Torção em Vigas de Concreto Armado

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1 Torção em Vigas de Concreto Armado Prof. Henrique Innecco Longo T Sd Departamento de Estruturas Escola Politécnica da Universidade Federal do Rio de Janeiro 2017

2 Torção em Vigas de Concreto Armado prof. Henrique I. Longo 1 TORÇÃO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO Prof. Henrique Innecco Longo longohenrique@gmail.com 1. Vigas submetidas à torção A torção geralmente ocorre quando o carregamento na viga provoca uma rotação em seu eixo longitudinal. Nas figuras 1 a 3 estão mostrados alguns casos de vigas submetidas à torção. Pode-se notar nestes exemplos que as vigas devem estar sempre engastadas nos apoios para que possam resistir ao momento de torção Fig. 1 Viga submetida a um momento de torção constante Fig. 2 Viga curva submetida a uma torção

3 Torção em Vigas de Concreto Armado prof. Henrique I. Longo 2 Fig. 3 Viga submetida a uma torção proveniente de uma laje em balanço 2. Sistemas estruturais para resistir à torção Se uma viga estiver submetida à torção, os apoios devem ser engastados à torção ou então a viga deve estar ligada aos pilares para garantir a estabilidade desse elemento estrutural, impedindo a rotação da viga nos apoios. A figura 4 mostra uma viga biengastada e um pórtico submetidos a uma torção uniforme. m T m T Fig. 4 - Viga biengastada e pórtico submetido a uma torção uniforme

4 Torção em Vigas de Concreto Armado prof. Henrique I. Longo 3 Se a viga for pré-moldada, é possível projetar um pilar com apoio do tipo garfo (fig.5). A viga é encaixada no pilar e é impedida de rodar mas pode girar no sentido da flexão, formando um engaste apenas à torção. VIGA PILAR Fig. 5 Apoio de viga com engaste apenas à torção 3. Diagramas de torção Os diagramas de momentos de torção para uma torção uniforme e para um momento de torção aplicado em uma viga biengastada estão mostrados nas figuras 6 e 7, sendo l o vão da viga. m T T MAX = m T l / 2 l Fig. 6 - Diagrama de momento de torção para uma torção uniforme em uma viga biengastada T A = M T b / l M T T B = M T a / l a b Fig.7- Diagrama de momento de torção para uma torção aplicada em uma viga biengastada

5 Torção em Vigas de Concreto Armado prof. Henrique I. Longo 4 4. Tipos de torção A torção provoca o empenamento da seção transversal devido aos alongamentos diferenciados das fibras longitudinais. De acordo com LEONHARDT (1979), nas estruturas usuais é comum o impedimento ao empenamento, o que na maioria dos casos é levado em conta através de uma armadura construtiva. Torção pura é uma torção em que atua apenas o momento de torção T, sem atuação do esforço cortante V, do momento fletor M e do esforço normal N. É um caso que raramente acontece na prática, mas é considerado quando se leva em conta a torção acompanhada de outro esforço. Torção composta é o caso que acontece na prática. É uma torção com flexão e força cortante Torção de St. Venant é uma torção pura em que o empenamento não é impedido. No projeto das estruturas, podem aparecer dois tipos de torção: Torção de equilíbrio indispensável ao equilíbrio do sistema. É o caso de uma viga que suporta isoladamente uma marquise (fig.3) Torção de compatibilidade a viga e a laje se torcem para compatibilizar as deformações. É o caso de uma viga de bordo de um piso. Após a fissuração da viga, ocorre uma redistribuição das forças internas. 5. Tensões de torção no regime elástico A tensão máxima de torção τ T no regime elástico é dada pela seguinte tensão tangencial: τ T = T / W T T momento de torção W T módulo de resistência à torção Na figura 8 está mostrada distribuição das tensões de torção em uma seção circular. T τ TMAX Fig. 8 Distribuição de tensões de torção em uma seção circular

6 Torção em Vigas de Concreto Armado prof. Henrique I. Longo 5 Considerando a torção de St. Venant (torção pura com empenamento livre), a tensão τ T é igual à tensão principal (σ X = σ Y = 0): τ T = σ 1 = - σ 2 (fig.9), sendo a direção σ 1 igual a 45 o. T σ 2 T σ 1 Fig. 9 Tensões principais na torção pura em uma barra cilíndrica Para seções vazadas, a tensão de torção τ T é dada pela fórmula de BREDT : T τ T = A e. e e - espessura da parede da seção vazada A e. área da linha média da seção vazada A figura 10 mostra o fluxo de tensões de torção em uma seção transversal vazada submetida a um momento de torção T. τ T linha média T e Fig. 10 Fluxo de tensões de torção na seção retangular vazada

7 Torção em Vigas de Concreto Armado prof. Henrique I. Longo 6 6. Modelo de treliça espacial para a torção Conforme mostrado por LEONHARDT (1979), ensaios realizados em vigas submetidas à torção revelaram que, após o aparecimento de fissuras de torção que se desenvolvem em forma de hélice com 135 o de inclinação, somente uma casca delgada de concreto junto à face externa colabora na resistência. Os resultados de ensaios comprovaram que as seções transversais cheias podem ser calculadas como se fossem vazadas. Dessa maneira, o modelo resistente de uma viga submetido à torção uniforme pode ser formado por uma treliça espacial. Essa treliça é definida a partir de um elemento estrutural de seção vazada equivalente. De acordo com a NBR-6118(2014), as diagonais de compressão dessa treliça, formada por elementos de concreto, têm inclinação que pode ser arbitrada no intervalo 30 o θ 45 º.. Na figura 11 está mostrado o modelo de treliça espacial submetida a um momento de torção solicitante de cálculo (T Sd ). Os tirantes longitudinais na treliça representam as armaduras longitudinais e os tirantes transversais são os estribos. As diagonais comprimidas estão indicadas por linha pontilhadas. T Sd Fig.11 - Modelo de treliça espacial para a torção 7. Resistência do elemento estrutural na torção pura De acordo com a NBR-6118 (2014), admite-se satisfeita a resistência do elemento estrutural, numa dada seção, submetida a um momento de torção solicitante de cálculo T Sd quando se verificarem simultaneamente as condições: T Sd T Rd,2 T Sd T Rd,3 T Sd T Rd,4 T Rd,2 T Rd,3 T Rd,4 limite dado pela resistência das diagonais comprimidas de concreto; limite definido pela parcela resistida pelos estribos normais ao eixo do elemento limite definido pela parcela resistida pelas barras longitudinais

8 Torção em Vigas de Concreto Armado prof. Henrique I. Longo 7 8. Geometria da seção resistente a) Seções poligonais convexas cheias De acordo com a NBR-6118 (2014), a seção vazada equivalente se define a partir da seção cheia com espessura da parede equivalente h e dada por: h e A/u h e 2 c 1 se A/u < 2 c 1 então h e = A/u b w - c 1 h e - espessura da parede equivalente A - área da seção cheia u - perímetro da seção cheia c 1 - distância entre o eixo da armadura longitudinal do canto e a face lateral do elemento estrutural. Na fig.12, está mostrada a seção vazada equivalente de uma seção retangular maciça. h e Fig Seção vazada equivalente de uma seção retangular maciça b) Seção composta de retângulos Pela NBR-6118(2014), o momento de torção total deve ser distribuído entre os retângulos conforme sua rigidez elástica linear. Cada retângulo deve ser verificado isoladamente com a seção equivalente, como definida no item anterior. Deste modo, o momento de torção que cabe ao retângulo i (T Sdi ) é dado por: T Sdi = T Sd Σ 3 i b i 3 ai b i a c 1 T Sdi a i b i parcela de T Sd a ser resistida por cada retângulo constituinte da seção composta por retângulos lados menores dos retângulos lados maiores dos retângulos Na figura 13, pode-se observar a distribuição das parcelas dos momentos de torção em uma viga de seção em forma de T.

9 Torção em Vigas de Concreto Armado prof. Henrique I. Longo 8 T Sd1 T Sd2 c) Seções vazadas Fig. 13 Distribuição dos momentos de torção em uma seção em forma de T Nas seções vazadas, a NBR-6118 (2014), recomenda que deve ser considerada a menor espessura de parede entre os seguintes valores: a espessura real da parede a espessura equivalente calculada supondo a seção cheia de mesmo contorno externo da seção vazada. 9. Verificação da compressão diagonal do concreto A resistência decorrente das diagonais comprimidas de concreto é dada na NBR-6118 (2014): T Rd2 = 0,50 α v2 f cd A e h e sen 2θ α v2 = 1- f ck / 250 (f ck em MPa) θ A e h e ângulo de inclinação das diagonais de concreto, arbitrado no intervalo 30 o θ 45 o área limitada pela linha média da parede da seção vazada, real ou equivalente, incluindo a parte vazada espessura equivalente da parede da seção vazada, real ou equivalente, no ponto considerado. Desafio a) Verifique se a seção transversal de uma viga com seção retangular 30cm x 60cm resiste a um momento de torção igual a 50 knm c 1 = 4cm concreto C30 b) O que deve ser feito se o momento de torção de cálculo for maior do que a parcela da torção T Rd2 resistida pelo concreto?

10 Torção em Vigas de Concreto Armado prof. Henrique I. Longo Solicitações combinadas a) Flexão e torção Pela NBR-6118 (2014), nos elementos estruturais submetidos a torção e a flexão simples ou composta, as verificações podem ser efetuadas separadamente para a torção e para as solicitações normais, devendo ser atendidas complementarmente as prescrições seguintes: Armadura longitudinal Na zona tracionada pela flexão, a armadura de torção deve ser acrescentada à armadura necessária para solicitações normais, considerando-se em cada seção os esforços que agem concomitantemente. No banzo comprimido pela flexão, a armadura longitudinal de torção pode ser reduzida em função dos esforços de compressão que atuam na espessura efetiva h e no trecho de comprimento u correspondente à barra ou feixe de barras consideradas. Verificação do concreto Nas seções em que a torção atua simultaneamente com solicitações normais intensas, que reduzem excessivamente a profundidade da linha neutra, particularmente em vigas de seção celular, o valor de cálculo da tensão principal de compressão não deve superar os valores das resistências de cálculo das bielas fcd 1, fcd 2 e fcd 3 da NBR-6118(2014), item Esta tensão principal deve ser calculada como em um estado plano de tensões, a partir da tensão normal média que age no banzo comprimido de flexão e da tensão tangencial de torção calculada por: T Sd τ Td = A e. h e b) Torção e força cortante Armadura transversal - A armadura transversal pode ser calculada pela soma das armaduras calculadas separadamente para V Sd e T Sd Verificação do concreto - De acordo com a NBR-6118 (2014), na combinação de torção com força cortante, o projeto deve prever ângulos de inclinação das bielas de concreto θ coincidentes para os dois esforços. Quando for utilizado o modelo I para a força cortante, esse deve ser o valor considerado também para a torção. Esse modelo I admite diagonais de compressão inclinadas de θ = 45 em relação ao eixo longitudinal do elemento. A resistência à compressão diagonal do concreto deve ser satisfeita atendendo à expressão: T Sd V Sd T Rd2 V Rd2 M sd V sd T sd V Sd e T Sd - esforços de cálculo que agem concomitantemente na seção. V Rd2 = 0,27 α v2 f cd b w d T Rd2 = 0,50 α v2 f cd A e h e sen 2θ

11 Torção em Vigas de Concreto Armado prof. Henrique I. Longo Armadura de torção De acordo com LEONHARDT (1979), como os esforços de tração se desenvolvem em forma de hélices inclinadas de 45 o, a armadura mais favorável seria constituída de barras em hélice, inclinadas de 45 o em relação ao eixo da barra. No entanto, como essa armadura é de difícil execução, adota-se em vigas de seção cheia uma malha ortogonal composta de barras longitudinais e estribos verticais. A armadura em hélice seria possível em seções circulares com torção em um só sentido de rotação, tomando cuidado em colocar a armadura na direção correta da tração. Assim sendo, a armadura destinada a resistir aos esforços de tração oriundos da torção deve ser constituída por estribos verticais normais ao eixo do elemento estrutural e barras longitudinais distribuídas ao longo do perímetro da seção resistente. O dimensionamento da armadura de torção é feito considerando-se que o concreto não absorve a tração e o aço vai absorver os esforços de tração. A figura 14 mostra um corte transversal no modelo da treliça espacial de uma viga retangular submetida a um momento de torção de cálculo T sd. Nesta figura 14 podemos destacar as seguintes forças: C d F d força de cálculo nas bielas comprimidas força de cálculo nas armaduras longitudinais b 1 a 1 F d θ C d Tsd a 1. cotgθ Fig. 14 Forças nas bielas e nos tirantes da treliça espacial Tensão de torção no Estado Limite Último A tensão de torção no Estado Limite Último, pode ser escrita em função do momento de torção solicitante de cálculo pela fórmula de Bredt: T Sd τ Td = (1) 2. A e. h e

12 Torção em Vigas de Concreto Armado prof. Henrique I. Longo 11 Componentes da força de compressão nas bielas A força de compressão C d nas bielas (por metro) pode ser decomposta em uma força vertical F wd e uma força horizontal F d, conforme mostrado na figura 15. Estas componentes devem ser absorvidas pelas armaduras longitudinais e pelos estribos da viga. b 1 a 1 C d T sd F wd = τ Td h e C d θ F d = τ Td. h e cotg θ θ a 1 cotg θ Fig. 15 Componentes da força de compressão nas bielas Estribos verticais A força F wd no ramo vertical dos estribos deve ser igual à soma das componentes verticais das forças nas bielas ao longo do comprimento a 1 deste ramo vertical (fig.15): F wd n = τ Td. h e. a 1 (2) n = a 1 cotg θ / s número de estribos no trecho a 1 cotg θ (fig.14) s - espaçamento dos estribos Substituindo o valor de n e de τ Td : F wd Tsd = tg θ s 2. A e A área das armaduras para um ramo do estribo e fazendo θ=45 0 será: A 90 Tsd = s 2 A e. f ywd (3) sendo f ywd 435 MPa a tensão de escoamento do aço da armadura longitudinal

13 Torção em Vigas de Concreto Armado prof. Henrique I. Longo 12 Armadura longitudinal A força longitudinal F d nas armaduras longitudinais deve ser igual à soma das componentes horizontais das forças nas bielas ao longo do perímetro u e da parede equivalente de concreto (fig.15): F d = (τ Td h e cotg θ) u e u e perímetro da linha média de área A e Substituindo o valor da tensão τ Td da equação (1): Tsd F d = cotg θ. u e 2. A e Considerando a inclinação da biela θ=45 o, a soma das áreas das barras longitudinais A Sl será então: Tsd A Sl = u e 2. A e. f yd (4) sendo f yd 435 MPa a tensão de escoamento do aço da armadura longitudinal 12. Taxa de armadura mínima na torção uniforme De acordo com a NBR-6118(2014), a taxa geométrica mínima na torção vale: A sl ctm ρ sl = 0, 2 heue fyk Asw f ρsw =. 0,2 b s f w f ctm ywk sendo ctm 2 3 ck f = 0, 3 f / (MPa) Desafio Determine as armaduras longitudinais e os estribos e as respectivas armaduras mínimas para a seção transversal da viga (30cmx60cm) do desafio anterior.

14 Torção em Vigas de Concreto Armado prof. Henrique I. Longo Detalhamento das armaduras de torção Pela NBR-6118 (2014), a armadura destinada a resistir aos esforços de tração provocados por torção deve ser constituída por estribos normais ao eixo da viga, combinados com barras longitudinais paralelas ao mesmo eixo. Consideram-se efetivos na resistência os ramos dos estribos e as armaduras longitudinais contidos no interior da parede fictícia da seção vazada equivalente. a) Estribos Os estribos para torção devem ser fechados em todo o seu contorno, envolvendo as barras das armaduras longitudinais de tração, e com as extremidades adequadamente ancoradas por meio de ganchos em ângulo de 45º (fig.16). Fig. 16 Estribos fechados traspassados com ganchos em ângulos de 45º para torção Devem ser consideradas as mesmas recomendações da NBR-6118 (2014) dadas para os estribos para resistir ao esforço cortante Diâmetro do estribo φ t 5 mm φ t 1/10 da largura da alma da viga φ t 12 mm se a barra for lisa φ t 4,2 mm no caso de estribos formados por telas soldadas (desde que sejam tomadas precauções contra a corrosão dessa armadura) Espaçamento entre estribos O espaçamento mínimo entre estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural, deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador, garantindo um bom adensamento da massa. O espaçamento máximo deve atender às seguintes condições: se V d 0,67 V Rd2 se V d > 0,67 V Rd2 então s máx = 0,6 d 30 cm então s máx = 0,3 d 20 cm O espaçamento transversal entre ramos sucessivos da armadura constituída por estribos não deve exceder os seguintes valores: se V d 0,20 V Rd2 se V d > 0,20 V Rd2 então s t,máx = d 80 cm então s t,máx = 0,6d 35 cm

15 Torção em Vigas de Concreto Armado prof. Henrique I. Longo 14 No caso de torção elevada, LEONHARDT (1979) recomenda que espaçamento entre estribos deve ser pequeno ou então é preciso colocar barras de canto grossas e rígidas para evitar que o canto da seção se rompa prematuramente devido à força provocada pela mudança de direção das bielas comprimidas. Em vigas com seção transversal em forma de T, L ou I, os estribos devem envolver todo o perímetro e proteger os vértices de ângulos reentrantes. Quando uma laje estiver engastada em uma viga e estiver transmitindo torção para esta viga (fig.17), os estribos devem ser prolongadas na laje Fig. 17 Estribos em uma viga com uma laje transmitindo torção b) Armadura Longitudinal Pela NBR-6118 (2014), as barras longitudinais da armadura de torção podem ter arranjo distribuído ou concentrado ao longo do perímetro interno dos estribos, espaçadas no máximo de 35 cm (fig.18). No entanto, LEONHARDT (1979) sugere que a armadura longitudinal de torção deve ser distribuída no perímetro da seção transversal com um pequeno espaçamento das barras (10 a 20 cm) para evitar abertura de fissuras. Portanto, podemos adotar: e = 10 a 20 cm Na figura18, podemos observar as barras longitudinais de torção distribuídas ao longo do contorno e as barras de flexão (no caso com tração nas fibras inferiores) distribuídas na parte de baixo da viga. e Armadura de Torção Armadura de Flexão Fig. 18 Armadura de torção distribuída no contorno e de flexão na parte inferior da viga

16 Torção em Vigas de Concreto Armado prof. Henrique I. Longo 15 Para evitar o rompimento dos cantos, a norma NBR-6118 (2014) recomenda que em cada vértice dos estribos de torção nas seções poligonais deve ser colocada pelo menos uma barra longitudinal. Na região em que o momento de torção é transmitido à viga, as barras longitudinais devem ser bem ancoradas, conforme sugerido por LEONHARDT (2003) e, quando houver impedimento ao empenamento, devem ser reforçadas com barras adicionais (comprimento cerca de 2h) para interceptar todas as bielas de compressão. Na figura 19, estão mostradas as armaduras de torção ancoradas no pilar. Quando não houver espaço para a ancoragem, as barras devem ser ancoradas horizontalmente, conforme figura 20. l b Fig.19 Armaduras de torção ancoradas no pilar A A 1 Corte AA 1 1 Fig.20 Armaduras de torção ancoradas horizontalmente no pilar

17 Torção em Vigas de Concreto Armado prof. Henrique I. Longo Exemplo numérico A viga (30x60) da figura está submetida a um carregamento distribuído e a um momento de torção uniforme e está engastada apenas à torção. Verifique o concreto e calcule as armaduras desta viga Aço CA-50 e concreto f ck = 25 MPa. 40 kn/m m T = 16 knm/m 5 m Fig. 21 Viga engastada apenas à torção Esforços máximos na viga - Momento fletor máximo na viga, supondo com apoios simples Mmax(+) = 40 x 5 2 / 8 = 125 knm - Esforço cortante máximo na viga, supondo com apoios simples Vmax = 40 x 5 / 2 = 100 kn - Momento de torção máximo na viga, supondo engaste à torção (fig. 22) Tmax = 16 x 5 /2 = 40 knm T = 40 knm m T Fig. 22 Diagrama de torção da viga engastada apenas à torção Verificação do esmagamento do concreto devido à força cortante - Força cortante resistente de cálculo V Rd2 = 0,27 α v2 f cd b w d α v2 = (1 - f ck / 250) = 1 25 / 250 = 0,9 V Rd2 = 0,27. 0,9. (25.000/1,4) 0,3.0,55 = 716 kn

18 Torção em Vigas de Concreto Armado prof. Henrique I. Longo 17 - Força cortante de cálculo V Sd = 1,4 x 100 = 140 kn Como V Rd2 > V Sd não haverá esmagamento do concreto devido à força cortante Verificação da compressão na diagonal do concreto devido à torção - Espessura da parede equivalente será (c 1 = 4cm): h e A/u = / 2 (30+60) = 10 cm h e 2 c 1 = 2 x 4 = 8cm h e (adotada)= 8cm - Resistência das diagonais comprimidas de concreto T Rd2 = 0,50 α v2 f cd A e h e sen 2θ α v2 = 1- f ck / 250 = 1 25 / 250 = 0,9 A área e o perímetro da linha média dessa seção vazada equivalente valem: A e = = 1144 cm 2 u e = 2 (22 +52) = 148 cm Considerando a diagonal comprimida com um ângulo θ = 45 o : T Rd2 = 0,50. 0,9. (25.000/1,4). 0, ,08 T Rd2 = 74 knm Momento de torção solicitante de cálculo correspondente vale: T Sd = 1,4. 40 = 56 knm < T Rd2 Como T Rd2 > T Sd não haverá ruptura do concreto por torção. Verificação do momento de torção combinado com a força cortante T Sd V Sd = T Rd2 V Rd = 0,76 + 0,19 = 0,95 < 1 relação satisfeita O que deve ser feito se esta relação não for satisfeita?

19 Torção em Vigas de Concreto Armado prof. Henrique I. Longo 18 Armadura longitudinal total para o momento de fletor máximo Considerando o Mmax(+) = 125 knm k md = 0,108 donde k z = 0,93 A s = 7,9 cm 2 (4 Ф16) Armadura longitudinal total para o momento de torção máximo Tsd A sl = u e 2. A e. f yd Considerando θ = 45 o, temos: 56 A sl = ,48 = 8,3 cm 2 (12 φ 10) 2. 0, /1,15 A figura 23 mostra a armadura longitudinal da viga, considerada constante ao longo de todo o seu comprimento. A B A B CORTE AA CORTE BB Armadura de Torção Armadura de Flexão Fig. 23 Detalhe das armaduras da viga

20 Torção em Vigas de Concreto Armado prof. Henrique I. Longo 19 Estribos para o cortante máximo - Resistência à tração do concreto f ctd = 0,15 f ck 2/3 = 0, /3 = 1,282 MPa - Parcela do esforço cortante resistido pelo concreto V c = 0,6 f ctd b w d = 0, ,3. 0,55 = 127 kn Considerando o Vmax = 100 kn V Sd - V c 1, A sw /s = = ,9 d f ywd 0,9. 0,55. 50/1,15 A sw /s = 0,6 cm 2 /m - Armadura mínima para os estribos ρ wmiin = 0,2 f f ctm ywk ρ wmin = 0,2 x 2,565 /500 = 0,10 % A swmin = b w s ρ wmin = 30 x 100 x 0,10 % = 3,0 cm 2 /m 1 ramo de estribo = 3,0 / 2 = 1,5 cm 2 /m Área de um estribo devido à torção A 90 Tsd = tg θ s 2. A e. f ywd 56 A 90 = ,0 = 4,5 cm 2 /m 2. 0, /1,15 Área de um estribo total devido ao cortante à torção (A sw / s) / 2 + A 90 = 1,5 + 4,5 (A sw /s) / 2 + A 90 = 6,0 cm 2 /m Estribos φ 10 c 12,5

21 Torção em Vigas de Concreto Armado prof. Henrique I. Longo 20 Projeto de um abrigo de ônibus Projete o abrigo de ônibus, considerando a viga ligada aos pilares P1 e P2 formando um pórtico. a) Calcule as armaduras da laje b) Verifique o concreto e calcule as armaduras longitudinais e os estribos deste pórtico. c) Desenhe um detalhe das armaduras da laje e do pórtico viga V1 (40x60) sobrecarga na laje = 1,0 kn/m 2 Concreto C30 aço CA-50 laje = 10cm altura dos pilares = 4m P1 CORTE AA L1 V1 6 m V1 L1 A A P2 3 m Fig.24 Estrutura de um abrigo para parada de ônibus Referencias bibliográficas ABNT - NBR 6118 Projeto de Estruturas de Concreto Procedimento, IBRACON - Comentários Técnicos e Exemplos de Aplicação da NB1, 2006 LEONHARDT F. e MÖNNIG E., Construções de Concreto, vols. 1 e 3, 1979, Ed. Interciência SÜSSEKIND, J.C. Curso de Concreto, vol.2, Ed. Globo, 1984.