5 DETERMINAÇÃO DA CAPACIDADE DE ROTAÇÃO PLÁSTICA

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1 5 DETERMINAÇÃO DA CAPACIDADE DE ROTAÇÃO PLÁSTICA 5. Introdução O preente capítulo trata da determinação da capacidade de rotação plática de elemento unidimenionai de concreto armado que apreentam ecoamento em tração da armadura longitudinal. Procura-e também motrar o aumento dea capacidade em pilare cintado. Para ete, mai do que um poível aumento na reitência, buca-e um aumento na ua deformabilidade, e nete cao o cintamento é neceário apena numa região limitada do pilar, aproximadamente igual à altura de ua eção tranveral, onde ocorrem a deformaçõe anelática. A determinação da capacidade de rotação plática em peça de concreto armado ganhou grande impulo com o trabalho quae imultâneo de Dilger (966) e de Bachmann (967). No dete último já ão levantada a principai quetõe envolvida no problema, epecialmente a do enrijecimento da armadura tracionada, pela ação da aderência (móvel, delizante) entre o doi materiai, não apena ante, ma principalmente, para o que interea aqui, apó a platificação da armadura. Mai recentemente ete problema foi invetigado por Langer (987), Kreller (989), Longfei (995) e Sigrit (995), entre outro. Do trabalho de Kreller reultou a lei tenão da armadura na fiura aociada à ua ( m deformação média, σ ), da qual foi retida no MC-9 omente o trecho póecoamento. Para determinar ea lei implificada foi utilizada uma lei tenão de aderência-delizamento, τ (), aproximadamente igual à dada nee código. A b olução de Langer utiliza o diagrama momento-curvatura acoplado à olução numérica da equação diferencial tenão de aderência-delizamento, e ua também a mema lei τ () mencionada e o conceito de viga equivalente. b

2 7 Mu > M > My My Mu > M > My implificação Ly Q L L Fig. 5.: Viga equivalente na região de apoio de continuidade. A viga equivalente, na configuração de colapo, é o egmento da peça entre doi ponto uceivo de momento nulo, onde e itua a eção crítica (Fig. 5.). Nela ão aplicada dua carga, em dua etapa ditinta. Na primeira, aplica-e a carga Q u correpondente a uma deformação última (no aço ou no concreto) na eção crítica. Atravé do epaçamento médio da fiura delimitam-e o ubelemento de concreto entre dua fiura uceiva, ao longo do quai obtém-e a curvatura. Uma vez conhecido todo o diagrama momento-curvatura (deprezando-e a reitência à tração do concreto) têm-e imediatamente a deformaçõe do banzo tracionado e a ditância da LN a ete banzo, ( d x), correpondente ao conjunto de ponto do diagrama. Ao determinar a deformação de um dado ponto dentro do ubelemento na olução da equação diferencial tenão de aderência-delizamento, procura-e eta deformação dentre aquela já calculada no diagrama e a repectiva ditância da LN ao banzo tracionado, com o que reulta, para ete ponto, a curvatura ( d x). Ito é feito para todo o ponto do ubelemento, bem como para todo o ubelemento. Aim, fica determinada a ditribuição da curvatura ao longo da peça. Da integral da curvatura em toda a viga equivalente obtém-e a rotação total entre a dua eçõe extrema correpondente à carga última. O memo cálculo é repetido para a carga Q y para a qual tem-e na eção crítica o início do ecoamento da armadura. Da ubtração da rotaçõe totai deta dua etapa decorre, egundo Langer, a capacidade de rotação plática.

3 73 Ete proceo equivale a calcular, em cada etapa, a rotaçõe de cada fiura ao longo de todo o vão da viga equivalente. A olução de Longfei aplica a teoria de Bachmann para a rotaçõe de cada fiura em todo o vão, em viga de concreto protendido com armadura mita, na flexão imple. Novamente, como na olução de Langer, ão calculada a rotaçõe totai para a carga Q u e Q y, e deta a capacidade de rotação plática. A olução de Sigrit (995) utiliza uma lei tenão de aderênciadelizamento do tipo rígido-plática, egundo ua propota, com doi nívei de tenão de aderência. Na viga equivalente (ou no itema etrutural) calculam-e em dua etapa a rotaçõe apena na eçõe fiurada onde há platificação da armadura para a carga última. A oma da rotaçõe da primeira etapa, ubtraída da oma da rotaçõe da egunda etapa, reulta igual à capacidade de rotação plática, que e verifica quando a carga aumenta de Q y a Q u. A oluçõe que eguem uam o conceito de viga equivalente. Na ( m olução implificada utiliza-e a lei σ ) de Kreller, na mai rigoroa determiname a rotaçõe omente na fiura com platificação da armadura, como no trabalho de Sigrit, ma adota-e a lei tenão de aderência-delizamento dada no MC-9. Também há diferença na conideração da força cortante. Com io, eta oluçõe ditinguem-e da anteriore e eguem a linha gerai do MC-9. O MC-9, item 3.7, define a rotação plática pela eguinte integral: pl l pl d x a LN [ ( a) m ( a) my ] da (5.a) no trecho platificado de extenão l pl, onde: (a) m é a deformação média da armadura no trecho platificado da peça, para momento na eção crítica igual a deformação limite num do doi materiai. M u, correpondente a uma my é a deformação média da armadura para tenão na fiura igual a f yk.

4 74 a é a abcia contada a partir da poição da deformação my. (Adiante ubtitui-e a notação a por x ). x LN é a profundidade da linha neutra, e pode er tomada conervativamente igual ao valor da eção crítica, poi a platificação geralmente ocorre num trecho pequeno da peça. d é a altura útil da eção. A partir da definição anterior, aplicando-e a lei σ ) obtida por Kreller, cf. Equação (3.67) e Fig. 3.6, decorre eta outra: ( m pl l pl δ σ r ( )( y ) dx (5.b) d x f LN yk onde, como já e viu ante no item 3.4: δ é um coeficiente, igual a,8, que leva em conideração a reitência f yk e o quociente ( f f ) entre a reitência à ruptura e ao ecoamento do t y k aço. O valor,8 é válido para o aço tipo A dee código e f 5 MPa. Supõe-e, como aproximação, que ete valor eja válido também para o aço nacionai CA-5 e CA-6. yk σ r é a tenão da armadura na fiura, obtida com a olicitaçõe que levam a eção à fiuração por tenõe normai, o que e dá para a tenão na borda do banzo tracionado igual à reitência à tração do concreto, f ct5%. (Lembra-e aqui que no capítulo 4 foi adotado o valor médio deta reitência, e a tenão σ r foi obtida impondo-e f ctm na primeira camada da armadura).

5 75 e y ão, repectivamente, a deformaçõe da armadura na fiura e de ecoamento. l pl é o comprimento do trecho platificado, a rigor igual à ditância entre a poiçõe da deformação y, em cada lado da eção crítica. No método implificado eta ditância correponde à poição da força do início do ecoamento da armadura, Ry A f yk, onde banzo tracionado, ditante z do CG da eção (Fig. 5.3). A é a área da armadura do Neta equação a única variável é a deformação do banzo tracionado, e ua variação ao longo do vão decorre da variação da força nete memo banzo. Oberve-e que, quando e impõe na eção crítica uma deformação limite num do doi materiai, reulta deta definiçõe o valor máximo da rotação plática, que é a capacidade de rotação plática. Para aber de antemão qual a forma de ruptura que ocorre em uma dada eção tranveral, impõe-e o etado de deformação correpondente à ocorrência imultânea da deformação limite do concreto na borda comprimida e da deformação última do aço no banzo tracionado. Dete etado decorre a força normal (poitiva, e tração), chamada no item 4.3 N bal ou ν bal, Fig. 4.8a, a er comparada com a efetivamente atuante na eção. Se eta for uperior àquela (maior tração ou menor compreão) há ruptura (fratura) do aço, em cao contrário (menor tração ou maior compreão) há emagamento do concreto. A rotação total da viga equivalente, ou a rotação relativa entre dua eçõe quaiquer, decorre da rotaçõe que e verificam em cada fiura do trecho coniderado, conforme a teoria de Bachmann. Obervando-e a Fig. 5., num quadro de fiuração etabilizada tem-e numa fiura a rotação e o delocamento vertical relativo da ua face repectivamente iguai a: w mi i (5.) d xi i δ mi ( d xi ) (5.3) tg ν ri

6 76 x i i r w i υ ri i δ i w i υ ri d - x i (a) (b) Fig. 5.: Delocamento relativo da face da fiura. equaçõe, Ete último delocamento é nulo para fiura verticai. Neta w mi é a abertura média da fiura, a qual independe de ua inclinação ν ri em relação ao eixo longitudinal da peça, rm é o epaçamento médio da fiura e x i é a profundidade da LN. A rotação total relativa da dua eçõe coniderada é igual à oma da rotaçõe da n fiura que ocorrem entre ela: n i (5.4) devendo-e obervar que em cada fiura há decontinuidade da tangente à deformada, exatamente como numa rótula, plática ( M ) ou não ( M ). No trabalho de Bachmann a rótula plática ão claificada, cf. Fig.., em doi tipo: a de flexão e a de flexão e força cortante. Na primeira ó há uma ou alguma pouca fiura verticai, onde há platificação da armadura tracionada, e por io a capacidade de rotação plática pode er pequena. Na egunda há influência da força cortante, quando eta tem um valor apreciável, com o que a fiura ão inclinada e em maior número. Como e abe, a força cortante aumenta a força do banzo tracionado e, por coneqüência, epraia a platificação da armadura em uma extenão maior do que no cao anterior. Por eta razão, no projeto deve-e dar preferência à rótula de flexão e de força cortante, pelo meno

7 77 em viga. A influência da força cortante e a obtenção da força do banzo tracionado ão tratada a eguir. 5. Conideração da Força Cortante e Obtenção da Força do Banzo Tracionado Em uma etrutura ujeita a um dado carregamento, conforme o Teorema Etático da Platicidade, é poível determinar campo de tenão decontínuo, etávei (reitência do materiai não ultrapaada) e admiívei (condiçõe de equilíbrio e de contorno etática preenchida), de tal modo que o dado carregamento é inferior ou no máximo igual ao de ruína. Aim, na viga da Fig. 5.3, ujeita à ação de olicitaçõe normai (M, N) e tangencial (V), aimilam-e a força longitudinai reitente no banzo ao concreto da zona comprimida e à armadura longitudinal tracionada. Na alma deta viga atribuem-e ao etribo campo de tração na ua direção, e ao concreto campo de compreão inclinado. Subdividindo-e eta viga em zona B e D, é poível demontrar, omente por equilíbrio, que a força no banzo variam linearmente na primeira e parabolicamente na egunda. Ver Thürlimann et al. (989), e Sigrit et al. (995). Conhecida a inclinação υ do campo de compreão da zona B, a força no banzo ão obtida como egue. Como na região B a inclinação do campo de compreão é contante (e, por io, a ditribuição da tenõe tangenciai também é contante ao longo da altura da eção reitente à força cortante), a força inclinada dete campo atua a meia ditância do banzo. Como o eforço olicitante ão upoto atuante no CG (eixo ) da eção, ditante y da ua bae, deve-e coniderar neta região o eforço: N + V cotυ M + V cot υ ( z,5z)

8 78 L/ Q u N,5Q u υ b V Rc R N max M u y C G A z z d h b w l / l / zcotgυ + b / B D x a y RA RB Ry R max linear parábola do grau Fig. 5.3: Viga equivalente: geometria, campo de tenão decontínuo, força no banzo tracionado. com o que a força no banzo ão iguai a: R M z + N,5V cotυ (5.5) z z c + R M z + N( ),5V cotυ ( 5.6) z z + onde a grandeza envolvida etão indicada na Fig M e V ão poitivo e N é poitiva e tração. O ângulo υ da inclinação do campo de compreão é etabelecido conforme a FIP Recommendation (999), e decorre da inclinação υ r da fiura ( 4 º na flexão imple), pela eguinte equação, válida para força normai nula e de compreão e para etribo verticai (ver Kirmair (985)):

9 79 cotυ cotυ r τ τ c, M + N ( L b ) (5.7) z N cotυ r,,3 (5.8) A f ctm onde τ V b w z deve er maior que τ c,m +N, z é a ditância entre o banzo, b é a largura da placa de apoio, A é a área da eção tranveral, e ctm / 3,3 f ck f, em MPa, τ c, M cotυ,49 ( 4 c, M + N r τ ) (5.9a) τ c, M,4 f ck (5.9b) Tabela 5.: Valore de υ r e de τ c, M + N τ c, M para f ck 35MPa. N ( A f ck ) N A f ( ck ) f f ck ctm υ r (Inclinação da fiura) τ c, M + N τ c, M,,9,,8,3 3,7,4 4,36,5 5,45 39,8 4 33,,875 8,3,759 4,6,643,7,57 9,4,4 A inclinação do campo de compreão, como e vê, é menor do que a da fiura, poi há tenõe de atrito tranmitida na face da fiura, e força cortante tranmitida no banzo comprimido e por corte da armadura longitudinal.

10 8 Aplicando-e a equaçõe (5.8) e (5.9a) para f ck 35MPa e f ctm 3, MPa obtêm-e o reultado da Tabela 5.. Como e vê neta tabela, a preença da força normal de compreão diminui a inclinação da fiura e, por coneqüência, a do campo de compreão. Simultaneamente diminui a fração τ, + /τ, ito porque a força de compreão aumenta a profundidade da LN, ma c M N c, M a tenão tangencial τ c,m +N, em boa parte devida ao atrito na fiura, continua endo epalhada na eção reitente à força cortante, de altura z. Oberve-e na Equação (5.7) que o limite geométrico aqui impoto limita a região D à própria viga equivalente. Para decidir e há fiura inclinada na alma da viga, o MC-9, item 3.7, dá o valor da força cortante que caua a fiuração inclinada, obtida experimentalmente (em a eparação da trê parcela mencionada). Em um quadro de fiuração inclinada totalmente deenvolvido a tenão tangencial correpondente é igual a: V τ (5.) rd /3 r,4ζ (ρl fck ) bwd com f ck em MPa, não uperior a 5 MPa, e ζ + fator de tamanho, d em mm d Al ρ l taxa geométrica da armadura longitudinal b d w A multiplicação do valor de cálculo deta tenão tangencial por, ao invé de γ, 5, pode er explicada pela correpondência ao quantil de 95% do c reultado experimentai (fiuração inclinada já exitente, com 95 % de probabilidade). Logo, a fiuração inclinada pode já etar preente para,75τ r, correpondente ao quantil de 5%, poi V rd é igual a V r,5% dividido por γ c, 5.

11 8 Uma vez etabelecido o ângulo da inclinação do campo de compreão (que para fiura verticai é inferior a 9 º, donde no limite cot υ, e deaparece a influência da força cortante, Equaçõe (5.5) e (5.6)), obtêm-e a força do banzo tracionado, bem como a poição da força equaçõe: R y atravé da eguinte x l R ( x) R e x D (5.a) max 4( R max RB )( ) ld RB RA R ( x) RA + ( L x) e l B L l D x (5.b) endo l D b + z cotυ e lb L ld. A força na extremidade da viga e no limite da regiõe B e D (leque) ão repectivamente iguai a: R z N( ),5V cotυ (5.a) z A + Vl z B R B + R A (5.b) Ry A f yk for uperior a R B A obtenção do trecho platificado ua a Equação (5.a), e a força, com o que a zona platificada etá dentro do leque, ou da Equação (5.b), em cao contrário. Aim, tem-e: a y l pl,5l D R R max max R R y B e R R (5.3a) y B a y l pl Ry RA,5( L lb ) e Ry RB (5.3b) R R B A

12 8 placa) e Eta equaçõe foram deduzida para a grandeza b (largura da cot υ não imultaneamente nula, e erão utilizada tanto no método implificado, quanto no mai rigoroo, para a determinação da capacidade de rotação plática. 5.3 Determinação Simplificada da Capacidade de Rotação Plática Etabelecida a extenão pl y l a da zona platificada e admitindoe a lei contitutiva do aço como bilinear com encruamento, de inclinaçõe dada pelo módulo de elaticidade E h no trecho plático, de valor E ( GPa ) no trecho elático e de encruamento E h ft f y (5.4) u y reulta, com ( ) e σ ( ) : x σ x σ ( x) f yk R ( x) Ry ( x) y (5.5) E A E h h Da Equação (5.b), apó integrar, decorre a capacidade de rotação plática: 3 δ σ r l ( R D max Ry ) pl ( ) e Ry RB (5.6a) 3( d x ) f A E R R u yk h max B e e R R y B δ σ ( ) r ld l RB R B y pl ( ) [ (R max 3Ry + RB ) + ] (5.6b) d x f A E 3 ( R R ) u yk h B A

13 83 Do diagrama momento-curvatura obtém-e a tenão σ r, o valor x u da profundidade da LN e a ditância z entre o banzo comprimido e tracionado, a força R max e o correpondente momento último, M u, na eção central da viga equivalente. De M u decorre a carga última aplicada na viga, Q u, e deta a força cortante V, 5Q : u u Q u 4M u e L b ( ) L V u M u (5.7a) e (5.7b) L b ( ) L Deve-e ter em mente que a extenão platificada da viga l a ) ( pl y é, a rigor, aproximada, poi a poição da força do início do ecoamento não correponde à poição da deformação de ecoamento. Ito ó ocorreria e, por acao, a ditância a y foe um múltiplo do epaçamento médio da fiura, rm item eguinte eta olução erá comparada com a olução mai rigoroa. Pode-e obter uma expreão ainda mai imple para a capacidade de rotação plática no cao em que ão deprezívei a largura da placa de apoio bem como o efeito da força cortante (i. e., b e cot υ ). Conforme a Fig. 5.4, o comprimento do trecho platificado na metade do vão reulta igual a:. No a y l pl L M y ( ) (5.8) M u e a capacidade de rotação plática, conforme a Fig. 5.4c, é dada por: pl a y[( ) um ( ) ym ] (5.9a) r r e, de acordo com a Fig. 5.4b, tem-e finalmente: M u M y L ( M u M y ) pl a y (5.9b) ( EI) ( EI) M pl pl u

14 84 M N Mcr L / My Qu M u N M y (EI) pl Mu N cte Mcr (a) Momento fletor ay M (/r) m (/r)cri (/r) ym (/r) um (/r)cr,mii (/r)cr,mii (/r)ym (b) Rigidez na fae plática (/r)um (c) Curvatura média Área pl / Fig. 5.4: Determinação implificada da capacidade de rotação plática. A grandeza M u, M y e ( EI ) pl ão obtida do programa momentocurvatura. Embora neta Fig. 5.4 tenha ido preupoto ecoamento da armadura tracionada, a equaçõe anteriore podem er uada para o cao em que ito não ocorre, epecialmente no pilare cintado (como e motra adiante), ubtituindo-e o momento do início do ecoamento, M y, por aquele correpondente à deformação c (ou cc ) na borda mai comprimida, i. e., M ). cc M c (ou 5.4 Determinação Rigoroa da Capacidade de Rotação Plática A lei tenão de aderência-delizamento, τ (), decrita com mai detalhe no item 3.. do MC-9, foi dada no item 3., pela equaçõe (3.8), a b

15 85 eguir repetida. Nete texto ó e conideram barra nervurada e concreto em confinamento (ruptura por fiuração longitudinal à barra): τ τ ( ) α b b max (5.a) τ b τ b max ( τ b max τ bf )( ) 3 (5.b) 3 τ b τ bf 3 (5.c) onde α, 4,, 6mm e τ bf,5τ b max. Para zona de boa aderência 3 mm, τ b max f ck, para a demai zona 3, 5mm, τ b max f ck, com f ck em MPa. A grandeza referente ao delizamento, e 3, e a referente à reitência, τ b max e τ bf, devem ainda er multiplicada pelo fator definido pela Equação (5.3). Para a formulação do problema, conidere-e a viga equivalente da Fig. 5.5, ujeita à carga Q no centro do vão. Dado o epaçamento médio da fiura e o diagrama da força no banzo tracionado para Q Qu, obtém-e a ditância a y correpondente à poição da força R y atravé de uma da Equaçõe (5.3). O número de fiura, central, e o número de ubelemento, J F, em cada metade da viga, incluída a J E, a examinar ão dado por: a y J F INT( ) + (5.) rm J J (5.) E F

16 86 Q x r m x (a) N,5Q l B/ j,,..., JE o n do ub-elemento 3 zf,,..., JF 4 3 o n da fiura r m r m r m L/ l D/ b (c) r, zf+, 3 j j+ Ø jb+ zf+ Sub-elemento j PDN + zf r, zf, jb+ a y(q Q u) (d) Deformação (ou Tenão) na armadura (b) RA Q Q y Q Q u Ry RB R max (e) - Tenão de aderência + zf zf+ - + (f) Delizamento Fig. 5.5: Dado para o cálculo da rotação plática; (a) Numeração da fiura e do ubelemento, (b) Força no banzo tracionado, (c) Subelemento, repartição em intervalo iguai e numeração do ponto interno, (d) a (f) Grandeza a erem determinada. Em cada fiura z,,..., J ão calculada a tenão e a f F deformação da armadura, σ r,z e f r,z, a partir da força R f e da lei contitutiva do aço, para dua etapa: Q ( i ) Q, e Q ( i ) Qy. u memo comprimento Cada ubelemento x rm jb j,,..., J é ubdividido em egmento de E, endo j b o número de egmento (3 a 4), o quai determinam o ponto onde e calculam a grandeza em quetão (Fig. 5d, e, f). Coniderando-e no ubelemento doi ponto uceivo, j e j +, do equilíbrio dete trecho reulta o acrécimo de tenão na armadura, cf. Equação (3.5):

17 87 x σ τ (5.3) j, j+ 4 bj, j + φ onde τ bj, j + é a tenão média de aderência entre ete doi ponto: τ bj + τ bj + τ bj, j + (5.4) e ete valor tem de er etimado de início. Oberve-e que ão negativo o delizamento e a correpondente tenão de aderência à equerda do ponto de delizamento nulo (PDN), Fig. 5e, f. A tenão na armadura no ponto j é igual a: + x σ σ σ σ τ (5.5) j + j + j, j + j + 4 bj, j + φ valor que permite obter a deformação nete ponto pela lei contitutiva do aço: ( σ ) (5.6) j + j + O acrécimo no delizamento entre o memo ponto é dado por: j, j+ j + j + x (5.7) com o que e obtém o delizamento no ponto j + : j + j + j, j+ j + j + j + x (5.8) e dete valor, atravé da lei τ (), a tenão de aderência no ponto j : b +

18 88 τ SGN ) τ [ ABS( )] (5.9) bj + ( j+ b j+ Logo, o novo valor da tenão média de aderência entre o ponto j e j + é: novoτ bj, j+ τ bj + τ bj + e deve er comparado com o anterior, até a eguinte tolerância: ABS 6 ( novoτ bj, j + antigoτ bj, j + ) τ b max (5.3) Para eta tolerância a convergência é coneguida rapidamente, com a 4 iteraçõe. Como e die ante, o parâmetro de reitência e de delizamento que aparecem na lei τ () ão afetado pelo fator: b d j β dj, (5.3) φ onde d j é a ditância do ponto coniderado à fiura correpondente. Para ponto j à equerda e à direita do PDN, repectivamente, têm-e: rm ( j ) j j ( j e d j rm rm ( ) rm jb jb jb d ) (5.3a) e (5.3b) O parâmetro mencionado paam a er β djτ b max, β dj τ bf, β dj e β dj3. Para atender à condiçõe de contorno do ubelemento coniderado, oberve-e que a tenão de aderência no ponto é nula, e que a deformação na fiura z f +, r, +, a mema do ponto, é dada. Com ito a z f deformação do último ponto do ubelemento, a mema na fiura z f, à direita do PDN, é pota em função do delizamento z + do primeiro ponto do ubelemento, f

19 89 na fiura à equerda do PDN, ou eja, F( z + ), +. O delizamento z + f j b procurado é aquele para o qual a deformação dete último ponto do ubelemento iguala-e à deformação conhecida na fiura, alterada para a eguinte: r,z f. A função F pode então er f F ( z f ), jb + r, z f + (5.33) A raiz deta função é determinada pelo Método Modificado da Fala Poição, ou Regula Fali. Ver Conte e Boor (98). Admite-e como tolerância uma da dua condiçõe eguinte, a que e der primeiro ( já multiplicado por, e m é o número da iteração): 4 ABS[ F( z + )] < r, / (5.34a) f z f ABS( < m+ m 5, j +, j + ) 5 (5.34b) b b Atendida uma deta tolerância ficam determinada a grandeza do ubelemento coniderado, a aber, (x), σ (x), τ (x) e (x). O número de iteraçõe, para a tolerância acima, é grande (cerca de 5 a 5). Ete cálculo é feito para a dua etapa mencionada, i. e., para i faz-e Q ( ) Qu, e para i faz-e Q ( ) Q y. Conhecido o delizamento em cada extremo de um ubelemento, reulta a rotação em cada fiura. Na central tem-e a rotação: b ( i,, jb + ) ( i,) (5.35) d x( i) e na demai fiura, onde há platificação da armadura para a primeira etapa, reulta:

20 9 ( i, j,) + ( i, j, jb + ) ( i, j) (5.36) d x( i) Neta equaçõe o numerador é a abertura da fiura coniderada, ao nível da armadura, cf. Equação (5.). A oma deta rotaçõe é : J F j ( i) ( i,) + ( i, j ) (5.37) e a capacidade de rotação plática reulta igual a: pl ( ) () (5.38) Na Equaçõe (5.35) e (5.36) x (i) é a profundidade da LN na eção central, e aume o valore correpondente a Q u para i e a Q y para i. Oberve-e que, em geral, a inclinação υ do campo de compreão (ma não a da fiura, upota já etabilizada) é ditinta para ete doi carregamento. Preupõe-e nete item, como no anterior, que a peça eteja adequadamente dimenionada à força cortante. Também admite-e que a armadura longitudinal e tranveral (etribo verticai) - eta última e houver - ejam contante em todo o vão da viga equivalente. A influência do epaçamento do etribo obre o epaçamento médio da fiura, não neceariamente iguai, não etá coniderada (ver o item 3.3). A Fig. 5.6 motra a curva da capacidade de rotação plática em função da taxa mecânica da armadura do banzo tracionado ω A f ( bhf ), para y cm uma viga de eção retangular, obtida com o método rigoroo e implificado decrito. O dado báico deta figura ão o eguinte: Geometria: b / h / d 3 / 6 / 54mm, L / d 6, b 5mm, cot υ, ; Concreto: lei parábolaretângulo, c,% e c, lim,5%, f cm 43MPa (tenão de pico), f ck 35MPa, f ct, 5%, 4MPa ; Aço: lei bilinear com encruamento, u 8% e f t f y,,

21 9 f y 5MPa. O diâmetro da armadura ão crecente com a taxa mecânica de forma ecalonada, e variam de 8 a 5 mm. 7 pl (mrad) Mét. Rig.: má aderência Mét. Rig.: boa aderência Mét. Simplificado,,,3,4 Taxa Mecânica da Armadura Fig. 5.6: Curva pl ω ) obtida pelo método rigoroo e implificado. Flexão imple, armadura ( imple, CA-5. Como e vê na Fig. 5.6, eta comparação vem muito a favor do método implificado, que dá reultado próximo daquele do método rigoroo, coniderando-e má aderência, até ω, 5. A partir dete valor a diferença ão irrelevante. Não é de e etranhar que ambo o método ejam quae coincidente, poi a lei σ ) deduzida por Kreller decorre da lei τ () ( m aproximadamente igual à do MC-9. Dete reultado também e pode notar a urpreendentemente pequena diferença entre a curva de boa e de má aderência. Eta diferença não ultrapaa 8% para o cao examinado neta figura. A função pl ω ) obtida tem o apecto em forma de tenda, ( uualmente encontrado no texto da área. Entretanto, neta figura a inclinação do campo de compreão foi admitida contante, independente da tenão tangencial e igual à inclinação da fiura ( cot υ,, υ υ 4º r ). Quando neta função é coniderada a influência da força cortante, crecente com a taxa mecânica (υ b

22 9 contante e igual a 9 º para fiura verticai, e υ crecente a partir da taxa correpondente a τ r ), obtêm-e reultado diferente. 6 pl (mrad) 5 4 cotv f(w ) cotv cotv, 3,,,3,4 Taxa mecânica da armadura Fig. 5.7: Capacidade de rotação plática cf. método rigoroo, para cot υ função da taxa mecânica da armadura. (Indicam-e também a curva de υ 9º ou cot υ e υ 4º ou cot υ, ). Tabela 5.: Reultado do programa para comparação entre o método rigoroo e implificado, má aderência, cotυ função( ω). ω /φ τ τ r (MPa) r, ( / ) a y L Núm. fi. platif. cot υ u pl (mrad Mét. rigor. ) pl (mrad) Mét. impl.,5 / 8,66 /,66 8,3,39 7,9,5 /,784 /,446 8,7 3 4,5 4,6,35 /,876 /,65 8,9 3 7,54 7,68,45 /,953 /,8 76,4,6 3 8,8 8,9,5 /,5,987 /,879 64,73,94 3 5, 4,38,6 /,5,49 /,45 57,9,86 3,77,38,75 /,5,3 /,85 44,35,7 3 7,67 8,47, / 6,44 /,69 3,8,7 9 3,4 7, 6,9,5 / 6,34 /,96 5,55,37 9 3,85 7,57 9,,5 /,44 /,499,6,98 7,78,67 3,, /,567 / 3,34 4,9,38 5,78 5,34 6,5,5 / 5,688 / 4,6,45,6 5,89,87 3,77,3 / 5,794 / 4,94 7,93,83 3,677,5,5,4 / 5,974 / 6,54 4,7,49 3,57,5,69

23 93 Na Fig. 5.7 repreentam-e a curva ω ), conforme o método pl ( rigoroo, ecolhendo-e a inclinação do campo de compreão em função da taxa mecânica. Na Tabela 5. dão-e o correpondente reultado do programa, incluído o do método implificado. Até um certo valor de ω, determinado adiante na Fig. 5.9, têm-e omente fiura verticai, e a capacidade de rotação plática egue a curva correpondente a cot υ. Acima dee valor a tenão tangencial (última), τ, upera o valor τ r, Equação (5.), correpondente a um quadro de fiuração inclinada totalmente deenvolvido, e há um alto na curva. Ete alto é aqui coniderado para valore de τ > τ c,m + N. Neta figura indica-e novamente a curva pl ω ) da Fig. 5.6 para cot υ,, com o que fica viível a diferença entre ( ambo reultado. O reultado, coniderando-e a inclinação do campo de compreão em função da taxa mecânica da armadura, i. e., cotυ função( ω), motram concordância com a repreentação qualitativa de Bachmann (967), dada na Fig Oberve-e ante que a um aumento da taxa mecânica correponde um aumento da carga aplicada Q u e, portanto, da tenão tangencial (última), τ. Neta figura τ é o valor da tenão tangencial a partir do qual urgem a fiura inclinada. Ver a Tabela 5.3 ( β é a reitência cúbica do concreto). Bachmann w indica também a vária forma de ruptura que podem afetar a capacidade de rotação plática, a aber: () no banzo, emagamento do concreto ou ruptura da armadura, () na alma, emagamento do concreto ou ruptura do etribo, e (3) perda de aderência da armadura longitudinal. Tabela 5.3: Valore de τ f, cf. Bachmann (967). f ( c w c,87β ) β w ( MPa ) τ (MPa),8,,4 τ,46,38,35,3 f c

24 94 cr Ruptura do concreto da alma τ 5τ τ Rótula plática de flexão : ruptura do concreto do banzo comprimido ou da armadura do banzo tracionado. Rótula plática de flexão e de força cortante: ruptura da armadura longitudinal ou do etribo, ou detruição da aderência da armadura longitudinal. Fig. 5.8: Repreentação qualitativa do ângulo crítico da rótula plática em função da tenão de cialhamento em rótula de flexão e de flexão e força cortante, cf. Bachmann (967). A ua explicação para a Fig. 5.8 é a eguinte:...conforme o valor de τ formam-e rótula de flexão ou de flexão e de força cortante. Na de flexão a deformaçõe plática concentram-e tanto mai em uma zona pequena quanto maior for τ. De acordo com io diminui a rotação crítica ao romper a armadura ou o concreto. Se a tenão tangencial for uficientemente grande para gerar fiura inclinada, então a deformaçõe plática etendem-e a uma zona ignificativamente maior. Apear da variação mai rápida do momento olicitante, deenvolvem-e deformaçõe plática em um número maior de fiura, com o que a rotação da rótula pode crecer conideravelmente, até a ocorrência de uma dentre a vária forma de ruptura. A Fig. 5.9 motra a funçõe τ ) e ), bem como ( ω τ ( ω r,75 τ ( ω r ). Atravé da intereçõe deta dua última curva com a primeira

25 95 determinam-e a taxa mecânica para a quai há, repectivamente, 95 % e 5 % de probabilidade de fiuração inclinada. Para uma taxa mecânica ituada nete intervalo a fiura inclinada podem ou não etar preente. Como a tenão tangencial para a qual há fiuração inclinada etá ujeita a diperão, poivelmente o melhor a fazer no projeto, pelo meno em viga, é limitar inferiormente a taxa mecânica de modo a correponder a τ r, com o que na eçõe crítica examinada reultam obrigatoriamente omente rótula de flexão e de força cortante, quer dizer, rótula com fiura inclinada.,5 Tenão Tangencial (MP,5,5,5,,5 Taxa Mecânica da Armadura Tau- Tau-r,75*Tau-r Fig. 5.9: Determinação da taxa mecânica correpondente a,75τ r e a τ r. Oberva-e que há maiore dicrepância entre ambo o método para baixa taxa mecânica (detectada em outro cao até ω, 45), e para baixo quociente f f (p. ex.,,5), poi então o número de fiura com t y platificação da armadura é pequeno, por veze igual a. O problema aqui etá na ditância a y que dá a poição de R y, ma não correponde à extenão platificada (na realidade, menor que a y ), e eta ditância cai com t f y f.

26 Variação Paramétrica Motra-e a eguir a influência do parâmetro mai importante na capacidade de rotação plática, atravé do modelo rigoroo deenvolvido no item anterior, com o que e pretende deixar mai viívei o eu efeito. Toma-e como referência o dado báico da viga da Fig. 5.6, com alteraçõe indicada na demai figura. Note-e, entretanto, que para facilitar o trabalho do calculita a norma repreentam pl em função da profundidade relativa da LN no ELU, x d, para o que bataria tranformar a taxa mecânica aqui utilizada naquela do ELU, igual a ω d A f yd (,85 f cdbd) para eção retangular, valor do qual decorre x d. Com o dado da Fig. 5.6 tem-e ω d, 96ω e, groo modo, x d,5ω. Ver o item 5.8, Equaçõe (5.5) a (5.5). 9 pl (mrad) ,,,3,4 Taxa Mecânica da Armadura cotv,75 cotv, cotv,8 Fig. 5.: Influência da inclinação do campo de compreão na capacidade de rotação plática. Na Fig. 5. etá repreentada a função pl ω ) para trê valore do ângulo de inclinação do campo de compreão, independentemente do valor da tenão tangencial, como foi feito na Fig Ete valore ão iguai a υ º,4º (

27 e 8 º, correpondente a cot υ,75,, e, 8, repectivamente. Neta figura fica ainda mai evidente a regularidade da curva ω ), e o ângulo υ for contante e deacoplado do nível da olicitação tangencial pl ( τ 97 V b w z. O ramo acendente é praticamente linear, e nele o aço atinge ua deformação última. A acendência pode ocorrer porque: () A poição da força R y, dada por a y / L, é quae contante; () O epaçamento médio da fiura decai com a taxa mecânica. Ete epaçamento pode er calculado pela expreão do EC-, Equação (3.49). Logo, o número de fiura com platificação da armadura no memo egmento a y pode aumentar; (3) Mai importante que ito, e memo que ete número não aumente (como e vê na Tabela 5.), há aumento da curvatura com ω, porquanto na eção central é contante a deformação na armadura até que eja atingida a deformação limite do concreto, com o que crece a rotação plática. O ponto de máximo da função pl ( ω) correponde à máxima curvatura poível na eção central, quando ambo materiai atingem imultaneamente ua deformaçõe última. A partir dete máximo pl ω ) decai (quae) hiperbolicamente, e há ruptura do concreto. Ainda ( quanto ao trecho deta curva correpondente à ruptura do aço, oberva-e que ete pode e apreentar na forma de um patamar, ao invé de uma curva acendente, conforme e motra adiante na Figura 5.4, 5.3 e 5.3,. Ver o item 5.9. A influência da deformação limite (ou nominal) do concreto obre a capacidade de rotação plática etá motrada na Fig. 5., para,35%,,5% e,7%. Oberve-e que o ramo acendente eguem a mema evolução para a trê deformaçõe, poi o aço rompe ante do concreto, e há aumento em para maiore encurtamento do concreto. O encurtamento,5% é pl freqüentemente mencionado por divero pequiadore, como já dito no item 4. (3), e produz rotaçõe plática bem maiore que,35%, um valor muito conervativo para efeito de deformabilidade do concreto em peça hiperetática. Qualitativamente, o valor,7% (ou outro maior em módulo) pode repreentar o confinamento do concreto por etribo fechado, ou pode, ainda, motrar o efeito da fluência do concreto obre a rotação plática, embora a fluência não-linear na c lim

28 98 proximidade da ruína eja pouco conhecida e tampouco a carga permanente realmente aumenta 4 % ou 5 % eu valor caracterítico, para ete efeito. 8 pl (mrad) ,,,3,4 Taxa Mecânica da Armadura -,35% -,5% -,7% Fig. 5.: Influência da deformação limite do concreto na capacidade de rotação plática. 7 pl (mrad) ,,,3,4 Taxa Mecânica da Armadura L/d 4 L/d 6 L/d 8 Fig. 5.: Influência da ebeltez obre pl, altura útil d cte. A influência da ebeltez, L d, obre pl ω ) etá motrada na Fig. ( 5., novamente coniderando-e contante a inclinação do campo de compreão, igual a 4 º. Neta figura manteve-e a altura útil da viga e variou-e o vão. Quanto

29 99 maior ete, maior é a extenão platificada, poi M u e M y ão o memo para uma mema taxa mecânica, donde maiore rotaçõe plática. 5 pl (mrad) 5 w, w,5 w, Ebeltez L/d Fig. 5.3: Capacidade de rotação plática em função da ebeltez. Na Fig. 5.3 etá motrada a função ( L d) para taxa mecânica crecente, e nela e vê um deenvolvimento quae linear. Não e motra neta figura a aproximação recomendada pelo MC-9 para o cálculo da capacidade de rotação plática a partir daquela obtida com L d 6, a aber, L (6 ), pl pl pl, L / d 6 d poi ela é praticamente coincidente com a curva indicada. Entretanto, eta implificação é válida no ramo decendente, para taxa mecânica acima daquela correpondente a τ r, e não deve, em princípio, er generalizada, epecialmente e a inclinação do campo de compreão υ for coniderada variável com ω. Na Fig. 5.4 etão motrada a influência do epaçamento médio da fiura, rm, e do diâmetro φ da armadura do banzo tracionado, aqui mantido contante e independente da taxa mecânica. A aderência mobilizada pela armadura entre dua fiura uceiva é afetada pelo fator 4 φ, Equaçõe (3.5) e (5.3). Aim, um aumento no diâmetro da armadura equivale a uma queda da aderência, com o que reultam no banzo tracionado deformaçõe média maiore, e com io maiore rotaçõe. O memo ocorre e houver queda do epaçamento

30 médio da fiura. (Igual efeito também têm a barra lia, não coniderada aqui). Note-e, ainda, o erro que e pode cometer na deformabilidade da peça ao confundir-e o epaçamento médio da fiura (p. ex., epaçamento do etribo (p. ex., igual a 3 mm ). rm 5mm ) com o pl (mrad) ,,,3 Taxa Mecânica da Armadura rm 5 mm d 5 rm 3 mm d 5 rm 5 mm d,5 rm 3 mm d,5 Fig. 5.4: Influência do epaçamento médio da fiura e do diâmetro da barra em pl. concreto obre Para motrar de forma mai clara a influência da reitência do pl, ecolhe-e na Fig. 5.5 a taxa geométrica da armadura, ρ A bd, como variável, para o doi concreto aí indicado. Em igualdade de taxa geométrica, a taxa mecânica têm a eguinte relação: ω ω,, f 8, 58 cm fcm com o que a profundidade da LN também mantêm, aproximadamente, eta relação. Logo, no ramo hiperbólico, endo a deformação limite do concreto a mema para amba reitência, têm-e menore curvatura ( r x ) para o de menor reitência, e com io menore rotaçõe plática. Na Fig. 5.6 eta mema capacidade é pota em função da taxa mecânica da armadura. Fica evidente que eta variável é muito adequada para repreentar, e que um concreto de reitência f 35 MPa pode ubtituir com pl ck c lim

31 boa aproximação todo o concreto na faixa a 5 MPa, pelo meno no ramo decendente. pl (mrad) Taxa Geométrica da Armadura (%) fck MPa fck 5 MPa Fig. 5.5: Capacidade de rotação plática em função de ρ para f ck e 5 MPa. 7 pl (mrad) ,,,3,4 Taxa Mecânica da Armadura fck MPa fck 5 MPa Fig. 5.6: Capacidade de rotação plática em função de ω para f ck e 5 MPa.

32 pl (mrad) ,,,3,4 Taxa Mecânica da Armadura ft / fy,3 ft / fy, ft / fy,5 Fig. 5.7: Capacidade de rotação plática para f t f y variável, u e f y cte. é o dado pelo quociente Um parâmetro que exerce grande influência obre a rotação plática f t f y, que juntamente com a deformação última u e a reitência f y ao ecoamento do aço, repreentam o grau de encruamento da armadura e ua ductilidade (capacidade de diipação de energia). A norma fixam o valore caracterítico (quantil de 5%) deta grandeza para uo no projeto. Ma geralmente têm-e na etrutura valore uperiore de f t f y, o que correponde a reitência e deformabilidade excedente em relação à previta no projeto. Ito etá motrado qualitativamente na Fig Mantendo-e contante u e f y, o momento e a força cortante último crecem com f t, com o que e tem zona platificada de maior extenão. Aim, p. ex., para o aço CA-5 a NBR 748/996 epecifica ( f f ), e, indiretamente, 8, 75 % (igual à deformação plática medida em t y k u φ apó a fratura da barra, 8 %, omada à parcela elática f t E Tabela.3). Se na realidade ete quociente for, 3, p. ex., a capacidade de rotação plática aumenta muito. Na mema figura, coniderando-e ete quociente igual a,5, um valor que pode repreentar, como aproximação, o aço com patamar de ecoamento (embora na eqüência dete haja um trecho curvo com encruamento),, cf.

33 3 têm-e não apena extenõe platificada menore, como menore também ão a deformaçõe média da peça. Quer dizer, a platificação avança pouco dentro do ubelemento. Com ito, tem-e menor capacidade de rotação plática, como motrado neta figura. pl (mrad) ,5,,5,,5,3,35 Taxa mecânica da armadura A / A A / A,5 A / A,5 A / A Fig. 5.8: Influência da armadura dupla obre a capacidade de rotação plática. Na Fig. 5.8 motra-e o efeito parcialmente favorável da armadura dupla. Dada uma eção tranveral, com reitência e armadura definida, tem-e na ruptura uma correpondência biunívoca entre a profundidade da LN e a taxa mecânica da armadura. Aim, exite um valor da taxa mecânica da armadura para o qual a profundidade relativa da LN é exatamente igual à profundidade relativa da armadura uperior. Com io a deformação nea armadura na ruptura é nula, e é, então, indiferente ua preença ou auência na eção tranveral. Na Fig. 5.8 eta taxa é determinada pelo ponto por onde paa o feixe de curva pl ω ) de parâmetro A A, endo A a área da armadura uperior. Acima deta taxa a armadura uperior etá comprimida e eu efeito obre a capacidade de rotação (

34 4 plática é favorável, como e vê no exemplo pelo eu expreivo aumento para ω >,5. Para valore abaixo da mencionada taxa a armadura uperior etá tracionada e, em relação à curva de armadura imple, diminui a deformação da armadura inferior, com o que há queda na rotação plática (com exceção de taxa muito pequena). Um reultado emelhante etá dado no trabalho de Graubner (988). Ver também o Boletim 39 do CEB (997). Entretanto, nee trabalho é coniderada no lugar da capacidade de rotação plática a curvatura máxima na eção tranveral em função da taxa mecânica. A influência defavorável da força normal de compreão na capacidade de rotação plática etá motrada na Fig. 5.9, para trê força normai relativa, a aber, ν N ( A f ),, e,. O dado deta figura ão o cm memo da Fig. 5.6, ma aqui a armadura é imétrica, de poiçõe y h, e y h,9. Neta figura uou-e o método rigoroo, coniderando-e cotυ função( ω), como na Fig pl (mrad) ,,,3,4,5 Taxa Mecânica da Armadura do Banzo Tracionado N / (Aof cm) N / (Aofcm) -, N / (Aofcm) -, Fig. 5.9: Influência da força normal de compreão na capacidade de rotação plática, para armadura imétrica.

35 5 Em preença de uma força de compreão há alteração na forma de ruptura, já para baixa taxa de armadura. Ao invé de romper a armadura, o concreto atinge ante eu encurtamento limite. Simultaneamente há queda do alongamento da armadura e da curvatura. A força cortante aumenta, poi há aumento do momento reitente (até a força normal ν bal, Fig. 4.8b), ma eu efeito ó aparece com mai intenidade quando há fiura inclinada. O efeito conjunto da força normal de compreão e cortante leva a uma diminuição da ditância a y. A queda na curvatura e na extenão platificada reduzem a capacidade de rotação plática. Deve-e notar ainda que, a partir de um certo valor da taxa mecânica, a força na dua camada da armadura ão praticamente iguai, com o que o concreto reite quae que a toda a força normal aplicada. Dito reulta que a profundidade da LN também é quae contante. Sendo fixa a deformação limite (a do concreto), tem-e capacidade de rotação plática aproximadamente contante, como e pode ver na Fig Conforme explicado adiante, na Fig. 5.9, em cao de análie no ELU, a força normal a uar na determinação de pl é a mema do dimenionamento, N d, ma a reitência correpondem ao valore médio (ou caracterítico). Com io, a Fig. 5.9 repreenta praticamente todo o pilare em quetão, cuja armadura ofre ecoamento e têm capacidade de rotação plática ignificativa, compatível com a da viga de um memo pórtico, e a taxa mecânica for ecolhida adequadamente. Nete problema foi obervada uma dicrepância relativamente maior entre o método rigoroo e implificado, por caua da queda na ditância a y em relação ao cao de força normal nula. Como a influência da força normal de compreão faz com que a deformação limite atingida eja a do concreto, ó e conegue aumentar a ductilidade da peça atravé do cintamento do concreto. Ver o item 5.7. Menciona-e, por fim, a influência da placa de apoio. Conforme a Tabela 5., calculada com b 5mm, tem-e a rotação 8,8mrad para a taxa ω,45. Eta rotação paa a er 5,73 mrad, e a largura da placa dobrar. Há, com io, um aumento de quae 4 % na capacidade de rotação plática para eta taxa. Aumento de mema ordem de grandeza ocorrem, nete exemplo, em todo

36 6 o cao em que não há fiuração diagonal. Neta mema tabela, para taxa mecânica ω,, quando a fiuração diagonal etá preente, a capacidade de rotação plática praticamente não e altera. 5.6 Comparação entre Reultado Teórico e Experimentai Motra-e a eguir a comparação entre o reultado teórico e experimentai obtido em trê érie de enaio. Na primeira, conideram-e cinco dentre ete reultado decorrente de enaio de laje contínua, realizado por Eligehauen e Fabritiu, CEB 8 (993). A egunda érie de enaio, realizado por Sigrit e Marti (993), refere-e a quatro viga I (T a T4) de concreto armado (da quai ó e examinam aqui a trê primeira) de um total de ei (dua protendida, T5 e T6). Na terceira érie, têm-e o enaio de Boco e Debernardi, CEB 8 (993), em viga iotática de eção retangular, da quai ó e conideram a de altura h 4mm e ujeita a uma única carga concentrada. O mencionado enaio de Eligehauen e Fabritiu, cf. a Fig. 5., referem-e a laje contínua de doi vão, carregada imetricamente com dua carga concentrada por vão, e armada com tela oldada, de mema área no vão e no apoio interno ( ρ bd,3% ). A Como e vê neta figura, todo o tete têm como apoio central uma viga I metálica, com exceção do tete 4., no qual a laje apoia-e numa viga tranveral de concreto, de largura mm. São dada a ditância entre ponto de momento nulo ( L d ) e a caracterítica da armadura (Tabela 5.4). O concreto tem reitência f cm 65, MPa. No cálculo adota-e o diagrama parábolaretângulo e fixa-e c lim,4% ; além dio, admite-e boa aderência. A inclinaçõe da fiura (verticai) e do campo de compreão valem υ υ 9º. O epaçamento médio da fiura ( rm 3, 8mm ), utilizando-e a expreão do EC-, Equação (3.49), é quae igual à metade do epaçamento da armadura tranveral que compõe a tela ( 5 mm ). r

37 7 P / P / P / P / m m m m 4 m 4 m (a) Geometria e carregamento mm viga metálica mm viga de concreto (b) Apoio central T., T., T., T6. (c) Apoio central T4. Tela 9 / 5 / 7,5 / 6 h 8 mm d 6 mm A,3 x 55 x 6/ 65,6 mm b w 55 mm (d) Seção do apoio central Fig. 5.: Dado do enaio de Eligehauen e Fabritiu, CEB 8 (993). Tabela 5.4: Dado da armadura do apoio central. Tete f y (MPa) f t (MPa) f f,93,6,8,77,57 t y A G ( / ) A ( / ) ,5 ( A G + A ) / ) 84,5 74,5 64, ,5 ( ω A f ( bdfcm ),34,77,74,76,83 y

38 8 Toma-e como deformação última do aço a média entre A g e A (a primeira é a deformação plática correpondente ao pico da curva carga-deformação da barra nua enaiada, a egunda é a deformação plática reidual medida na ditância igual a φ, apó a ruptura). A taxa mecânica, dada na Tabela 5.4, é muito baixa e varia entre, 34 e, 83, de modo que a ruptura da eção crítica ocorre pelo aço. Para efeito de comparação toma-e a média da rotaçõe plática medida, correpondente ao colapo da laje ( pl, f ) e a 95% do máximo momento fletor no apoio, no ramo decendente da curva M ( ), ( pl,95% ). O reultado dado na Tabela 5.5 referem-e à eção do apoio central. Dela conclui-e que há concordância muito boa entre a teoria e o experimento, exceto no tete 4., ito porque no apoio central formaram-e dua fiura com platificação da armadura, uma em cada interface laje-viga de concreto, ao pao que a teoria acuou platificação em uma ó fiura, na central, o que também ocorreu no demai tete. Tete Tabela 5.5: Reultado teórico e experimentai (Eligehauen e Fabritiu, CEB 8 (993)). M u, teor (KNm) M utet,p max (KNm) M M u, teor utet, P max pl, teor pl,95% + pl, u (mrad) (mrad) ( pl, f. 3,,6, 3,5,5x(8,8+3,)4,45,95. 6,53 3,,878 8,76,5x(,+,),,89. 6,6 7,3,975 8,6,5x(5,5+5,9)5,75,5 4. 6,7 8,6,934 7,5,5x(,8+8,3)5,5, ,95 5,3,65 5,6,5x(5,8+,6)8,,84 ) pl, teor pl, u do autore: Nete enaio é intereante mencionar a eguinte concluõe () A pretendida reditribuição de momento fletore ( 8,5% ) em relação à olução elática foi coneguida.

39 9 () A reditribuição de momento deveu-e a dua parcela ditinta: a primeira, cerca de 6 %, refere-e à fiuração mai pronunciada obre o apoio central comparada com a do vão; a egunda provém do alongamento plático da armadura. Com io fica evidente também experimentalmente que a reditribuição de olicitaçõe é um problema de rigidez relativa e de platificação, como não pode deixar de er. (3) Como já mencionado no item 4. (3), a rotação pl,95% é cerca de 4 a % maior do que a rotação plática correpondente ao pico da curva experimental M ( ). 8 8 y(i) Banzo comprimido M (a) Enaio (b) Cálculo Fig. 5.: Seção tranveral da viga enaiada por Sigrit e Marti (993) e eção adotada no cálculo. No enaio de Sigrit e Marti têm-e viga iotática com doi vão, um interno ( 9,6m ) carregado com carga uniformemente ditribuída, e outro em balanço ( 3,5m ), com uma carga concentrada na ua ponta. Toda a viga têm mema eção tranveral (Fig. 5.). A capacidade de rotação plática é determinada na eção crítica do apoio vizinho ao balanço, atravé de uma viga bi-apoiada equivalente, de ebeltez l / d 8, com d 75mm. O talão comprimido (inferior) tem armadura tranveral

40 igual a φ c / mm, mai o etribo da alma, de diâmetro mm e epaçamento iguai a mm (T), mm (T e T4) e 3 mm (T3). A armadura longitudinai etão indicada na Tabela 5.6. A largura da placa de apoio é igual a 4 mm. O banzo tracionado contém barra de diferente diâmetro, ma mantém o número total de barra, igual a 6. Por io, toma-e o diâmetro equivalente igual a φ, eq A 4π para o cálculo do epaçamento médio da fiura, atravé da expreão do EC-. A área efetiva de concreto é igual à área do talão tracionado ( 8 55mm ). A reitência do concreto é f c 45MPa, e a deformaçõe limite admitida no cálculo ão iguai a 8 / (memo valor adotado na comparação teórica feita por Sigrit (995)) e 9,5 /. Ete encurtamento ão elevado por caua do forte cintamento do talão comprimido. Além dio, na T3 o detacamento do cobrimento de concreto dee banzo deu-e para o encurtamento 9, / f t f y 6 / 5MPa e u /.. Para o aço têm-e Tabela 5.6: Dado da armadura e epaçamento médio da fiura. Viga A ( mm Banzo tracionado (uperior) y φ,eq rm rm ) (mm) (mm) (mm) (mm) (teoria) (tete), ,6 9, ,8 A ( mm ) Banzo comprimido (inferior) y A 3 y 3 A 4 (mm) ( mm ) (mm) ( mm ) y 4 (mm) Nea viga a taxa mecânica da armadura do banzo tracionado (,4 na T3 e,69 na T, e 4) é tal que há influência da força cortante (fiura inclinada), e a ruptura dar-e-ia pelo concreto do banzo comprimido, e a força cortante foe deconiderada. Na T e T4 o emagamento do concreto da alma

41 precedeu o do banzo comprimido, ma eta última forma de ruptura, na T, etava prete a ocorrer. Com io, exclui-e deta comparação também a T4. O reultado teórico, admitindo-e boa aderência, etão dado na Tabela 5.7. Tabela 5.7: Reultado teórico para encurtamento limite iguai a 8 / e 9,5 / (em parêntee). Viga Q u ( KN ) pl (mrad) υ u Número de fiura platificada, 637 (649,8),3 (8,3) 3 º ( 3º ) (3) 3 958, (97,) 65,9 (88,9),3º (,7º ) 7 (9) Como e vê neta tabela, a inclinaçõe do campo de compreão da teoria, para fiura com inclinação υ 4º, indicaram 3 º na T e e,3º na T3. A média dete ângulo, 5 º, é exatamente o valor coniderado por Sigrit. r Enaio Tabela 5.8: Reultado teórico e experimentai (Sigrit e Marti (993)). Q u, teor (KN ) Q u, tet (KN ) Q Q u, teor pl, teor u, tet (mrad) pl,tet (mrad) T 643 6,3 8,3 4,7 T ,5 8,3 3,3 T , 88,9 95,94 pl, teor pl, tet A Tabela 5.8 motra lado a lado o reultado teórico e experimentai da carga última e da capacidade de rotação plática. Para a primeira grandeza tomou-e a média do valore da Tabela 5.7 e para a rotação o valore correpondente ao maior encurtamento. Por eta comparação, vê-e que a concordância entre a teoria e o tete pode er coniderada atifatória,