na tentativa de e evitar o aumento da variabilidade no proceo, ete devem er contantemente monitorado. A principal ferramenta utilizada no monitoramento e identificação de variaçõe no proceo ão o gráfico de controle, poi permitem a ditinção entre caua aleatória e epeciai. Ete baeiam-e na retirada regular (periódica) de amotra do proceo e no cálculo de uma etatítica amotral (por exemplo, média ou número de defeito obervado), que é comparada com limite de controle. Em muito cao, o gráfico de controle contêm uma linha central, que repreenta o valor eperado da etatítica monitorada quando o proceo etá ob controle, e dua linha uperior e inferior em relação à linha central, denominada limite uperior (upper control limit, em inglê - UCL) e inferior (lower control limit, em inglê - LCL) de controle. O limite do gráfico de controle ão determinado com bae na média e no devio-padrão da etatítica monitorada, quando o proceo etá iento de caua epeciai. Ete, por ua vez, ão função

22 do parâmetro do proceo. Em algun cao, o gráfico pouem, apena, um limite de controle. Io ocorre quando, em geral, ó há interee em detectar aumento na etatítica de controle e a ditribuição amotral da etatítica de controle é aimétrica. Em muito cao, ou memo na maior parte da veze, o parâmetro do proceo não ão conhecido a priori e neceitam er etimado. A etimação do parâmetro deve er baeada em amotra do proceo retirada durante um período em que e upõe que o proceo eteja ob controle etatítico. Quando io não ocorre, o parâmetro ão incorretamente etimado e, conequentemente, o gráfico de controle, cujo limite ão obtido a partir dea etimativa, têm o eu deempenho comprometido. Memo quando o proceo etá ob controle, o etimadore pouem variabilidade e não coincidirão exatamente com o valore reai do parâmetro do proceo. Quando o parâmetro neceitam er etimado, o gráfico de controle ão aplicado em um procedimento com dua fae. A primeira dela, chamada de Fae I, repreenta a fae inicial do uo do gráfico de controle, quando ão etimado o parâmetro, a partir de um conjunto de dado do proceo (etudo retropectivo do proceo). Neta fae, deeja-e colocar o proceo ob controle etatítico, atravé da identificação e eliminação de caua epeciai, podendo-e recalcular o limite de controle vária veze. Na Fae II, parte-e do preupoto de que já e pouem etimativa uficientemente precia do parâmetro do proceo, ito é, que a amotra na quai a etimativa e baearam foram proveniente de um proceo ob controle e que a amotra foram em número e tamanho uficiente para adotar a etimativa obtida como valore conhecido do parâmetro do proceo. A partir daí, coletam-e amotra do proceo em tempo real, para verificar eventuai alteraçõe decorrente de caua epeciai. Há toda uma linha de pequia em CEP obre a análie de deempenho do gráfico de controle, baeada na upoição de que o parâmetro do proceo ão conhecido ou etimado com precião aboluta. De fato, obervando-e o artigo de CEP em qualquer periódico ou em um conjunto dele, pode-e contatar que a maior parte do trabalho e detina ao etudo da Fae II do gráfico de controle, em que a ditribuição ob controle é aumida como completamente conhecida. Woodall e Montgomery (1999) reconhecem a importância de etudar a Fae I, epecialmente ao longo da trê linha eguinte: análie do efeito da etimativa do parâmetro do proceo (ito é, da ua precião ou imprecião)

23 3 obre o deempenho do gráfico (epecialmente na Fae II); determinação do número de amotra neceário para garantir um deempenho adequado (próximo ao nominal - o deempenho eperado no cao de parâmetro conhecido com precião); e método para determinar valore para o limite de controle (epecialmente na Fae I, e poivelmente variávei ao longo do tempo, de acordo com o acúmulo de informação da nova amotra) que compenem o efeito de etimação do parâmetro e garantam o deempenho deejado para o gráfico. A epecificação do limite de controle é uma da deciõe crítica em CEP e etá aociada a doi tipo principai de rico de decião, imilare ao doi rico em um tete de hipótee cláico: Rico α ou Probabilidade de Erro Tipo I (taxa de alarme-falo ou falealarm rate, em inglê - FAR): é o rico de um ponto cair além do limite de controle, indicando a ituação de falta de controle quando nenhuma caua epecial etiver preente. Nete cao, haverá uma intervenção no proceo, com o cuto e prejuízo correpondente, deneceariamente. Probabilidade de Erro Tipo II: é o rico de um ponto cair entre o limite de controle, indicando a ituação de ob controle quando o proceo etiver realmente fora de controle. Nete cao, não haverá uma intervenção no proceo, apear de neceário, cauando prejuízo decorrente da produção com um proceo fora de controle. Devido a ee rico, é recomendável medir-e o deempenho do gráfico de controle. A análie de deempenho do gráfico conite em medir a enibilidade do memo a perturbaçõe, enibilidade ea que pode er medida pela ua probabilidade (ou por ua rapidez, ou ainda por ua eficiência razão entre medida de rapidez e de cuto ) de inalizar um delocamento do parâmetro em relação ao valor ob controle (valor alvo). Outra medida de deempenho além da probabilidade de Erro Tipo I e Tipo II, podem er utilizada para medir a eficiência do gráfico de controle. Dentre a mai frequentemente utilizada detaca-e a medida NMA - número médio de amotra até o inal (average run lenght, em inglê - ARL) - que correponde ao valor eperado do número de amotra até o inal, RL (run length, em inglê). A maioria do etudo obre o efeito da etimação do parâmetro no deempenho do gráfico de controle de Shewhart tem focado na ditribuição

24 4 marginal (ou incondicional) do RL e alguma métrica aociada. Reviõe de literatura obre ete tema podem er encontrada em enen et al. (6) e Paraki et al. (13). Vário autore incluindo Trietch e Bichack (1998), Chakraborti (6), Bichak e Trietch (7), Epprecht et al. (15) e Saleh et al. (15), têm inalizado que um etudo obre a ditribuição do RL dada a amotra de referência (ditribuição condicional) ito é, a ditribuição do RL baeada no parâmetro etimado na Fae I eria mai útil para o uuário do que a análie baeada na ditribuição marginal (ou incondicional). Ee autore etudaram a ditribuição condicional do RL e outro aunto aociado, para o gráfico de Shewhart para monitoramento da média. Mai recentemente, trabalho relacionado ao gráfico de Shewhart para monitoramento da diperão também foram apreentado. Entretanto, não foi identificado, a partir da revião de literatura realizada para ete trabalho, um etudo obre o deempenho conjunto quando e utilizam gráfico para monitoramento da média e da diperão imultaneamente. Uma vez que uma amotra de referência é obtida de uma análie de Fae I e parâmetro etimado ão calculado, o limite de controle da Fae II ão calculado com bae nea etimativa e o proceo é monitorado utilizando-e ee limite etimado. Portanto, e foem calculado o limite de controle da Fae II baeado em dua amotra de referência ditinta do memo proceo em controle, eriam produzida dua etimativa diferente para o parâmetro utilizado no cálculo dee limite, que levariam, então, a uma diferença no deempenho (taxa de alarme falo, número médio de amotra até o primeiro inal etc) do gráfico de cada fae. Como reultado, ao contrário do cao em que o parâmetro ão conhecido, a ditribuição marginal do RL em controle não é geométrica na Fae II; ela é condicionalmente geométrica, com parâmetro igual ao obtido e a taxa de alarme fala obtida,, é função da etimativa e do limite de controle calculado a partir da amotra de referência. Portanto, por exemplo, no cao do gráfico do devio-padrão, a probabilidade de alarme falo obtida () é uma função da etimativa ˆ σ do devio-padrão em controle σ e, portanto, uma variável aleatória (mai preciamente, como tem ido vito na literatura, é uma função da razão ˆ σ σ ). Então, o RL da Fae II de qualquer gráfico em qualquer aplicação não irá eguir a ditribuição marginal do RL em

25 5 controle, ma im, a ditribuição condicional do RL obtido (CRL) dado o limite de controle, baeado no valor particular de ˆ σ obtido de determinada amotra de referência. Tendo em vita a conideraçõe anteriore e à luz da literatura epecífica obre a análie de deempenho do gráfico de controle e a utilização da ditribuição condicional do RL, definiu-e como problema de pequia a análie do efeito da etimação do parâmetro na Fae I obre o deempenho do gráfico de X e S quando utilizado em conjunto na Fae II. Io porque já exitiam trabalho referente ao deempenho individual do gráfico de X e S, incluive, para ete último, um artigo publicado pela doutoranda e eu orientador (Epprecht et al, 15), e não havia na literatura trabalho obre o deempenho conjunto de tai gráfico. Dada a recomendaçõe de Mahmoud et al. (1) contra a utilização do gráfico de R e a equivalência entre o gráfico de S e o gráfico de S, quando e utiliza o limite de probabilidade (vide Epprecht et al., 15), a buca e o etudo deta tee e concentraram no uo conjunto do gráfico de X e S. Algun objetivo epecífico deverão er alcançado de modo a levar a pequia ao eu objetivo principal, quai ejam: Determinar a função denidade de probabilidade acumulada da conjunta do gráfico de X e S. Determinar quanti uperiore da, que conitem em limite de previão - valore máximo que a pode atingir, endo ultrapaado apena com probabilidade baixa. Determinar o menor número de amotra m que garante com alta probabilidade que a não irá exceder um limite uperior (quantil) epecificado. Io erá feito para diferente etimadore do devio-padrão do proceo, na eguinte ituaçõe: Quando o gráfico de controle da média etá centrado no valor alvo (parâmetro conhecido ); e Quando o gráfico de controle da média etá centrado no valor etimado X.

26 6 O reultado, em cada ituação, erão obtido analiticamente (em utilizar imulação) e erão apreentado atravé de tabela e gráfico. Para o alcance do objetivo da pequia e o entendimento do mecanimo neceário para o deenvolvimento da tee, o trabalho foi etruturado da eguinte forma: Revião de Literatura: além dete primeiro capítulo onde foram apreentado o problema de pequia, o objetivo do trabalho e ua motivaçõe, a pequia teve início a partir de um levantamento do principai trabalho (artigo, monografia, livro etc) já deenvolvido principalmente no eguinte tema: análie de deempenho (individual e conjunto) do gráfico de controle, deempenho condicional e incondicional, etimação do parâmetro e cálculo do limite de controle, taxa de alarme-falo, número médio de amotra até um inal, gráfico de Shewhart. Eta revião bibliográfica para apreentação do trabalho precedente é apreentada no Capítulo, etruturada em trê eçõe, cada uma e dedicando ao entendimento da análie de deempenho de cada gráfico - média, devio-padrão, média e devio-padrão em conjunto. Bae Teórica e Formulação do Modelo Matemático: além do fundamento conceituai que ão fornecido a partir da leitura do trabalho precedente, também ão apreentada alguma definiçõe teórica neceária para o entendimento da formulação do Modelo Matemático no Capítulo 3. Epecificamente, o modelo é o da ditribuição acumulada da, em função da etimação do parâmetro, parametrizada por m e n. Metodologia de Análie, Reultado e Dicuão: neta tee o deempenho conjunto do gráfico de controle da média e do deviopadrão pode er viualizado atravé de trê análie ditinta de acordo com o input definido previamente pelo uuário para obtenção do output correpondente. A diferente análie correpondem a diferente vita ou ângulo de vião da ditribuição da FAR. A metodologia e a dicuão obre o reultado de cada análie ão apreentado no Capítulo 4. O reultado ão apreentado atravé de tabela e gráfico,

27 7 que ão apreentado na íntegra na eção de Apêndice. Ao longo do texto do Capítulo 4, alguma tabela e gráfico do Apêndice ão apreentado para melhor entendimento do reultado obtido. Conideraçõe Finai e Recomendaçõe para Trabalho Futuro ão apreentado no Capítulo 5 e a referência bibliográfica citada no texto, no Capítulo 6. Cabe mencionar que a notação utilizada neta tee egue a terminologia da língua inglea utilizada no artigo publicado (Epprecht et al, 15), para uniformização da igla com a utilizada na literatura correpondente ao tema. A decrição em portuguê de cada notação em inglê etá apreentada no texto no momento em que é citada pela primeira vez.

28 8 Trabalho Precedente A influência da etimação do parâmetro do proceo no deempenho do gráfico de controle é reconhecida há batante tempo. A recomendaçõe cláica encontrada no livro de Controle Etatítico da Qualidade (CEP), dede Shewhart, acerca do número (m) e tamanho (n) de amotra iniciai neceária para etabelecimento do limite para o gráfico de controle ão de a 3 amotra de tamanho 4 ou 5, tomada quando o proceo etá etável ( em controle ), ou eja, com a variável de interee apreentando uma ditribuição contante, com média e variância contante. Por exemplo, Montgomery (13) recomenda utilizar a 5 amotra (ou ubgrupo de tamanho 3, 4 ou 5) para calcular limite de controle que ejam confiávei. No entanto, há vário artigo que apreentam reultado de pequia motrando que o número de amotra neceário para e ter confiança no deempenho do gráfico (por exemplo, para garantir que a taxa de alarme falo não erá muito maior que a epecificada) deve er bem maior que tai, 5 ou 3 amotra. Na eçõe eguinte dete Capítulo, ão apreentado o principai trabalho realizado obre o deempenho do gráfico de Shewhart X e S (ou S ) individualmente e em conjunto, quando o parâmetro ão etimado. Epecificamente obre a quetão da ditribuição do RL, apear de muito trabalho terem ido baeado na ditribuição marginal do RL, verificou-e que algun autore conideraram a ditribuição condicional como elemento intermediário para o cálculo da ditribuição marginal do RL (ver, por exemplo, Chen, 1998 ou mai recentemente, Maravelaki e Catagliola, 9 e Catagliola e Maravelaki, 11). Trietch e Bichak (1998) dicutiram problema baeado na análie da taxa de alarme falo, FAR (do inglê Fale Alarm Rate) incondicional e no número médio de amotra até o primeiro inal, ARL (do inglê Average Run Length) que correponde à média da ditribuição do RL incondicional - e obtiveram a ditribuição da FAR obtida (condicional),, para o gráfico de X com limite 3-igma e tamanho de amotra igual a 5, para

29 9 diferente número de amotra na análie de Fae I. Reultado imilare foram obtido por Chakraborti (6). Ainda que em número menor que o trabalho voltado para a análie do deempenho do gráfico para monitoramento da média, o efeito da etimação do parâmetro no deempenho do gráfico de S e S na Fae II e do número mínimo de amotra retropectiva recomendada tem ido etudado por vário autore, que obtiveram a média, devio-padrão e/ ou algun outro quanti da ditribuição incondicional do RL para ete gráfico (ver Burrough et al., 1993; Chen, 1998; Maravelaki et al., ; Zhang et al., 5; Catagliola et al., 9; e Guo e Wang, 13). A ditribuição incondicional do RL poui uma variância muito maior e uma forma diferente da ditribuição do RL no cao em que a variância é conhecida (que é geométrica). Algun dee autore propueram um ajute para compenar o efeito da etimação, empre utilizando como critério alguma propriedade da ditribuição incondicional do RL. Epprecht et al. (15) utilizaram eta abordagem da ditribuição condicional e focaram na análie do efeito da imprecião da etimativa obre a medida de deempenho do gráfico da variância S e do devio-padrão S na Fae II, atravé do etudo da ditribuição condicional do RL em controle dee gráfico. Conforme dito anteriormente, também foram deenvolvido trabalho utilizando-e a ditribuição condicional do RL para o gráfico de X e X (ver Saleh et al. 15). O gráfico de X foi idealizado para detectar mudança na média do proceo ob a upoição de que a caua epeciai não alteram o devio-padrão da variável aleatória X (variabilidade do proceo). Ainda que o gráfico eja enível a aumento na diperão de X, ea enibilidade é baixa. Por io, quando e deeja proteção tanto contra caua epeciai que poam alterar a média de X quanto contra caua que poam aumentar o eu devio-padrão, o procedimento uual é utilizar doi gráfico em conjunto, por exemplo, um gráfico de X e outro de S. Quando e utiliza deta forma doi gráfico para o monitoramento do proceo, a cada amotra ão tetada a eguinte hipótee: H : µ = µ e σ = σ H : µ µ e/ou 1 σ σ

30 3 onde H correponde à hipótee proceo ob controle e H 1, proceo fora de controle..1. Análie do Deempenho do Gráfico de X A capacidade de detecção de perturbaçõe no proceo ou eficiência do gráfico de X, dado que o parâmetro do proceo ão etimado, tem ido etudada há batante tempo. O vário artigo exitente determinam que a confiança no deempenho do gráfico depende do número (m) e do tamanho (n) de amotra que deve er retirado do proceo em controle para contrução do limite de controle. Tai trabalho recomendam número e tamanho de amotra iniciai muito maiore que o claicamente recomendado, conforme já foi dito. Queenberry (1991) analiou a ditribuiçõe em controle exata da diferença (ou razõe, conforme o cao) entre etatítica do (r+1)-éimo ubgrupo e o valore da mema etatítica calculada com bae em r ubgrupo precedente, e etabelece limite de controle para ea diferença ou razõe na realidade, para funçõe da mema, chamada etatítica Q, com ditribuição N(,1). A etatítica Q embutem a informação do número de amotra utilizado, evitando a neceidade de atualizar (recalcular) o limite de controle à medida que nova amotra vão endo obtida: o gráfico mantêm uma ecala padrão, única, com limite por exemplo em +3 e 3. A contrapartida é que o cálculo ão mai trabalhoo, neceitando er programado. O cálculo ão recurivo, baeado no valore anteriore. O Q-chart contituem o primeiro tipo de gráfico de Shewhart corretamente ditribuído para um proceo etável e normal. Então, como eu limite ão baeado na ditribuição exata da etatítica, podem er utilizada com qualquer número de amotra, memo dede o início da amotragem do proceo, contanto que a primeira amotra ejam retirada ante de que e diponha de etimativa do parâmetro. Tornam-e, aim, muito útei para proceo com corrida curta, ma também para o controle de qualquer proceo dede cedo e com probabilidade de alarme falo limitada. Contituem uma

31 31 abordagem completamente diferente da demai, e que elimina em muito apecto a ditinção entre a Fae I e a Fae II do gráfico de controle. Queenberry (1993) etudou o efeito do tamanho da amotra e do número de amotra obre o ARL do proceo ob controle (ARL ) e obre o ARL do proceo fora de controle (ARL 1 ) de gráfico de X e de X. Ele bucou a repota para a eguinte quetão: qual o número mínimo de amotra (m) neceário (de um proceo etável e normalmente ditribuído) para garantir que o deempenho do limite de controle etimado eja igual ao do limite de controle verdadeiro (o limite que o gráfico teriam e o parâmetro do proceo foem conhecido em erro)? O autor demontrou que a probabilidade de alarme falo, α, dee gráfico quando n e m ão pequeno é maior do que a nominal (por exemplo, para o gráfico de X com limite de trê igma, com m=3 e n=5, α =,378, maior que o valor nominal,7). Afirma que, no entanto, o ARL ão maiore que o nominai, poi o evento inal não ão independente, e critica Hillier (1969), que é citado na próxima eção, por ter deconiderado ee fato. Motra que a diferença ( UCL ˆ ) X i e ( UCL ˆ ) X j na Fae II, em diferente amotra, e onde X i e X j ão valore de X UC ˆ L é o limite uperior de controle etimado na Fae I (coniderado, portanto, uma variável aleatória) ão correlacionada poitivamente (ua covariância é igual à variância de portanto o evento de comparaçõe de X i UC ˆ L ), e, > UCˆ L e > UCˆ L não ão independente, e a equência X j X k (k=1,, 3,...) com o limite de controle não pode er vita como uma equência de prova de Bernoulli, de modo que o RL não egue uma ditribuição geométrica com média igual a 1 α. O autor fornece uma tabela com ea correlaçõe e, para obter o ARL (ARL e ARL 1 ) na Fae II, para n=5, utilizou imulação de Monte-Carlo. O número de amotra gerada até o inal é um valor (realização) da variável aleatória RL. O procedimento foi repetido um número uficiente de veze para obter a média do RL com erro-padrão pequeno (o número de repetiçõe eteve entre 6. e 4., dependendo do cao).

32 3 O efeito da correlação poitiva entre o valore de ( X UCL ˆ i ) ( UCL ˆ ) (e entre o de ( LCL ˆ ) e ( LCL ˆ ), onde UC ˆ L e CL X j X i X j e L ˆ ão, repectivamente, o limite de controle uperior e inferior etimado na Fae I), é um aumento do ARL em relação ao valore nominai (calculado ob a upoição de independência do evento inal ), aumento ete tanto maior pronunciado quanto menor for o valor de m (poi maior erá a variância do limite de controle etimado). Como reultado dee trabalho, Queenberry recomenda coletar m = 1 amotra de tamanho n = 5 cada uma, para o gráfico de X. A imulaçõe realizada retringiram-e ao tamanho de amotra n = 5 e o autor recomenda que o número de amotra m para o cálculo do limite permanente eja definido atravé da fórmula m = 4 ( n 1), à exceção de n = 1. Para o gráfico de X, o autor recomenda um número mínimo de 3 amotra para etabelecer o limite permanente. Durante a Fae I, porém, o autor recomenda, empre que for poível, a ubtituição da prática tradicional de etabelecimento de limite de controle proviório, a erem validado e revito, pelo uo de gráfico Q ( Q chart ), cujo limite de controle garantem para o gráfico o memo deempenho que o limite baeado em valore conhecido do parâmetro. Trietch e Bichak (1998) realizaram um etudo obre a taxa de alarme falo do gráfico de X (ARL) para pequeno número de amotra, quando o parâmetro do gráfico ão etimado. O autore detacam que, de acordo com a ua definição, o ARL é a média entre um grande número de gráfico de um único alarme-falo por gráfico, o primeiro que o gráfico produz. A meno que o gráfico não eja mai utilizado depoi do primeiro ponto fora de controle, o que é improvável na prática, uma melhor medida de deempenho eria a média do número de amotra entre alarme falo de um gráfico, em média (RLOA), quando o proceo etá ob controle. O autore defendem que RLOA é uma medida de deempenho mai útil e mai intuitiva que o RL. Para um dado gráfico, RLOA egue uma ditribuição binomial negativa com parâmetro r, igual ao número de amotra em média, em conjunto; e p, igual à probabilidade de um ponto cair fora do limite de controle. Embora o valore eperado e variância do RL e RLOA ejam o memo, ua ditribuiçõe não ão

33 33 e a ditribuição de RLOA não pode er aproximada por uma Normal, o que poderia er a mai provável para um gráfico contruído com limite conhecido. O Teorema Central do Limite não e aplica nete cao, porque cada ponto plotado é uma amotra de uma ditribuição diferente, ou eja, de uma ditribuição de média de número de amotra de um dado gráfico. Se apena uma corrida (uma amotra até o inal) é realizada por gráfico, tem-e a ditribuição do ARL. Realizando-e a média de 1 (dez) ou mai corrida até o inal no memo gráfico, obtêm-e ditribuiçõe imilare, ma a ditribuição de uma única amotra até o inal é diferente: a probabilidade de e obervar um RLOA menor que 5 (cinquenta), por exemplo, é muito grande e realizada apena uma corrida por gráfico, ma muito baixa e a realizada a média de dez ou mai corrida por gráfico. O autore também apreentam a medida de deempenho RFS, que correponde à taxa de alarme falo entre todo o gráfico, uma variável aleatória para o cao em que o parâmetro ão etimado. Para entender melhor a diferença entre a RFS e ARL, uponha que um grupo de gráfico eja contruído com limite etimado e que ejam utilizado durante o memo período de tempo. Um gráfico com menor ARL irá inalizar mai que outro que tiver maior ARL, contribuindo de forma diferente para a etimativa do ARL. No cao do RFS, ão atribuído peo iguai à contribuiçõe de cada gráfico para o cálculo, além de que, no cálculo da ARL, apena a corrida até o primeiro ponto fora de controle ão coniderada no cálculo da média. O reultado ão obtido atravé da ditribuição da RFS e apreentado na forma de quanti (q p ) da ditribuição da RFS em função de m e p (probabilidade de RFS er menor ou igual a um determinado quantil q p ), na forma de gráfico e tabela. Aim, o uuário pode determinar qual o tamanho de amotra razoável para contrução do limite de controle, de acordo com a taxa de alarme falo deejada. O trabalho de Nedumaran e Pignatiello (1) aim como o de Queenberry (1993), apreenta o problema da contrução do gráfico de controle de Shewhart para a média (determinação do limite de controle) quando o valore do parâmetro do proceo não ão conhecido. Apear de Nedumaran e Pignatiello (1) analiarem o deempenho do memo tipo de gráfico, trata-e de um etudo obre a contrução do gráfico de controle diferente daquele propoto por Queenberry (1993), motivado pelo cao em que não é poível eperar pelo

34 34 acúmulo do número de amotra recomendado (por exemplo, 1 amotra no cao de n=5) para iniciar o controle do proceo. O autore propõem um procedimento baeado em um número inicial (m) de ubgrupo, com limite que ão atualizado a cada k ubgrupo. À medida que mai amotra ão coletada, o número k pode variar (quer dizer, podem-e atualizar o limite com menor frequência: por exemplo, pode-e iniciar com m=5 ou 1 amotra iniciai, atualizando o limite de 5 em 5 amotra, até um total de 3 amotra, e então paar a atualizá-lo a cada 1 nova amotra, até a 5 a amotra, quando e paa a atualizá-lo de 5 em 5 amotra, fixando-o definitivamente com 75, ou 1, ou 15 amotra). O autore levam em conideração a correlação exitente entre o evento em que uma amotra ultrapaa o limite de controle (B i ) e o evento em que outra amotra ultrapaa o limite de controle (B j ). A abordagem propota conite em contruir limite de controle tai que a probabilidade de que ocorra um alarme falo em algum do próximo k ubgrupo, Pr[RL k], eja igual à de um gráfico com limite verdadeiro e rico α epecificado, i.e., k 1 (1 α). Dada a correlação exitente entre o evento B i e B j, o limite de controle ão etabelecido com bae em limite de previão da ditribuição normal k-variada da diferença X i X. enen et al. (6) apreentaram uma revião bibliográfica obre o efeito da etimação do parâmetro obre o deempenho do gráfico de Shewhart e outro tipo. Apreentaram a abordagen utilizada dede a década de 5 até 6, a principai medida de deempenho utilizada (quando o parâmetro ão conhecido e quando ão etimado) e eu principai apecto, aim como recomendaçõe obre tema que mereciam maior etudo. De acordo com o autore, a ditribuição condicional do RL do gráfico de controle é dependente do valore da etimativa do parâmetro, que, ante do dado erem coletado na Fae I, ão variávei aleatória. Aim, cabe etudar a função denidade de probabilidade condicional do RL. Em conequência do parâmetro erem etimado, nunca erá poível obter valore exato para a medida de deempenho de um determinado gráfico de controle. Entretanto, a ditribuição condicional do RL pode er utilizada para determinar um melhor e um pior cenário para gráfico com parâmetro etimado. Uma alternativa para quando não ão conhecido o parâmetro é a

35 35 utilização da ditribuição de probabilidade marginal do RL, que permite avaliar a variabilidade introduzida no gráfico de controle pela etimação do parâmetro. Nee cao, enen et al. (6) recomendaram complementar a avaliação do gráfico com outra medida de deempenho, além do ARL, tal como o SDRL (devio-padrão do RL) - até porque, a ditribuição marginal do RL é mai dipera que a ditribuição condicional. Como erá vito, o uo da ditribuição marginal do RL é a abordagem adotada pela maioria do trabalho na literatura pequiada, endo diferente da que foi utilizada neta tee, a abordagem condicional do RL. O autore recomendam coletar mai dado na Fae I do que o uualmente recomendado e afirmam que o impacto da etimação depende da direção do erro de etimação, do tipo de gráfico em quetão e do etimador utilizado. Sugerem que ejam aprofundada a pequia para o cao em que ão utilizado parâmetro etimado, em epecial, que e procurem repota para a eguinte quetõe: a) Quanto e perde em termo de deempenho quando ão utilizado parâmetro etimado ao invé de conhecido? b) Que tamanho de amotra é neceário na Fae I para garantir deempenho adequado na Fae II?, e c) Como o limite da Fae II poderiam er ajutado para compenar o tamanho da amotra na Fae I?. Chakraborti (6) apreenta em eu artigo um etudo obre o efeito da etimação do parâmetro do gráfico de X atravé da taxa de alarme falo obtida (AFAR), da taxa de alarme falo condicional (), da ditribuição marginal e condicional do RL e alguma caracterítica do RL, como: o ARL, o ARL condicional (CARL), algun quanti incluindo a média, e a probabilidade acumulada do RL. A metodologia utilizada foi a derivação e avaliação da ditribuição do RL em controle atravé da ditribuição condicional do RL e a forma de apreentação do dado em gráfico e tabela difere da demai apreentada em trabalho anteriore, uma vez que o uuário pode ter aceo ao valore para a contante do gráfico de acordo com epecificado valor do ARL em controle, quando o parâmetro ão deconhecido. Em trabalho como o de Ryan () e Queenberry (1993), o reultado não foram obtido de forma analítica e im, via imulação. O trabalho foi organizado em 4 (quatro) cao: Cao - média e variância

36 36 conhecido, Cao 1 - média deconhecida e variância conhecida, Cao - média conhecida e variância deconhecida e Cao 3 - média e variância deconhecido. O autor menciona que há doi problema báico quando e utiliza a FAR como medida de deempenho de um gráfico de controle quando o parâmetro ão etimado: quando há um inal, o evento de inal ubequente e tornam etatiticamente dependente, fazendo com que a interpretação de um alarme eja meno clara; e, porque o evento de inal ão dependente, a ditribuição do RL não é geométrica (então, por exemplo, a FAR não é igual ao invero do ARL em controle). Ito poto, ão apreentado em cada cao, a caracterítica e o modelo de cálculo para FAR (AFAR e ) e o reultado obtido para n = 1,, 3,...1 e m = 5, 1, 15,,...5, ARL = 37 e 5. O principai reultado encontrado no trabalho de Chakraborti (6), em cada cao, ão apreentado abaixo de forma reumida: Cao A FAR é igual à taxa de alarme falo nominal, α, para todo e qualquer ubgrupo inpecionado e a relação Cao 1 FAR = α = 1 é válida; ARL A média do proceo é etimada por X e o evento de inal ão dependente, conequentemente, FAR é diferente de α. A taxa de alarme falo obtida é denominada AFAR e oberva-e que AFAR contém em ua fórmula um fator de correção (FCF), que é função de m (e não depende de n) e que correpondente ao efeito da etimação da média por X, calculado por m m + 1. Coniderar FAR = AFAR, ignificaria coniderar que FCF=1 para qualquer valor de m. O autor apreenta uma tabela com o valore obtido para AFAR para diferente valore de m. Para e obter uma AFAR próxima ao valor nominal FAR = α =,7, é neceário m= 5 amotra pelo meno. O autor também apreenta uma formulação analítica alternativa para a taxa de alarme falo, denominada de taxa de alarme falo condicional (), uma vez que o proceo de etimação da média o torna uma variável aleatória dependente de X. é uma função imétrica de Z, uma variável aleatória normal padrão e = α quando Z=. O reultado demontram que é muito enível ao valor da etimativa X, principalmente quando m é pequeno (menor que 5). Apena quando X é muito

37 37 próximo ao valor nominal (entre o primeiro e o terceiro quantil da ditribuição de ), é próximo (dentro de 1%) do valor nominal FAR. Conequentemente, ea nova expreão de (função de X ), fornece uma nova expreão para AFAR (média da ditribuição de ), que não é coniderada uma boa medida de deempenho, uma vez que a ditribuição de é aimétrica. Analiando a ditribuição do RL em controle, é poível verificar que algun atributo eu como a média ARL e o devio-padrão SDRL, diminuem em relação ao valore-padrão (parâmetro conhecido e não etimado) e que ARL e SDRL aumentam em direção a ee valore-padrão na medida em que m aumenta. O autor também afirma que, em função da aimetria da ditribuição do RL em controle, a mediana deve er preferida à média como medida de deempenho. Cao No cao em que a média é conhecida e o devio-padrão não, neceitando er etimado, o cálculo é feito da mema forma, com a diferença de que a expreão da é função de uma variável aleatória W que egue uma ditribuição qui-quadrado, com mn grau de liberdade. O etimador utilizado para o devio-padrão é o S = 1 m m S i i= 1 - onde S i correponde à variância do i-éimo ubgrupo - que poui menor erro quadrático médio de acordo com Derman & Ro (1995). Cao 3 Ete último cao, em que tanto a média quanto o devio-padrão ão deconhecido e neceitam er etimado, é coniderado o mai geral. O etimador utilizado para a média é o X (Cao 1) e para o devio-padrão, o autor apreenta o cálculo para o etimador S (Cao ). Aim como no Cao 1, a AFAR para ete cao não é igual ao valor nominal FAR = α e im, maior do que eperado. O aumento em relação ao valor eperado também é maior que no cao 1 e. Aim como no Cao 1, a é uma variável aleatória, ma agora, dependente de dua variávei aleatória: Z, relacionada à etimação da média e W, relacionada à etimação do devio-padrão. Analiando deta forma, ob normalidade, X e S ão etatiticamente independente e é função de dua variávei aleatória independente Z e W. O gráfico motram que a uperfície de

38 38 atinge o pico no valore extremo de Z e W e que mudança na taxa não ão lineare: a ditribuição de é uma curva em formato de U, que diminui para,7 (valor nominal) e depoi aumenta na medida em que Z varia do menor para o maior valor, para um dado valor de W; e para um valor fixo de Z, diminui na medida em que W aumenta. O autor detaca que o valore de ão extremamente diferente do valor nominal quando o valore de Z e W ão ou etão próximo de eu valore extremo. Por exemplo: enquanto que na mediana de Z e W, é aproximadamente,77% do eu valor nominal, no quanti,1 de Z e W o valor de é enorme, 1.143% maior que o eu valor nominal. Analiando a ditribuição do RL para ete cao, o autor identificou um comportamento intereante, diferente do que foi obervado no Cao 1. Para elevado número de amotra, acima de 6, a ordem da curva e modifica no gráfico, o que ignifica que a probabilidade para um tamanho de amotra m=7 ou meno (primeiro inal em 7 amotra ou meno) é maior na curva da ditribuição geométrica do RL (m tendendo ao infinito) do que na curva da ditribuição do RL para m=5 ou m=15 o invero do que foi apreentado no Cao 1. Io ugere que valore extremo na cauda da ditribuição do RL podem e comportar de maneira diferente para pequeno valore de m. Aim como no Cao 1, ARL e SDRL aumentam na medida em que m crece, ma o 5º percentil é enivelmente menor e o 95º conideravelmente maior, já que a ditribuição do RL tem uma cauda direita maior que no Cao 1 e há mai variação. O autor recomenda que etudo emelhante ejam feito para outro tipo de gráfico de Shewhart, além do gráfico da média. Bichak e Trietch (7) etenderam a análie feita para o gráfico de X em Trietch e Bichak (1998), utilizando como medida de deempenho a RFS e realizaram um etudo obre a taxa de alarme falo para Probability-Baed Diffidence Chart para monitoramento da média. Ele acreditam que o conhecimento obre a ditribuição da RFS e a utilização de Probability-Baed Diffidence Chart ajudam o uuário a conhecer a probabilidade de ter obtido um gráfico ruim, ou eja, com limite de controle calculado que irão produzir uma taxa de alarme falo maior do que o eperado ou perda de poder. O Probability-Baed Diffidence Chart conideram a amotra iniciai da Fae I dinamicamente, de forma que o ubgrupo inicial é utilizado para ajutar o limite do gráfico para o ubgrupo eguinte, e aim uceivamente, permitindo

39 39 controlar o proceo enquanto ainda e etá coletando dado de bae. Segundo o autore, o objetivo do gráfico baeado em intervalo de confiança (Probability- Baed Diffidence Chart) é diferenciar o efeito da variação do proceo do efeito da etimação do parâmetro, o que não foi poível obter no trabalho de Queenberry (1991) obre o gráfico Q para variávei, uma vez que um ponto pode cair fora do limite porque de fato é atípico para o proceo ou porque ele é influenciado por etimativa de parâmetro que etão longe de eu valore correto devido a erro de amotragem. Tal quetão indeejável é reolvida pelo Probability-Baed Diffidence Chart atravé da criação de intervalo de confiança para o limite de controle que o gráfico teria e o parâmetro foem conhecido, como e foem controle interno do gráfico. Tai controle interno definem trê regiõe onde o ubgrupo de média podem cair: e um ponto cai mai próximo do centro do que do limite de controle interno, então ete é dito como fortemente em controle ; e ele cai fora do limite externo de controle, é coniderado fortemente fora de controle ; e e o ponto cai entre o limite interno e externo, ete é dito confiável. Ponto confiávei ão exatamente o ponto para o quai o tamanho da amotra é pequeno demai para dizer e etão ob ou fora de controle e e a maioria do ponto não ão confiávei, então o aumento do tamanho da amotra não é importante, uma vez que a deciõe a repeito do proceo podem er feita em ito. O autore afirmam que mai pequia obre o tema devem er feita para melhorar o deempenho dee gráfico, além de que outro gráfico como S, R, p podem er configurado de maneira emelhante. Chakraborti (7) examina a ditribuição do RL e eu percenti para o Gráfico de X quando a média e o devio-padrão do proceo ão deconhecido e neceitam er etimado. O conteúdo (e algun reultado) dete artigo ão o memo apreentado no artigo do memo autor no ano de 6 (ournal of Applied Statitic), com a diferença que nete último, em outro periódico (Quality Engineering), o cálculo ão apreentado em detalhe. Paraki et al. (13) realizaram uma pequia bibliográfica complementar ao trabalho de enen et al. (6), focando na pequia mai recente obre o tema, dede 6 até 13. Na verdade, trata-e de um trabalho mai abrangente, por coniderar uma diveridade maior de gráfico EWMA, CUSUM, gráfico para monitoramento da média e do devio-padrão, para dado correlacionado,

40 4 para dado multivariado e gráfico de atributo. Informam que, dede 6 até o momento da redação do artigo, foram publicado mai de 45 artigo de pequia obre o efeito da etimação do parâmetro no deempenho do gráfico de controle, o que demontra a importância e o interee pelo tema. Saleh et al. (15) avaliaram o impacto da etimação do parâmetro no gráfico de X e X coniderando a variabilidade exitente entre gráfico contruído a partir de diferente amotra de referência de um memo proceo, quando o parâmetro ão etimado) e a medida de deempenho AARL e SDARL, média e devio-padrão do ARL em controle obtido, repectivamente. Adicionalmente, avaliaram o deempenho do gráfico de X para diferente etimadore do devio-padrão. O autore apreentaram uma retropectiva do trabalho realizado que utilizam o AARL e SDRL como medida de deempenho e afirmam que nenhum dee etudo coniderou a variabilidade gráfico-a-gráfico ao recomendarem tamanho da amotra na Fae I, quando o parâmetro ão etimado [ver Queenberry (1993), Chen (1997), one e Steiner (1), Zhang et al. (1, 13), Lee et al. (13), Aly et al. (13)]. O objetivo inicial do etudo foi identificar a quantidade inicial de dado na Fae I neceária para ter um valor de AARL próximo ao valor deejado e um SDARL uficientemente pequeno, de acordo com o recomendado por Zhang et al. (1) o valor de SDARL deve er até 1% do ARL em controle eperado. Entretanto, o autore decobriram que ete deempenho não pode er obtido com um número razoável de amotra na Fae I e o objetivo do etudo foi ampliado. O reultado foram obtido para cinco etimadore diferente do deviopadrão e valore de m de a 5., com um tamanho fixo de amotra de n=5 e ARL =37. O reultado demotram que a quantidade de dado neceária quando e utiliza o SDARL como métrica é muito maior do que quando e utiliza o AARL apena, impraticável para a maioria do uuário. Na vião do autore, é muito difícil ou impoível obter um deempenho confiável ao e monitorar o proceo com o gráfico de X e X. Para agravar a ituação, detacam que tem ido demontrado por one et al. (1, 4) que o valore de AARL para o gráfico CUSUM e EWMA ão ainda mai afetado pelo erro de etimação do parâmetro que o da média.

41 41 Quanto à análie feita com relação ao etimadore, o reultado ão coerente com o trabalho de Mahmoud et al. (1), Derman e Ro (1995) e Del Catillo (1996) e muito outro: recomendam o uo do etimador Sp (deviopadrão combinado ou pooled tandard deviation, em inglê) para um melhor deempenho no controle do proceo. Por último, Saleh et al. (15) citam um procedimento alternativo para determinação do limite de controle, propoto por Nedumaran e Pignatiello (1) e Tai et al. (5), emelhante ao Self-Starting Chart [ver Hawkin (1987) e Queenberry (1)]. Tal procedimento conite em contruir o limite de controle com pouca amotra iniciai para monitorar um número fixo de amotra eguinte, que erão tomada como dado hitórico em controle (a que caírem dentro do limite de controle) e utilizada para etabelecer novo limite de controle para a próxima amotra. Ete proceo é repetido até e obter o tamanho de amotra pretendido ou mai. O autore não recomendam a utilização dee método, uma vez que acreditam que a Fae I é um pao importante e neceário para conhecimento do comportamento do proceo e, além dio, ao e utilizar ete procedimento, é poível que dado fora de controle ejam incluo no cálculo da etimativa do parâmetro.

42 4.. Análie do Deempenho do Gráfico de S (ou S ) Neta Seção, ão apreentado algun trabalho já exitente obre o deempenho do gráfico de controle de Shewhart para monitoramento da diperão do proceo, quando o parâmetro ão etimado, bem como a recomendaçõe de algun autore a repeito do tamanho e número de amotra neceário para e atingir determinado grau de eficiência ob a ótica de determinada medida de deempenho. Hillier (1969) é coniderado um do trabalho pioneiro mai relevante no tema. O autor avalia o deempenho do gráfico de X e R quando eu limite ão calculado com bae em um pequeno número inicial de ubgrupo, e propõe um método de determinação do limite de controle para ee gráfico de forma a garantir para ele deempenho idêntico ao do gráfico com limite baeado em parâmetro conhecido, independentemente da quantidade de ubgrupo utilizada. O autor refere-e a reultado de trabalho anteriore ao eu, que motram que o limite convencionai de trê-igma levam (com número de amotra pequeno) a uma probabilidade de alarme falo com valor maior que o nominal (o valor que ela teria e o parâmetro foem conhecido). Comenta ainda que ea probabilidade, na Fae I, ão ligeiramente maiore que na Fae II, uma vez que, argumenta ele, um valor inuitadamente alto ou baixo de X ou de R puxaria X ou R em ua direção, reduzindo ligeiramente a probabilidade de erro do tipo I em relação ao valor dea probabilidade na Fae II. Motivado por ea conideraçõe, ele analia a ditribuiçõe de X e de R, parametrizada pelo número de amotra m e pelo tamanho de amotra n, e motra, a partir dela, quai devem er o valore corrigido ou exato para o fatore A, D 3 e D 4, uado tradicionalmente no cálculo do limite de controle para o gráfico. Ele fornece tabela de ** A, ** D 3 e ** D 4 (fatore corrigido) em função de m, para n=5, e para divero valore da probabilidade de alarme falo epecificada. Dada a diferença entre a ditribuiçõe da probabilidade de alarme falo na Fae I e na Fae II, o fatore para uma fae ão diferente do fatore para a

43 43 outra; ele fornece, aim, tabela de valore para cada fae (denotando o valore para cálculo do limite para a Fae II por * A, * D 3 e * D 4 ). Afirmam que dua conideraçõe ão importante na ecolha do número de ubgrupo inicial m: o grau de neceidade por controle imediato e o poder do gráfico de controle em detectar que o proceo etá fora de controle. Embora o fatore fornecido garantam que α e mantenha no nível deejado com qualquer valor de m (o limite de controle devem er confiávei independentemente de quão pequeno eja m, e ee é o princípio da ua propota de fatore corrigido), valore muito pequeno de m reduzirão enivelmente o poder do gráfico, pelo alargamento do limite de controle do gráfico de X. Aim, cao e deeje iniciar cedo o controle do proceo, é recomendável começar com um valor pequeno para m, calcular valore iniciai proviório para o limite, e ir recalculando-o periodicamente, à medida que m aumenta. Finalmente, embora o limite poam er recalculado a cada nova amotra, io pode não er prático. Hillier (1969) recomenda que ele ejam atualizado periodicamente, com frequência, ma não neceariamente a cada amotra. Evidentemente, o ARL (ou eu invero, o valore de α ) obtido pelo autor ão valore médio (valore eperado de valore eperado, ponderado pela ditribuição de probabilidade da etimativa de X e R ; ou ainda, o valore eperado da ditribuiçõe marginai dea etimativa). O trabalho apreentado por Yang & Hillier (197) correponde a uma verão do trabalho anterior de Hillier (1969) para o cao de gráfico de X e S e de gráfico de X e S. O conteúdo, a metodologia, o reultado, concluõe, recomendaçõe, ão análogo. Chen (1998) analia em eu trabalho a propriedade da ditribuição do RL para o gráfico de controle de R, S e S, para o cao em que o devio-padrão do proceo é etimado. Ele obtém a função de ditribuição marginal do RL integrando a denidade conjunta do limite de controle e do RL ao longo do valore do limite de controle. A denidade conjunta, por ua vez, é obtida como o produto da denidade do limite de controle pela denidade (dicreta) condicional do RL (condicionada ao valor do limite de controle). O autor obtém, a partir daí, o ARL e devio-padrão do RL, ou eja, obtém a média e o devio-padrão da ditribuição marginal do RL. A análie foi feita para limite

44 44 de probabilidade que levaem a um ARL marginal igual a 37 (que produz uma taxa de alarme falo de,7). Ele compara ee reultado com a ditribuição do ARL quando o deviopadrão é conhecido. É upoto que a variável de interee egue uma ditribuição normal e que a etimativa do devio-padrão do proceo utilizada ão σ) = R d R para o gráfico de R; = S c S 4 σ) para o gráfico de S; e σ) S = S p p (média ponderada do devio padrão amotrai) para o gráfico de S. O autor define uma variável que correponde à razão entre o devio-padrão para o proceo fora de controle e o devio-padrão-alvo e analia o número de amotra até que o primeiro inal ocorra para o cao em que σ é conhecido e para o cao em que σ é etimado. Em eu etudo, o autor calcula a probabilidade de que o número de amotra até que o primeiro inal ocorra eja menor do que determinado valor epecificado e compara o reultado obtido para cada cao, para diferente valore de m, n. São encontrado reultado muito emelhante para o gráfico de R, S e S. Para o trê gráfico, quando razão entre o devio-padrão para o proceo fora de controle e o devio-padrão-alvo é igual a um (proceo ob controle), o ARL é menor quando o devio-padrão é etimado, ou eja, o proceo tende a gerar, em média, maior probabilidade de inal (α) que na ituação em que ele é conhecido. Quando a variabilidade do proceo ofre uma alteração (razão entre o devio-padrão para o proceo fora de controle e o devio-padrão-alvo diferente de um), o ARL é maior quando o devio-padrão é etimado, ugerindo que mudança na variabilidade não ão detectada rapidamente. O autor conclui, também, que o efeito da etimação de σ é maior quando a variabilidade aumenta e que, e a variabilidade diminui, em média, o efeito da etimação parece ter um efeito muito pequeno na probabilidade de inal. O autor também acrecenta que o efeito da etimação de σ depende de m e n, que em geral, diminui à medida que m e n aumentam: com 4 n 1, o efeito é quae inexitente para m 75. Chen (1998) recomenda que, para que e tenha um bom deempenho para detectar mudança no devio-padrão do proceo, com tamanho de amotra entre 4 e 1 ( 4 n 1 ), 75 amotra (m = 75) devem er coletada na Fae I. Maravelaki et al. () etudaram o efeito da etimação do parâmetro obre o deempenho do gráfico de S com limite de trê igma e com

45 45 limite de probabilidade, bem como obre o deempenho do gráfico de obervaçõe individuai no monitoramento da diperão do proceo, etendendo o reultado de Chen (1998) para obervaçõe individuai e ubgrupo racionai. Ele obtiveram a média (ARL ) e o devio-padrão (SDRL ) da ditribuição marginal da RL, por imulação, uando o memo procedimento que Queenberry (1993), com 1. repetiçõe. De maneira geral, o principai reultado para o gráfico de S foram: o valore de ARL e SDRL variam na mema direção, aumentando no cao de proceo em controle e diminuindo no cao de proceo fora de controle, com a realva que, quando m aumenta, o ARL e aproxima mai rapidamente do valor nominal que o SDRL. O autore afirmam que, quando o proceo etá ob controle ão neceária pelo meno m = amotra para garantir o bom deempenho do gráfico de controle. Além dio, com vita ao deempenho do gráfico na ituação do proceo fora de controle, i.e., ao eu poder, detacam a importância de e epecificar também um valor mínimo para n (há uma redução coniderável no valore do ARL à medida que n e torna maior). Recomenda-e utilizar n. O efeito da etimação é evero para m, epecialmente quanto à detecção de pequena mudança na diperão do proceo, é moderado para 3 m 5, e atifatoriamente pouco acentuado para m 1. Para o gráfico de obervaçõe individuai (gráfico de X) para monitorar a diperão do proceo, o autore recomendam o valor mínimo de 3 obervaçõe para minimizar o efeito da etimação do limite de controle do gráfico de X. O artigo aqui citado contituem algun do principai trabalho obre a quetão do efeito da etimação do parâmetro do proceo (e, portanto, do número e tamanho da amotra iniciai) obre o deempenho do gráfico de Shewhart para monitoramento da média e do devio-padrão (ou variância), por er ete o aunto deta tee. Há muito outro trabalho, aplicado a outro tipo de gráfico, em falar em CEP de proceo autocorrelacionado ou CEP multivariado. Ao leitor intereado em outro gráfico e no tema em geral, fica indicada a revião, batante abrangente, de enen et al. (6) e Paraki et al. (13), que, além dio, fornece uma extena lita de referência.

46 46.3. Análie do Deempenho conjunto do Gráfico de X e S (ou S ) De acordo com McCracken e Chakraborti (13), o equema de monitoramento conjunto do proceo ão útei em ituaçõe na quai caua epeciai podem reultar em mudança tanto na média quanto na variância do proceo e ele podem ajudar a evitar uma elevada taxa de alarme falo quando da utilização dee gráfico individualmente. Entretanto, o autore afirmam que o deconhecimento a repeito do parâmetro do proceo (e conequentemente, a neceidade de e utilizar parâmetro etimado) traz mai complexidade ao equema de monitoramento conjunto do que a ituação onde e utiliza apena um gráfico. Seja por eta ou por alguma outra razão, o efeito da etimação obre o deempenho conjunto do gráfico (para amba a Fae I e II), não foi etudado ainda, apear de er uma da mai importante quetõe relativa à Fae II (impacto da etimação do parâmetro a partir do dado de referência do gráfico da Fae I). Ou eja, ete tema merece er aprofundado. O que e pode verificar atravé da revião feita na eçõe.1 e. é que praticamente todo o etudo realizado obre ete tema até a publicação de enen et al. (6) foram baeado na ditribuição marginal do RL. Dede então, algun trabalho paaram a apreentar o etudo do deempenho do gráfico a partir da ditribuição condicional do RL, conforme foi verificado na revião bibliográfica apreentada por Paraki et al. (13). Em eu trabalho, Paraki et al. (13) também afirmaram que não foi realizado, no trabalho anteriore obre o efeito da etimação do parâmetro obre o deempenho do gráfico de controle, uma análie obre o deempenho de gráfico quando utilizado em conjunto, com exceção do gráfico Shewhart- EWMA. Adicionalmente, verifica-e, atravé de pequia bibliográfica obre o tema em ano poteriore a 13 [pequia de Paraki et al. (13)], que também não foram publicado trabalho até o momento obre o deempenho conjunto do gráfico de X e S (ou S ). Eta é a motivação do preente trabalho, que tem como objetivo principal determinar a ditribuição do rico α (e toda a análie poívei a partir deta medida de deempenho) quando ão utilizado imultaneamente o gráfico de X e S para o monitoramento do proceo, bem

47 47 como o número neceário de amotra iniciai m para limitar ee rico, analiando, incluive, o deempenho para diferente etimadore do devio-padrão do proceo.

48 48 3 Modelo Matemático para análie do deempenho conjunto do Gráfico de X e S A análie do deempenho conjunto do gráfico de X e S é feita atravé da utilização de um modelo matemático, que erá apreentado nete Capítulo (3), como função do erro (padronizado) de etimação da média e do fator de erro de etimação do devio-padrão. A medida de deempenho coniderada é a real taxa de alarme falo conjunto (obtida), (joint conditional attained fale alarm rate, em inglê), que é, como vito na eção anterior, uma variável aleatória (v.a.), que poderá ou não coincidir com a probabilidade nominal epecificada, α j. Nete trabalho, em contrate com o trabalho decrito na Seção, não ão utilizado oftware computacionai de imulação para obtenção da amotra e conequentemente, do valor da medida de deempenho Definiçõe Iniciai Aume-e que há uma amotra de referência conitindo de m ubgrupo independente de tamanho n, totalizando, portanto, mn obervaçõe extraída do proceo que e acredita etar em controle, graça a uma criterioa análie de Fae I. Aqui e upõe que ea obervaçõe eguem uma ditribuição normal com média µ e devio-padrão σ deconhecido. Além dio, aume-e que na Fae II (de monitoramento propectivo do proceo), o ubgrupo ão do memo tamanho (n) que o ubgrupo da amotra de referência. Se o proceo etiver ob controle, exitirá um rico de erro do Tipo I ou de um valor de X ou S cair fora do limite de controle do repectivo gráfico, inalizando indevidamente um etado de fora de controle. Parte-e do preupoto de que a probabilidade de alarme falo obtida para o gráfico com parâmetro etimado é ditinta da probabilidade de alarme falo nominal α (obtida quando não há erro de etimação). Deta forma, a

49 49 probabilidade de alarme falo conjunta, o parâmetro ão etimado erá:, para o gráfico de X e S quando ( 1 ) = ( 1 )( 1 ) X S (3.1.1) Denote-e o etimadore de µ e σ calculado a partir da amotra de referência (Fae I) por ˆµ e ˆσ, repectivamente. Além dio, defina-e o erro padronizado de etimação da média como V ) µ µ = σ (3.1.) E o fator de erro de etimação do devio-padrão como W ˆ σ = σ (3.1.3) Note que eta formulação é geral, independente do etimadore utilizado. Para o devio-padrão, a ecolha do etimador continua endo um tema de interee - veja, por exemplo, Mahmoud et al. (1) e Schoonhoven et al. (11). á para a média, há um coneno em torno do etimador X. Como apreentado anteriormente, nete trabalho ão utilizado o gráfico de S e S, que ão baeado no devio-padrão amotral e na variância amotral, repectivamente. Note que, dado que ão coniderado limite de probabilidade, ee doi gráfico ão equivalente. De fato, uma vez que P( S > ) = P S >, o limite de ( ) probabilidade de alarme falo (α ) do gráfico de S é igual à raiz quadrada do limite de probabilidade α do gráfico de S.

50 5 Uma vez calculado o etimadore da média ˆµ e do devio padrão ˆσ, o limite de controle de probabilidade uperior e inferior (UCL e LCL) para o gráfico de X e o limite uperior (UCL) para o gráfico de S a erem utilizado na Fae II, para uma taxa de alarme falo epecificada (ou nominal) α (ver Montgomery, 13) erão calculado atravé da expreõe abaixo UCL X = ˆ µ + z ˆ α σ n (3.1.4) LCL X = ˆ µ z ˆ α σ n (3.1.5) UCL S = χ ˆ n 1, α σ (3.1.6) n 1 onde α z é o quantil de ( 1 α ) da ditribuição normal padrão e χ 1, α n denota o quantil de (1 α) da ditribuição de uma variável qui-quadrado com (n-1) grau de liberdade. A equaçõe (3.1.4) e (3.1.5) acima ão aplicávei omente ao cao onde o gráfico de X etá centrado no valor X. No cao em que o gráfico de X etá centrado no valor-alvo µ, ˆµ nea equaçõe deve er ubtituído por µ. Serão dicutida, agora, alguma propriedade referente à contrução do gráfico de X e de S na Fae II Probabilidade de alarme falo do Gráfico de X

51 51 Pelo Teorema do Limite Central, para uma grande variedade de ditribuiçõe de X, a ditribuição de X tenderá a uma ditribuição normal, com média µ igual à média de X e devio-padrão σ igual ao devio-padrão de X X X dividido pela raiz quadrada do tamanho de amotra n. Portanto, com o proceo em controle µ = µ σ = σ. X e n X = µ σ, eta terá Definindo a variável aleatória Z como Z ( X ) X X ditribuição normal padrão com média µ = e devio-padrão σ = 1. Quando o proceo etá ob controle, µ = µ X e σ = σ n X e X X ( X µ ) Z =. σ n Por definição, a probabilidade de alarme falo para o gráfico de X na Fae II com parâmetro etimado é dada por = P( X > UCL ) + P( X < LCL ) X X X (3.1.7) Cao do Gráfico de X centrado no valor-alvo A expreão analítica da probabilidade em (3.1.7) difere conforme o gráfico de X eteja centrado em X ou µ. Centrar o gráfico no valor alvo correponde a, implicitamente, aumir que o valor alvo é a média do proceo em controle, ou, equivalentemente, definir que o proceo é coniderado fora de controle quando a ua média não coincide com o valor alvo. Em termo de modelo matemático, io equivale a dizer que a média em controle do proceo é conhecida. Na verdade ela é definida. Bata chamar o valor alvo de µ. Nete

52 5 cao não há erro de etimação de µ por definição e a probabilidade de alarme falo do gráfico de X erá calculada como: P LCL µ ( µ z ˆ σ n ) µ [ wz ] ˆ X X α σ ( X < LCL ) = P( Z < ) = Φ z X = Φ α = Φ α σ σ σ X n P UCL µ ( µ + z ˆ σ n) µ [ wz ] X X α ( X > UCL ) = P( Z > ) = 1 Φ = 1 Φ zα = 1 Φ X α σ σ σ X n ˆ σ X = P [ wz α ] + Φ[ wz ] ( X > UCL ) + P( X < LCL ) = 1 Φ X X α (3.1.8) Como Φ[ wz ] = Φ[ wz ] 1 α α, pode er reecrita como X X [ Φ( wz )] = P( X > UCL ) + P( X < LCL ) = 1 X X α (3.1.9) Como é poível obervar em (3.1.9), a probabilidade de alarme falo do gráfico de X é função monotonicamente decrecente do erro de etimação do devio padrão, W Cao do Gráfico de X centrado em X Quando a linha central do gráfico não etá no valor alvo, ma im no valor etimado da média, ˆµ = X, a probabilidade de alarme falo do gráfico de X erá função do erro de etimação do devio padrão W e dependerá também, do erro padronizado de etimação da média, V.

53 53 P( X < LCL = P( X > UCL ) + P( X < LCL ) X X X X LCL X ) = P( Z < σ X ) = Φ ( ˆ µ z ˆ σ n ) µ X α σ n µ ( ˆ µ µ ) ˆ σ n n zα = Φ[ v n wz ] P( X < LCL ) = Φ X α σ σ n P( X > UCL X ) = P( Z UCL X > σ X ) = 1 Φ ( ˆ µ + z ˆ σ n ) µ X α σ n µ ( ˆ µ µ ) ˆ σ n n + zα = 1 Φ[ v n wz ] P( X > UCL ) = Φ X + α σ σ n X X = P( X > UCL ) + P( X < LCL ) (3.1.1) = 1 Φ X X [ v n + wz ] + Φ[ v n ] α wz α ou = Φ[ v n + wz ] Φ[ v n wz ] 1 α α X (3.1.11) É poível verificar que a probabilidade de alarme falo do gráfico de X nete cao é função de W e V e ua ditribuição é função da ditribuição conjunta de (W, V). A denidade de probabilidade conjunta de W e V é o produto da denidade de W e V, poi W e V ão independente Probabilidade de alarme falo do Gráfico de S O limite de controle para o gráfico de S devem er baeado na ditribuição da etatítica S. Supondo que a variável a er monitorada iga uma

54 54 ditribuição normal com média µ e variância σ, a variância amotral S é um etimador não-vieado para σ. Entretanto, o memo não pode er dito a repeito do devio-padrão amotral S. De fato, é abido que: ( S) c σ µ S = E = 4 (3.1.1) onde c 4 é uma contante tabelada, determinada a partir do tamanho de amotra n e dado por: c 4 n Γ = n 1 Γ n 1 (3.1.13) onde Γ é a função gama. O devio-padrão do etimador S é dado por: ( S ) = σ c4σ = 1 c 4 σ S = Var σ (3.1.14) Para a dedução da forma da ditribuição de S, de eu parâmetro e da expreão para c 4, ver, por exemplo, Hald (195). Tabela do valore de c 4 cotumam er encontrada em livro de Controle Etatítico da Qualidade, como Montgomery (13) ou Cota et al. (5). De maneira geral, quando e monitora a diperão do proceo deeja-e detectar rapidamente aumento na diperão do memo. Nea ituação, utiliza-e um gráfico de controle unilateral (para detectar mudança omente em uma direção) para a diperão do proceo, em que e oberva e a etatítica plotada não excedem um limite uperior de controle calculado.

55 55 No cao de limite de probabilidade (ito é, que garanta uma probabilidade de alarme falo nominal epecificada α), deeja-e um UCL tal que, com o proceo em controle, P( S < UCL) = 1 α S. A probabilidade ( S UCL) [ ] er determinada a partir da probabilidade S ( UCL) P < pode P <, uma vez que é abido n 1 S que ( ) σ egue uma ditribuição qui-quadrado com ( n 1) grau de liberdade [ver, por exemplo, Cota et al. (5)]. Portanto, o valor de UCL que, e o proceo tiver devio-padrão igual a σ, é ultrapaado com probabilidade α é o valor que atifaz à eguinte relação: ( n 1) UCL (3.1.15) S χ n 1, α = σ onde χ 1, α n é o quantil de ( α ) liberdade. Subtituindo em (3.1.6), obtém-e: 1 da variável qui-quadrado com n 1 grau de UCL S = χ ˆ n 1, α σ (3.1.16) ( n 1) Note que a expreão (3.1.16) acima e aplica ao gráfico de controle unilateral de S, em LCL. Ete é o tipo de gráfico que erá coniderado nete trabalho, partindo da upoição que o interee é detectar eventuai aumento na diperão do proceo. Conforme apreentado em Epprecht et al. (15) obre o deempenho do gráfico de S e S, a taxa de alarme-falo para o gráfico unilateral uperior de S na Fae II com parâmetro etimado é igual a

56 56 P ( S χ ˆ n 1, ασ ( n 1) S > UCL) = P S > = P > χ n n 1 σ ˆ σ 1, α σ σ σ χ ˆ n 1, ασ ( n 1) S P ( S > UCL) = P S > = P > w χ 1, (3.1.17) n α n 1 σ onde ( 1) n S σ egue uma ditribuição qui-quadrado com (n 1) grau de liberdade. Aim, a equação acima e torna: P( χ w χ ) ou = P( χ w χ ) = n 1 > n 1, α 1 n 1 n 1, α (3.1.18) A equação (3.1.18) motra que S é ( > b) = P( W w) P S (3.1.19) onde b é o quantil de p da ditribuição de probabilidade de e w é o quantil de (1 - p) da ditribuição de probabilidade de W. Note que a ditribuição de W dependerá do etimador do devio-padrão utilizado na Fae I. Nete trabalho, b é definido como o valor máximo tolerado para a, ou ainda, limite de previão. Para a etimação do devio-padrão a partir de uma amotra de referência de m ubgrupo de tamanho n, há vário etimadore diponívei. Nete trabalho, não ão coniderado o etimadore baeado na amplitude amotral, uma vez que Mahmoud et al. (1) recomendam não utilizar, conforme dito

57 57 anteriormente. Serão coniderado o etimadore S c 4, o etimador tradicional para o devio-padrão quando e ua o gráfico de S, e o etimador S p (deviopadrão combinado ou pooled tandard deviation, em inglê), recomendado por Mahmoud et al. (1) como preferível ao primeiro por pouir menor erro quadrático médio. Para o etimador S c 4, S é dado por: S = 1 m m S i i= 1 (3.1.) E o etimador S p é dado por S p m i= 1 = m ( n ) ( ni 1) i= 1 i 1 S (3.1.1) i onde n i, S i e éima amotra da Fae I. S i ão repectivamente ao tamanho, devio-padrão e variância da i- Pelo Teorema do Limite Central e pela expreõe da média (3.1.1) e do devio-padrão de S (3.1.14), e o número de amotra m for uficientemente grande e a amotra tiverem ido retirada de um proceo em controle ( σ = σ ), m 1 a ditribuição de S = S j erá bem aproximada por uma m j = 1 ( 1 c ) 4 σ N c 4σ ; e a eguinte ditribuiçõe para ˆ σ e W e tornam válida m para o etimador não-vieado do devio-padrão, S : c 4

58 58 ˆ σ = S c4 ~ N σ ; ( 1 c ) 4 σ c4 m ( c ) (3.1.) ˆ σ 1 4 = ~ N 1; (3.1.3) σ c4 m W Aim, uando a ditribuição normal acumulada com o parâmetro dado em (3.1.3), é poível definir a variável aleatória Z 1, tal que Z 1 c m = ( W 1) e 4 ( 1 c ) 4 1 c4 = 1+ z1. A partir de Z 1, é poível determinar a c m w 4 denidade de probabilidade acumulada de W, F( W ) P( W w) =, parametrizada por n e m, e daí, por (3.1.18) e (3.1.19) pode-e obter a ditribuição acumulada de S. Quando e utiliza o etimador do devio-padrão S p e o proceo etá ob controle, conforme apreentado em (3.1.15), é conhecido que Y ( 1) m n S p =, σ <Y<, é uma variável aleatória que egue uma ditribuição qui-quadrado com ( n 1) S p m grau de liberdade. Subtituindo σ por W em (3.1.18), podemo ecrever W em função de Y como egue Y = ( ) m n σ 1 S p = m n ( 1) W W = Y m n ( 1) (3.1.4) Subtituindo W na equação (3.1.18) obtemo a expreão da S quando o etimador do devio-padrão utilizado é o S p : ( χ > w x ) y = P n 1 n 1, α = P χ n 1 > xn 1, α (3.1.5) m( n 1)

59 Probabilidade de alarme falo no uo conjunto do Gráfico de X e S Admitindo-e o uo conjunto do gráfico de X e S (ou S ) e que o parâmetro utilizado na contrução dee gráfico ejam etimado; e utilizandoe a equaçõe (3.1.9), (3.1.1), (3.1.18) e (3.1.5) é poível obter a probabilidade conjunta de alarme falo do gráfico de X e S,, de tal forma que a equação (3.1.1) e torna, conforme cada cao apreentado na Seção 3.1: Cao KU Média conhecida ( Known ) e Devio-Padrão Deconhecido ( Unknown ): Etimador do devio-padrão: c 4 S + + Φ + Φ = 1, , α α α α χ n n x m c c z P z m c c z z m c c z (3..1) Etimador do devio-padrão: S p ( ) ( ) ( ) Φ Φ = 1, 1, α α α α χ n n x m n y P z m n y z m n y (3..) Cao UU Média deconhecida ( Unknown ) e Devio-Padrão Deconhecido ( Unknown ) Etimador do devio-padrão c 4 S

60 6 + + Φ + + Φ = 1, , α α α α χ n n x m c c z P z m c c z n v z m c c z n v (3..3) Etimador do devio-padrão Sp ( ) ( ) ( ) Φ + Φ = 1, 1, α α α α χ n n x m n y P z m n y n v z m n y n v (3..4) Aim, por exemplo, a partir da ditribuição de probabilidade acumulada de W (que difere para cada etimador do devio-padrão e ainda varia de acordo com o número de amotra m e o tamanho de amotra n), é poível determinar o valor da que é excedido com probabilidade p, informando na equaçõe acima o valor w (quantil da ditribuição de W) tal que p w W P = 1 ) (. Eta é apena uma da análie para a probabilidade conjunta de alarme falo que pode er feita a partir dete modelo matemático. No Cao UU, entretanto, o cálculo da e torna mai complexa pelo fato de er função também do erro de etimação da média, V; ou eja, é função de dua variávei aleatória, (W e V) em vez de apena função de W. O equema gráfico abaixo reume a equaçõe utilizada em cada cao (KU e UU), que erão apreentada em detalhe no próximo capítulo.

61 61 ( 1 ) = ( 1 )( 1 ) X S X = Cao KU Φ[ wz ] ( χ w x ) α = P > n 1, α n 1, α X = Cao UU [ v n + wz ] + Φ[ v n wz ] 1 Φ α α ( χ w x ) = P > n 1, α n 1, α W Etimador S p Y m n = ; Y ~ χm( n 1) ( 1) Etimador S c 4 ( c ) ˆ σ 1 4 = ~ N 1; σ c4 m W W V = Etimador S p Y m n = ; Y ~ χm( n 1) ( 1) ( X µ ) σ 1 ~ N, mn Etimador S c 4 ( c ) ˆ σ 1 4 = ~ N 1; σ c4 m W V = ( X µ ) σ 1 ~ N, mn

62 6 4 Metodologia de Análie, Reultado e Dicuão Nete Capítulo é motrado como o modelo matemático apreentado no Capítulo 3 foi utilizado para e verificar o efeito da etimação da média e do devio-padrão obre o rico α conjunto do gráfico de X e S, de acordo com 3 análie: i. Análie 1: Determinação da ditribuição acumulada complementar do rico α, ( b) P >, parametrizada por n e m; ii. Análie : Determinação do quanti de probabilidade (1-p) da em função de n e m, que correpondem, em termo prático, a limite uperiore de previão que pouem um rico pequeno p de erem excedido; iii. Análie 3: Determinação do m mínimo, que garante com uma probabilidade (1 p) epecificada que a não é uperior a um valor ε maior que o rico α nominal (ε também epecificado). Ete m mínimo varia conforme o tamanho de amotra n e o rico α nominal coniderado para o etabelecimento do limite de controle para o gráfico. Para melhor ilutrar o reultado e proporcionar melhor entendimento, ão utilizado gráfico e tabela (Apêndice) para cada cenário de análie propoto. É relevante dizer que a diferente forma de apreentação do reultado ão correpondente entre i e diferem omente pelo input definido previamente pelo uuário para obtenção do output correpondente, em cada análie. Epecificamente, o modelo é da ditribuição acumulada da, em função de

63 63 W (e também de V), quando o gráfico etiver centrado em µ ou X, parametrizada por m e n. A diferente análie correpondem a diferente vita dea ditribuição. O que varia é o que aparece como dado, ou parâmetro, e o que é repota. Pode-e entrar" com n e m e obter a função denidade de probabilidade acumulada, c.d.f, da ; pode-e obter quanti dea ditribuição (limite uperiore de previão para a ) em função de n e m; e pode-e perguntar qual é o menor m que garante que, com uma probabilidade alta pré-epecificada, não excede um valor máximo tolerado. Conforme dito na Seção 3., apreentamo nete trabalho quatro modelo ditinto para o cálculo da, de acordo com a linha central do Gráfico da Média e do etimador utilizado para o devio-padrão. Para facilitar o entendimento de cada uma da trê análie acima citada, no Capítulo 4, ao final de cada Seção, ão apreentado comentário obre o reultado obtido cao-acao (quatro cao).

64 Análie 1: Determinação da ditribuição acumulada complementar da > b, parametrizada por n e m, ( ) P O reultado dea primeira análie etão apreentado na forma de tabela e gráfico no Apêndice A e B para o cao KU (média conhecida e deviopadrão deconhecido) e UU (média e devio-padrão deconhecido), para o doi etimadore de σ, curva [ ( b) veru b] P S e S c p. Para cada tamanho de amotra n, ão fornecida a 4 > para cada número de amotra m. O valore de tamanho de amotra utilizado ão n = 5, 1, e 5; e para o número de amotra, m = 5, 5, 1, 3 e 1.. O valore nominai do rico ( w = 1) ão de,54 e,1. α j Gráfico da Média centrado no valor alvo Cao KU Foi vito na Seção 3. que a quando o gráfico da média etá centrado no valor alvo é calculada atravé da equação (3..1) para o etimador do devio-padrão, S c 4 ; e atravé da equação (3..), quando e utiliza o etimador do devio-padrão, S p. Tai equaçõe motram que a varia conforme o tamanho da amotra n, o número de amotra m e o valor do fator de erro na etimação de σ, W. Portanto, pode er analiada em termo da ditribuição de probabilidade acumulada de W, em cada cao. A ditribuição de W, por ua vez, é função de n e de m (número de amotra iniciai), como já foi vito na Seção 3. Em outra palavra, a é uma variável aleatória que é função (monotonicamente decrecente) da variável aleatória W. Na preente Seção, motra-e o procedimento para obtenção do complemento da denidade de probabilidade acumulada da, parametrizado por n e m. Denotando-e por F ( b) a c.d.f. de, que fornece a probabilidade de er menor ou igual a ee valor b, P( b), F ( b) obtida atravé da eguinte relação:, pode er

65 65 F ( b) = P( b) = P( W > w ) = 1 F = 1 P( W w ) b W b (4.1.1) onde w b é o valor de W que, ubtituído em (3..1) reulta em um valor para igual a b. A probabilidade de e obter valore uperiore ao limite de previão b, P ( > b) ou F ( b) 1, pode então er determinada por: ( b) = P( W w = F ( w ) 1 F ) b W b (4.1.) por Como vito na eção 3.1, quando o devio-padrão do proceo é etimado S, F ( ) ou ( W ) c 4 W w b P é bem aproximada por uma função de w b ditribuição normal, com média igual a um e variância que é função de m e n (poi c 4 é função de n). Quando e utiliza o etimador S p, W egue uma ditribuição quiquadrado com m(n-1) grau de liberdade. Sabendo que Y χ, pode-e levantar a curva de = m( n 1) W ~ m( n 1) F por ponto, variando W a pequeno incremento, calculando o repectivo valor Y e calculando F por (4.1.). Aim, pela equação (3..1) e (3..) é poível calcular o valor b da correpondente ( ) W w b em cada cao (para diferente etimadore). O pare (b, F ) correpondem a ponto da função F ( b) ( b) P > ]. 1, ito é, [b, Oberva-e a partir da figura e tabela do Apêndice A (Cao KU) e B (Cao UU), que para um memo par (n, m), a probabilidade de exceder um valor b diminui na medida em que b aumenta. Em cada tabela, a primeira linha de cada bloco de probabilidade (um bloco para cada n) contém probabilidade de exceder b aproximadamente iguai a,5 para qualquer número de amotra m, poi correponde ao valor de para w = 1 ( = α j ). Para um dado n, quando m aumenta, a probabilidade de exceder um valor b, para qualquer valor dado de b > α j, torna-e ignificativamente menor,

66 66 podendo-e concluir que para e ter um alto grau de confiança de que a e manterá próxima ao valor epecificado b (probabilidade de exceder baixa) é neceário um número de amotra m muito grande. Por exemplo, pode-e verificar atravé da Tabela 1 abaixo, que para n = 5 e α j =,1, a probabilidade de exceder, (ou ARL < 45) - ou eja, aproximadamente o dobro do valor nominal α j =,1 - para m = 5, é de aproximadamente 15,%; para m = 5, de 6,86%; para m = 1, de 1,68%; e % para m 3. Tabela 1 Probabilidade de α =,1 e etimador S p, Cao KU m exceder um valor b, para n = 5, 1, e 5, P ( > b), α =,1 n b n b ,1,5188,5133,594,554,53 1,1,515,589,563,536,5,131,379,3197,46,1119,16,138,38,34,147,33,4,17,58,1648,84,7,,19,1496,68,168,1,,1,15,686,168,1,,61,57,1,7,,,84,8,7,,,,355,167,1,,,,364,39,58,,,,48,37,1,,,,46,165,11,,,,643,6,,,,,583,61,,,,,849,1,,,,,73,19,,,,,118,,,,,,97,5,,,,,146,,,,, m,1,586,561,543,55,514 5,1,577,554,538,5,51,149,6,143,6,37,,153,1976,1119,418,13,,,67,145,1,,,37,4,7,,,,33,1,5,,,,366,45,1,,,,49,9,,,,,558,,,,,,71,,,,,,83,,,,,,114,,,,,,111,,,,,,1411,,,,,,171,,,,,,1914,,,,,,337,,,,,,56,,,,,,389,,,,, Reultado emelhante de ão encontrado para o etimador S, c 4 empre um pouco menor para o valor correpondente b, com diferença entre o reultado do etimadore reduzida na medida em que m aumenta. Ito ocorre em função de S p er melhor etimador que S c 4 em termo do erro quadrático médio. Para o memo exemplo apreentado para o etimador S c 4, pode-e

67 67 verificar atravé da Tabela, que para n = 5, a probabilidade de er maior que, quando m = 5, é de aproximadamente 1,89%; para m = 5, de 7,%; para m = 1, de 1,94%; e % para m 3 também. Para ambo o etimadore, também ão apreentado reultado para α j =,54, que correponde a probabilidade de alarme individuai de,7 para cada gráfico. Tabela Probabilidade de =,1 e etimador S c4 m exceder um valor b, para n = 5, 1, e 5, α, Cao KU P ( > b) n b n b ,1,5,5,5,5,5 1,1,5,5,5,5,5,131,353,3131,455,1165,147,138,33,95,1475,349,5,17,53,165,84,85,,19,1475,693,181,1,,1,189,7,194,,,61,581,13,8,,,84,657,57,9,,,355,181,15,,,,364,96,74,3,,,48,44,1,,,,46,118,17,,,,643,8,,,,,583,41,3,,,,849,1,,,,,73,13,,,,,118,,,,,,97,3,,,,,146,,,,, m,1,5,5,5,5,5 5,1,5,5,5,5,5,149,19,1394,68,4,,118,365,313,453,1163,146,,68,15,11,,,14,453,1648,84,85,,33,18,6,,,,167,156,718,193,,,49,11,,,,,199,84,56,9,,,71,1,,,,,37,44,74,3,,,114,,,,,,8,193,17,,,,1411,,,,,,336,79,3,,,,1914,,,,,,399,9,,,,,56,,,,,,47,1,,,, Para um dado m, à medida que n aumenta, é poível obter probabilidade de exceder um valor b menore para um dado valor b. Por exemplo, obervando-e a Tabela 1 anteriormente apreentada, para a mema probabilidade = b =, (aproximadamente, com arredondamento de uma caa decimal, poi o valore de b para cada n não ão exatamente o memo), e = 5 m, tem-e (,) 15,% ( >,) = 14,96% P para = 1 ( >,) = 4,% P para n = 5. P > = quando n = 5; n ; ( >,) = 6,7% P para n = e

68 68 O reultado da Análie 1 motram que, com 5 amotra iniciai (m) de tamanho n = 5, número uualmente recomendado na literatura tradicional de CEP, há grande probabilidade de er conideravelmente maior que o valor nominal α j. Por exemplo, no cao em que a média é conhecida e o etimador de σ é o S p, para α =, 1 (ver Figura 1 abaixo), há cerca de 18% de probabilidade j de que eja uperior ao dobro dete valor [ ( α >,) P na curva para m = 5]. Para que P ( >,1) eja de apena 1%, ão neceária mai de 1. amotra iniciai - não há, dentre a curva apreentada (endo a curva correpondente ao maior valor de m, m=1.), curva que pae pelo ponto a ; P ( α >,1) [ =, 1 ]. Ete reultado confirmam achado precedente na literatura, de que o número de amotra iniciai neceário para manter α dentro do limite razoávei com elevado grau de certeza é ignificativamente maior que o número mínimo tradicionalmente recomendado.

69 69 P( >b); n = 5; α =,1,55,5,45,4,35 m = 5 m = 5 m = 1 m = 3 m = 1 P( >b),3,5,,15,1,5,,1,11,1,13,14,15,16,17,18,19,,1,,3,4,5,6,7,8,9,3,31,3,33,34,35,36,37,38,39,4,41,4,43,44,45,46,47,48,49,5,51,5,53,54,55,56,57,58,59,6 b P( >b); n = 1; α =,1,5,45,4,35,3 m = 5 m = 5 m = 1 m = 3 m = 1 P( >b),5,,15,1,5,,1,1,14,16,18,,,4,6,8,3,3,34,36,38,4,4,44,46,48,5,5,54,56,58,6 b Figura 1 - Gráfico da Probabilidade de α =,1 e etimador Sp. exceder um valor b, para n = 5 e 1,

70 Gráfico da Média centrado em X Cao UU F No cao de o gráfico de X etar centrado em X e denotando-e por ( b ) = P( b) α conjunto, F ( b) a denidade de probabilidade acumulada para o rico pode er obtida pela equação (3..3) para o etimador do devio-padrão S c 4 e pela equação (3..4) para o etimador Sp. Diferentemente do cao em que o gráfico de X etá centrado em µ, é função de dua variávei aleatória e não apena uma: é função do fator de erro na etimação do devio-padrão, W, e também é função do erro padronizado de etimação da média, V. É poível obervar atravé da equaçõe (3..3) e (3..4) que W afeta a ditribuição de e X afeta omente a ditribuição de S, enquanto que V. Portanto, a ditribuição da probabilidade X de alarme falo conjunta quando o gráfico de X etá centrado em X ( função da ditribuição conjunta da variávei W e V e ua c.d.f ( F ) é ) erá calculada a partir do produto da funçõe denidade de probabilidade de W, f W ( w), e de V, ( v) f V ( f ( w, v) f ( w) f ( v) W V = W, ). Aim: V, uma vez que W e V ão independente F ( b) = f W w ν * ( w) dw * fv ( v) dv = [ 1 FW ( wv )] fv ( v)dv v= (4.1.4) onde * w v é o valor de W que, quando V=v, reulta em = b, com < V < ; f W (w) e f V (v) ão, repectivamente, a função denidade de probabilidade do erro de etimação do devio-padrão, W, e do erro padronizado de

71 71 * etimação da média, v; e F ( ) w v, a função denidade de probabilidade acumulada de * w v. A curva W * v V no plano VW é o lugar geométrico do ponto (v, w) onde = b. Uma vez que para qualquer V, é uma função decrecente de W, então quando V=v e W > w v, < b. Conequentemente, a probabilidade total, para < b, é a integral da denidade conjunta de V e W na região do plano VW, onde W > σ Var V ) = σ ( µ ) Como X σ 1 ( = mnσ média igual a zero e variância * w v (a curva W * v V é a fronteira da região de integração). V = X e σ X σ σ =, ( V ) = mn E e =. Aim, V é uma variável aleatória normal, com mn 1 mn. Aim, para um dado valor de b (quantil da ditribuição da ), variando-e V a pequeno incremento dv, a equaçõe (4.1.4), (3..3) e (3..4) poibilitam encontrar, por meio de uma buca, o valor de * w v, para cada v, que reulta em F = b. O pare (b, 1 F ( b), ito é, [b, ( b) P F ) correpondem a ponto da função > ]. O valore de b para m igual a 3 e 1 foram dicretizado em unidade diferente do demai, para um melhor reultado. O reultado dea primeira análie para o gráfico da média centrado em X (Cao UU) etão apreentado no Apêndice B, para o doi etimadore do devio padrão. É poível obervar, comparando-e a denidade acumulada da no Cao UU (Apêndice B), com a denidade acumulada no Cao KU (Apêndice A), que a denidade acumulada da no Cao UU crece mai rapidamente que no Cao KU, para o memo par mxn. Por exemplo, comparandoe a Tabela A.4 (Cao KU, etimador S p ) e B.4 (Cao UU, etimador S p ) abaixo,

72 7 para n = 5 e m = 5, a probabilidade de em B.4 er 3% maior que o valor eperado =, 1 α [ P ( >,13) j ] é de 4,75% enquanto que em A.4, P ( >,13) = 37,9%, ou eja, 11,3% maior. Ito, incluive, ocorre para valore maiore de n e m; para n = e m = 3, a probabilidade de em B.4 er 5% maior que o valor eperado =, 1 α [ P ( >,15) 8,16% enquanto que em A.4, P ( >,15) =,37% maior. j ] é de, ou eja, 1 veze Tabela 1 Probabilidade de α =,1 e etimador S p, Cao KU m exceder um valor b, para n = 5, 1, e 5, P ( > b), α =,1 n b n b ,1,5188,5133,594,554,53 1,1,515,589,563,536,5,131,379,3197,46,1119,16,138,38,34,147,33,4,17,58,1648,84,7,,19,1496,68,168,1,,1,15,686,168,1,,61,57,1,7,,,84,8,7,,,,355,167,1,,,,364,39,58,,,,48,37,1,,,,46,165,11,,,,643,6,,,,,583,61,,,,,849,1,,,,,73,19,,,,,118,,,,,,97,5,,,,,146,,,,, m,1,586,561,543,55,514 5,1,577,554,538,5,51,149,6,143,6,37,,153,1976,1119,418,13,,,67,145,1,,,37,4,7,,,,33,1,5,,,,366,45,1,,,,49,9,,,,,558,,,,,,71,,,,,,83,,,,,,114,,,,,,111,,,,,,1411,,,,,,171,,,,,,1914,,,,,,337,,,,,,56,,,,,,389,,,,,

73 73 Tabela 3 Probabilidade de exceder um valor b para n = 5, 1, e 5, α =,1 e etimador S p, Cao UU m P ( > b) m m m m m n b b 3 b 1 n b b 3 b 1 5,997,5654,5479,53551,997,568,997, ,997,5743,55156,538,997,549,997,51538,198,51545,4779,4375,148,43579,118,459,198,5768,46334,41444,148,415,118,43447,1198,4696,41419,34994,198,35563,138,38846,1198,451,3846,3861,198,3175,138,35793,198,4754,35717,7597,1148,846,158,3356,198,39799,31555,384,1148,345,158,8831,1398,3896,3684,1514,1198,385,178,7753,1398,3514,57,15933,1198,16875,178,78,1498,35399,69,16636,148,17347,198,37,1498,3961,861,1116,148,11883,198,17557,1598,31,485,18,198,1385,1118,18847,1598,775,16865,7875,198,855,1118,1337,1698,9319,191,9837,1348,19,1138,1573,1698,44,13617,5565,1348,5716,1138,997,1798,6698,16411,7574,1398,763,1158,16,1798,1166,11,41,1398,3997,1158,7385,1898,434,144,5865,1448,5774,1178,977,1898,18658,895,958,1448,867,1178,545,1998,176,11995,4586,1498,4398,1198,774,1998,16463,737,71,1498,145,1198,439,98,33,177,3635,1598,67,118,61,98,1454,5914,183,1598,1417,118,336,198,18476,884,93,1698,1799,138,4843,198,1864,4869,1533,1698,1154,138,341,98,16886,7597,415,1798,1377,158,3853,98,11397,445,1348,1798,164,158,187,398,15448,656,36,1898,118,178,395,398,1117,3396,19,1898,135,178,1557,498,14146,5691,1759,1998,191,198,54,498,8998,887,1153,1998,16,198,1354,598,1968,4956,1558,98,15,1318,99,598,81,487,115,98,14,1318,15,698,119,4339,1411,198,135,1338,1786,698,7168,173,175,198,13,1338,1144,798,1935,3819,134,98,18,1358,1559,798,64,197,156,98,13,1358,194,898,16,3381,17,398,15,1378,1396,898,577,1733,143,398,13,1378,164,998,966,313,1171,498,14,1398,18,998,5199,158,136,498,13,1398,147,398,8546,73,113,598,13,1418,1199,398,47,1463,131,598,13,1418,136,3198,789,44,11,698,13,1438,114,3198,463,137,18,698,13,1438,13,398,799,,179,798,13,1458,113,398,3879,196,16,798,13,1458,17,3398,676,37,164,898,13,1478,176,3398,3543,139,15,898,13,1478,15,3498,67,1881,15,998,13,1498,158,3498,348,1193,14,998,13,1498,14,997,57779,55657,54145,997,56,997,5164 5,1,583,5583,5464,997,5669,997,51675,198,56,45116,39447,148,3961,118,41994,198,5134,44765,38857,148,3959,118,41551,1198,434,3584,731,198,8319,138,33,1198,4969,359,636,198,733,138,3197,198,3734,844,181,1148,1935,158,5137,198,36618,746,1789,1148,1818,158,47,1398,31973,174,1186,1198,178,178,1856,1398,3181,597,186,1198,1163,178,174,1498,738,1668,7655,148,8157,198,13338,1498,6314,1557,6814,148,757,198,11,1598,339,1776,4985,198,55,1118,938,1598,48,11734,4357,198,453,1118,8395,1698,1998,9787,3346,1348,3386,1138,656,1698,1883,885,94,1348,919,1138,571,1798,16995,755,364,1398,316,1158,457,1798,15899,6715,67,1398,1,1158,3887,1898,1453,588,1789,1448,179,1178,3169,1898,13461,5144,1595,1448,153,1178,718,1998,143,4564,1456,1498,1378,1198,36,1998,114,3997,1334,1498,168,1198,1994,98,166,368,166,1598,1111,118,1768,98,9713,3166,119,1598,178,118,156,198,917,936,1159,1698,143,138,1444,198,889,564,1113,1698,134,138,1313,98,791,47,198,1798,17,158,155,98,71,131,171,1798,15,158,1175,398,6851,53,165,1898,14,178,1147,398,611,1819,148,1898,13,178,11,498,5957,1779,146,1998,13,198,188,498,583,1595,136,1998,13,198,161,598,53,1577,136,98,13,1318,156,598,4594,1434,13,98,13,1318,141,698,4567,143,13,198,13,1338,139,698,419,1319,17,198,13,1338,131,798,431,13,17,98,13,1358,131,798,3539,136,15,98,13,1358,17,898,3578,143,15,398,13,1378,17,898,3139,1176,14,398,13,1378,15,998,3195,1185,14,498,13,1398,15,998,83,1134,13,498,13,1398,14,398,87,114,13,598,13,1418,14,398,53,113,13,598,13,1418,13,3198,598,1111,13,698,13,1438,13,3198,88,181,13,698,13,1438,13,398,366,188,13,798,13,1458,13,398,91,165,13,798,13,1458,13,3398,169,171,13,898,13,1478,13,3398,195,153,13,898,13,1478,13,3498,,158,13,998,13,1498,13,3498,1787,145,13,998,13,1498,13 Aim como foi comentado para a probabilidade de exceder um valor b do Apêndice A na Seção 4.1.1, há uma diferença mínima entre a probabilidade ( b) P > obtida com o doi etimadore utilizado, endo a probabilidade de ultrapaagem obtida para o etimador S c 4 menore do que a probabilidade de ultrapaagem obtida com o etimador do devio-padrão S p. Além dio, a diferença entre a probabilidade de ultrapaagem para diferente

74 74 etimadore diminui na medida em que m aumenta. Tal fato pode er verificado na Tabela abaixo, que contém a probabilidade de er 1% maior que o valor eperado α j =,1, proveniente da Tabela B. e B.4. Tabela 4 Probabilidade de exceder o valor,11, para n=1 e α j =,1 (exemplo da Tabela B. e B.4 Cao UU) Tabela B. - Etimador S c 4 Tabela B.4 (Tabela 3 no texto) - Etimador S p m = 5 49,35% 5,77% m = 5 45,31% 46,33% m = 1 4,73% 41,44% m = 3 31,36% 31,71% m = 1. 16,31% 17,56% Para um dado m, à medida que n aumenta, é poível obter probabilidade de ultrapaagem ( b) P > menore para um memo valor b. Por exemplo, obervando-e a Tabela 3, para a mema probabilidade b =, 11 e m = 5 P quando = 5, teme ( >,11) = 47,79% para = 1 n ; ( >,11) = 45,1 % ( >,11) = 44,77% n ; P ( >,11) = 46,33% P para n = e P para n = 5. Oberva-e também, ao analiar o dado da dua tabela, que a probabilidade ( b) P e diferenciam da probabilidade de ultrapaagem para n = 5. > para n = pouco O gráfico obtido para valore epecificado de n e m fornecem, dado um valor máximo tolerado para, b, a indicação obre a probabilidade de ultrapaagem dee valore. A curva no gráfico, porém, não permitem a determinação precia deta probabilidade e a tabela podem não pouir como entrada o valor exato da máxima (b) tolerado pelo uuário. Aim, ainda que tai curva tenham a vantagem de fornecer uma boa percepção da ditribuição da em função de m e n, outra forma de organização ou apreentação do reultado ão mai útei em termo prático, por correponderem mai diretamente à quetõe de interee do uuário e por lhe fornecerem a repota a ea ua quetõe diretamente na forma em que mai provavelmente ela erão formulada por ele. A aber:

75 75 (a) Para um dado tamanho de amotra n e um número de amotra iniciai m, qual é o quantil b de P( b) = p >, onde p é epecificado pelo uuário como uma probabilidade pequena, por exemplo,,5 ou,1? Io lhe permitirá determinar o número mínimo de amotra iniciai a coniderar, em função do valor dee quantil; (b) Dado um tamanho de amotra n e um valor máximo tolerado para a (maior que α j por uma pequena porcentagem ε epecificada, igual a ( 1+ ε 1 ) α j ), qual é o número de amotra iniciai (m) que garante, com uma probabilidade alta epecificada (por exemplo,,95 ou,9) que ee rico não erá ultrapaado? A Seção eguinte (4.) motra como obter o quantil b, tal que ( b) P > é igual a um valor epecificado p (quetão (a) acima). A Seção (4.3) demontra como obter o valor de m que garante que a tolerância limite epecificada para a não erá ultrapaada, com um grau de certeza epecificado (quetão (b) acima). 4.. Análie : Determinação do Quanti de,95 e,9 da, parametrizada por n e m Gráfico da Média centrado no valor alvo Cao KU Motra-e neta eção como obter, para um par (n, m) epecificado, o valor de b cuja probabilidade de ultrapaagem dee valor pela ( b) P, >, eja igual a um valor p epecificado a priori, ou eja, para uma probabilidade p epecificada, obtém-e o valor de b que é ultrapaado pela omente com uma pequena probabilidade p. Para a determinação de b, no cao em que o etimador utilizado é S, c 4 dado n, m e a probabilidade p epecificada, como a denidade de probabilidade acumulada de W e têm correpondência biunívoca, eu quanti também

76 76 terão e erá poível obter (invertendo-e a ditribuição normal acumulada de W) o valor de W, w p, tal que P( W w p ) = p. Sendo aim, P ( b) = 1 F = p = F w = F 1 ( p) > W p W (4..1) p b de Por exemplo, conidere α =, 5, n=5 e m=5. É poível obter o valor que é excedido com p=1%: P( w p = F 1 W > b) = 1 F ( p) = F 1 W (,1) = 1,93 = p =,1 = F Wp Subtituindo o valor w p na equação (3..1), obtém-e o quantil deejado de correpondente (valor de b tal que ( b) probabilidade p epecificada). P > é igual ao valor de O memo método e aplica à ituação em que o etimador de σ utilizado é S p, endo que nete cao, a variável aleatória W p é função de Y p, uma variável aleatória que egue uma ditribuição qui-quadrada com m(n-1) grau de liberdade, conforme apreentado na Seção 3.1. Atravé da Equação (3.1.4), é poível obter um valor w p em função de Y p, de tal forma que: w p = y ( 1) m n p = 1( p) ( n 1) ( 1) Fχ (4..) m m n de Entrando com o valor de w p na equação (3..), obtém-e o quantil deejado (valor de b tal que ( b) P > é igual ao valor de probabilidade p epecificada). O reultado dea egunda análie (quanti da ditribuição de ) ão apreentado em tabela e gráfico no Apêndice C (Cao KU) e D (Cao UU). Por er a diferença entre o quanti da ditribuição de encontrado para o etimador S c 4 e S p em cada cao mínima, ão apreentada omente a tabela e

77 77 gráfico calculado com o etimador S p. Foram contruída tabela e gráfico para p = 5% (quantil de,95) e 1% (quantil de,9), parametrizado por m e n. A partir deta forma de apreentação do dado, o uuário poderá identificar o limite de previão ( p) 1 -quantil, b, para a que cada par (n, m) oferece para uma probabilidade p epecificada de ultrapaagem. Como e pode obervar na Tabela 5 abaixo, à medida que a probabilidade de ultrapaagem p aumenta (de,5 para,1), para um dado par (n, m), o limite de previão ou ( p) para a e reduzem. Fixando-e p, o valore de com o aumento de n e/ou m. 1 -quanti também diminuem Tabela 5 Quanti de,95 e,9 da, em função de n e m e etimador (Cao KU). b, P ( > b)=,5 b, P ( > b)=,1 αj=,54 m n ,15,146,11,8,68,161,118,94,75,64 1,165,119,95,75,64,19,1,84,69,6,139,15,86,71,63,113,91,78,67,6 5,134,1,85,7,6,19,89,76,66,6 m S P αj=,1 5,344,43,188,144,1,65,1,164,133,117 1,73,4,166,134,117,19,174,148,15,113,36,183,153,18,114,195,16,139,11,111 5,8,178,15,16,113,189,157,137,1,11 O memo comportamento é obervado para o doi etimadore do deviopadrão e também para o cao em que o gráfico da média etá centrado em X, que erá apreentado na próxima Seção. Na prática, ete arranjo do reultado permite ao uuário identificar, para cada tamanho de amotra n deejado, qual o número de amotra m que o memo deverá utilizar, de acordo com o limite de previão admitido por ele para a e para a probabilidade de ultrapaagem correpondente, p. Por exemplo, é fácil verificar atravé da Tabela 5 que, e o uuário deejar uma probabilidade de p = P > b = 5 ultrapaagem ( ) %, e um limite de previão para a batante reduzido, como,64 (quae % maior que o valor nominal,54), deverá retirar no mínimo 1. amotra do proceo com tamanho mínimo de n = 1. Se o uuário admitir uma probabilidade de ultrapaagem maior

78 78 ( > ) = 1% p = P b, ainda aim erão neceária 1. amotra, ma agora de tamanho n = 5. Se o uuário trabalhar com um limite de previão da de,7, 3% maior que o valor eperado,54, é poível obter ( > ) = 5% p = P b com 3 amotra de tamanho 1 e obter ( > ) = 1% p = P b com 3 amotra de tamanho 5.

79 Gráfico da Média centrado em X Cao UU Para a determinação de b, tanto na ituação em que σ é etimado por S c 4 quanto na ituação em que é etimado por S p, a metodologia utilizada é uma extenão da que foi adotada na Análie 1, Seção A partir da equação (4.1.4), com o auxílio do Solver do Microoft Excel, foram obtido o pare [b, ( b) P > ] e deeja-e agora reponder à eguinte pergunta: qual o valor de b, b*, tal que a probabilidade de > b * é limitada a p? Por exemplo, qual o P > b p? A partir da obervação do valore valor b* tal que ( *) = =, 1 da probabilidade de ultrapaagem ( b) P > da Tabela B.1 a B.4, é poível verificar que b* etará entre doi valore conecutivo de b (b 1 e b ) nea tabela, tai que F(b 1 ) < p e F(b ) > p. Por exemplo, oberve a dua linha marcada na Tabela 6 (algun valore da Tabela B.1) abaixo para n = 5 e m = 5 - o valor b* deve etar entre o valore,1739 e,1789, uma vez que a correpondente probabilidade de ultrapaagem dete valore,,13 e,971 compreendem o valor p =,1. á para n = 1 e m = 5, o valor b* deve etar entre o valore,1389 e,1439, já que p =,1 etá entre o valore de probabilidade ( b) P,955, repectivamente. > correpondente a ete valore de b,,145 e

80 8 Tabela 6 Probabilidade de exceder um valor b para n = 5 e 1 da Tabela B.1 (Cao UU). m m P ( > b) n b b 1 n b b 1 5,539,54434,5355,54,51519,539,5964 1,539,55697,5413,5313,51863,539,51153,589,538,4756,44397,37864,544,48333,589,5464,46795,473,34493,544,47768,639,4664,4353,3716,657,549,45744,639,45649,415,33711,118,549,44433,689,43193,37638,393,17834,554,43186,689,4153,3458,6145,11965,554,41174,739,4,334,554,11649,559,4685,739,376,917,1,654,559,388,789,3718,9613,985,747,564,3844,789,33651,4656,15173,3531,564,3495,839,3443,64,1718,4768,569,35871,839,3395,844,11434,1995,569,31,889,31969,353,1439,38,574,3357,889,7464,176,8594,15,574,915,939,978,68,1146,56,579,31354,939,489,14859,6463,94,579,6563,989,769,187,9356,1448,584,91,989,463,1548,4881,749,584,466,139,5718,1611,7649,194,589,7178,139,339,167,3717,68,589,177,189,3959,14395,668,891,594,519,189,18433,8979,865,653,594,19548,1139,339,1796,5156,777,599,336,1139,167,7617,46,64,599,1753,1189,847,11387,461,713,64,1597,1189,15187,6478,1796,637,64,15671,139,19471,1147,354,677,614,18355,139,1387,557,1471,635,614,145,189,18,955,965,657,64,15491,189,1568,4733,137,634,64,9719,1339,173,893,54,646,634,1989,1339,11454,47,168,634,634,7548,1389,15946,745,134,64,644,183,1389,145,3516,946,633,644,586,1439,14944,6498,1837,637,654,8983,1439,955,354,859,633,654,4481,1489,1417,5839,16,635,664,741,1489,8738,667,796,633,664,3448,1539,13158,558,141,634,674,6111,1539,85,344,751,633,674,667,1589,136,4745,158,634,684,54,1589,7344,74,718,633,684,86,1639,1163,491,1136,634,694,419,1639,6747,1847,695,633,694,1659,1689,1937,389,138,634,74,3398,1689,68,1657,678,633,74,135,1739,13,3536,96,633,714,87,1739,57,1498,666,633,714,118,1789,978,31,897,633,74,33,1789,579,1365,657,633,74,97 m m Dea forma, para encontrar b*, deve-e realizar uma buca entre o valore b 1 e b, utilizando o memo método de buca adotado na Seção A buca por b* é finalizada quando um valor de ( b *) P > uficientemente próximo de p é encontrado. Define-e valor uficientemente próximo, o valor ( b *) P > que com doi dígito ignificativo eja igual a p. Lembrando que, o valore de b para m igual a 3 e 1 foram dicretizado em unidade diferente do demai, para um melhor reultado. O reultado dea egunda análie para o gráfico da média centrado em X ão apreentado em tabela e gráfico no Apêndice D (também aqui ão apreentado o reultado para o etimador S p apena, em função da emelhança encontrada com o reultado do etimador S ). c 4 É poível obervar comparando-e o quanti da tabela do Apêndice D (Cao UU) com o valore do Apêndice C (Cao KU), em que o gráfico da média etá centrado no valor alvo, que o quanti da do Apêndice D ão maiore para o memo par mxn, como foi obervado também na Análie 1.

81 81 É poível verificar atravé da Tabela 7 abaixo que e e deeja limite a 1%, o rico p de que o valor tolerado de,7 para, por exemplo, eja ultrapaado, erá neceário retirar pelo meno 3 amotra de tamanho 1. Se o uuário for mai rigoroo e quier uma probabilidade de ultrapaagem dee valor de apena 5%, apena com tamanho de amotra maiore ou iguai a é que erão uficiente omente 3 amotra para e obter p = 5%. Tabela 7 Quanti de,95 e,9 da, em função de n e m e etimador S p Cao UU). b, P ( > b)=.5 b, P ( > b)=.1 αj=.54 m m n αj=,1 5,355,54,193,146,13,9,1,17,134,117 1,3,15,171,136,118,4,183,15,17,114,6,193,16,13,115,1,17,143,1,111 5,5,19,155,17,114,5,164,141,11,111 Contata-e que o limite de previão ou quanti da para n = 5 pouco e diferenciam do quanti para n = e que o limite de previão ofrem reduçõe proporcionalmente menore na ituação em que m é fixo e n aumenta, do que na ituação invera (n fixo e m aumenta), conforme já foi relatado na Análie 1. Para o valore de m, n e p coniderado nete trabalho, o menor quantil de,9 que pode apreentar no monitoramento conjunto é de,6, para o valor eperado α =, 54 (ver Tabela 7 acima e Figura abaixo) e,111, para o valor eperado α =, 1 (ver Tabela 7 acima e Figura D.1 e D. abaixo). Oberve que ee quanti, que ão obtido com níveil de confiança (1-p) alto e com um número elevadíimo de obervaçõe (n=5 e m=1., reultando em 5. obervaçõe), já ão 1% maiore que o valore deejado (nominai), o que indica quão evero é o efeito do erro na etimação da média e do deviopadrão do proceo.

82 8 b, P ( > b) = 5%, α j =,54 b,3,1,19,17,15 m = 5 m = 5 m = 1 m = 3 m = 1,13,11,9,7, b, P ( > b) = 1%, α j =,54 n b,3,1,19,17,15 m = 5 m = 5 m = 1 m = 3 m = 1,13,11,9,7, n Figura - Gráfico do quanti de,95 e,9 da, em função de n e m, α j =,54, etimador S p.

83 83 b,38,36,34,3,3,8,6,4,,,18,16,14,1,1 b, P ( > b) = 5%, α j =, b, P ( > b) = 1%, α j =,1 n m = 5 m = 5 m = 1 m = 3 m = 1 b,38,36,34,3,3,8,6,4,,,18,16,14,1 m = 5 m = 5 m = 1 m = 3 m = 1, n Figura 3 - Gráfico do quanti de 95% e 9% da, em função de n e m, α j =,1, etimador S p.

84 Análie 3: Número mínimo de amotra m para cada tamanho de amotra n que garante com probabilidade p que não é maior que ε% em relação à α. j Neta eção, dado o tamanho de amotra n e um valor máximo tolerado para, determina-e o menor número de amotra iniciai, m, requerido para limitar a uma probabilidade p pequena, epecificada, o rico de exceder o referido valor máximo tolerado; em outra palavra, para garantir uma probabilidade de que não exceda o valor tolerado. O valor tolerado é aqui repreentado em termo de um percentual a maior da probabilidade conjunta de alarme falo nominal. Formalmente, trata-e de determinar o menor valor de m que garanta que eja atifeita a eguinte condição: ε α + α (4.3.1) 1. Em outra palavra, quer-e que o ( 1 p) -quantil de eja igual (ou menor) que o valor tolerado. No cao de o gráfico da média er centrado no valor alvo, como já vito na Seção 3., é uma função monotônica decrecente de W. Veja a equaçõe (3..1) e (3..). Então o ( 1 p) -quantil de e relaciona biunivocamente com o p-quantil de W, que erá denotado por w p w 1. Subtituindo w por 1 p naquela equaçõe, obtém-e o ( 1 p) -quantil de. Como, porém, a ditribuição de W depende de m e n, aim o eu quanti dependem de m e n, como vito na Seção 4.. Trata-e, então, de, dado n, α j, ε e p, determinar o menor valor de m tal que, ao ubtituir w por w 1 p no membro direito de (3..1) ou de (3..), conforme o etimador utilizado para o devio-padrão o eu membro equerdo e torne igual ou menor a ( 1+ ε )α 1. Não há maneira de determinar m por uma fórmula direta: é neceário realizar uma buca para obter o menor m tal que a condição eja atifeita. Foi motrado na Seção 3. como obter quanti deejado de W, tanto no cao do etimador S p como no do etimador S c 4. Utilizando o procedimento ali

85 85 decrito, para cada valor de m coniderado na buca, calcula-e w 1 p, em eguida calcula-e e verifica-e e a condição em (4.3.1) foi atendida. Para o cao de o gráfico da média er centrado em X, o problema torna-e mai complexo, poi agora, é função de dua variávei aleatória, W e V; portanto, não há uma função biunívoca relacionando eu ( 1 p) -quantil com o p- quantil de outra variável. O valore de m requerido, porém, ainda podem er obtido por buca, já que, dado o valor de n, para cada valor de m a ditribuição de probabilidade de é única e eu quanti podem er determinado, conforme motrado na Seção 4... Apena, a buca requer muito mai eforço computacional que no cao anterior, já que o próprio quanti de requerem buca para a ua determinação, como vito na Seção 4... Então, tratae de uma buca embutida dentro de outra: deve-e variar m e, para cada valor de m, determinar por uma buca (não mai por uma expreão fechada) o ( 1 p) - quantil de ; em eguida, verificar e a condição em (4.3.1) foi atifeita.

86 Gráfico da Média centrado no valor alvo Cao KU A partir da análie da Tabela 8 abaixo, pode-e contatar que, como eperado, o menore valore de m ão obtido quando e toleram maiore valore para (maiore valore de ε) e/ou maiore probabilidade (p) de ultrapaagem do valor tolerado. Da mema forma, evidentemente, para amotra maiore, o número mínimo de amotra inicial requerido diminui. Coniderando n = 5, α =, 54 e ε = 5%, o menor número de amotra iniciai que garante j com 85% de probabilidade que o rico α j não é maior que 5% em relação à (em notação formal, P( 1,5α ) = P( >,81) =, 15 ) é, > j no mínimo, de 1 amotra. Com um tamanho de amotra maior, por exemplo, n = o número mínimo de amotra requerido é de 54 amotra. Para probabilidade de ultrapaagem do rico α j menore, por exemplo, P( > 1,5α j ) =,1, o número mínimo de amotra neceário aumenta conideravelmente, paando a er de 181 amotra de tamanho n = 5. Para um valor maior de α j, por exemplo,,1, o menor m que garante P( 1,5α ) = P( >,15) =,15 é de 97 amotra > j (aproximadamente 19% menor do que para α =, 54 ) de tamanho n = 5 e 43 amotra para n =. j Tabela 8 Número mínimo de amotra iniciai m em função de n, com p = 5, 1 e 15%, ε = 1,, 3, 4 e 5% e etimador P, Cao KU. S m, α j =,54 ε = 1% ε = % ε = 3% ε = 4% ε = 5% P [ > 1,1α j ] P [ > 1,α j ] P [ > 1,3α j ] P [ > 1,4α j ] P [ > 1,5α j ] n,5,1,15,5,1,15,5,1,15,5,1,15,5,1, m, α j =,1 ε = 1% ε = % ε = 3% ε = 4% ε = 5% P [ > 1,1α j ] P [ > 1,α j ] P [ > 1,3α j ] P [ > 1,4α j ] P [ > 1,5α j ] n,5,1,15,5,1,15,5,1,15,5,1,15,5,1,

87 87 Para menore diferença percentuai entre o rico α j e maior rico tolerado, o número mínimo de amotra aumenta. Ainda pela Tabela 8 acima, verifica-e, por exemplo, que para α =, 1 e ε = 1%, para garantir j que P( > 1,1 α j ) =, 15, ão neceária no mínimo 1.75 amotra de tamanho n = 5 e 78 amotra de tamanho n =. Uma importante contatação a partir deta forma de apreentação do dado e para o parâmetro utilizado na análie é a de que o número de amotra recomendado em livro tradicionai e amplamente recomendado de CEP [por exemplo, Montgomery (13)], m = 5, não conta na Tabela acima, podendo-e inferir que não é poível obter com no mínimo 85% de probabilidade, um rico no máximo 5% maior em relação ao α j. É equivalente afirmar que não é poível garantir com um razoável grau de certeza ( p 85% ), que m = 5 amotra iniciai, retirada de um proceo cujo parâmetro ão deconhecido e etimado com erro, eja uficiente para etabelecer um rico de alarme falo conjunto obtido no máximo 5% maior em relação ao rico de alarme falo conjunto do gráfico de X e S, quando o parâmetro ão etimado com precião. Como na análie anteriore já e verificou que o valore de aída obtido em cada análie para ambo o etimadore do devio-padrão ão muito próximo, o reultado apreentado para a Análie 3 correpondem omente ao valore calculado utilizando-e o etimador S p.

88 Gráfico da Média centrado em X Cao UU Para o cao do gráfico da média centrado em X, o valore mínimo de m ão maiore do que o obtido na Seção anterior, como eperado. A partir da análie da Tabela 9 abaixo, onde ão apreentado o valore de m, o menor número de amotra iniciai que garante com 85% de probabilidade que não erá mai que 5% maior que a probabilidade nominal de alarme-falo [ P( > 1,5α j ) =, 15 ] é de 51 amotra para o valor eperado α j =, 1 e n = 5; e 61 amotra para o valor eperado α =, 54 (aproximadamente 4% maior do que a ituação equivalente no cao do gráfico da média centrado no j α j valor alvo). Para probabilidade de ultrapaagem do rico α j menore, por exemplo, P( > 1,5α j ) =, 5, o número mínimo de amotra neceário aumenta conideravelmente, paando a er de 14 (15% maior do que o valor obtido com parâmetro equivalente no Cao KU para o valor eperado α j =,1 ) e 118 (17% maior do que o valor obtido com parâmetro equivalente no Cao KU para o valor eperado α =, 54 ). Oberve-e, porém, que n = 5 não é um tamanho de amotra tipicamente empregado ou recomendado em CEP. Com um valor mai típico, n = 5 e α =, 54, o valore de m neceário para garantir com 85% de probabilidade que j j não erá mai que 5 % maior que a probabilidade nominal de alarme falo α j já e tornam m = 1 no cao KU e m = 137 no cao UU; e, para rico de 1% de ultrapaagem de um valor % maior que a probabilidade nominal de alarme falo α =, 54, já ão neceária no mínimo 99 amotra no cao KU e 98 no cao UU. j

89 89 Tabela 9 Número mínimo de amotra iniciai m em função de n, com p = 5, 1 e 15%, = 1,, 3, 4 e 5% e etimador P, Cao UU. S ε m, α j =,54 ε = 1% ε = % ε = 3% ε = 4% ε = 5% P [ > 1,1α j ] P [ > 1,α j ] P [ > 1,3α j ] P [ > 1,4α j ] P [ > 1,5α j ] n,5,1,15,5,1,15,5,1,15,5,1,15,5,1, m, α j =,1 ε = 1% ε = % ε = 3% ε = 4% ε = 5% P [ > 1,1α j ] P [ > 1,α j ] P [ > 1,3α j ] P [ > 1,4α j ] P [ > 1,5α j ] n,5,1,15,5,1,15,5,1,15,5,1,15,5,1, Aim como obervado na eção anterior, é poível contatar que não é poível obter com no mínimo 85% de probabilidade um rico máximo 5% maior em relação ao valor eperado α com m = 5. j no

90 9 5 Conideraçõe Finai e Recomendaçõe O controle etatítico de proceo compõe-e, eencialmente, do monitoramento on line do proceo por gráfico de controle. O limite do gráfico de controle baeiam-e em etimativa do parâmetro do proceo (média e devio-padrão, no cao de caracterítica de qualidade menurávei controle por variávei ). Modelo matemático para determinar a probabilidade de alarme falo preupõem parâmetro etimado com precião. A imprecião da etimativa afeta o valore dea medida de deempenho, fazendo-o diferir do valore nominai, previto pelo modelo matemático. Recomendaçõe tradicionai ão de que o parâmetro ejam etimado com bae no valore da variável de interee medido em pelo meno 5 amotra de 4 ou mai unidade do produto. Vário autore advertem que tal número de amotra iniciai é inuficiente para manter, com um razoável grau de certeza, a probabilidade de alarme falo próxima ao valor nominal. Por exemplo, com amotra de tamanho entre 4 e 5, para manter a probabilidade de alarme falo dentro de limite razoávei, eria neceário utilizar pelo meno 1 amotra na etimação do parâmetro do proceo. Nete trabalho, analiou-e o efeito da etimação do parâmetro na Fae II no monitoramento conjunto do proceo em controle atravé do gráfico de X e S, obtendo-e expreõe analítica para a probabilidade conjunta de alarme-falo condicional,, em doi cao: quando ambo a média e o devio-padrão do proceo ão deconhecido e neceitam er etimado, e quando apena o devio-padrão é deconhecido e, portanto, etimado (gráfico de X centrado no valor-alvo). Tabela foram apreentada para quanti uperiore da, que contituem limite de previão da taxa de alarme falo real que um particular par de gráfico pode apreentar. Adicionalmente, foram fornecido o número de amotra na Fae I neceário para garantir um epecificado deempenho em controle, em termo de manter limitado a um valor pequeno a probabilidade de que exceda um valor tolerado (também epecificado). Foram coniderado gráfico com limite de probabilidade ajutado para ARL nominai em controle de 37 e (para cada um do gráfico), e utilizado

91 91 como etimador do devio-padrão do proceo S c 4 ou S p (a raiz quadrada da variância S p ). Foi coniderado o Gráfico de S em limite de controle inferior. Verificou-e que, para um dado n, quando m aumenta, a probabilidade de exceder um valor b torna-e ignificativamente menor, podendo-e concluir que para e ter um alto grau de confiança de que a e manterá próxima ao valor epecificado b (probabilidade de exceder baixa) é neceário um número de amotra m muito grande. O reultado demotram que com 5 amotra iniciai (m) de tamanho n = 5, número uualmente recomendado na literatura tradicional de CEP, há grande probabilidade de er conideravelmente maior que o valor nominal α j. Além dio, comparando-e a denidade acumulada da no Cao UU com a denidade acumulada no Cao KU), contata-e que a denidade acumulada da no Cao UU crece mai rapidamente que no Cao KU, para o memo par mxn. Verificou-e que para o valore de m, n e α coniderado nete trabalho, o menor quantil de,9 que pode apreentar no monitoramento conjunto é de,6, para o valor eperado α =, 54 e,111, para o valor eperado α =,1, que ão obtido para n = 5 (atípico) e m = 1. (muito grande). Oberve que ee quanti mínimo já ão 1% maiore que o valore eperado para α em cada cao, o que indica quão evero é o efeito do erro na etimação da média e do devio-padrão do proceo. Ee reultado ão conitente com o obtido por Epprecht et al. (15), Saleh et al. (15) e ardim et al. (16). Uma importante contatação, conforme já apreentado, é a de que o número de amotra recomendado em livro tradicionai e amplamente recomendado de CEP, m = 5, não conta entre o reultado, podendo-e afirmar que não é poível garantir com um razoável grau de certeza ( p 85% ), que m = 5 amotra iniciai, retirada de um proceo cujo parâmetro ão

92 9 deconhecido e etimado com erro, eja uficiente para etabelecer um rico de alarme falo conjunto obtido no máximo 5% maior em relação ao rico de alarme falo conjunto do gráfico de X e S, quando o parâmetro ão etimado com precião. Em toda a análie foram obtido reultado emelhante para o doi etimadore do devio-padrão utilizado, S e S c p. Por ete motivo, em algun 4 cao, omente foram apreentado o reultado obtido para o etimador S p, por er melhor etimador que S c 4 em termo do erro quadrático médio. Obervou-e que a diferença entre o reultado para o doi etimadore, em cada análie, diminuiu na medida em que m aumentou. É importante detacar que o número de amotra (m) na Fae I neceário para garantir o deejado deempenho conjunto em controle do gráfico etá entre o número de amotra encontrado para o gráfico de X (reultado intermediário calculado nete trabalho) e o número de amotra obtido por Epprecht et al. (15) para o gráfico de S, dada a mema condiçõe (a mema probabilidade p de a taxa de alarme falo conjunta condicional em quetão, ou X S exceder o eu repectivo valor nominal por um memo percentual ε) e coniderando como taxa de alarme-falo conjunta nominal a taxa de alarme-falo conjunta quando cada gráfico apreentae ua taxa de alarme-falo nominal individual. Em termo concreto: uma taxa de alarme-falo individual de,7 para cada gráfico correpondente a uma taxa de alarme-falo conjunta de,54 para o par de gráfico. E, por exemplo, para qualquer tamanho de amotra, o número mínimo de amotra para garantir com uma probabilidade de,9 que a taxa de alarme-falo conjunta obtida não excederá,54 mai do que %, etá entre o número mínimo de amotra que garante com probabilidade de,9 que a taxa de alarme-falo obtida para o gráfico de X não excede mai do que % o valor eperado,7 e o número mínimo de amotra que garante com probabilidade

93 93 de,9 que a taxa de alarme-falo obtida para o gráfico de S não excede mai do que % o valor eperado,7. Io demontra que coniderar o deempenho conjunto do gráfico em controle alivia ligeiramente o problema do grande número de amotra iniciai neceário, que não é tão grande como o número máximo requerido pelo doi gráfico. No entanto, ete número ainda é muito grande. Io motiva a invetigação do ajute do limite do gráfico (etudado por Faraz et al., 15 e por Goedhard et al., 16b para o gráfico de S individualmente, bem como por Goedhard et al., 16a e por ardim et al., 16 para o gráfico de X individualmente) a partir da perpectiva do eu deempenho conjunto. Eta é uma quetão que merece er invetigada. Na eção obervou-e que, para m=5 e valore de n analiado, a probabilidade de exceder determinado valor para o etimador S p é maior do que a probabilidade de exceder ee memo valor quando e utiliza o etimador S c 4, ou eja, o invero do que ocorreu para valore de m maiore que 5. Por exemplo, P(,1 ˆ σ = S c4, m = 5, n = 5, α =,1) =, 189 e > P(,1 ˆ σ = S, m = 5, n = 5, α =,1) =,15. Ea é uma quetão > p que merece er invetigada, recomendando-e verificar o comportamento da para valore de m entre 5 e 1, para ambo o etimadore, uma vez que pode er que para algun valore epecífico de a ituação e inverta e a probabilidade de ultrapaagem de tai valore eja maior com o etimador S c4 do que com o etimador S p.

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98 98 Apêndice A - Tabela e Gráfico da Análie 1 Gráfico da Média centrado no valor alvo (Cao KU)

99 99 Tabela A.1 Probabilidade de α =,54 e etimador S c4 exceder um valor b, para n = 5, 1, e 5,, Cao KU. m P ( > b) n b n b ,54,5,5,5,5,5 1,54,5,5,5,5,5,73,3653,3131,455,1165,147,77,33,95,1475,349,5,98,455,165,84,85,,11,1475,693,181,1,,131,158,7,194,,,157,581,13,8,,,174,84,57,9,,,1,181,15,,,,9,46,74,3,,,39,44,1,,,,99,194,17,,,,48,8,,,,,389,8,3,,,,585,1,,,,,5,9,,,,,789,,,,,,638,1,,,,,147,,,,, m,54,5,5,5,5,5 5,54,5,5,5,5,5,84,19,1394,68,4,,65,365,313,453,1163,146,131,68,15,11,,,79,453,1648,84,85,,3,18,6,,,,95,156,718,193,,,314,11,,,,,115,84,56,9,,,476,1,,,,,14,44,74,3,,,77,,,,,,17,193,17,,,,14,,,,,,6,79,3,,,,1443,,,,,,49,9,,,,,1975,,,,,,31,1,,,,

100 1 P( >b); n = 5; α =,54,5,45,4,35,3 m = 5 m = 5 m = 1 m = 3 m = 1,5,,15,1,5,,5,7,9,11,13,15,17,19,1,3,5,7,9,31,33,35,37,39,41,43,45,47,49,51,53,55 P ( > b),57,59 b P( >b); n = 1; α =,54,5,45,4,35,3 m = 5 m = 5 m = 1 m = 3 m = 1,5,,15,1,5,,5,7,9,11,13,15,17,19,1,3,5,7,9,31,33 P ( > b),35 b Figura A.1 - Gráfico da Probabilidade de 1, α =,54 e etimador S c4, Cao KU. exceder um valor b, para n = 5 e

101 11 P( >b); n = ; α =,54,5,45,4,35,3 m = 5 m = 5 m = 1 m = 3 m = 1,5,,15,1,5,,5,7,9,11,13,15,17,19,1,3 P ( > b),5,7,9 b P( >b); n = 5; α =,54,5,45,4,35,3 m = 5 m = 5 m = 1 m = 3 m = 1,5,,15,1,5,,5,7,9,11,13,15,17,19,1,3,5,7 P( >b),9 b Figura A. - Gráfico da ditribuição acumulada complementar P( >a), para n = e 5, α =,54 e etimador 4, Cao KU. S c

102 1 Tabela A. (Tabela no texto) Probabilidade de n = 5, 1, e 5, α =,1 e etimador S c4 m P ( > b) exceder um valor b, para, Cao KU. n b n b ,1,5,5,5,5,5 1,1,5,5,5,5,5,131,353,3131,455,1165,147,138,33,95,1475,349,5,17,53,165,84,85,,19,1475,693,181,1,,1,189,7,194,,,61,581,13,8,,,84,657,57,9,,,355,181,15,,,,364,96,74,3,,,48,44,1,,,,46,118,17,,,,643,8,,,,,583,41,3,,,,849,1,,,,,73,13,,,,,118,,,,,,97,3,,,,,146,,,,, m,1,5,5,5,5,5 5,1,5,5,5,5,5,149,19,1394,68,4,,118,365,313,453,1163,146,,68,15,11,,,14,453,1648,84,85,,33,18,6,,,,167,156,718,193,,,49,11,,,,,199,84,56,9,,,71,1,,,,,37,44,74,3,,,114,,,,,,8,193,17,,,,1411,,,,,,336,79,3,,,,1914,,,,,,399,9,,,,,56,,,,,,47,1,,,,

103 13 P( >b); n = 5; α =,1,5,45,4,35,3 m = 3 m = 5 m = 1 m = 3 m = 1,5,,15,1,5,,1,1,14,16,18,,,4,6,8,3,3,34,36,38,4,4,44,46,48,5,5,54,56 P ( > b),58,6 b P( >b); n = 1; α =,1,5,45,4,35,3 m = 5 m = 5 m = 1 m = 3 m = 1,5,,15,1,5,,1,1,14,16,18,,,4,6,8,3,3,34,36,38,4,4,44,46,48 P ( > b),5 b Figura A.3 - Gráfico da Probabilidade de 1, α =,1 e etimador S c4, Cao KU. exceder um valor b, para n = 5 e

104 14 P( >b); n = ; α =,1,5,45,4,35,3 m = 5 m = 5 m = 1 m = 3 m = 1,5,,15,1,5,,1,1,14,16,18,,,4,6,8,3,3,34,36 P ( > b),38,4 b P( >b); n = 5; α =,1,5,45,4,35,3 m = 5 m = 5 m = 1 m = 3 m = 1,5,,15,1,5,,1,1,14,16,18,,,4,6,8,3,3,34,36,38,4,4,44,46,48,5,5,54,56,58 P( >b),6 b Figura A.4 - Gráfico da Probabilidade de 5, α =,1 e etimador S c4, Cao KU. exceder um valor b, para n = e

105 15 Tabela A.3 Probabilidade de α =,54 e etimador S p, Cao KU. exceder um valor b, para n = 5, 1, e 5, m P ( > b), α =,54 n b n b ,11,9,119,454,16, 1,54,515,589,563,536,5,14,17,833,38,3,,77,38,34,147,33,4,139,1358,561,116,,,11,1496,68,168,1,,155,165,363,5,,,157,57,1,7,,,174,8,7,,,,1,167,1,,,,9,39,58,,,,39,37,1,,,,99,165,11,,,,48,6,,,,,389,61,,,,,585,1,,,,,5,19,,,,,789,,,,,,638,5,,,,,147,,,,, m,54,586,561,543,55,514 5,54,577,554,538,5,51,84,6,143,6,37,,86,1976,1119,418,13,,131,67,145,1,,,14,4,7,,,,3,1,5,,,,6,45,1,,,,314,9,,,,,36,,,,,,476,,,,,,565,,,,,,77,,,,,,86,,,,,,14,,,,,,167,,,,,,1443,,,,,,183,,,,,,1975,,,,,,475,,,,,

106 16 P( >b); n = 5; α =,54,55,5,45,4,35 m = 5 m = 5 m = 1 m = 3 m = 1 P( >b),3,5,,15,1,5,,5,6,7,8,9,1,11,1,13,14,15,16,17,18,19,,1,,3,4,5,6,7,8,9,3,31,3,33,34,35,36,37,38,39,4,41,4,43,44,45,46,47,48,49 b P( >b); n = 1; α =,54,5,45,4,35,3 m = 5 m = 5 m = 1 m = 3 m = 1 P( >b),5,,15,1,5,,5,7,9,11,13,15,17,19,1,3,5,7,9,31,33,35,37,39,41,43,45,47,49 b Figura A.5 - Gráfico da Probabilidade de 1, α =,54 e etimador Sp, Cao KU. exceder um valor b, para n = 5 e

107 17 P( >b); n = ; α =,54,55,5,45,4,35 m = 5 m = 5 m = 1 m = 3 m = 1 P( >b),3,5,,15,1,5,,5,6,7,8,9,1,11,1,13,14,15,16,17 b,18,19,,1,,3,4,5,6,7,8,9,3 P( >b); n = 5; α =,54,55,5,45,4,35 m = 5 m = 5 m = 1 m = 3 m = 1 P( >b),3,5,,15,1,5,,5,6,7,8,9,1,11,1,13,14,15,16,17 b,18,19,,1,,3,4,5,6,7,8,9,3 Figura A.6 Gráfico da Probabilidade de 5, α =,54 e etimador Sp, Cao KU. exceder um valor b, para n = e

108 18 Tabela A.4 (Tabela 1 no texto) Probabilidade de = 5, 1, e 5, α =,1 e etimador Sp, Cao KU. m P ( > b), α =,1 exceder um valor b, para n n b n b ,1,5188,5133,594,554,53 1,1,515,589,563,536,5,131,379,3197,46,1119,16,138,38,34,147,33,4,17,58,1648,84,7,,19,1496,68,168,1,,1,15,686,168,1,,61,57,1,7,,,84,8,7,,,,355,167,1,,,,364,39,58,,,,48,37,1,,,,46,165,11,,,,643,6,,,,,583,61,,,,,849,1,,,,,73,19,,,,,118,,,,,,97,5,,,,,146,,,,, m,1,586,561,543,55,514 5,1,577,554,538,5,51,149,6,143,6,37,,153,1976,1119,418,13,,,67,145,1,,,37,4,7,,,,33,1,5,,,,366,45,1,,,,49,9,,,,,558,,,,,,71,,,,,,83,,,,,,114,,,,,,111,,,,,,1411,,,,,,171,,,,,,1914,,,,,,337,,,,,,56,,,,,,389,,,,,

109 19 P( >b); n = 5; α =,1,55,5,45,4,35 m = 5 m = 5 m = 1 m = 3 m = 1 P( >b),3,5,,15,1,5,,1,11,1,13,14,15,16,17,18,19,,1,,3,4,5,6,7,8,9,3,31,3,33,34,35,36,37,38,39,4,41,4,43,44,45,46,47,48,49,5,51,5,53,54,55,56,57,58,59,6 b P( >b); n = 1; α =,1,5,45,4,35,3 m = 5 m = 5 m = 1 m = 3 m = 1 P( >b),5,,15,1,5,,1,1,14,16,18,,,4,6,8,3,3,34,36,38,4,4,44,46,48,5,5,54,56,58,6 b Figura A.7 (Figura 1 no texto) - Gráfico da Probabilidade de valor b, para n = 5 e 1, α =,1 e etimador Sp, Cao KU. exceder um

110 11 P( >b); n = ; α =,1,55,5,45,4,35 m = 5 m = 5 m = 1 m = 3 m = 1 P( >b),3,5,,15,1,5,,1,11,1,13,14,15,16,17,18,19,,1,,3,4 b,5,6,7,8,9,3,31,3,33,34,35,36,37,38,39,4 P( >b); n = 5; α =,1,55,5,45,4,35 m = 5 m = 5 m = 1 m = 3 m = 1 P( >b),3,5,,15,1,5,,1,11,1,13,14,15,16,17,18,19,,1,,3,4 b,5,6,7,8,9,3,31,3,33,34,35,36,37,38,39,4 Figura A.8 - Gráfico da Probabilidade de e 5, α =,1 e etimador Sp, Cao KU. exceder um valor b, para n =