COMPORTAMENTO ELÁSTICO-LINEAR DE TRELIÇAS ESPACIAIS VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Transcrição

1 COMPORTAMENTO ELÁSTICO-LINEAR DE TRELIÇAS ESPACIAIS VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Viníciu Iamu Watanabe Hirotomi [Bolita PIBITI/UTFPR], Leandro Waidemam [Orientador], Raul Pinheiro Dia [Colaborador] Coordenação do curo de Engenharia Civil Campu Campo Mourão Univeridade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR BR km 0, Caixa Potal: Campo Mourão - PR - Brail viníciu_iamu@hotmail.com, waidemam@utfpr.edu.br, raulpinheirodia@gmail.com Reumo - No preente trabalho é apreentada uma formulação do Método do Elemento Finito (MEF) para a análie linear de treliça epaciai. Viando obter a equaçõe algébrica para a olução do problema propoto, o itema etrutural é dicretizado atravé de elemento finito ioparamétrico lineare, endo a matriz de rigidez elementar explicitada ao longo do trabalho. De forma a validar a formulação propota, deenvolveu-e um programa computacional livre, modular e flexível, que contempla divera poibilidade de análie lineare e permite caracterizar amplamente o comportamento mecânico da etrutura aqui tratada. Por fim, ete trabalho apreenta doi exemplo de treliça epaciai, de forma que o reultado obtido por meio do programa deenvolvido ão analiado e comparado com o fornecido por outro oftware epecífico da área. Palavra-chave: Método do Elemento Finito; Análie linear de etrutura; Treliça epaciai. Abtract - A formulation of the Finite Element Method (FEM) for linear analyi of three-dimenional true i preented in thi work. In order to obtain the algebraic equation to olve the propoed problem, ioparametric linear element are ued to approximate the diplacement unknown value and the element tiffne matrix wa preented in thi context. In order to confirm the correct development of the preented formulation, a free, modulate and flexible oftware wa developed. Thi oftware comprie a plenty of poibilitie for linear analyi and allow the wide characterization of the mechanical behavior of thi kind of tructure. Finally, thi paper preent two example of three-dimenional true, o that the reult reached by the created oftware are analyzed and compared with the obtained by mean of the other pecific engineering oftware. Keyword: Finite Element Method; Linear analyi of tructure; Three-dimenional true. INTRODUÇÃO Com o urgimento da máquina a partir da Revolução Indutrial em meado do éculo XIX, houve uma mudança na concepção da ociedade, onde a máquina paaram a ubtituir muito do trabalho empregado até então arteanalmente. O memo aconteceu e vem acontecendo no ramo da engenharia e divera outra área. Atualmente é poível verificar que o método computacionai vêm endo cada vez mai empregado no ramo da engenharia de etrutura. A jutificativa para ito é que ete programa ão capaze de gerar rapidamente oluçõe com reultado eguro e confiávei para análie e dimenionamento etrutural.

2 Diante dete contexto, ete trabalho tem como objetivo principal deenvolver um oftware a er empregado em treliça epaciai, endo ete programa embaado em um modelo matemático teórico e numérico fundamentado no Método do Elemento Finito [1] - [5]. METODOLOGIA Uma maneira batante empregada para o deenvolvimento do método numérico de forma a viabilizar eu emprego no computadore é a dicretização do contínuo. Tal procedimento conite em tornar o problema finito, de forma que a etrutura (meio contínuo) é coniderada eparada em ponto com um número finito de grau de liberdade [6]. O MEF e inere à dicretização do contínuo a partir do momento em que e conidera a fragmentação da etrutura em elemento finito definido atravé de nó com retrição ao grau de liberdade baeada no tipo de elemento etrutural etudado. No cao particular da treliça epaciai, o elemento finito e o eu repectivo nó ão coniderado como a própria barra e o próprio nó da treliça, repectivamente. Cada nó apreenta trê grau de liberdade, ou eja, o movimento de tranlação na direçõe do eixo carteiano x, y e z. A partir do delocamento nodai o delocamento de qualquer ponto da etrutura ão determinado por interpolação atravé de funçõe conhecida como funçõe de aproximação, funçõe de forma ou ainda funçõe interpoladora [6] e [7]. Na formulação aqui apreentada conidera-e o deenvolvimento da equaçõe apena para um elemento (barra), detacando-e que e trata de um corpo deformável. Partindo-e do Princípio do Trabalho Virtuai (PTV) e baeando-e no princípio de conervação de energia [8]-[10], tem-e: T T (1) * * i e A partir da equação (1), na qual a primeira parte da igualdade relaciona o trabalho virtual da força interna e a egunda parte o trabalho virtual da força externa, e coniderando-e que o elemento de treliça apreentam apena tenõe normai e ão ubmetida apena a força nodai [8]-[10], pode-e ecrever: V dv Fu * * * onde a integrai ão realizada no volume do elemento e o índice uperior ( ) indica a caracterítica virtual; e repreentam a parcela de tenão e deformação normal, repectivamente; e F e u a força e delocamento nodai, repectivamente Coniderando-e a Lei de Hooke, a relaçõe diferenciai entre deformação e delocamento proveniente da mecânica do ólido e a definiçõe de momento de inércia [8] - [10], e ainda, coniderando-e a área da eção tranveral A contante em todo o elemento, a equação (2) torna-e: (2) L * u u EA dx F u x x 0 * (3) onde o índice repreenta a direção axial do elemento, conforme pode er verificado na figura 1.

3 Figura 1. Coordenada local do elemento finito. Recordando que o MEF aproxima o campo de delocamento do elemento por uma função interpoladora dependente do delocamento nodai, admitiu-e nete trabalho funçõe de aproximação lineare [7] definida pela equação que egue: x x u 1 u u L L 1 2 (4) endo o entido poitivo do delocamento nodai coincidente com o entido da coordenada local ilutrada na figura 1. Adotando-e a função de aproximação (4) para exprear tanto o delocamento reai quanto o delocamento virtuai e coniderando-e que ee último podem aumir valore arbitrário não todo nulo [10], tem-e o itema de equaçõe algébrica obtido a partir da equação integral (3): k u f (5) 1 1 EA 1 1u F 2 2 L 1 1 u F (6) Sendo: k : matriz de rigidez do elemento; u : vetor de delocamento nodai do elemento em coordenada locai; f : vetor de força aplicada ao nó do elemento em coordenada locai. De poe da matriz de rigidez do elemento, a olução do problema como um todo paa pela mudança de coordenada (local para global), correta montagem da matriz de rigidez e vetor de carga da etrutura como um todo, inerção da condiçõe de contorno e olução do itema linear de equaçõe [1]-[6] e [11]. RESULTADOS E DISCUSSÃO Exemplo 01 Treliça hiperetática via olução numérica. De forma a validar o oftware deenvolvido em tal pequia, a treliça dete exemplo é compota por ei nó, tendo em ua extremidade dua força e em outra extremidade trê nó apoiado. A doze barra que a

4 2 contitui pouem módulo de elaticidade longitudinal contante E kn cm, diâmetro 10 cm. A configuração geométrica da treliça pode er encontrada na figura 2. Figura 2. Treliça hiperetática. Na equência ão apreentado o valore do proceamento do dado deta etrutura obtido pelo oftware deenvolvido e pelo programa Analyi [12] verão Tabela 1. Delocamento nodai. Delocamento Nodai (mm) Nó Software Implementado Analyi De.x De.y De.z De.x De.y De.z 1 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,000-0,041 0,000-0,000-0,041-0, ,007-0,039-0,002-0,007-0,039-0, ,007-0,038 0,000 0,007-0,038 0,000 Tabela 2. Força normal na barra. Força na Barra (kn) Barra Software Implementado Analyi 1 0,000 0, ,000 0, ,000 0,000

5 Tabela 2. Força normal na barra (continuação). Força na Barra (kn) Barra Software Implementado Analyi 4 0,000-0, ,000-4, ,000 4, ,404 2, ,000-0, ,333-1, ,667 4, ,667-4, ,000 0,000 Analiando-e o reultado obtido pelo oftware deenvolvido, pode-e verificar que ete e apreentam iguai ao calculado pelo programa Analyi [12]. Tal fato já era eperado, poi a funçõe de aproximação lineare utilizada para aproximar o campo de delocamento no elemento repreentam o comportamento real de um elemento de treliça. Dea forma, o reultado obtido comprovam o correto deenvolvimento e implementação da formulação propota e ainda a ua confiabilidade e precião. Exemplo 02 Treliça complexa. Nete último exemplo temo o cao de uma treliça complexa devido ao alto número de barra, e trê força aplicada em nó e direçõe ditinto. Para ete cao a olução aplicando o método analítico acaba tornando-e batante trabalhoo, exigindo muito tempo e atenção. Como caracterítica fíica e geométrica para toda a barra têm-e: módulo de 2 2 elaticidade tranveral E kn cm e área de eção tranveral A 28,97 cm. A configuração geométrica da treliça pode er viualizada na figura 3. Figura 3. Treliça complexa.

6 De maneira análoga ao exemplo anterior a treliça foi imulada no oftware implementado e no programa Analyi. O reultado de força normal na barra e delocamento nodai fornecido por ambo o programa ão apreentado na equência. Tabela 3. Delocamento nodai. Delocamento Nodai (mm) Nó Software Implementado Analyi [12] De.x De.y De.z De.x De.y De.z 1 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,001-0,017 0,006-0,001-0,017 0, ,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,237-0,155 0,030 0,237-0,155 0, ,253 0,089 0,031 0,253 0,089 0, ,001-0,034 0,029 0,001-0,034 0, ,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, ,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 Tabela 4. Força normal na barra. Força na Barra (kn) Barra Software Implementado Analyi [12] 1-3,246-3, ,129-3, ,504-0, ,621-0, ,000 0, ,756-4, ,494-4, ,831 4, ,500-3, ,504 0, ,621 0, ,504-0, ,621-0, ,494 4, ,756 4, ,000 0, ,559 11, ,802-10,802 Analiando-e o reultado fornecido pelo doi programa e comparando-o, tem-e que o valore tanto de delocamento nodai, quanto de força normal na barra não apreentam erro fornecido por poívei aproximaçõe numérica. Atravé dee exemplo pode-e perceber que a precião numérica alcançada é independente da quantidade de nó e barra da treliça, o que reforça ainda mai a veratilidade do oftware deenvolvido.

7 CONCLUSÕES O trabalho vigente teve como objetivo principal etudar o comportamento etrutural linear de treliça epaciai atravé de uma formulação baeada no Método do Elemento Finito. A fim de alcançar tal objetivo, apreentou-e primeiramente o deenvolvimento da formulação matemática a er empregada, gerando ao final deta etapa a matriz de rigidez de um elemento da treliça epacial. Vale realtar que no deenvolvimento em quetão foram adotada funçõe de aproximação linear para repreentar o campo de delocamento do elemento. Com o objetivo de contemplar a análie etruturai obre treliça epaciai, ao final dete trabalho foram apreentado doi exemplo. Neta etapa vale lembrar que o reultado fornecido pelo código computacional elaborado apreentaram-e exato uma vez que a funçõe de aproximação lineare adotada na formulação do MEF repreentam o real campo de delocamento do elemento da treliça. AGRADECIMENTOS O autore agradecem a Univeridade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR pelo uporte financeiro ao trabalho. REFERÊNCIAS [1] BATHE, K. J. Finite element procedure. New Jerey: Prentice-Hall, p. [2] BREBBIA, C. A.; CONNOR, J. J. Fundamental of finite element technique for tructural engineer. Hungary: Butterworth Group, p. [3] BREBBIA, C. A.; FERRANTE, A. J. The finite element technique: an introduction for engineer. Porto Alegre: Ediçõe urg. [4] COOK, R. D.; MALKUS, D. S.; PLESHA, M. E. Concept and application of finite element analyi. New York: John Wiley & Son, p. [5] ZIENIEWICZ, O. C.; CHEUNG, Y. K. The finite element method in tructural and continuum mechanic: numerical olution of problem in tructural and continuum mechanic. London: McGraw-Hill, [6] AZEVEDO, A. F. M. Método do Elemento Finito. 1.ed. Porto: Faculdade de Engenharia da Univeridade do Porto, p. [7] LOGAN, D. L. A Firt Coure in the Finite Element Method. 4 ed. Thomon, p. ISBN [8] TIMOSHENKO, S. P. Reitência do materiai. Rio de Janeiro: Livro Técnico e Científico, v [9] POPOV, E. P. Introdução à mecânica do ólido. São Paulo: E. Blücher, p. ISBN [10] BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Reitência do materiai. 3. ed. São Paulo: Makron, p. ISBN [11] SORIANO, H. L. Sitema de equaçõe algébrica lineare em problema etruturai. Liboa: Minitério da Habitação e Obra Pública, Seminário 280. [12] CUYLAERTS ENGINEERING: Analyi for Window v Diponível em: Aceo em: 11 de etembro de 2012.