Aula 19: Lifting e matrizes ideais

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1 Aula 19: Lifting e matrizes ideais Otimização Linear e Inteira Túlio A. M. Toffolo BCC464/PCC /2 Departamento de Computação UFOP

2 Previously... Branch-and-bound Formulações fracas e fortes Cortes Combinatórios Cortes Baseados em Arredondamento Cortes de Chvàtal-Gomory Cortes de Gomory Hoje: Lifting Matrizes totalmente unimodulares 2 / 27 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 19: Lifting e matrizes ideais

3 Aula de hoje 1 Lifting 2 Matrizes totalmente unimodulares 3 Formulações Fracas e Fortes 4 Exercícios 2 / 27 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 19: Lifting e matrizes ideais

4 Aula de Hoje 1 Lifting 2 Matrizes totalmente unimodulares 3 Formulações Fracas e Fortes 4 Exercícios 2 / 27 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 19: Lifting e matrizes ideais

5 Cortes de cobertura Considere o programa linear P a seguir: max. 77x 1 + 6x 2 + 3x 3 + 6x x x x x x 9 s.a. 774x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j {0, 1} j {1... 9} Desigualdades válidas de cobertura x j C 1 j C Exemplo: C = {1, 6, 7, 9} ou x 1 + x 6 + x 7 + x / 27 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 19: Lifting e matrizes ideais

6 Estendendo cortes de cobertura Considere a formulação P a seguir: max. 77x 1 + 6x 2 + 3x 3 + 6x x x x x x 9 s.a. 774x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j {0, 1} j {1... 9} Outras desigualdades válidas Mas note que o x 1 + x 6 + x 7 + x 9 1 também é válido. (e é muito mais forte do que o anterior) Mas esta não é uma desigualdade de cobertura... Como gerá-la? 4 / 27 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 19: Lifting e matrizes ideais

7 Lifting x 1 + x 6 + x 7 + x 9 1 é uma desigualdade válida. Seja S o conjunto de todas as soluções viáveis para P. x 1 + x 7 1 é válida se x 6 = x 9 = 0. Ou seja, é válida para S {x B 9 x 6 = x 9 = 0}. Vamos derivar a desigualdade: x 1 + αx 6 + x 7 1, onde: se x 6 = 0, a desigualdade permanece válida se x 6 = 1, itens 1 e 7 não podem ser incluídos na mochila, o que é válido. Portanto, α = 1 mantem a restrição válida. Repetindo o processo para o item 9 obtemos: x 1 + x 6 + x 7 + x / 27 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 19: Lifting e matrizes ideais

8 Lifting Mas notem que x 1 + x 7 1 é uma desigualdade de cobertura! max. 77x 1 + 6x 2 + 3x 3 + 6x x x x x x 9 s.a. 774x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j {0, 1} j {1... 9} E que x 1 + x 6 + x 7 + x 9 1 é uma extensão obtida por um processo chamado lifting. 6 / 27 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 19: Lifting e matrizes ideais

9 Teorema 1 (note que variáveis são binárias) n Suponha que π j x j π 0 é válido para todo x S com x 1 = 0. j=2 αx 1 + n π j x j π 0 será válido se α π 0 j=2 max x S x 1 =1 j=2 n π j x j Teorema 2 (note que variáveis são binárias) n Suponha que π j x j π 0 é válido para todo x S com x 1 = 1. j=2 β(x 1 1) + n π j x j π 0 é válido se β π 0 j=2 max x S x 1 =0 j=2 n π j x j 7 / 27 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 19: Lifting e matrizes ideais

10 Teorema 1 (note que variáveis são binárias) n Suponha que π j x j π 0 é válido para todo x S com x 1 = 0. j=2 αx 1 + n π j x j π 0 será válido se α π 0 j=2 max x S x 1 =1 j=2 n π j x j Teorema 2 (note que variáveis são binárias) n Suponha que π j x j π 0 é válido para todo x S com x 1 = 1. j=2 n βx 1 + π j x j π 0 + β é válido se β j=2 max x S x 1 =0 j=2 n π j x j π 0 7 / 27 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 19: Lifting e matrizes ideais

11 Lifting Exemplo: Seja a restrição 3x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 4. Se x 1 = 1, x 2 = x 3 = 0 então x 4 + x 5 1 Vamos fazer lift da variável x 3 aplicando o Teorema 1: α 3 1 max x 4 + x 5 x S x 1 =x 3 =1,x 2 =0 ou seja, podemos fazer α 3 = 1 obtemos assim: x 3 + x 4 + x 5 1 se x 1 = 1 e x 2 = 0 Podemos melhorar esta restrição (e torná-la válida para mais soluções)? 8 / 27 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 19: Lifting e matrizes ideais

12 Lifting Sim, podemos: Vamos fazer lift da variável x 1 aplicando o Teorema 2: β 1 max (x 2 + x 4 + x 5 ) 1 x S x 1 =x 2 =0 ou seja, podemos fazer β 1 = 2 obtemos assim: 2x 1 + x 3 + x 4 + x 5 3 se x 2 = 0 Podemos melhorar esta restrição (e torná-la válida para mais soluções)? 9 / 27 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 19: Lifting e matrizes ideais

13 Lifting Sim: falta uma variável. Vamos fazer lifting da variável x 2 aplicando o Teorema 1: α 3 3 max (2x 1 + x 3 + x 4 + x 5 ) x S x 2 =1 ou seja, podemos fazer α 3 = 0 concluímos que 2x 1 + x 3 + x 4 + x 5 3 é uma desigualdade válida para qualquer solução S que satisfaça a restrição original 3x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x / 27 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 19: Lifting e matrizes ideais

15 Matrizes totalmente unimodulares (TUM) Alguns problemas inteiros podem ser resolvidos pelo Simplex sempre resultando em soluções inteiras. É o caso de formulações ideias E de formulações com matriz A totalmente unimodular. Matrizes totalmente unimodulares (TUM) Uma matriz A é dita totalmente unimodular (TUM) se cada submatriz quadrada de A tem determinante igual a 1, 0 ou / 27 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 19: Lifting e matrizes ideais

16 Matrizes totalmente unimodulares (TUM) Se a matriz A é totalmente unimodular, o poliedro P definido a seguir tem vértices inteiros: P = {x R n Ax b, x 0} Se P tem vértices inteiros, então podemos resolver um problema de otimização com soluções viáveis P = P {x Z n } utilizando o algoritmo Simplex. 13 / 27 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 19: Lifting e matrizes ideais

17 Matrizes totalmente unimodulares (TUM) Definição: Seja uma matriz A contendo apenas valores 1, 0 e +1 tal que haja no máximo dois valores não-nulos em cada coluna. A matriz A é totalmente unimodular se existir uma partição R 1 e R 2 de suas linhas tais que: 1 cada coluna com dois termos não nulos de mesmo sinal tem uma entrada em R 1 e outra em R 2 ; 2 cada coluna com dois termos não nulos de sinal diferente tem ambas entradas em R 1 ou em R / 27 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 19: Lifting e matrizes ideais

18 Exemplos Matrizes de incidência (arco-vértice) de um dígrafo e de um grafo bipartido (aresta-vértice). Problemas com matrizes TUM: Problema do caminho mínimo Problema de fluxo máximo Problema de fluxo com custo mínimo Problema de emparelhamento em grafos bi-partidos 15 / 27 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 19: Lifting e matrizes ideais

20 Mensagem principal Em Programação Inteira, a formulação é tudo! 17 / 27 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 19: Lifting e matrizes ideais

21 Exemplos Vimos alguns exemplos de formulações fracas e fortes. Problema do Caixeiro Viajante: F 1 min i N s.a. j N,i j i N,i j c i,j x i,j j N,i j x i,j = 1 i N x i,j = 1 j N u 1 = 1 u i u j + nx i,j n 1 i, j {2,..., n}, i j 18 / 27 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 19: Lifting e matrizes ideais

22 Exemplos Vimos alguns exemplos de formulações fracas e fortes. Problema do Caixeiro Viajante: F 2 min i N s.a. j N,i j i N,i j c i,j x i,j j N,i j x i,j = 1 i N x i,j = 1 j N x i,j S 1 S N, 2 S n 1 i S j S 19 / 27 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 19: Lifting e matrizes ideais

23 Importante!!! Sempre que possível, evite restrições que utilizem o BigM. Número menor de variáveis não necessariamente implica em uma formulação melhor. O mesmo vale para o número de restrições. Em alguns casos, solvers podem ter melhor desempenho com formulações mais fracas, dependendo das características das variáveis e restrições (e dos algoritmos de plano de corte disponíveis). 20 / 27 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 19: Lifting e matrizes ideais

24 Exemplo adicional: Problema das p-medianas O problema das p-medianas consiste em decidir onde instalar p facilidades para atender L = {1... n} clientes minimizando a soma das distâncias destes clientes até a facilidade mais próxima. Este problema pode ser descrito por meio de um grafo completo com n vértices e distâncias d i,j entre dois vértices i e j. Devemos portanto determinar p vértices (medianas) para instalar as localidades. Note que em uma solução o grafo é particionado em conjuntos de vértices, em que cada partição é atendida por uma facilidade. 21 / 27 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 19: Lifting e matrizes ideais

25 Exemplo adicional: Problema das p-medianas Variáveis { 1 se o cliente i é atendido pela localidade j x i,j = 0 caso contrário { 1 se uma facilidade é aberta na localidade j y j = 0 caso contrário min. s.a. i L j L d i,jx i,j x i,j = 1 j L y j = p j L i L x i,j My j j L i L min. s.a. i L j L d i,jx i,j x i,j = 1 j L y j = p j L x i,j y j i L i L, j L 22 / 27 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 19: Lifting e matrizes ideais

26 Problema de restrições Big-M Suponha M = n no exercício anterior, e n = 100 a título de exemplo. x i,j My j j L i L permite a ocorrência de algum x i,j = 1 se y j Suponha agora que n = Neste caso, basta y j 0, para permitir que algum cliente seja atendido pela localidade j. Note que esta restrição é facilmente satisfeita por valores fracionários. 23 / 27 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 19: Lifting e matrizes ideais

27 Problema de restrições Big-M Suponha novamente M = n, e n = 100: x i,j y j i L, j L exige que y j seja igual a 1 para que algum cliente i seja atendido completamente pela localidade j. A regra continua válida mesmo se aumentarmos o tamanho do problema para n = De fato, qualquer solução fracionária com y j < 1 impede a ocorrência de algum x i,j = 1. Resultado: formulação mais forte! Mas com muito mais restrições: O(n 2 ) vs O(n) 24 / 27 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 19: Lifting e matrizes ideais

28 Cortes no Gurobi 25 / 27 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 19: Lifting e matrizes ideais

30 Exercícios Exercícios Seja S o conjunto de soluções {x B 5 3x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 4}. Sabendo que x 4 + x 5 1 é válido para S {x 1 = 1, x 2 = x 3 = 0}, resolva as questões a seguir. 1 Qual desigualdade obtemos se fizermos lifting nas variáveis x 1, x 2 e x 3 na ordem {x 2, x 1, x 3 }? 2 E se fizermos lifting na ordem {x 1, x 2, x 3 }? 27 / 27 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 19: Lifting e matrizes ideais

31 / 12 Perguntas?