12 - AVALIAÇÕES. Fernando Musso Junior Estruturas de Concreto Armado 290

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1 12 - AVALIAÇÕES Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 290

2 1ª AVALIAÇÃO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO I 2012/1 26/04/2012 Para a questão a seguir, utilizar concreto com f ck = 20 MPa e o aço com f yk = 500 MPa. 1 - Para a viga em balanço de concreto armado esquematizada abaixo, calcular e completar os parâmetros solicitados na tabela RESULTADOS. Considerar para o dimensionamento no estado limite último a carga última p d = 1,4g + 1,4q. Para o dimensionamento à força cortante, utilizar cálculo simplificado com inclinação das bielas comprimidas de concreto = 45º. b = 20 cm g = 22 kn/m q = 9 kn/m 3 m h = 60 cm d = 54 cm RESULTADOS ELU-M ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À MOMENTO FLETOR RESPOSTA UNIDADE VALOR M d,eng momento fletor de cálculo no engaste 195,3 knm 1,0 M d,lim momento fletor de cálculo máximo com armadura simples 226,61 knm 1,0 x profundidade da linha neutra no estádio 3 22,30 cm 1,0 A s área da seção da armadura longitudinal tracionada 9,96 cm 2 1,0 A s,mín área mínima da seção da armadura longitudinal tracionada 1,80 cm 2 1,0 ELU-V ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À FORÇA CORTANTE RESPOSTA UNIDADE VALOR V d,eng força cortante de cálculo no engaste 130,2 kn 1,0 V Rd2 força cortante de cálculo máxima resistida por compressão diagonal das bielas de concreto 383,2 kn 1,0 V c força cortante resistida por outros mecanismos 71,60 kn 1,0 A sw área da seção da armadura transversal 2,77 cm 2 /m 1,0 A sw,mín área mínima da seção da armadura transversal 1,76 cm 2 /m 1,0 Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 291

3 2ª AVALIAÇÃO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO I 2012/1 14/06/ Para a viga em balanço de concreto armado esquematizada abaixo, concreto f ck = 20 MPa e aço f yk = 500 MPa, calcular e completar os parâmetros solicitados na tabela RESULTADOS. Considerar para a verificação de deformações no estado limite de serviço a carga quase permanente p QP = g + 0,3q. b = 20 cm g = 22 kn/m q = 9 kn/m 3 m h = 60 cm d = 54 cm RESULTADOS ELS-DEF ESTADO LIMITE DE SERVIÇO DE DEFORMAÇÃO RESPOSTA UNIDADE VALOR f elástica flecha obtida com p = p QP, E = E cs e I = I c 3,26 mm 1,0 I e momento de inércia efetivo da seção (Branson) cm 4 - f imediata flecha da viga ao entrar em carga 6,96 mm 1,0 f coeficiente para levar em conta a fluência 1,323 - f diferida flecha do efeito da fluência do concreto 9,21 mm 1,0 f total flecha total máxima 16,17 mm 1,0 f limite flecha máxima para limitar efeito visual 24,00 mm 1,0 2 Para a seção de concreto armado esquematizada abaixo, concreto f ck = 30 MPa e aço f yk = 500 MPa, sumetida a um momento torçor de cálculo T d = 24kNm, calcular e completar os parâmetros solicitados na tabela RESULTADOS. Considerar modelo refinado de cálculo com bielas de concreto inclinadas a 30º. b = 30 cm h = 60 cm RESULTADOS ELU-T ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA A MOMENTO TORÇOR RESPOSTA UNIDADE VALOR c 1 distância da borda da seção ao centro da barra da armadura longitudinal 5 cm - t e espessura da parede da seção vazada de cálculo 10 cm 1,0 T Rd2 momento torçor resistente por compressão diagonal do concreto 81,65 knm 1,0 A sw,t armadura transversal por face da seção 1,59 cm 2 /m 1,5 A s,t armadura longitudinal total no perímetro u e 6,69 cm 2 1,5 Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 292

4 1ª AVALIAÇÃO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO II 2012/1 25/04/2012 Para as questões a seguir, utilizar concreto com f ck = 20 MPa e o aço com f yk = 500 MPa. 1 - Para a laje em balanço de concreto armado esquematizada abaixo, calcular e completar os parâmetros solicitados na tabela RESULTADOS. Considerar para o dimensionamento no estado limite último a carga última p d = 1,4g + 1,4q e para a verificação no estado limite de serviço a carga quase permanente p QP = g + 0,3q. g = 6,25 kn/m 2 q = 2,00 kn/m 2 2 m h = 15 cm b = 100 cm d = 12 cm RESULTADOS ELU-M ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À MOMENTO FLETOR RESPOSTA UNIDADE VALOR M d,eng momento fletor de cálculo no engaste 23,10 knm/m 0,5 x profundidade da linha neutra no estádio 3 2,13 cm 0,5 A s área da seção da armadura longitudinal tracionada 4,77 cm 2 /m 1,0 ELS-DEF ESTADO LIMITE DE SERVIÇO DE DEFORMAÇÃO RESPOSTA UNIDADE VALOR f elástica flecha obtida com p = p QP, E = E cs e I = I c 2,29 mm 1,0 I e momento de inércia efetivo da seção 9894 cm 4 /m - f imediata flecha da viga ao entrar em carga 6,50 mm 1,0 f coeficiente para levar em conta a fluência 1,323 - f diferida flecha do efeito da fluência do concreto 8,60 mm 1,0 f total flecha total máxima 15,10 mm 0,5 f limite flecha máxima para limitar efeito visual 16,00 mm 0,5 2 A laje nervurada de concreto armado com apoios lineares, cuja planta e seção transversal por metro nas duas direções estão esquematizadas abaixo, tem altura útil d = 23 cm. Está submetida a uma carga permanente g = 4,97 kn/m 2 (já incluído o seu peso próprio) e a uma carga variável q = 3 kn/m 2. a) calcular a área de armadura longitudinal (cm 2 /nervura) que deverá ser colocada em cada nervura (4,0) A s = 1,23 cm 2 /nervura 100 cm 7 m 7 m 26 cm 12 cm 5 cm 50 cm Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 293

5 2ª AVALIAÇÃO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO II 2012/1 27/06/ O pilar de concreto armado tem seção transversal circular maciça de diâmetro 40 cm e comprimento equivalente L = 6 m. Está submetido a uma força normal característica centrada igual a N k = 5000 kn. Utilizar concreto com f ck = 30 MPa e o aço com f yk = 500 MPa. Calcular e completar os parâmetros solicitados na tabela RESULTADOS. RESULTADOS RESPOSTA UNIDADE VALOR índice de esbeltez do pilar 50 1,0 1 índice de esbeltez limite do pilar 35 1,0 pilar curto (C) ou moderadamente esbelto (ME)? ME 1,0 M 1d,mín momento fletor mínimo de cálculo de 1ª ordem 75,60 knm 1,0 M 2d momento fletor de cálculo de 2ª ordem 56,82 knm 1,0 N d força normal de cálculo 2800 kn 1,0 M d momento fletor de cálculo total 132,42 knm 1,0 Plotar no diagrama de interação o ponto correspondente a N d e M d 1,0 taxa mecânica de armadura longitudinal 0,60 1,0 A s armadura longitudinal necessária 37,16 cm 2 1,0 Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 294

6 1ª AVALIAÇÃO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO I 2011/2 04/10/2011 Para as questões a seguir, utilizar concreto com f ck = 20 MPa e o aço com f yk = 500 MPa. 1 - Para a viga monoengastada de concreto armado esquematizada abaixo, calcular e completar os parâmetros solicitados na tabela RESULTADOS. Considerar para o dimensionamento no estado limite último a carga última p d = 1,4g + 1,4q e para a verificação no estado limite de serviço de deformação a carga quase permanente p QP = g + 0,4q. Para o dimensionamento à força cortante, utilizar cálculo simplificado com inclinação das bielas comprimidas de concreto = 45º. Para a verificação de deformação utilizar t o /t = 1/70 meses. b = 20 cm g = 22 kn/m q = 9 kn/m 6 m h = 60 cm d = 54 cm RESULTADOS ELU-M ELS-DEF M d,vão 109,86 knm I c cm 4 f ctf 2,210 MPa M d,lim 226,61 knm W c cm 3 M r 26,53 knm x 11,44 cm E s MPa M QP,vão 64,8 knm A s 5,11 cm 2 E cs MPa I e cm 4 0,5 E s /E cs 9,865 f elástica 2,3 mm 0,5 ELU-V a 1 10 cm f imediata 7,2 mm 1,0 V d,eng 162,8 kn 0,5 a 2 50,4 cm 2 f 1,323 V Rd2 383,2 kn 0,5 a ,4 cm 3 f diferida 9,6 mm 1,0 V c 71,6 kn x 2 14,17 cm 0,5 f total 16,8 mm 0,5 A sw 4,31 cm 2 /m 1,0 I cm 4 0,5 f limite 24,0 mm 0,5 DEFINIÇÕES DOS PARÂMETROS M d,vão momento fletor de cálculo positivo no vão a 1 parâmetro auxiliar para cálculo de x 2 M d,lim momento fletor de cálculo máximo com a 2 parâmetro auxiliar para cálculo de x 2 armadura simples a 3 parâmetro auxiliar para cálculo de x 2 x profundidade da linha neutra no estádio 3 x 2 profundidade da linha neutra no estádio 2 A s área da seção da armadura longitudinal I 2 momento de inércia da seção no estádio 2 tracionada f ctf resistência do concreto à tração na flexão A s,mín área mínima da seção da armadura M r momento fletor de fissuração longitudinal tracionada M QP,vão m. fletor da ação quase permanente no vão V d,eng força cortante de cálculo no engaste I e momento de inércia efetivo da seção V Rd2 força cortante de cálculo máxima resistida por f elástica flecha obtida com p = p QP, E = E cs e I = I c compressão diagonal das bielas de concreto f imediata flecha da viga ao entrar em carga V c força cortante resistida por outros mecanismos f coeficiente para levar em conta a fluência do A sw área da seção da armadura transversal concreto no cálculo da flecha diferida A sw,mín área mínima da seção da armadura f diferida flecha do efeito da fluência do concreto transversal f total flecha total máxima I c momento de inércia da seção bruta f limite flecha máxima para limitar efeito visual W c módulo resistente da seção bruta desagradável E s módulo de elasticidade do aço g carregamento permanente E cs módulo de elasticidade secante do concreto q carregamento variável VIRE Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 295

7 2 O elemento de concreto armado, cuja seção transversal está esquematizada abaixo, tem altura total de 60 cm e altura útil de 54 cm. Pede-se: a) dimensionar a armadura longitudinal A s para um momento fletor solicitante de cálculo tracionando a mesa igual a M d = 224,25 knm. 100 cm 60 cm 10 cm a) x 26,63 cm A s 11,90 cm 2 3,0 20 cm Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 296

8 2ª AVALIAÇÃO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO I 2011/2 29/11/2011 Utilizar em todas as questões: concreto f ck = 25 MPa aço f yk = 500 MPa 1 - A seção transversal de uma viga de concreto armado tem: largura b = 40 cm altura h = 60 cm distância da borda da seção ao centro da barra da armadura longitudinl c 1 = 5 cm Está submetida a: momento torçor solicitante de cálculo T d = 100 knm DIMENSIONAMENTO À MOMENTO TORÇOR obs.: considerar modelo simplificado de cálculo com bielas de concreto inclinadas a 45º. a) calcular a espessura da parede da seção vazada de cálculo t e (cm) b) calcular o momento torçor resistente por compressão diagonal do concreto T Rd2 (knm) c) calcular a armadura transversal A sw,t (cm 2 /m) por face para resistir ao momento torçor T d c) calcular a armadura longitudinal A s,t (cm 2 ) total para resistir ao momento torçor T d a) t e 12 cm 1,5 b) T Rd2 129,6 knm 1,5 c) A sw,t 8,56 cm 2 /m 1,5 d) A s,t 13,01 cm 2 1,5 2 Calcular o comprimento mínimo (múltiplo de 5 cm) das barras da armadura longitudinal a esquerda C esq (cm) e a direita C dir (cm) do apoio intermediário de uma viga contínua de concreto armado. O diagrama de momentos fletores no apoio está esquematizado abaixo. Dividir a altura do diagrama proporcionalmente a área da seção transversal das barras. Considerar: seção tranversal da viga b/h/d = 12/50/45 cm diâmetro das 2 barras da armadura longitudinal da 1ª camada = 16 mm diâmetro das 2 barras da armadura longitudinal da 2ª camada = 12,5 mm deslocamento lateral do diagrama de momentos fletores a l = 0,78d comprimento de ancoragem básico (zona boa) lb, boa = 37,7 comprimento de ancoragem básico (zona má) lb, má = 53,8 DMF 175 cm 100 cm a) C esq(16) 230 cm 1,0 b) C dir(16) 160 cm 1,0 c) C esq(12,5) 115 cm 1,0 d) C dir(12,5) 105 cm 1,0 Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 297

9 1ª AVALIAÇÃO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO II 2011/2 05/10/2011 Para todas as questões abaixo, utilizar concreto com f ck = 30 MPa e o aço com f yk = 500 MPa. 1 A laje maciça de concreto armado com apoios lineares, cuja planta está esquematizada abaixo, tem espessura h = 15 cm e altura útil d = 12 cm. Está submetida a uma carga permanente g = 5,75 kn/m 2 (já incluído o seu peso próprio) e a uma carga variável q = 3 kn/m 2. A área de aço da armadura longitudinal na direção a é A sa = 4,84 cm 2 /m e na direção b é A sb = 2,57 cm 2 /m. a) calcular a flecha total (mm) para a combinação (g + 0,4q) e comparar com a flecha limite igual a L/250. Considerar momento de fissuração M r = 10,86 knm/m e f diferida = 1,323 f imediata. a = 5 m b = 7,5 m a) f elástica 4,4 mm 1,5 f imediata 7,6 mm 1,5 f diferida 10,1 mm 1,0 f total 17,7 mm 0,5 f limite 20,0 mm 0,5 2 O pilar de concreto armado tem seção transversal retangular com dimensões c x = 30 cm e c y = 100 cm e comprimento equivalente L = 3 m. Está submetido a uma força normal característica centrada igual a N k = 5500 kn. Pede-se: a) calcular o índice de esbeltez do pilar no plano xz (pilar é curto ou moderadamente esbelto?) b) calcular o momento fletor mínimo de 1ª ordem M 1d,mín no plano xz c) obter os esforços solicitantes de cálculo N d ; M d d) plotar no ábaco do Montoya em anexo o ponto correspondente a N d e M d e obter e) dimensionar a armadura longitudinal necessária (cm 2 ) a) 34,6 (CURTO) 1,0 b) M 1d,mín 184,8 knm 1,0 c) N d ; M d 7700; 184,8 kn; knm 1,0 d) 0,625 1,0 e) A s 92,41 cm 2 1,0 Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 298

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11 2ª AVALIAÇÃO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO II 2011/2 30/11/2011 Utilizar: concreto f ck = 25 MPa aço f yk = 500 MPa 1 Para a sapata quadrada de concreto armado esquematizada abaixo, definir sua geometria (L; H; h o ) e dimensionar a área de armadura longitudinal necessária A s (cm 2 ) nas direções x e y. Desprezar seu peso próprio e adotar para a geometria (L, H, h o ) medidas múltiplas de 5 cm. força normal característica no pilar N = 4950 kn seção do pilar c x = 40 cm e c y = 80 cm tensão normal máxima sob a sapata 400 kn/m 2 sapata rígida com H > (L c)/3 altura na extremidade da sapata h o > H/3 > 25 cm ângulo < 30 o altura útil d = H 10 cm H L ELEVAÇÃO h o RESULTADOS a) L 355 cm 1,0 b) H 105 cm 1,0 c) h o 35 cm 1,0 d) A sx 66,06 cm 2 1,0 e) A sy 57,67 cm 2 1,0 2 Dimensionar a área de armadura longitudinal de tração entre estacas A s,ab (cm 2 ) de um bloco de concreto armado sobre 3 estacas pré-moldadas de concreto com diâmetro = 50 cm e capacidade de carga à compressão de cada estaca igual a 1650 kn. Verificar indiretamente a ruptura por compressão diagonal do concreto pela relação força cortante solicitante/resistente de cálculo V d /V Rd2. força normal característica no pilar N = 4950 kn e seção do pilar igual a c x = 55 cm e c y = 55 cm espaçamento entre eixos das estacas e = 3 = 150 cm altura útil do bloco d 0,71e (múltiplo de 5 cm) = 110 cm altura total do bloco H = d + 10 cm = 120 cm c e PLANTA d H RESULTADOS a) A s,ab 24,15 cm 2 1,5 b) V d 6930 kn 1,0 c) V Rd kn 1,5 d) V d /V Rd2 0,66 1,0 ELEVAÇÃO Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 300

12 1ª AVALIAÇÃO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO I 2011/1 06/05/2011 Para a viga biapoiada de concreto armado esquematizada abaixo, calcular os parâmetros solicitados na tabela RESULTADOS. Considerar para o dimensionamento no estado limite último a carga última p d = 1,4g + 1,4q e para a verificação no estado limite de serviço a carga quase permanente p QP = g + 0,4q. Para o dimensionamento à força cortante, utilizar cálculo simplificado com inclinação das bielas comprimidas de concreto = 45º. Para a verificação de deformação utilizar t o /t = 1/70 meses. b = 20 cm concreto f ck = 20 MPa aço f yk = 500 MPa g = 26 kn/m q = 11 kn/m h = 80 cm d = 72 cm 7 m RESULTADOS ELU-M ELS-DEF M d 317,28 knm 0,5 I c cm 4 f ctf,ec2 2,210 MPa M d,lim 402,87 knm 0,5 W c cm 3 M r 47,15 knm x 26,62 cm E s MPa M QP 186,2 knm A s 11,89 cm 2 1,0 E cs 21287,4 MPa I e cm 4 1,0 A s,mín 2,40 cm 2 0,5 E s /E cs 9,865 f elástica 5,23 mm ELU-V a 1 10,00 cm f imediata 12,05 mm 1,0 V d 181,3 kn 0,5 a 2 117,29 cm 2 f 1,323 V Rd2 511,2 kn 0,5 a ,2 cm 3 f diferida 15,94 mm 1,0 V c 95,47 kn x 2 23,78 cm 0,5 f total 27,99 mm 0,5 A sw 3,05 cm 2 /m 1,0 I cm 4 0,5 f limite 28,00 mm 0,5 A sw,mín 1,76 cm 2 /m 0,5 DEFINIÇÕES DOS PARÂMETROS M d momento fletor de cálculo a 1 parâmetro auxiliar para cálculo de x 2 M d,lim momento fletor de cálculo máximo com a 2 parâmetro auxiliar para cálculo de x 2 armadura simples a 3 parâmetro auxiliar para cálculo de x 2 x profundidade da linha neutra no estádio 3 x 2 profundidade da linha neutra no estádio 2 A s área da seção da armadura longitudinal I 2 momento de inércia da seção no estádio 2 tracionada f ctf resistência do concreto à tração na flexão A s,mín área mínima da seção da armadura M r momento fletor de fissuração longitudinal tracionada M QP momento fletor da ação quase permanente V d força cortante de cálculo I e momento de inércia efetivo da seção V Rd2 força cortante de cálculo máxima resistida por f elástica flecha obtida com p = p QP, E = E cs e I = I c compressão diagonal das bielas de concreto f imediata flecha da viga ao entrar em carga V c força cortante resistida por outros mecanismos f coeficiente para levar em conta a fluência do A sw área da seção da armadura transversal concreto no cálculo da flecha diferida A sw,mín área mínima da seção da armadura f diferida flecha do efeito da fluência do concreto transversal f total flecha total I c momento de inércia da seção bruta f limite flecha máxima para limitar efeito visual W c módulo resistente da seção bruta desagradável E s módulo de elasticidade do aço módulo de elasticidade secante do concreto E cs Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 301

13 2ª AVALIAÇÃO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO I 2011/1 21/06/2011 Utilizar em todas as questões: concreto f ck = 25 MPa aço f yk = 500 MPa 1 - A seção transversal de uma viga de concreto armado tem: largura b = 40 cm altura h = 70 cm distância da borda da seção ao centro da barra da armadura longitudinl c 1 = 5 cm Está submetida a: momento torçor solicitante de cálculo T d = 150 knm DIMENSIONAMENTO À MOMENTO TORÇOR obs.: considerar modelo simplificado de cálculo com bielas de concreto inclinadas a 45º. a) calcular a espessura da parede da seção vazada de cálculo t e (cm) b) calcular o momento torçor resistente por compressão diagonal do concreto T Rd2 (knm). c) calcular a armadura transversal A sw,t (cm 2 /m) por face para resistir ao momento torçor T d. c) calcular a armadura longitudinal A s,t (cm 2 ) total para resistir ao momento torçor T d. a) t e 12,70 cm 1,0 b) T Rd2 159,75 knm 1,0 c) A sw,t 11,04 cm 2 /m 1,5 d) A s,t 18,67 cm 2 1,5 2 O elemento de concreto armado, cuja seção transversal está esquematizada abaixo, tem altura total de 25 cm e altura útil de 22 cm. Pede-se: a) dimensionar a armadura longitudinal A s para um momento fletor solicitante de cálculo positivo igual a M d = +50 knm. 100 cm 25 cm 5 cm 20 cm a) A s 5,42 cm 2 3,0 3 Calcular o comprimento mínimo (múltiplo de 5 cm) das barras da armadura longitudinal a esquerda C esq (cm) e a direita C dir (cm) do apoio intermediário de uma viga contínua de concreto armado. O diagrama de momentos fletores no apoio está esquematizado abaixo. Considerar todas as barras com mesmo comprimento e: seção tranversal da viga b/h/d = 20/80/72 cm diâmetro das barras da armadura longitudinal = 16 mm deslocamento lateral do diagrama de momentos fletores a l = 0,78d comprimento de ancoragem básico em zona boa lb, boa = 37,7 comprimento de ancoragem básico em zona má lb, má = 53,8 DMF 100 cm 50 cm a) C esq 175 cm 1,0 b) C dir 145 cm 1,0 Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 302

14 1ª AVALIAÇÃO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO II 2011/1 05/05/2011 Para todas as questões abaixo, utilizar concreto com f ck = 30 MPa e o aço com f yk = 500 MPa. 1 A laje maciça de concreto armado com apoios lineares, cuja planta está esquematizada abaixo, tem espessura de 13 cm. Está submetida a uma carga permanente g = 4,75 kn/m 2 (já incluído o seu peso próprio) e a uma carga variável q = 3 kn/m 2. a) calcular a flecha total (mm) para a combinação (g + 0,4q) e comparar com a flecha limite igual a L/250. Considerar momento de inércia efetivo da seção I e = cm 4 e f diferida = 1,323 f imediata. 6 m 6 m a) f elástica 6,30 mm 0,5 f imediata 9,20 mm 0,5 f diferida 12,17 mm 0,5 f total 21,37 mm 0,5 f limite 24,00 mm - 2 A laje nervurada de concreto armado, cuja seção transversal por metro está esquematizada abaixo, tem altura útil de 19 cm. Pede-se: a) dimensionar a armadura longitudinal por metro (cm 2 /m) para um momento fletor solicitante de cálculo positivo igual a M d = +20,66 knm/m b) dimensionar a armadura longitudinal por metro (cm 2 /m) para um momento fletor solicitante de cálculo negativo igual a M d = -46,71 knm/m 100 cm 22 cm 12 cm 5 cm a) A s 2,54 cm 2 /m 1,0 b) A s 6,90 cm 2 /m 1,0 50 cm 3 O pilar de concreto armado tem seção transversal retangular com dimensões c x = 30 cm e c y = 100 cm e comprimento equivalente L = 6 m. Está submetido a uma força normal característica centrada igual a N k = 4000 kn. Pede-se: f) calcular o índice de esbeltez do pilar no plano xz (pilar é curto ou moderadamente esbelto?) g) calcular o momento fletor mínimo de 1ª ordem M 1d,mín no plano xz h) calcular o momento fletor de 2ª ordem M 2d,cen no plano xz i) obter os esforços solicitantes de cálculo N d ; M d para a hipótese crítica j) plotar no ábaco do Montoya em anexo o ponto correspondente a N d e M d e obter k) dimensionar a armadura longitudinal necessária (cm 2 ) a) 69,3 ; ME 1,0 b) M 1d,mín 134,4 knm 1,0 c) M 2d,cen 245,1 knm 1,0 d) N d ; M d 5600 ; 379,5 kn; knm 1,0 e) 0,61 1,0 f) A s 90,2 cm 2 1,0 Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 303

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16 1ª AVALIAÇÃO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO II 2011/1 26/05/2011 Para todas as questões abaixo, utilizar concreto com f ck = 30 MPa e o aço com f yk = 500 MPa. 1 A laje nervurada de concreto armado com apoios lineares, cuja planta e seção transversal por metro nas duas direções estão esquematizadas abaixo, tem altura útil d = 21 cm. Está submetida a uma carga permanente g = 4,76 kn/m 2 (já incluído o seu peso próprio) e a uma carga variável q = 3 kn/m 2. a) calcular a flecha total (mm) para a combinação (g + 0,4q) e comparar com a flecha limite igual a L/250. Considerar momento de inércia efetivo da seção I e = cm 4 e f diferida = 1,323 f imediata. 7 m 7 m a) f elástica 4,40 mm 1,0 f imediata 9,80 mm 1,0 f diferida 13,00 mm 1,0 f total 22,80 mm 1,0 f limite 28,00 mm cm 24 cm 12 cm 5 cm 50 cm 2 O pilar de concreto armado tem seção transversal retangular com dimensões c x = 40 cm e c y = 80 cm e comprimento equivalente L = 6 m. Está submetido a uma força normal característica centrada igual a N k = 5000 kn. Pede-se: l) calcular o índice de esbeltez do pilar no plano xz (pilar é curto ou moderadamente esbelto?) m) calcular o momento fletor mínimo de 1ª ordem M 1d,mín no plano xz n) calcular o momento fletor de 2ª ordem M 2d,cen no plano xz o) obter os esforços solicitantes de cálculo N d ; M d para a hipótese crítica p) plotar no ábaco do Montoya em anexo o ponto correspondente a N d e M d e obter q) dimensionar a armadura longitudinal necessária (cm 2 ) a) 52 ; ME 1,0 b) M 1d,mín 189,00 knm 1,0 c) M 2d,cen 207,12 knm 1,0 d) N d ; M d 7000 ; 396,12 kn; knm 1,0 e) 0,575 1,0 f) A s 90,68 cm 2 1,0 Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 305

17 Fernando Musso Junior Estruturas de Concreto Armado 306

18 2ª AVALIAÇÃO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO II 2011/1 20/06/2011 Utilizar: concreto f ck = 25 MPa aço f yk = 500 MPa 1 Para a sapata quadrada de concreto armado esquematizada abaixo, definir sua geometria (L; H; h o ) e dimensionar a área de armadura longitudinal necessária A s (cm 2 ) em cada direção. Desprezar seu peso próprio e adotar para a geometria medidas múltiplas de 5 cm. força normal característica no pilar N = 2600 kn seção do pilar c x = 50 cm e c y = 50 cm tensão normal máxima sob a sapata 390 kn/m 2 sapata rígida com H > (L c)/3 altura na extremidade da sapata h o > H/3 > 25 cm ângulo < 30 o altura útil d = H 5 cm 50 cm H L h o RESULTADOS a) L 260 cm 1,0 b) H 70 cm 1,0 c) h o 25 cm 1,0 d) A s 33,81 cm 2 2,0 CORTE 2 Dimensionar a área de armadura longitudinal de tração entre estacas A s,ab (cm 2 ) de um bloco de concreto armado sobre 2 estacas pré-moldadas de concreto com diâmetro = 42 cm e capacidade de carga à compressão de cada estaca igual a 1300 kn. Verificar indiretamente a ruptura por compressão diagonal do concreto pela relação força cortante solicitante/resistente de cálculo V d /V Rd2. força normal característica no pilar N = 2600 kn seção do pilar igual a c x = 50 cm e c y = 50 cm espaçamento entre eixos das estacas e 3 = 130 cm altura útil do bloco d 0,71e = 95 cm altura total do bloco H = d + 10 cm = 105 cm largura do bloco b = 70 cm RESULTADOS e) A s,ab 28,64 cm 2 1,5 f) V d 1820 kn 1,5 g) V Rd kn 1,5 h) V d /V Rd2 0,63 0,5 CORTE (cm) Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 307

19 13 - ÁREA DA SEÇÃO TRANSVERSAL DE BARRAS DE AÇO Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 308

20 VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL A NÍVEL DE SEÇÃO T1 - Área da seção transversal de Q barras longitudinais (cm 2 ) Q Diâmetro da barra (mm) 5 6, , ,20 0,31 0,50 0,79 1,23 2,01 3,14 3,80 4,91 2 0,39 0,62 1,01 1,57 2,45 4,02 6,28 7,60 9,82 3 0,59 0,94 1,51 2,36 3,68 6,03 9,42 11,40 14,73 4 0,79 1,25 2,01 3,14 4,91 8,04 12,57 15,21 19,63 5 0,98 1,56 2,51 3,93 6,14 10,05 15,71 19,01 24,54 6 1,18 1,87 3,02 4,71 7,36 12,06 18,85 22,81 29,45 7 1,37 2,18 3,52 5,50 8,59 14,07 21,99 26,61 34,36 8 1,57 2,49 4,02 6,28 9,82 16,08 25,13 30,41 39,27 9 1,77 2,81 4,52 7,07 11,04 18,10 28,27 34,21 44, ,96 3,12 5,03 7,85 12,27 20,11 31,42 38,01 49, ,16 3,43 5,53 8,64 13,50 22,12 34,56 41,81 54, ,36 3,74 6,03 9,42 14,73 24,13 37,70 45,62 58, ,55 4,05 6,53 10,21 15,95 26,14 40,84 49,42 63, ,75 4,36 7,04 11,00 17,18 28,15 43,98 53,22 68, ,95 4,68 7,54 11,78 18,41 30,16 47,12 57,02 73, ,14 4,99 8,04 12,57 19,63 32,17 50,27 60,82 78, ,34 5,30 8,55 13,35 20,86 34,18 53,41 64,62 83, ,53 5,61 9,05 14,14 22,09 36,19 56,55 68,42 88, ,73 5,92 9,55 14,92 23,32 38,20 59,69 72,23 93, ,93 6,23 10,05 15,71 24,54 40,21 62,83 76,03 98, ,12 6,55 10,56 16,49 25,77 42,22 65,97 79,83 103, ,32 6,86 11,06 17,28 27,00 44,23 69,12 83,63 107, ,52 7,17 11,56 18,06 28,23 46,24 72,26 87,43 112, ,71 7,48 12,06 18,85 29,45 48,25 75,40 91,23 117,81 T2 - Número máximo de barras por camada (estribo de 2 ramos) n b,máx = INT[1+(b-2c t -2 t - )/(a h + )] a h = MÁXIMO(2 cm; ; 1,2d ag ) c t cm 2,5 d ag mm 19 mm t mm Largura da seção (cm) a h cm , , , , ,5 6, , , , , , , , obs.: t é o diâmetro da armadura transversal; c t é o cobrimento de concreto da armadura transversal T3 - Número máximo de camadas n c,máx = INT[1+(2x10%h)/(a v + )] a v = MÁXIMO(2 cm; ; 0,5d ag ) d ag mm 19 mm Altura da seção (cm) a v cm , ,0 12, , , , ,5 [MUSSO] Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 309

21 VIGA - DISPOSIÇÃO DA ARMADURA TRANSVERSAL A NÍVEL DE SEÇÃO T1 - Área da seção transversal de estribos de 2 ramos (cm 2 /m) s cm Diâmetro da barra (mm) Diâmetro da barra (mm) s cm 5 6, ,5 5 6, ,5 7 5,61 8,91 14,36 22,44 35, ,07 3,28 5,29 8,27 12,92 8 4,91 7,79 12,57 19,63 30, ,96 3,12 5,03 7,85 12,27 9 4,36 6,93 11,17 17,45 27, ,87 2,97 4,79 7,48 11, ,93 6,23 10,05 15,71 24, ,78 2,83 4,57 7,14 11, ,57 5,67 9,14 14,28 22, ,71 2,71 4,37 6,83 10, ,27 5,20 8,38 13,09 20, ,64 2,60 4,19 6,54 10, ,02 4,80 7,73 12,08 18, ,57 2,49 4,02 6,28 9, ,80 4,45 7,18 11,22 17, ,51 2,40 3,87 6,04 9, ,62 4,16 6,70 10,47 16, ,45 2,31 3,72 5,82 9, ,45 3,90 6,28 9,82 15, ,40 2,23 3,59 5,61 8, ,31 3,67 5,91 9,24 14, ,35 2,15 3,47 5,42 8, ,18 3,46 5,59 8,73 13, ,31 2,08 3,35 5,24 8,18 T2 - Área da seção transversal de estribos de 3 ramos (cm 2 /m) s cm Diâmetro da barra (mm) Diâmetro da barra (mm) s cm 5 6, ,5 5 6, ,5 7 8,41 13,36 21,54 33,66 52, ,10 4,92 7,94 12,40 19,38 8 7,36 11,69 18,85 29,45 46, ,95 4,68 7,54 11,78 18,41 9 6,54 10,39 16,76 26,18 40, ,80 4,45 7,18 11,22 17, ,89 9,35 15,08 23,56 36, ,68 4,25 6,85 10,71 16, ,35 8,50 13,71 21,42 33, ,56 4,07 6,56 10,24 16, ,91 7,79 12,57 19,63 30, ,45 3,90 6,28 9,82 15, ,53 7,19 11,60 18,12 28, ,36 3,74 6,03 9,42 14, ,21 6,68 10,77 16,83 26, ,27 3,60 5,80 9,06 14, ,93 6,23 10,05 15,71 24, ,18 3,46 5,59 8,73 13, ,68 5,84 9,42 14,73 23, ,10 3,34 5,39 8,41 13, ,46 5,50 8,87 13,86 21, ,03 3,22 5,20 8,12 12, ,27 5,20 8,38 13,09 20, ,96 3,12 5,03 7,85 12,27 T3 - Área da seção transversal de estribos de 4 ramos (cm 2 /m) s cm Diâmetro da barra (mm) Diâmetro da barra (mm) s cm 5 6, ,5 5 6, ,5 7 11,22 17,81 28,72 44,88 70, ,13 6,56 10,58 16,53 25,84 8 9,82 15,59 25,13 39,27 61, ,93 6,23 10,05 15,71 24,54 9 8,73 13,85 22,34 34,91 54, ,74 5,94 9,57 14,96 23, ,85 12,47 20,11 31,42 49, ,57 5,67 9,14 14,28 22, ,14 11,34 18,28 28,56 44, ,41 5,42 8,74 13,66 21, ,54 10,39 16,76 26,18 40, ,27 5,20 8,38 13,09 20, ,04 9,59 15,47 24,17 37, ,14 4,99 8,04 12,57 19, ,61 8,91 14,36 22,44 35, ,02 4,80 7,73 12,08 18, ,24 8,31 13,40 20,94 32, ,91 4,62 7,45 11,64 18, ,91 7,79 12,57 19,63 30, ,80 4,45 7,18 11,22 17, ,62 7,33 11,83 18,48 28, ,71 4,30 6,93 10,83 16, ,36 6,93 11,17 17,45 27, ,62 4,16 6,70 10,47 16,36 T4 - Área da seção transversal de estribos de 1 ramo (cm 2 /m) s cm Diâmetro da barra (mm) Diâmetro da barra (mm) s cm 5 6, ,5 5 6, ,5 7 2,80 4,45 7,18 11,22 17, ,03 1,64 2,65 4,13 6,46 8 2,45 3,90 6,28 9,82 15, ,98 1,56 2,51 3,93 6,14 9 2,18 3,46 5,59 8,73 13, ,93 1,48 2,39 3,74 5, ,96 3,12 5,03 7,85 12, ,89 1,42 2,28 3,57 5, ,78 2,83 4,57 7,14 11, ,85 1,36 2,19 3,41 5, ,64 2,60 4,19 6,54 10, ,82 1,30 2,09 3,27 5, ,51 2,40 3,87 6,04 9, ,79 1,25 2,01 3,14 4, ,40 2,23 3,59 5,61 8, ,76 1,20 1,93 3,02 4, ,31 2,08 3,35 5,24 8, ,73 1,15 1,86 2,91 4, ,23 1,95 3,14 4,91 7, ,70 1,11 1,80 2,80 4, ,15 1,83 2,96 4,62 7, ,68 1,07 1,73 2,71 4, ,09 1,73 2,79 4,36 6, ,65 1,04 1,68 2,62 4,09 [MUSSO] Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 310

22 LAJE - DISTRIBUIÇÂO DA ARMADURA LONGITUDINAL T1 - Área da seção transversal de barras longitudinais por metro de laje (cm 2 /m) Espaça- Diâmetro da barra (mm) - < h/8 mento 5 6, , ,80 4,45 7,18 11,22 17,53 28,72 44,88 54,30 70,12 8 2,45 3,90 6,28 9,82 15,34 25,13 39,27 47,52 61,36 9 2,18 3,46 5,59 8,73 13,64 22,34 34,91 42,24 54, ,96 3,12 5,03 7,85 12,27 20,11 31,42 38,01 49, ,78 2,83 4,57 7,14 11,16 18,28 28,56 34,56 44, ,64 2,60 4,19 6,54 10,23 16,76 26,18 31,68 40, ,51 2,40 3,87 6,04 9,44 15,47 24,17 29,24 37, ,40 2,23 3,59 5,61 8,77 14,36 22,44 27,15 35, ,31 2,08 3,35 5,24 8,18 13,40 20,94 25,34 32, ,23 1,95 3,14 4,91 7,67 12,57 19,63 23,76 30, ,15 1,83 2,96 4,62 7,22 11,83 18,48 22,36 28, ,09 1,73 2,79 4,36 6,82 11,17 17,45 21,12 27, ,03 1,64 2,65 4,13 6,46 10,58 16,53 20,01 25, ,98 1,56 2,51 3,93 6,14 10,05 15,71 19,01 24, ,93 1,48 2,39 3,74 5,84 9,57 14,96 18,10 23, ,89 1,42 2,28 3,57 5,58 9,14 14,28 17,28 22, ,85 1,36 2,19 3,41 5,34 8,74 13,66 16,53 21, ,82 1,30 2,09 3,27 5,11 8,38 13,09 15,84 20, ,79 1,25 2,01 3,14 4,91 8,04 12,57 15,21 19, ,76 1,20 1,93 3,02 4,72 7,73 12,08 14,62 18, ,73 1,15 1,86 2,91 4,55 7,45 11,64 14,08 18, ,70 1,11 1,80 2,80 4,38 7,18 11,22 13,58 17, ,68 1,07 1,73 2,71 4,23 6,93 10,83 13,11 16, ,65 1,04 1,68 2,62 4,09 6,70 10,47 12,67 16, ,63 1,01 1,62 2,53 3,96 6,49 10,13 12,26 15, ,61 0,97 1,57 2,45 3,83 6,28 9,82 11,88 15, ,59 0,94 1,52 2,38 3,72 6,09 9,52 11,52 14,87 T2 - Área da seção transversal de Q barras longitudinais por nervura de laje nervurada (cm 2 ) Q Diâmetro da barra (mm) - < h/8 5 6, , ,20 0,31 0,50 0,79 1,23 2,01 3,14 3,80 4,91 2 0,39 0,62 1,01 1,57 2,45 4,02 6,28 7,60 9,82 3 0,59 0,94 1,51 2,36 3,68 6,03 9,42 11,40 14,73 4 0,79 1,25 2,01 3,14 4,91 8,04 12,57 15,21 19,63 5 0,98 1,56 2,51 3,93 6,14 10,05 15,71 19,01 24,54 6 1,18 1,87 3,02 4,71 7,36 12,06 18,85 22,81 29,45 7 1,37 2,18 3,52 5,50 8,59 14,07 21,99 26,61 34,36 8 1,57 2,49 4,02 6,28 9,82 16,08 25,13 30,41 39,27 9 1,77 2,81 4,52 7,07 11,04 18,10 28,27 34,21 44, ,96 3,12 5,03 7,85 12,27 20,11 31,42 38,01 49,09 Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 311

23 PILAR - DISTRIBUIÇÂO DA ARMADURA LONGITUDINAL NA SEÇÃO Área da seção transversal de Q barras longitudinais (cm 2 ) Q Diâmetro da barra (mm) 10 12, ,785 1,227 2,011 3,142 3,801 4, ,57 2,45 4,02 6,28 7,60 9,82 3 2,36 3,68 6,03 9,42 11,40 14,73 4 3,14 4,91 8,04 12,57 15,21 19,63 5 3,93 6,14 10,05 15,71 19,01 24,54 6 4,71 7,36 12,06 18,85 22,81 29,45 7 5,50 8,59 14,07 21,99 26,61 34,36 8 6,28 9,82 16,08 25,13 30,41 39,27 9 7,07 11,04 18,10 28,27 34,21 44, ,85 12,27 20,11 31,42 38,01 49, ,64 13,50 22,12 34,56 41,81 54, ,42 14,73 24,13 37,70 45,62 58, ,21 15,95 26,14 40,84 49,42 63, ,00 17,18 28,15 43,98 53,22 68, ,78 18,41 30,16 47,12 57,02 73, ,57 19,63 32,17 50,27 60,82 78, ,35 20,86 34,18 53,41 64,62 83, ,14 22,09 36,19 56,55 68,42 88, ,92 23,32 38,20 59,69 72,23 93, ,71 24,54 40,21 62,83 76,03 98, ,49 25,77 42,22 65,97 79,83 103, ,28 27,00 44,23 69,12 83,63 107, ,06 28,23 46,24 72,26 87,43 112, ,85 29,45 48,25 75,40 91,23 117, ,63 30,68 50,27 78,54 95,03 122, ,42 31,91 52,28 81,68 98,83 127, ,21 33,13 54,29 84,82 102,64 132, ,99 34,36 56,30 87,96 106,44 137, ,78 35,59 58,31 91,11 110,24 142, ,56 36,82 60,32 94,25 114,04 147, ,35 38,04 62,33 97,39 117,84 152, ,13 39,27 64,34 100,53 121,64 157, ,92 40,50 66,35 103,67 125,44 161, ,70 41,72 68,36 106,81 129,25 166, ,49 42,95 70,37 109,96 133,05 171, ,27 44,18 72,38 113,10 136,85 176, ,06 45,41 74,39 116,24 140,65 181, ,85 46,63 76,40 119,38 144,45 186, ,63 47,86 78,41 122,52 148,25 191, ,42 49,09 80,42 125,66 152,05 196, ,20 50,31 82,44 128,81 155,85 201, ,99 51,54 84,45 131,95 159,66 206, ,77 52,77 86,46 135,09 163,46 211, ,56 54,00 88,47 138,23 167,26 215, ,34 55,22 90,48 141,37 171,06 220, ,13 56,45 92,49 144,51 174,86 225, ,91 57,68 94,50 147,65 178,66 230, ,70 58,90 96,51 150,80 182,46 235, ,48 60,13 98,52 153,94 186,27 240, ,27 61,36 100,53 157,08 190,07 245, ,06 62,59 102,54 160,22 193,87 250, ,84 63,81 104,55 163,36 197,67 255, ,63 65,04 106,56 166,50 201,47 260, ,41 66,27 108,57 169,65 205,27 265, ,20 67,50 110,58 172,79 209,07 269, ,98 68,72 112,59 175,93 212,87 274, ,77 69,95 114,61 179,07 216,68 279, ,55 71,18 116,62 182,21 220,48 284, ,34 72,40 118,63 185,35 224,28 289, ,12 73,63 120,64 188,50 228,08 294, ,91 74,86 122,65 191,64 231,88 299, ,69 76,09 124,66 194,78 235,68 304, ,48 77,31 126,67 197,92 239,48 309, ,27 78,54 128,68 201,06 243,28 314,16 [MUSSO] Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 312

24 Fernando Musso Junior Estruturas de Concreto Armado 313