Intervalo de Confiança para a Diferença entre Duas Médias Amostrais

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1 Intervalo de Confiança para a Diferença entre Dua Média Amotrai Quando e quer etimar a diferença, µ µ, entre a média de dua populaçõe e, procede-e da eguinte maneira: toma-e uma amotra de cada população, com tamanho n e n repectivamente. Calculam-e a ua repectiva média e devio padrõe: x, x, e. Se oubermo que a ditribuiçõe populacionai da variávei x e x ão normai e conhecermo o devio padrõe da dua ditribuiçõe, e, então o intervalo de confiança de 95% para µ µ erá calculado como (pelo memo motivo uado na dedução do intervalo de confiança para a média): + (95%). n n +, 96 n n ( x x ),96 + µ µ ( x x ) Exemplo: Pequiadore deejam etimar a diferença entre o nívei de ácido úrico no oro de paciente com e em mongolimo. Tomou-e uma amotra de indivíduo mongolóide e e obteve uma média x 4, 5 mg/00 ml. Tomou-e então outra amotra de 5 indivíduo audávei de mema idade e exo que o mongolóide e e obteve uma média x 3, 4 mg/00 ml. Aumindo que a dua populaçõe ão normalmente ditribuída com variância iguai a mg/00 ml, calcule um IC 95% para µ µ. Temo que x x 4,5 3,4, mg/00 ml e que x + + 0,39 x mg/00 ml. Logo: n n 5 IC 95%, ±,96 x 0,39, ± 0,8 mg/00 ml (0,3,9).

2 Se a ditribuiçõe populacionai não forem normai, ma o tamanho da amotra, n e n, forem grande podemo, pelo Teorema Central do Limite, continuar a reolver problema como no exemplo anterior. Exemplo : Deeja-e comparar o tatu econômico de paciente de doi hopitai. A renda familiar anual média de uma amotra de 75 paciente do Hopital A é x R$ ,00 e a renda familiar anual média de uma amotra de 80 paciente do Hopital B é x R$ ,00. Se o devio padrõe da dua populaçõe forem iguai, repectivamente, a R$ 6.000,00 e R$ 5.000,00, calcule um intervalo de confiança de 99% para a diferença entre a média da dua populaçõe, µ µ. Temo que x x e que x x n + n ( 6000) ( 5000) Logo: IC 99% ( x ) ±,58 x ±,58 x ±.96 x x (R$.04,00 R$ 5.796,00). Quando a variância da populaçõe não ão conhecida, a amotra não forem grande, ma pudermo aumir que a ditribuiçõe populacionai ão normai devemo uar a ditribuição t de Student para calcular o intervalo de confiança para µ µ. Nete cao, há dua ituaçõe poívei: a) A variância populacionai ão iguai; b) A variância populacionai ão diferente.

3 Cao a: Variância populacionai deconhecido, ma iguai. Cao a hipótee de igualdade da variância eja válida, devemo coniderar que a variância obtida para a amotra retirada da dua populaçõe ão etimativa da mema coia: a variância comum à dua populaçõe,. Para etimar a variância comum,, toma-e uma média ponderada da variância e. O fatore de ponderação ão o grau de liberdade de cada amotra. Sendo aim, a amotra maior (que, teoricamente, contém mai informação obre a população) terá um peo maior na etimativa de. A variância etimada é dada então por: ( n ) + ( n ). n + n Com eta variância, o erro padrão da ditribuição amotral de ( x x ) é: 3

4 , x x + n n e, finalmente, a fórmula para o cálculo do intervalo de confiança de α% para ete cao é: x + ± tα %. n n ( x ) Para e obter o valor de t α% a partir da tabela, deve-e uar gl n + n. Exemplo: Uma conceionária de rodovia quer fazer uma comparação entre dua da ua praça de pedágio com relação ao tempo gato por veículo dede a chegada ao guichê até a aída. A população é compota pelo veículo que paam pela praça de pedágio e a população é compota pelo veículo que paam pela praça de pedágio. Retirou-e uma amotra de 4 veículo da população, com tempo médio de permanência no pedágio de,8 minuto e devio padrão de 0,6 minuto. Retirou-e uma amotra de 8 veículo da população, com tempo médio de permanência de,4 minuto e devio padrão de 0,5 minuto. A variância da dua populaçõe ão deconhecida, ma vamo aumir que ela ão iguai. Vamo também aumir que a ditribuição do tempo de permanência na praça de pedágio é normal. Calcule o IC 95% para µ µ. Começamo etimando a variância comum à dua populaçõe (por hipótee): ( 4 )( 0,6) + ( 8 )( 0,5) 0,3 0,56 min Agora, calculamo o IC 95% da forma uual, uando gl Pela tabela, vemo que t 95%,0: 4

5 0,3 0,3. IC 95% (0 0,85). 4 8 (,8,4) ±,0 + 0,4 ± 0, 45 Cao b: Variância populacionai deconhecido e diferente. Nete cao, em que não há bae uficiente para e aumir que, a ituação fica mai complicada. Memo que a ditribuiçõe da populaçõe e ejam normai, a teoria indica que não e pode uar a ditribuição t de Student como no cao anterior. A olução para ete problema foi etudada por vário etatítico ao longo do Séc. XX: Behren (99), Fiher (939, 94), Neyman (94), Scheffé (943, 944), Welch (937, 947), Apin (949), Trickett et al. (956) e Cochran (964). A olução propota por Cochran conite em uar a eguinte alternativa à ditribuição t de Student: t w t + w / α %, w + w onde w / n, w / n, t t α% para gl n e t t α% para gl n. Com eta alternativa, uma aproximação para o intervalo de confiança de α% para o cao da variância populacionai deconhecida e deiguai é: t x + ± t α %. n n ( x ) Exemplo: Aplicou-e um tete de conhecimento gerai a dua populaçõe diferente. A população é compota por aluno que acabaram de concluir o o grau e a população é compota por peoa que concluíram o egundo grau há mai de 0 ano, tendo ou não curado univeridade depoi. 5

6 Retiraram-e amotra de tamanho n 0 e n da dua populaçõe e o eguinte reultado foram obtido: x 6, e 0,7; x 5,8 e 5, 0. Não e tem motivo para aumir que o devio padrõe populacionai ão iguai, ma é razoável upor que a ditribuiçõe populacionai ão normai. Etime um intervalo de confiança de 95% para µ µ. Da tabela da ditribuição t de Student, temo: t t 95% (gl 9),0930 e t t 95% (gl ),0796. Temo também que: w 0,7/0 0,035 e w 5/ 0,7. Logo: 0,035., ,7.,0796 t,08. 0, ,7 Então: x ; (0,5). ± n n ( x ) ±,08 + 0,4, 6

7 O fluxograma abaixo intetiza o procedimento a erem utilizado para e determinar o intervalo de confiança para a diferença entre dua média populacionai (adaptado de Daniel, W.W., Biotatitic: a foundation for analyi in the health cience, 5th ed., Wiley, New York, 99). 7