Resolução do exame de 1 a época

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1 Reolução do exame de a época Programação Matemática - O itema linear: x + y x y x + y + z x + y + αz β x y x y x y z x + y + αz β é do tipo Ax b onde A = α e b = Por um corolário do lema de Farka, um itema do tipo Ax b é conitente e e ó e y T b para todo o y que atifaça y T A = e y. Ou eja, Ax b é inconitente e e ó e exite y tal que y T A = e y T b <. y T A = e y pertence ao núcleo de A T : β A T = α α +α α Portanto y T A = e y = ( α)λ αλ λ com λ R Da condição y T b < reulta y +βy = ( α+β)λ <, logo λ. Como y λ temo λ > e portanto, y = ( α)λ α e y = αλ α. Aim o itema é inconitente e e ó e α e β < α. - [ val.] O problema de programação linear:

2 Maximizar: x +x x Sujeito a: x +x x x +x +x 5 Com: x,x,x é equivalente, juntando variávei de folga x e x 5, ao problema de programação linear: Maximizar: x +x x Sujeito a: x +x x +x = x +x +x +x 5 = 5 Com: x,x,x,x,x 5 Iniciando com x = x = x = (i.e. a variávei báica ão a variávei de folga), temo o tableau A b c T fica da forma: 5 Nete cao já temo c = c e A B = I (i.e. a coluna de A correpondente à variávei báica formam a matriz identidade e a correpondente coordenada de c ão zero) portanto não é neceário proceder ao pao do algoritmo implex: () 5 > () > O termina no último tableau poi c T = (,,,, ). Portanto a olução báica obtida é (x,x,x,x,x 5 ) = (,,,,). Ou eja, no problema original, uma olução optimal é (x,x,x ) = (,,) com valor optimal. - Dada a matriz com entrada reai, M = temo que o conjunto X da ua coluna mai a família I do ubconjunto de X linearmente independente formam um matróide (mai concretamente

3 um matróide linear). Como a caracterítica da matriz M é (poi ó tem trê linha e ão linearmente indepente) há uma correpondência biunívoca entre a bae do matróide e a ubmatrize de M invertívei. Aim, determinar uma ubmatriz N de M invertível de dimenão é equivalente a determinaruma bae do matróide (X,I) que maximize o peo a w : X R dado por w b = a+b+c. c Como (X,I) é um matróide podemo uar o algoritmo ganancioo : w Iniciamo com F := I F := I; I F := I; I; ; I F :=,, ;, Logo uma ubmatriz invertível de peo máximo é N =. Embora a função peo w não eja empre poitiva, como queremo uma bae (e não apena um conjunto independente) de peo máximo, podemo uar à mema o algoritmo ganancioo.

4 - Iniciamo com o fluxo nulo: v v v t v v 5 Determinamo o S(x), que nete cao é formado por todo o vértice incluindo t. Logo exite um caminho x-aumentador, por exemplo,v,v,v,t, com ε = min{5,,,6} =, ficamo então com o novo fluxo: v v v t v v 5 S(x) = {,v,v,v,v,v 5,t},tomamonovamenteumcaminhox-aumentador, por exemplo,v,v,v 5,t, com ε = min{,,,} =, ficamo então com o novo fluxo: v v v t v v 5 S(x) = {,v,v,v,v,v 5,t},tomamonovamenteumcaminhox-aumentador, por exemplo,v,v,v 5,t, com ε = min{,,, } =, ficamo então com o novo fluxo: v v v t v v 5

5 S(x) = {,v,v,v,v,v 5,t},tomamonovamenteumcaminhox-aumentador, por exemplo,v,v 5,v,t, com ε = min{5,,,6 } =, ficamo então com o novo fluxo: v v 5 v t 5 v v 5 S(x) = {,v,v,v,v 5 } t, logo ete fluxo-t é máximo, com valor f(x) = + 5 = 8, e C = δ + (S(x)) = {(v,v ),(v,v ),(v 5,t)} é corte-t de capacidade d(c) mínima poi d(c) = ++ = f(x). 5- Conideremo o grafo bipartido G = (L C,E) onde L é o conjunto da linha do quadro, C é o conjunto da coluna do quadro e uma areta liga uma linha l i a uma coluna c j e a caa correpondente for branca. c G : l l c l c l c l 5 Nete cao, preencher a caa branca com letra de modo a não repetireme na mema linha ou coluna é equivalente a colorir a areta de G (i.e. decompor E em matching). (a) Aim, o problema propoto equivale a encontrar o número de matching de G (i.e. o tamanho máximo para um matching de G). Para tal, bata tomarumcandidatoamatchingdetamanhomáximom everificareexitem caminho de aumento de matching, e não exitem então M é de tamanho máximo, e exitem podemo uar um dee caminho para aumentar o matching e repetir o proceo até deixar de exitir tai caminho. c 5

6 Um candidato poível é o matching M = {[l,c ],[l,c ],[l,c ],[l,c 5 ]} que correponde à maior diagonal em branco do quadro. Temo então que um caminho M-aumentador correponde a um caminho dirigido entre l 5 e c no digrafo aociado ao matching: c D(G) : l l c l c l c l 5 Tal caminho não exite poi teria de paar por um do arco (l,c ) ou (l,c ) no entido invero, tal é mai viível na eguinte repreentação planar do digrafo D(G): c 5 D(G) : c l l l l 5 c c c 5 c l POrtantoomatchingM édetamanhomáximo,logoéonúmeromáximo de veze que uma letra pode er repetido no quadro. (b) Determinar o número mínimo de letra neceária para preencher o quadro equivale a determinar o índice cromático de G, χ (G). Sendo G um grafo bipartido, o índice cromático é, pelo teorema de Kőnig, igual ao grau máximo em G, (G), ou eja. 6- (Demontração por contra-recíproco) Suponhamo que A B, então exitea\b ouexiteb\a. Semperdadegeneralidade, uponhamo que B\A e eja x B\A. Como A é convexo, fechado e não-vazio (e foe vazio teríamo p v (A) = p v (B) para todo o v) exite um hiperplano que epara fortemente A de x. Ou eja, exite v R n \ {} e b R tai

7 que v T x b para todo o x A e v T x > b. Tomando um vector unitário u ortogonal a v temo que: x A v T p u (x) = v T (x u,x u) = v T x b e v T p u (x ) = v T x > b Logo p u (A) p u (B). 7- [ val.] Podemo extrair o grau do vértice de G atravé da ua matriz de adjacência: d(v ) d(v ) d(v ) d(v ) d(v 5 ) d(v 6 ) d(v 7 ) d(v 8 ) d(v 9 ) d(v ) = = Portantotemoque (G) =. ComoGnãopouinenhumacomponente conexa iomorfa a K 5 (poi não exitem cinco vértice de grau ), temo pelo teorema de Brook, que χ(g) (G) =. Por outro lado, é ubmatriz de A (aociada ao vértice v,v,v e v 6 ), ou eja K é ubgrafo de G. Logo χ(g) ω(g). Concluimo portanto que χ(g) =.