2. FLEXO-TORÇÃO EM PERFIS DE SEÇÃO ABERTA E PAREDES DELGADAS.

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1 2. FLEXO-TORÇÃO EM PERFIS DE SEÇÃO BERT E PREDES DELGDS. Nete capítulo ão apreentado, de forma concia, com bae no trabalho de Mori e Munaiar Neto (2009), algun conceito báico neceário ao entendimento do preente trabalho e a equaçõe da teoria cláica de viga ebelta ob flexo-torção Perfi de eção aberta e parede delgada. principal caracterítica de um perfil de parede delgada é que a epeura da eção tranveral é muito menor que ua largura, altura ou contorno. Porém, eta dimenõe ão muito menore do que eu comprimento, de modo que ainda é poível utilizar modelo de barra para ua análie. Uualmente tem-e que St 10t e L 10St, onde L é o comprimento do elemento, S t é o perímetro da eção e t é a epeura da parede do elemento, como ilutra a Figura 2.1. Figura 2.1: Perfil de eção aberta e parede delgada. Para a determinação da equaçõe que permitem obter a poição do centro de cialhamento em eçõe tranverai aberta e delgada, ão admitida como válida a eguinte hipótee implificadora:

2 29 O contorno da eção tranveral permanece rígido em eu próprio plano durante a deformação. deformaçõe por cialhamento na uperfície média da barra podem er deprezada Centro de cialhamento de uma eção tranveral. Toma-e como ponto de partida uma viga carregada com força aplicada em poiçõe arbitrária ao longo do eu comprimento (eixo X) e contida em um único plano definido como plano da força. Inicialmente, admitindo uma poição arbitrária do plano da força em relação ao ponto da eção, e conidera que ea mema viga poa etar olicitada, imultaneamente, por eforço de flexão e de torção. Nea ituação mai geral, a tenõe de cialhamento (τ) gerada na eção tranveral ocorrem com vita a garantir o etabelecimento do equilíbrio entre força externa aplicada e o eforço interno. Coniderando a dimenão da eção tranveral b, a tenõe de cialhamento produzem como reultante um eforço cortante (V) e um momento de torção (M x ), dado repectivamente por: V M d (2.1) x bd (2.2) No entanto, o etudo iniciai para barra apena fletida ubmetida a carregamento tranverai ao próprio eixo, tomam como ponto de partida a hipótee de que exite um plano do carregamento (plano da força) paando por um ponto epecífico da eção tranveral da barra onde o efeito da torção é nulo, ocorrendo apena o eforço cortante (V), Equação (2.1), como reultante (equivalência etática) da tenõe de cialhamento gerada ao longo da eção, como ilutra a Figura 2.2.

3 30 Figura 2.2: Repreentação do eforço olicitante cortante (V) na barra. Exite, portanto, um ponto pertencente ao plano da eção tranveral, coincidente ou não com um ponto da mema eção, denominado centro de cialhamento (C) ou centro de torção, pelo qual deve paar o plano de aplicação da reultante da carga tranverai e, conequentemente do eforço cortante, de modo que não ocorra torção, ma apena flexão. O centro de cialhamento é, portanto, uma propriedade geométrica da eção tranveral Centro de cialhamento para eçõe com doi eixo de imetria Para eçõe com doi eixo de imetria, tem-e que a poição do centro de gravidade (G) coincide com o ponto de intereção do doi eixo de imetria (centroide da eção tranveral), apecto demontrado pela condição de momento etático nulo para ambo o eixo. Para uma eção retangular, por exemplo, admitindo que o plano de força eja coincidente com a poição do centro de gravidade, a ditribuição da tenõe de cialhamento dá origem a uma reultante (V) que paa por G e coincide com o plano de carregamento, conforme exemplifica a Figura 2.3. Figura 2.3: Reultante da tenõe de cialhamento em perfil biimétrico.

4 31 Nota-e que, para o cao apreentado na Figura 2.3, o carregamento aplicado provoca apena flexão e, conequentemente, uma ditribuição de tenõe de cialhamento na eção tranveral que produz como reultante apena o eforço cortante. Nee cao, o plano de carregamento e o eforço cortante ão colineare. Dee modo, fica etabelecida como centro de cialhamento (C) a poição na eção tranveral em que a reultante V y e V z e cruzam. Portanto, para eçõe tranverai com doi ou mai eixo de imetria, a poição do centro de cialhamento (C) é coincidente com a poição do centro de gravidade (G) Centro de cialhamento para eçõe com um eixo de imetria. Para a eçõe com apena um eixo de imetria, abe-e que o centro de gravidade (G) pertence a ee memo eixo. Por exemplo, para uma eção do tipo T de parede delgada a ditribuição da tenõe de cialhamento é admitida paralela à linha de borda e uniformemente ditribuída ao longo da epeura, o que não implica em ignificativa perda de precião do reultado. Em função da epeura reduzida da parede, ee tipo de eção pode er repreentado pela linha média da eção. Como análie inicial, admite-e que o plano de carregamento eja coincidente com o eixo de imetria da eção (eixo Z) e, portanto, tem-e flexão em torno do eixo Y. Nee cao, repreentando a eção por meio da linha média, obtém-e uma ditribuição da tenõe de cialhamento e ua correpondente reultante, V z, conforme ilutrado na Figura 2.4. Figura 2.4: Reultante da tenõe de cialhamento perfil monoimétrico T.

5 32 Nee cao, a parcela da reultante de τ na mea do perfil T é pequena e pode er deconiderada, uma vez que a eção é delgada, ou eja, t 0,1S t, retando apena a parcela de τ na alma da eção, que é coincidente com o plano de carregamento, garantindo a inexitência de torção, ituação que tem correpondência direta com a Equação (2.1). Portanto, o lugar geométrico do centro de cialhamento coincide com o eixo de imetria da eção T, e ua poição fica aim parcialmente definida. Como egunda análie, admite-e que o plano de carregamento eja coincidente com a mea da eção, com flexão em torno do eixo Z. Nee cao, obtém-e uma ditribuição da tenõe de cialhamento e ua correpondente reultante, V y, conforme ilutra a Figura 2.4. Utilizando o memo raciocínio da primeira análie, a parcela da reultante de τ na alma do perfil T é deconiderada, retando apena tenõe τ na mea da eção cuja reultante é coincidente com o plano de carregamento, garantindo novamente a inexitência de torção. Finalmente, nota-e que o ponto de interecção da direçõe da dua reultante, V y e V z, definem a poição do centro de cialhamento, como motra a Figura 2.4. Sempre que o plano de carregamento paar por ee ponto, fica garantida a inexitência de torção e a condição apreentada na Equação (2.1) é verificada. Para eçõe tranverai cujo trecho que a contituem ão concorrente a um único ponto (eçõe T, cantoneira ou imilare), fica como regra geral que C coincide com o ponto comum da linha média da eção do trecho que a formam. Com bae no apecto identificado para a eção T, abe-e que a eção C terá a poição do centro de cialhamento ituada em algum ponto pertencente ao eixo de imetria. Nee cao, para determinar a poição exata de C, bata coniderar a ocorrência de um plano de carregamento que eja perpendicular àquele eixo, uma vez que e abe que a poição de C é definida pela interecção dee memo eixo de imetria com a direção da reultante de τ que aparece em repota ao referido carregamento, conforme ilutra a Figura 2.5.

6 33 Figura 2.5: Reultante da tenõe de cialhamento perfil monoimétrico C. Nee cao, a ditribuição de τ, admitida conforme idealizada na Figura 2.5, repeitada à condiçõe de equilíbrio, deve repreentar, no conjunto da parte que compõem a eção, entido que percorram a eção de uma extremidade à outra, podendo, e deejado, er contrário àquele indicado na mema figura. Por equivalência etática, com redução ao ponto o o efeito de V, na eção, deverá er equivalente ao efeito provocado pela reultante τ1 e τ2, e a poição final de C fica etabelecida a partir da equaçõe: F v 0 V= 2 (2.3) 1 M o 0 Vd 1h d h (2.4) Centro de cialhamento para eçõe tranverai aimétrica. im como no cao anterior, por e coniderar a parede como delgada (pequena epeura), a ditribuição da tenõe de cialhamento é admitida paralela à linha da borda e uniformemente ditribuída ao longo da epeura, não implicando em ignificativa perda de precião do reultado. Em função da epeura reduzida da parede, ee tipo de eção pode er repreentado pela linha média da eção, conforme ilutra a Figura 2.6.

7 34 Figura 2.6: Ditribuição de tenõe de cialhamento em eção de parede delgada. Inicialmente, por meio do conceito da reitência do materiai, para barra fletida, vale lembrar que a tenão de cialhamento pode er obtida a partir da expreão: VM (2.5) ti Na Equação (2.5), M e I repreentam, repectivamente, o momento etático e o momento de inércia determinado em relação ao eixo principai de inércia, aqui deignado por Y e Z. Para o etudo que e egue, parte-e de uma eção tranveral qualquer, aimétrica e contituída de parede delgada e reta com epeura t, eixo principai de inércia definido por Y e Z, e repreentada pela linha média da eção à qual etá aociada uma ordenada que a percorre dede 1 até 2, conforme ilutra a Figura 2.7. delgada. Figura 2.7: Seção tranveral aberta aimétrica genérica de parede

8 35 Supõe-e um plano de carregamento fictício paralelo ao eixo Z, também repreentado na Figura 2.7. Nee cao, tem-e que: V V z (2.6) I I y (2.7) M zd ztd (2.8) 1 Dete modo, obtém-e a força elementar reultante de cialhamento, por meio de equivalência etática em um elemento de comprimento d, dada por: df d td (2.9) condição para garantir a não ocorrência de momento de torção conite em impor que a reultante deta força elementare deve er igual, em módulo e poição, à força cortante V z. Uma vez garantida ea última condição é poível afirmar que a linha de ação do traço do plano de carga, ou do eforço cortante, é o lugar geométrico do centro de cialhamento. Fica claro, portanto, que e realizando análie para plano de carregamento em dua direçõe ditinta, nee cao, em direçõe coincidente com o eixo principai Y e Z (plano paralelo a XY e XZ), e determina a poição de C pela intereção do traço do plano de carga, o quai podem er interpretado como lugare geométrico dee memo ponto. Com bae na primeira análie etabelecida na Figura 2.7, a condição que permite obter o lugar geométrico da poição do centro de cialhamento é aquela que garante que a reultante do momento da força elementare, obtida por τd em relação a C por meio da integral em toda a eção, de 1 a 2, eja nula, a aber: 2 M dr = tdr 0 c (2.10) 1

9 36 Na Equação (2.10), o parâmetro r é denominado raio vetor e definido pela ditância de C até a tangente à linha média da eção do trecho de interee, e M c é denominado o momento com repeito a C conforme motra a Figura 2.8. Figura 2.8: Repreentação equemática do raio vetor r. Para carregamento na direção do eixo Z e coincidente com o correpondente eforço cortante (plano de carga paralelo ao plano XY), e coniderando a validade da Equação (2.5) particularizada para flexão em torno do eixo Y (Equaçõe (2.6) e (2.8)), tem-e: VM z dr 0 (2.11) ti y Como o eforço cortante e o momento de inércia (I y ) ão contante para uma mema eção tranveral, e com bae na Equação (2.10), da Equação (2.11) tem-e: 2 2 V 1 z V z ztd rtd = ztd rd I y t I 1 1 y 1 1 (2.12) como V z /I y 0, da última igualdade tem-e que: ztd rd 0 (2.13)

10 37 Equação (2.13) conite de duplo procedimento de integração, cuja reolução é obtida por meio de eguinte integração por parte. 2 2 ztd rd rd ztd 0 (2.14) Na Equação (2.14), a parcela ztd repreenta o momento etático da eção 1 tranveral, que, por definição, é nulo ao longo de toda a linha média da eção, ito é, 2 ztd 0 e ztd 0 (2.15) 1 1 Portanto, como produto final de interee, obtém-e: rd ztd 0 (2.16) O termo entre parêntee rd é denominado área etorial da eção 1 tranveral, propoto em Vlaov (1961) e repreentado por ω. Nee cao, a área etorial e a condição para a determinação da poição do ponto C ão ecrita na forma: rd (2.17) 1 zd 0 (2.18) Em uma egunda análie, análoga à primeira, upõe-e um plano de carregamento fictício e paralelo ao eixo Y, procedimento que reulta na equação: yd 0 (2.19)

11 38 Portanto, como condição neceária para determinar o centro de cialhamento, bata etabelecer plano de carga, na direçõe do eixo principai (por er mai conveniente), coniderado coincidente com a repectiva força cortante reultante que aparecem em repota ao carregamento aplicado. Nee cao, tem-e como produto final, o conjunto de Equaçõe (2.18) - (2.19), que é uficiente para a determinação de C. Figura 2.9: Plano de carregamento fictício paralelo a direçõe z e y. Cabe detacar que o termo zd e yd ão denominado produto etoriai da eção tranveral, Vlaov (1961), e e referem ao eixo principai de inércia. equaçõe para determinar a poição do centro de cialhamento ão: 1 yc zd I (2.20) y 1 zc yd I (2.21) z 2.3. Área Setorial Conidere-e a linha média de uma eção tranveral qualquer, como e motra na Figura 2.10

12 39 Figura 2.10: Repreentação da área etorial. Ecolhe-e ao longo da linha média da eção de comprimento de arco, um ponto exterior C, denominado polo (nete cao coincide com o centro de cialhamento). Sobre o contorno da linha média da eção conideram-e o ponto 1 e 2 ditante um do outro de d. Denomina-e r a menor ditância entre a reta tangente a 1 e o polo C. Liga-e a eguir o ponto C ao ponto 1 e 2, formando uma área infiniteimal denominada dω, que é a diferencial da chamada área etorial. d r. d (2.22) área etorial é, poi, dada pela integral: r. d (2.23) 0 É importante realtar que a área etorial ω, quando calculada em relação a um trecho qualquer da linha média de uma eção, reulta no dobro da área do etor da figura geométrica plana, como motra a Figura Figura 2.11: Relação da área etorial com a geométrica. Fazendo uma correlação entre a Figura 2.10 e a Figura 2.11 têm-e:

13 40 2 a (2.24) rd = r d = ra 1 0 ra 2 (2.25) Torção de perfi de eção aberta e parede delgada. Figura 2.12: Torção de perfi de eção aberta e parede delgada. Quando um perfil de eção aberta e parede delgada é ubmetido a um momento toror m x, Figura 2.12, a ua eçõe giram em torno do eu próprio eixo e empenam. Se o empenamento for livre na extremidade e o momento toror (m x ) aplicado for contante, diz-e que o perfil etá ubmetido a uma torção uniforme ou torção de Saint-Venant. Se, por outro lado, o momento toror for variável ou o empenamento etiver impedido em alguma eção, diz-e que o perfil etá ubmetido a uma torção não uniforme. No cao mai geral, de um perfil ubmetido a uma torção não uniforme, o momento toror reitente é contituído por dua parcela, o momento devido à torção, T t, e o momento devido ao impedimento do empenamento, T e. Dete modo, o equilíbrio do perfil correponde a: mx Tt Te (2.26) No cao da torção uniforme, apena exite a primeira parcela.

14 41 dua parcela do momento toror relacionam-e com o ângulo de torção θ x do perfil (em torno do eixo longitudinal que paa pelo centro de cialhamento da eção tranveral) atravé da expreõe: d x Tt GJ dx 3 d x Te EIw 3 dx (2.27) onde X é o eixo do perfil e GJ e EI w deignam, repectivamente, a rigidez a torção e rigidez ao empenamento. qui G e E ão, repectivamente, o módulo de elaticidade tranveral e longitudinal do material e J e I w ão repectivamente a contante de torção e empenamento do perfil. Sabe-e, da reitência do materiai que: J 1 3 bt i i 3 (2.28) i onde b i e t i ão, repectivamente, a largura e a epeura da i-éima parede do perfil. O cálculo de I w é próprio de cada perfil. Por exemplo, para um perfil C, a contante de empenamento é obtida pela eguinte equação: I w 3 2 tfb h 3btf 2ht 12 6bt ht f w w (2.29) onde t f e t w ão repectivamente a epeura da mea e alma da eção. reolução do problema da torção não uniforme de um perfil requer a olução da eguinte equação diferencial de equilíbrio: 3 d d x (2.30) 3 dx dx x mx GJ EIw