1 Jogos Estáticos de Informação Incompleta

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1 Nota de Aula - Teoria do Jogo - FCE/UERJ 016. Verão preliminar - favor não circular) Profeor Pedro Hemley Horário: xxxx Sala: xxxx Ementa e informaçõe relevante: página do curo 1 Jogo Etático de Informação Incompleta Informação completa ou incompleta diz repeito a conhecimento obre payo. Sob informação completa, todo o jogadore conhecem o payo de todo o demai jogadore para toda a combinaçõe poívei de etratégia. Com informação incompleta, ao meno um jogador não conhece o payo de ao meno um outro jogador para ao meno uma combinação poível de etratégia. Exemplo: Cournot com informação incompleta Conidere a eguinte variação do duopólio de Cournot. A rma 1 tem uma função cuto c 1 q 1 ) = cq 1. Já a rma pode ter uma função cuto c q ) = c h q, com probabilidade θ [0, 1], ou c q ) = c l q, com probabilidade 1 θ), e c h > c l : ou eja, ela pode ter um cuto de produção alto c h q ) ou baixo c l q ). A A rma conhece o eu próprio cuto e conhece também o cuto da rma 1. Já a rma 1 conhece eu próprio cuto ma não conhece o cuto da rma : abe apena que pode er cuto alto com probabilidade θou baixo com probabilidade 1 θ. Mantemo a demanda linear P = a Q, Q = q 1 + q, e o epaço de etratégia: q i [0, ). A etrutura do jogo é common knowledge. A rma pode condicionar ua produção ao eu cuto: q c h ) e q c l ) podem er ditinto. Cao a rma tenha cuto alto, ela reolverá o eguinte problema de maximização de lucro: Max q 0 a q 1 q ) q c h q Como vito no modelo báico de Cournot, io gera a eguinte função de reação: q c h ) = a q 1 c h Analogamente, a rma reolve o eguinte problema quando tem cuto baixo: E obtém a eguinte função de reação: Max q 0 a q 1 q ) q c h q q c l ) = a q 1 c l Note que a função de reação é condicional ao cuto - alto ou baixo. Já a rma 1 não abe e a rma joga q c h ) ou q c l ); abe apena a probabilidade θ e 1 θ. Logo, ela deve maximizar eyu payo eperado: Max θ [a q 1 q c h )) q 1 cq 1 ] + 1 θ) [a q 1 q c l )) q 1 cq 1 ] q 1 0 Podemo rearranjar o termo da eguinte forma: Max θ [a q 1 q c h )) q 1 ] + 1 θ) [a q 1 q c l )) q 1 ] cq 1 q 1 0 }{{} Receita Eperada Ou eja: a receita é etocática porque depende de q ), ma o cuto cq 1 é determinítico. A condição de primeira ordem é: Rearranjando: θ [a q 1 q c h )] + 1 θ) [a q 1 q c l )] c = 0 1

2 θ [a q 1 q c h )] + 1 θ) [a q 1 q c l )] }{{} Receita Marginal Eperada = c }{{} Cuto Marginal Em teoria da rma, a olução interior) do problema da rma é geralmente caracterizada pela condição receita marginal igual a cuto marginal em um mercado competitivo, a receita marginal é implemente o preço, e obtemo o reultado tradicional preço igual a cuto marginal). Ee reultado também é obtido em Cournot: como há incerteza, ubtituímo receita marginal pelo valor eperado da receita marginal. Oberve que e θ = 0 ou θ = 1, a incerteza deaparece, e obtemo novamente receita marginal igual a cuto marginal, como no Cournot báico). Ea condição de primeira ordem permite calcular a eguinte função de reação: q 1 = a [θq c h ) + 1 θ) q c l )] c Oberve que [θq c h ) + 1 θ) q c l )] = E q ). Temo então um itema linear) de trê equaçõe e trê variávei: q 1, q c h ), q c l ). Reolvendo, obtemo: q c h ) = a c h + c + q c l ) = a c l + c 1 θ) 6 c h c l ) + θ 6 c h c l ) q 1 = a c + θc h + 1 θ) c l Note que q c h ) e q c l ) têm etrutura emelhante. O primeiro termo é exatamente o memo de Cournot com a c cuto diferente: i+c j. Já o egundo termo e deve à informação incompleta. Se c h = c l, a informação é completa, e recupera-e o reultado de Cournot com cuto ditinto. Se c h c l é pequeno, o reultado é quae igual ao de Cournot com cuto ditinto: c h c l ) é uma medida de ignorância da rma 1 obre o cuto da rma, ou eja, é uma medida de incompletude informacional. Ou eja, a rma condiciona a produção ao cuto alto ou baixo) e também ao deconhecimento da rma 1 obre eu cuto. Se θ = 1, a informação incompleta é irrelevante, q c l ) e torna irrelevante e, novamente, q c h ) paa a er o reultado de Cournot com cuto ditinto é análogo e θ = 0). Já a ecolha da rma 1 é igual à que faria com cuto ditinto, batando tomar o valor eperado: note que θc h + 1 θ) c l = E θ). Exercício. Conidere um oligopólio de Cournot com dua emprea. Sejam c 1 e c o cuto marginai da emprea 1 e, repectivamente não há cuto xo). Cada rma tem informação privada obre eu cuto e tem uma ditribuição de probabilidade obre o cuto da concorrente: para i = 1,, c i {10, 0}, P robc i = 10) = 1, P robc i = 0) =. A função demanda é p = 100 Q, em que Q = q 1 +q. Encontre o equilíbrio de Nah Bayeiano. Exercício. Conidere a eguinte verão do duopólio de Cournot. A demanda é p = a Q, Q = q 1 + q. A rma têm a mema função cuto: c i q i ) = cq i, e portanto o cuto marginal comum e conhecido) é c. A demanda, porém, é incerta: pode er alta a = a h ) com probabilidade θ e baixa a = a l < a h ) com probabilidade 1 θ. Apena a rma 1 conhece a demanda de mercado; a rma conhece apena a ditribuição de probabilidade. Encontre o equilíbrio de Nah Bayeiano. Suponha que o parâmetro ão tai que toda a quantidade produzida ão etritamente poitiva.) Exercício. Conidere a eguinte verão do duopólio de Bertrand com produto diferenciado. A demanda pelo bem da rma i é q i p i, p j ) = a p i + b i p j. O cuto da rma ão iguai a zero. A enibilidade da demanda da rma i ao preço da rma j pode er alta b = b h ), com probabilidade θ, ou baixa b = b l < b h ), com probabilidade 1 θ. Cada rma i = 1, conhece b i ma não b j, e a ditribuiçõe de probabilidade ão independente. Encontre o equilíbrio de Nah Bayeiano. Forma Normal de Jogo Etático Bayeiano A forma normal de um jogo de informação completa deve epecicar jogadore, etratégia e payo: G = {S 1,..., S N ; u 1,..., u N }. Com informação completa, o payo depende não apena da etratégia 1,..., N ), ma também do tipo t i do jogador i: u i 1,..., N ; t i ). O tipo t i é informação privada do jogador i. No exemplo anterior, t 1 {c} e t {c l, c h }.

3 De forma geral, cada jogador conhece eu próprio tipo e atribui probabilidade ao tipo poívei do demai jogadore: p i t i /t i ) é a probabilidade que o jogador i atribui a que o demai jogadore denotado i) tenham tipo t i quando eu próprio tipo é t i. Note que ea probabilidade é condicional porque, em algun cao, o tipo do jogador gera informação obre a ditribuição de probabilidade do tipo do demai jogadore. Por exemplo: e a minha rma tem determinado cuto de produção, e a tecnologia da minha competidora é mai ou meno parecida com a minha, poo inferir que o cuto dela eja mai ou meno parecido com o meu, ainda que eu não aiba exatamente qual é. No equilíbrio de Nah Bayeiano, cada tipo de jogador deve ecolher ua etratégia de forma ótima: ou eja, tratamo cada tipo como um jogador à parte. Ou eja: a etratégia ótima é condicional ao tipo é uma função do tipo). Aplicação: Leilõe Um leilão é um mecanimo de alocação alternativo ao mercado competitivo, que é anônimo: o jogadore interagem apena atravé do preço. Em mercado com meno tranaçõe e meno participante, tipicamente cada parte terá mai informação obre o demai jogadore, e poderá er útil fazer uo dea informação. Ee é o cao do leilõe, que ão aplicado para conceõe, privatização, regulação, etc. Vamo upor que há N participante do leilão não vamo modelar o jogador N + 1, que é o próprio leiloeiro - para tanto, preciamo etudar deenho de mecanimo, que faremo na parte de teoria de contrato). Cada jogador participante) i atribui um valor i ao bem, único e indiviível, a er leiloado. i é informação privada de cada jogador. Vamo upor que i é uma variável aleatória com denidade contínua f obre um uporte [, ], com ditribuição F. Lembrando: F x) = P rob i x).) Supomo ainda que o tipo ão independente e identicamente ditribuído. No leilão de primeiro preço, o vencedor é aquele que anuncia o maior lance, e o pagamento é exatamente o lance vencedor. No leilão de egundo preço, o vendedor é novamente aquele que anuncia o maior lance, ma nee cao o pgamento é o egundo maior lance dado. Vamo encontrar o equilíbrio Leilão de Primeiro Preço. O payo é: u i = { i b i, e b i b j j i 0, cao contrário Ou eja, o jogador i tem payo i b i em cao de vitória, e zero cao contrário: podemo interpretar i como o preço de reerva, e i b i como benefício líquido. O payo eperado é portanto: U e i b i, i ) = i b i ) P rob jogador i ganha o leilão) + 0 P rob jogador i perde o leilão) U e i b i, i ) = i b i ) P rob jogador i ganha o leilão) Para encontrar o equilíbrio, vamo upor que todo o jogadore uam uma mema função-lance, ou eja, todo uam a mema regra para determinar o lance a partir do tipo: b i i ) = b i ). Por exemplo: todo uam a regra vou dar como lance i, metade do valor que atribuo ao bem, o que naturalmente gera lance ditinto quando o tipo i ão ditinto). Vamo upor ainda que ea função b ) é diferenciável e b > 0: ou eja, é etritamente crecente. Logo, ea função admite uma invera b 1, também crecente. Preciamo inicialmente calcular a probabilidade de vitória do jogador i ao dar um lance b i qualquer. P rob jogador i ganha o leilão) = P rob jogador i dá o maior lance) = P rob b i b j, j i) = P rob b i b j ), j i) =uponha que o demai jogadore etão jogando a etratégia de equilíbrio b j )) P rob b 1 b i ) b 1 b j )), j i ) =pae a invera b 1 do doi lado da inequação, cuja direção é preervada porque b 1 é crecente) P rob b 1 b i ) j, j i ) =note que a invera b 1 da própria função b é apena eu argumento original) P rob j b 1 b i ), j i ) =apena troque o termo de lado) P rob 1 b 1 b i ), b 1 b i ),..., i 1 b 1 b i ), i+1 b 1 b i ),.., N b 1 b i ) ) = outra forma de ecrever para todo j i)

4 P rob 1 b 1 b i ) ) P rob b 1 b i ) )... P rob i 1 b 1 b i ) ), P rob i+1 b 1 b i ) ).. P rob N b 1 b i ) ) = ue o fato de que a variávei aleatória i ão independente: P robxy ) = P robx) P roby ) ob independência) F 1 b 1 b i ) ) F b 1 b i ) )... F i 1 b 1 b i ) ) F i+1 b 1 b i ) )... F N b 1 b i ) ) = Note que cada uma da probabilidade acima é exatamente a ditribuição F ) F b 1 b i ) ) F b 1 b i ) )... F b 1 b i ) ) F b 1 b i ) )... F b 1 b i ) ) = o tipo ão identicamente ditribuído) F b 1 b i ) ) N 1 Logo, o payo eperado do jogador i é i b i ) F b 1 b i ) ) N 1. O jogador i reolve: Max i b i ) F b 1 b i ) ) N 1 b i Para encontrar a condição de primeira ordem, devemo uar a regra do produto, a regra da cadeia e a derivada da função invera: CPO: i b i ) n 1) F N b 1 b i ) ) f b 1 b i ) ) 1 b b 1 b i )) F N 1 b 1 b i ) ) = 0 Note então que b 1 b i ) = i. Bucamo então um equilíbrio imétrico, poi b i i ) = b i ) i, em que o ubcrito i não é explicitado apena por implicidade: Podemo reecrever ea expreão como: b) n 1) F N ) f ) 1 b ) = F N 1 ) E portanto: b) n 1) F N ) f ) = b ) F N 1 ) n 1) F N ) f ) = b ) F N 1 ) + b n 1) F N ) f ) Ea é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Note que o lado direito da equação é implemente a derivada db)f N 1 ) d. Logo, trocando o lado da equação, obtemo: Podemo então ecrever: db ) F N 1 ) d = n 1) F N ) f ) db ) F N 1 ) = n 1) F N ) f ) d Integramo então do doi lado entre e temo então que ubtituir a variável de integração por uma dummy qualquer ): O lado equerdo e torna: db ) F N 1 ) = n 1) F N ) f ) d b ) F N 1 ) = b ) F N 1 ) b ) F N 1 ) O último termo do lado direito é igual a zero, poi F ) = 0: a ditribuição é zero no limite inferior veja acima a denição da ditribuição). Então: b ) F N 1 ) = b ) = n 1) F N ) f ) d n 1) F N ) f ) d F N 1 ) É poível provar que ea expreão é crecente em : quanto maior a valoração, maior o lance, como upoto b > 0). Prova-e ainda que o lado direito é igual a E [ ) / = 1)], o valor eperado da egunda maior valoração 4

5 ) ) condicional ao jogador ter a valoração mai alta = 1) ), e portanto er o vencedor do leilão e o jogador upuer que não tem a valoração mai alta, ele nem participa do leilão). Ou eja, o lance vencedor é exatamente o valor eperado da egunda maior valoração: o jogador tenta vencer dando o menor lance poível. Podemo ainda integrar o numerador dea última expreão por parte para obter uma relação mai clara entre o lance b ) e a valoração. 1 n 1) F N ) f ) d = F N 1 ) Temo então: F N 1 ) d = F N 1 ) F N 1 ) }{{} 0 F N 1 ) d Ou eja: b ) = n 1) F N ) f ) d F N 1 ) = F N 1 ) F N 1 ) d F N 1 ) b ) = F N 1 ) d F N 1 ) O lance b ) é igual à valoração meno um termo etritamente poitivo: como dito, o jogador tenta ganhar o leilão com o menor lance poível. Leilão de Segundo Preço. Nee cao, é poível provar que exite um equilíbrio há outro) em que b i i ) = i para todo jogador i: dar como lance a própria valoração é uma etratégia fracamente dominante. Conidere a alternativa: i. ˆb > b i, i : o payo de b i = i é igual a zero poi o jogador perde o leilão. ii. b i > ˆb > i : payo negativo i ˆb, e há incentivo a deviar para b i = i e obter payo zero. iii. b i, i > ˆb: o jogador ganha o bem e tem payo i ˆb para b i = i ou b i i : não há incentivo ao devio a partir de b i = i. É poível provar que o leilõe de primeiro e egundo preço geram a mema receita eperada para o leiloeiro. O leilão de primeiro preço gera lance menore ma pagamento maiore, dado o lance. O leilão de egundo preço faz o contrário: lance mai alto ma pagamento menore, dado o lance. O doi efeito e cancelam exatamente: a receita eperada é a mema. Exercício. Encontre o lance ótimo no leilõe de primeiro e egundo preço com ditribuição de tipo for uniforme no intervalo [0, 1]. O que ocorre e N =? E e N? Interprete. Repreentação de Jogo de Informação Incompleta como Jogo de Informação Imperfeita Etamo upondo implicitamente que o jogo de informação incompleta admitem a eguinte repreentação. Há um jogador adicional natureza) que joga ante de todo, e ua jogada é ecolher o tipo do jogadore; cada jogador oberva eu próprio tipo, ma não o do demai. Depoi o jogadore ecolhem ua açõe imultaneamente, recebem o payo, e o jogo termina. Por exemplo: 1 b Integral por parte: a f )g )d = f )g ) b a b a f )g )d. Faça f ) = e g ) = n 1) F N ) f ), notando então que gx) = F ) N 1. 5

6 Jogo Dinâmico de Informação Incompleta Para ee tipo de jogo, é neceário deenvolver uma noção de equilíbrio que elimine ameaça não-crívei, aim como no jogo dinâmico de informação completa. O conceito de perfeição em ubjogo, porém, é inuciente, como ilutrado no exemplo abaixo. A forma normal dee jogo é a eguinte. Jog.1/Jog. L R L, 1 0, 0 M 0, 0, 1 R 1, 1, O equilíbrio de Nah ão L, L ) e R, R ). Todavia, há um problema com o equilíbrio R, R ): envolve uma ameaça não-crível. Cao o jogador poa jogar ou eja, cao o jogador 1 ecolha L ou M), então o jogador neceariamente vai preferir jogar L a R. Se o jogador 1 tiver jogado L, o jogador prefere jogar L e car com 1 a jogar R e car com zero. Se o jogador 1 tiver jogado M, o jogador prefere novamente jogar L e car com a jogar R e car com 1. Em qualquer hipótee, o jogador prefere L e for chamado a jogar, e portanto R é uma ameaça não-crível. A princípio, podemo tentar reolver ee problema como a ideia de perfeição em ubjogo - ou eja, devemo bucar equilíbrio de Nah do jogo que induzam um equilíbrio de Nah em cada ubjogo, o que impõe racionalidade equencial e evita ameaça não-crívei. Ee método, porém, não é útil nee exemplo, poi o único ubjogo é o jogo inteiro. Logo, todo equilíbrio de Nah é perfeito em ubjogo. Preciamo então impor algun requiito adicionai para evitar ameaça não-crívei: 1- Cada jogador deve ter uma ditribuição de probabilidade em cada conjunto de informação ou eja, deve atribuir uma probabilidade para cada nó no conjunto). - A etratégia devem er equencialmente ótima dada a probabilidade. 6

7 No exemplo acima, vamo upor que, quando o jogador é chamado a jogar, ele atribui uma probabilidade p a etar no nó da equerda ou eja, probabilidade p de que o jogador 1 ecolheu L) e uma probabilidade 1 p a etar no nó da direita dee conjunto informacional. Podemo então montar a utilidade eperada do jogador para cada etratégia L ou R ) em função da probabilidade p: U e L /p) = p p) = p U e R /p) = p p) 1 = 1 p Concluímo então que o jogador prefere jogar L a R para todo valor de p, poi p [0, 1], U e L /p) > U e R /p). Logo, o equilíbrio R, R ) não atende ao requiito 1 e acima. Reta ainda a quetão obre que ditribuiçõe de probabilidade ão adequada - no exemplo anterior, io não era relevante porque o jogador preferia a mema etratégia independente da probabilidade. De forma geral, porém, etratégia pouco atraente para o jogador podem er articialmente utentada com ditribuiçõe de probabilidade pouco razoávei. Para evitar ee problema, denimo inicialmente um caminho de equilíbrio em jogo dinâmico de informação imperfeita. Denição. Caminho de equilíbrio inclui todo o caminho de equilíbrio unitário ou não) atingido com probabilidade etritamente poitiva, dada a etratégia do equilíbrio. Ou eja, a probabilidade de atingir um nó fora do caminho de equilíbrio é igual a zero. Impomo então o terceiro requerimento: - para todo conjunto de informação no caminho de equilíbrio, a probabilidade ão calculado de acordo com a regra de Baye. No exemplo anterior, a ditribuição p = 1, 1 p = 0 atende a ee requiito. De forma geral, a ditribuição de probabilidade é tão importante quanto a etratégia, e deve er retrita por otimalidade. À veze, é neceário adicionar um quarto requiito. 4- Fora do caminho de equilíbrio, a ditribuição de probabilidade é determinada pela regra de Baye empre que poível. Ou eja, quando não houver denominador igual a zero.) Denição. Equilíbrio Bayeiano Perfetito é um perl de etratégia que atende ao quatro requiito acima. Exemplo: O ubjogo que começa no nó de decião do jogador poui apena um equilíbrio de Nah L, R ). Logo, Podemo calcular o equilíbrio de Nah perfeito em ubjogo: D, L, R ). Fazendo p = 1, então ee também é um equilíbrio bayeiano perfeito: note que o requerimento 4 é atendido. Conidere agora o perl de etratégia A, L, L ) e a probabilidade p = 0.Dada ea probabilidade, a etratégia ão ótima, e o requiito 1, e ão atendido. Porém, a probabilidade p = 0 é inconitente, e portando o requiito 7

8 4 é violado: e o próprio equilíbrio prevê que o jogador jogue L, então o jogador deve atribuir probabilidade um de etar no nó da equerda - ou eja, deve fazer p = 1. Exercício. Encontre o equilíbrio bayeiano perfeito do jogo abaixo. 8