Graduação em Engenharia Civil Mestrado Acadêmico Faculdade de Engenharia FEN/UERJ

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1 orção Programa de Pó-GraduaP Graduação em Engenharia Civil Metrado Acadêmico Faculdade de Engenharia FEN/UERJ Profeor: Luciano Rodrigue Ornela de Lima 1. Introdução Momento toror () ecundário Combinado com outro tipo de eforço o flexão pode e tornar preponderante 1

2 1. Introdução Exemplo Prático 1. Introdução Exemplo Prático

3 5 1. Introdução Importância: eçõe de parede fina aberta FL flambagem lateral por torção de viga FLA flambagem lateral da alma de coluna viga-coluna Seçõe de parede fina coniderar o efeito do momento toror e então adicionar o efeito de outro carregamento conideração da eçõe aberta (para a grande maioria) membro de parede fina (d/t 1) 6 1. Introdução Procedimento a er adotado Calcular a tenõe provocada pelo momento toror Avaliar a reitência a torção e aumentá-la, e neceário Certo carregamento e eçõe tranverai intabilidade por torção orção Empenamento Exceçõe:.c.L eçõe tranverai fechada circulare τ e φ J GJ certo cao prático onde a eçõe de parede fina ão feita com elemento de placa que e encontram em um ponto (muito fraco torionalmente) (torção em parte)

4 7 1. Introdução Melhor eção tranveral para membro ubmetido à torção eção circular oca ditância de qualquer elemento deta eção poui a mema ditância até o centróide que coincide com o centro de cialhamento (erá comentado poteriormente) eçõe circulare inicialmente plana permanecem plana não havendo ditorção da eção tranveral orção Pura ou orção de St. Venant ( SV ) ocorre rotação θ da eção tranveral em torno do eixo longitudinal do elemento 8 1. Introdução Membro com eção tranveral Perfil I empenamento da eção tranveral além m da torção muito ignificante em perfi com eçõe aberta orção Empenamento ( Warping( Warping ) - SV + W

5 9. orção Pura ou de St. Venant ( ( SV ) membro com eção circular torção pura (St. Venant) ituação onde a tenõe em qualquer ponto podem er repreentada como cialhamento puro a linha ab,, apó a aplicação do toror paa para a poição a ba coniderando-e e o elemento infiniteimal d 1. orção Pura ou de St. Venant ( ( SV ) taxa de modificação do ângulo de torção φ dθ φ d r. φ γ elemento d linha radial da eção é rotacionada de um ângulo dθ enquanto a linha na uperfície ofre uma rotação de γ r.dθ γ.d dθ γ r γ d r. atravé do módulo m de cialhamento G, a Lei de Hooke fornece para a tenão cialhante unitária ν γ.g φ 5

6 11. orção Pura ou de St. Venant ( da figura torque elementar ( SV ) dθ d r. ν.da r. γ.g.da r..g.da d momento toror total obtenção do equilíbrio A dθ r..g.da d como dθ/dd e G ão contante dθ.g r da d A SV dθ GJ d J (momento polar de inércia) 1. orção Pura ou de St. Venant ( SV ) Eta equação é análoga a de flexão onde o momento fletor M é igual a rigide EI multiplicada pela curvatura d /dx. Aqui, o momento toror é igual a rigide à torção GJ vee a curvatura torional (taxa de mudança a do ângulo θ) Finalmente, pode-e ecrever, dθ ν γ.g r..g d M EI SV ma d dx dθ GJ d dθ SV d GJ SV.r ν J onde r é a ditância do ponto coniderado até o centróide 6

7 1. orção Pura ou de St. Venant ( SV ) Seçõe Circulare Para eçõe circulare com diâmetro t, não ocorre empenamento da eção e J repreenta o momento polar de inércia e a tenão cialhante máxima m ocorre em r t / J πt Seçõe Retangulare A ν 16. π.t SV máx J r da (x + )da x da + da Ix + I I Ponto A p Ponto B A B d d τ 1. orção Pura ou de St. Venant ( SV ) Conideração inconitente Para eçõe retangulare deformaçõe proveniente do cialhamento devem variar de forma não-linear J deve er reavaliado A eção tranveral não permanece plana como previto por St. Venant eoria da Elaticidade tenão cialhante máxima m ocorre no ponto médio ao longo do lado do retângulo e atua paralelamente a ete Magnitude função da raão b / t (comprimento / largura) ν máx k 1. b.t SV b/t k 1 1,,81 1,,57 1,5,,,7,5,88,,75,,55 5,,, J k.b. t k,11,166,196,9,9,6,81,91, 7

8 15. orção Pura ou de St. Venant ( SV ) Para eçõe retangulare a tenõe de cialhamento provocada por deenvolvem-e paralelamente à face do retângulo 16. orção Pura ou de St. Venant ( SV ) Quando vário v retângulo ão aociado para compor a eção tranveral, o fluxo cialhante torna-e mai complexo. Máxima tenão cialhante torção pura, em cada retângulo ocorre no ponto médio m do maior lado do retângulo ν f máx t f SV bt e ν máx t SV bt 8

9 17. orção Pura ou de St. Venant ( Para um perfil I alma + mea ( SV ) SV b t dθ b f t f dθ bt dθ G +. G G d d d ν fm ν fm ν m ν m ν fm ν fm 18. Analogia de Membrana orção de barra eçõe não circulare olução analítica complicada método indireto de olução Método de Analogia Problema diferente (naturea fíica) f reduem-e à mema equaçõe diferenciai analogia entre ete problema Pode-e afirmar que a variávei vei x 1 e 1 de um problema tem a mema dependência que a variávei vei x e de outro problema Prandtl (19) orção eção qualquer mema equaçõe diferenciai que uma membrana eticada obre um contorno de mema configuração e ubmetida a uma preão q 9

10 19. Analogia de Membrana Analogia da tenão cialhante ângulo da tangente à uperfície da membrana Analogia do momento toror volume entre o plano do contorno e a uperfície da membrana τ x τ F q F. Analogia de Membrana Definiçõe q preão uniforme na membrana F força a no aro da membrana por unidade de comprimento G módulo de cialhamento elático: ν coeficiente de Poion φ ângulo de torção E G (1+ ν) dφ/dd taxa de torção ângulo de torção por unidade de comprimento 1

11 1. Analogia de Membrana Equação Diferencial Membrana Deflexão: q + x F orção Função de enão: φ φ φ dφ + G x d Derivada x, φ τ x x, φ τ Volume dx d v φ dx d Portanto, ângulo da tangente da membrana tenõe cialhante. Analogia de Membrana Volume abaixo da membrana v / B x A b A B t Corte AA Corte BB F q F F q F 11

12 . Analogia de Membrana Preão uniforme delocamento equação parabólica (a) F t (b) inclinação: t/ q α d 8 τ d t (c) ΣF : q.t.b.f.b.enα para ângulo pequeno, en α tan α (d/d) máx F (d) k t k k t d 8 t en α d t t máx q 8 q.t.b.f.b. (e) t F t q dφ (f) ma G por analogia e o volume F d V / V t.b. v v / (g) (h) (i). Analogia de Membrana t.b. v.v.t.b q 8 6.v dφ G Gφ' F t t b d t.b.g. φ' v b.t Definindo J GJφ' v e a rigide à torção v C φ' t, tem-e C t GJ Comparando-e com a equação M -EIv onde M é comparado com M v, ( v ), E com G, I com J e φ com v. Da equação (b), tem-e, 8 τ t v τmáx τ. t / t t b.t b.t.t. v τmáx b.t τ t. v máx J Para qualquer configuração de retângulo 1 J tij. τ J b t ij ij v v 1

13 5. Seçõe de Parede Fina Aberta enõe normai flexão ΣF ( τt) σ d d t + d d ( τt) σ ou - t 1. Aumindo-e e que o momento eja apena no plano,, ou eja, M,, tem- e a tenõe de flexão: σ Mx I I I x x (I I x x) e σ Mx / (I I I I I x x x x) 6. Seçõe de Parede Fina Aberta Lembrando-e que V M x /, tem-e τt t V I I I x x (I I Integrando-e para encontrar τt a uma ditância da face livre, tem-e o fluxo de cialhamento τt dado por, V τt I I I x x x x) [ I t d I xt d] x 1

14 7. Seçõe de Parede Fina Aberta. Aumindo-e e que o momento é aplicado no plano x,, ito é, M x, tem-e a tenõe de flexão dada por: M σ ( Ix + I I I I x x x x) omando-e σ /, lembrando que V. e integrando-e para x M / obter o fluxo de cialhamento, tem-e, + Vx τt [ I t d I xt d]. Momento aplicado em ambo o plano e x a tenõe podem er calculada por uperpoição do efeito. O cortante V na direção deve er igual a componente τt na direção omada ao longo de toda a eção. Similarmente, para V x e τt na direção x. I I x I x x x 8. Seçõe de Parede Fina Aberta O equilíbrio rotacional também m deve er atifeito, ou eja, o momento em relação ao centróide da eção n ( τt) r d deve er igual a ero em cao de perfi com eçõe tranverai em I ou Z. Se ete equilíbrio é automaticamente atifeito quando o cialhamento atua no centróide, nenhuma eforço o de torção atuará imultaneamente com o eforço o de flexão. 1

15 9 5. Centro de Cialhamento Para e evitar que ocorra torção da eção tranveral aplicação da carga na linha que paa pelo centro de cialhamento em eçõe duplamente imétrica coincidência com o centróide odavia, ito nem empre é poível tendo em vita que em algun tipo de eção tranveral, o C.S. fica fora da eção tranveral n ( τt) r d 5. Centro de Cialhamento Coniderando-e e o eforço o cortante V x e V atuante em ditância de e x do centróide ide, repectivamente e que o momento toror em n relação ao centróide é o memo que ( τt) r d, tem-e, V x V x n ( τt) r d Em outra palavra, o momento toror é igual a V. x Vx quando a carga ão aplicada em plano que paam atravé do centróide ma igual a ero e a carga ão aplicada em plano que paam atravé do centro de cialhamento coordenada x e 15

16 1 5. Centro de Cialhamento Para e determinar a poição do centro de cialhamento, primeiro fa-e o cortante er igual a ero em uma da direçõe (V( ), lembrando-e que τt foi determinado anteriormente + V com x τt [ Ix t d Ix x t d] 1 n ( τt) r d V x Alternativamente, para V x, tem-e, V x com τt [ I t d I x t d] 1 n ( τt) r d V I I x I I x I I x x x 5. Centro de Cialhamento 16

17 5. Centro de Cialhamento 5. Centro de Cialhamento 17

18 5 5. Centro de Cialhamento 6 6. orção de Empenamento ( Warping( Warping ) Coniderando-e e uma viga em balanço, ubmetida a um momento toror V V+dV empenamento retringido da figura, tem-e empenamento livre h du h dθ d u h d θ d u h d θ u θ. ;. ;.. u d d d d d d a mea do perfil é que reitem ao empenamento V.h f d d V f V f h d hd-tf 18

19 7 6. orção de Empenamento ( Warping( Warping ) Da teoria de viga, dm Vf d Logo, e d u Vf EIf. d M f d u EIf. d onde I f (momento de inércia da mea em relação ao eixo de maior inércia) é tomado igual a I / porque a influência da alma pode er depreada Subtituindo-e e V f na equação de e tomando h d t f, tem-e EI d u.. d ( d t f ).( d t f ). d d EI I. d t d θ. d h θ ( ) ma C f d θ EC d 8 6. orção de Empenamento ( Warping( Warping ) Finalmente, o momento toror total erá dado pela equação: dθ d θ SV + GJ EC d d Reecrevendo a equação acima apó dividir ambo o termo por EC, tem-e, d θ - λ d dθ d EC onde A olução da equação diferencial acima é dada por onde 1 λ a φ A + B.coh( λ) + C.enh( λ) + φ φ p GJ EC é a olução particular para torque aplicado p 19

20 9 7. Condiçõe de Contorno (Idealiada) φ rotação φ empenamento φ empenamento livre 7. Condiçõe de Contorno (Idealiada)

21 1 7. Condiçõe de Contorno (Idealiada) 8. Combinaçõe de enõe τ SV t.sv J t.g. φ' E.b E.b.(d t f ) τ W (d t f ). φ" ' σ ± φ" 16 1

22 9. Procedimento para Dimenionamento Obter a propriedade mecânica e geométrica da eção tranveral J, C, E e G Ecrever a equação diferencial para o problema a er reolvido Reolver a equação diferencial olução exata aplicação da condiçõe de contorno método aproximado Determinar a parcela de tenõe Saint Venant Empenamento Superpoição do efeito 1. Exemplo eórico empenamento retringido φ (rotação) φ (empenamento) 1. equação diferencial empenamento livre Ebh σ φ" φ" GJ SV + GJφ' ECφ"' φ" ' - φ' EC EC olução da forma φ A + B.coh( λ) + C.enh( λ) + φp tentativa ' " "' φ F.; φ F; φ e φ p p p p

23 5 1. Exemplo logo, GJ EC.F EC da condiçõe de contorno lembrando que F GJ. φ A + B.coh( λ) + C.enh( λ) + GJ ' φ ; φ e φl e coh( λ) e enh( λ) λ λ + e e " λ λ e e d d d d coh( λ) λ.inh( λ) coh() 1 enh( λ) λ.coh( λ) enh() 6 1. Exemplo então, φ' B. λ.enh( λ) + C. λ.coh( λ) + GJ φ" B. λ.coh( λ) + C. λ.enh( λ) φ"' B. λ.enh( λ) + C. λ.coh( λ) que para a condiçõe de contorno do problema, valem φ( ) A + B ' φ () C. λ + C ma GJ λ EC GJ λgj '' φ (L) B. λ.coh( λ) + C. λ.enh( λ) B.coh( λl) enh( λl) λ EC B tanh( λl) A λ EC C λ EC

24 7 1. Exemplo finalmente, φ tanh( λl) + tanh( λl).coh( λ) + λ EC λ EC λ EC enh( λl) + λ EC. a partir de φ,, obter φ, φ e φ e determinar τ SV, σ W e τ W τ SV t.sv J t.g. φ' E.b E.b.(d t f ) τ W (d t f ). φ" ' σ ± φ" Exemplo Numérico (Ábaco( AISC) 6, m E MPa G 77 MPa Perfil W1x7 mm J 75x1 9 C 55x1 mm EC mm e L 6, 5 GJ a 17 a 9 do ábaco (novo) CASO 9 (α( 1,) página 88 e 89 φ'gj máx φ "GJ.a ' 1, 1, em em L φ"gj.5a 5, φgj 1.,6 a 6 em (página 88) (página 89) (página 89) em L (página 88) t 9,1 mm t f 16, mm

25 9 11. Exemplo Numérico (Ábaco( AISC) φ"gj.5a 5, em φ"gj.5a φgj 1.,6 a em L φgj 1. a L,5 a φgj 1. a φ"gj.5a Exemplo Numérico (Ábaco( AISC) φ'gj máx 1, em L φ'gj φ"'gj.a φ "GJ.a ' 1, em 5

26 Exemplo Numérico (Ábaco( AISC) A. enão Cialhante - St. Venant τsv máx t.g. φ' em Z L φ ' máx 1,. GJ τ G. t. GJ SV máx.t J.t.9,1 6 τsv máx alma 1,.1. (N/ mm ) J 75.1.t f.16, 6 τsv máx mea 1,9.1. (N / mm ) J ,. (kn.m) 1,9. (kn.m) Exemplo Numérico (Ábaco( AISC) B. enão Normal - Empenamento σ W em Z σ máx E.b.(d t f ) σ W máx. φ 1 φ" 5,.. GJ 5a GJ W máx alma E. G " máx 1. a b.(d t f ). J 1. a 5.(1 16,) , ,6. (kn.m) 6

27 5 11. Exemplo Numérico (Ábaco( AISC) C. enão Cialhante - Empenamento E.b (d t f ) τ W máx. φ"' em Z 16 φ'"gj 1.a 1,.. GJ a τ W máx E b (d t f ) 1.( 1,). G 16 J a τ τ W máx (5) (1 16,) W máx 1,5.1. 1,5. ( em kn.m) 1. (17) 5 1. Seçõe de Parede Fina Fechada Analogia de Membrana h t τ h / t e t é pequeno área fechada limitada pela linha média A Logo, volume V A. h Portanto, A h τ t A q A 7

28 55 1. Seçõe de Parede Fina Fechada Maior rigide à torção Em tubo de parede fina tenõe cialhante uniformemente ditribuída da ao longo da epeura t tenão cialhante τ τt é a força cialhante por unidade de comprimento ao longo da parede fluxo cialhante Apena tenõe cialhante proveniente da torção enõe normai (σ ) τt contante (q) Seçõe de Parede Fina Fechada O incremento de momento toror em cada elemento vale: d τ t ρ d Integrando-e, tem-e, τ t ρ d Obervando-e que ½ ρ d repreenta a área do triângulo hachurado ρ d A E finalmente, τ t A q A onde A repreenta a área da parede fechada 8

29 57 1. Seçõe de Parede Fina Fechada Se uma abertura é feita na parede movimento relativo entre o doi lado na direção axial do membro deformação unitária provocada pelo cialhamento ao longo do perímetro γ τ / G A energia de deformação interna para qualquer elemento de comprimento d ao longo do perímetro vale 1 1 dw i τ t γ d A τ d G 58 O momento toror em torno do ponto pode er ubtituído por um binário / r e o trabalho externo feito pelo binário vale 1 θ dw e n r Igualando-e W i com W e por unidade de comprimento, tem- e θ 1. Seçõe de Parede Fina Fechada AG τ d τ t d/t τ d θ AG AG (com τt contante) Com o objetivo de e obter equaçõe mai uuai GJθ τ t d/t GJ AG E finalmente, eliminando-e entre a equaçõe τ t A e a anterior e reolvendo-e e para a contante de torção J, tem-e A J d/t 9

30 59 1. Seçõe de Parede Fina Fechada Exemplo Comparar a reitência ao momento toror e a contante de torção J para a eçõe a eguir abendo-e e que a tenão cialhante τ 1 ki: 6 1. Seçõe de Parede Fina Fechada a) eção circular de parede fina b) eção caixão retangular τ t A (1) (,5) A (5π) J 9 in d/t π onde d/t π(5) /,5 π τ t A (1) (,5) 1 [ π(1) / ] 91,6 ft kip 1 1 A J (.6 /,5) 88 in d/t 1 [ 7] 8 ft kip

31 61 1. Seçõe de Parede Fina Fechada c) eção aberta Como 1 t τ J, a máxima tenão cialhante ocorrerá na mea. 1 [ 1(,5) + (5,5)(1) ],8 in J bt Jτ t f,8(1) (1)(1),8 ft - kip A partir do reultado obtido, conclui-e que a eção circular poui maior reitência à torção, endo eguida pela eção caixão retangular O J deta eçõe igual a 96 e 71 vee da eção aberta e iguai a 19 e 18 vee ao da eção aberta, repectivamente 6 1. Exemplo CS omando-e V x e faendo- e o momento em relação ao ponto A, b Vq Vfh ( τt) h d Onde V τt I x V t d I x t Para eta eçõe de parede fina, o comprimento utiliado na integração é medido na linha média m da epeura 1

32 6 1. Exemplo CS Subtituindo-e e na primeira equação e uando -h h / com t t f, tem- e, b V h Vq t f h d I x x V t f h I b d f I x V t h b E a poição do centro de cialhamento na direção poitiva do eixo x é Para e obter a coordenada do centro de cialhamento em relação ao eixo, aplica-e V x e toma-e V h b Vx ( τt) d Onde Vx τt x t d I q t f h b I x 6 1. Exemplo CS Para ilutrar numericamente b,, h 1 e t t Cálculo do centróide A. x b(b / )t ()() x A (h + b)t 1 + () Então, x +. in 1 I (). (.8) t 9.87 t V τt I x.8 in - V x (,) d, h d 9,87 Subtituindo-e e τt,, tem-e, τt V x h - Vx 9,87, h d

33 65 1. Exemplo CS Continuação - x + x V h, 9,87 6 V h Com io, motra-e e que. O centro de cialhamento pode er localiado eguindo-e o procedimento abaixo: 1.Calcular, atravé da integral da tenõe em cada lado da eção, a força a cortante atuante;.o O centro de cialhamento é localiado de forma que V x ou V equilibrem a força atuante na eção Obervaçõe Flambagem Lateral por orção M cr E I C b π L G I + π L E I dθ d θ SV + GJ EC d d M cr E I C b π L G J + π L E C