ESTRUTURAS DE CONCRETO I

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1 Unisalesiano Centro Universitário Católico Salesiano Auilium Curso de Engenharia Civil ESTRUTURAS DE CONCRETO I Lajes Retangulares Maciças Prof. André L. Gamino

2 Definição Os elementos estruturais planos (com duas dimensões predominantes, isto é, bidimensionais) sujeitos a cargas transversais a seu plano são chamados genericamente de placas. As placas de concreto armado são denominadas de lajes. Normalmente, elas tem forma retangular e são maciças, resultando daí a denominação laje retangular maciça. Os apoios das lajes são, geralmente, constituídos pelas vigas do piso. Nestes casos, o cálculo das lajes é feito, de maneira simplificada, como se elas fossem isoladas das vigas, com apoios (charneiras) livres à rotação e indeslocáveis à translação, considerando-se, contudo, a continuidade entre lajes contíguas. No detalhamento das armaduras são tomados cuidados especiais para cobrir o monolitismo eistente nas ligações entre a laje e as suas vigas de apoio.

3 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Classificação 1. lajes armadas em uma direção: P1 V1 A P l B flecha a B V l 1 l l 3 P A P4 l y Fig Laje isolada armada em uma direção Fig Laje contínua armada em uma direção

4 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Continuação 1. lajes armadas em uma direção: C l D flecha a D C l y l Fig Laje muito alongada

5 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Continuação. lajes armadas em duas direções: C l D flecha a D C l y l Fig..1 - Laje armada em duas direções ou em cruz

6 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Lajes armadas em uma Direção 1. Esforços Solicitantes Laje isolada p m = p l / 8 l m y = m v m m v = p l /

7 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Lajes armadas em uma Direção. Esforços Solicitantes Laje em balanço p P m m l m = p l / pl m Pl v = p l + P v pl P v v

8 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Lajes armadas em uma Direção 3. Esforços Solicitantes Lajes contínuas p 1 p l 1 m l A faia de largura unitária da laje corresponde a uma viga contínua. m m v

9 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Lajes armadas em uma Direção 1. Dimensionamento Conforme a figura, tem-se: d d d y 100 cm A sy A s y h d y onde d = h - c - / d y = h - c - - y / c = cobrimento mínimo da armadura em lajes, fiado em 0,5 cm nas lajes protegidas com argamassa de espessura mínima de 1 cm (NBR- 6118) = diâmetro da armadura A s correspondente a m y = diâmetro da armadura A sy correspondente a m y. c Nas lajes maciças revestidas, usuais em edifícios (comercial e residencial), pode-se adotar aproimadamente: d h - c - 0,5 cm d y h - c - 1 cm

10 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Lajes armadas em uma Direção m d = g f m = 1,4 m b = 100 cm 0,85f cd h d 0,8 R cd m d R sd 0,68 b f cd (d - 0,4 ) = m d Resulta: A s m d f ( d 0, 4) yd md 1, 5d , bd f cd

11 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Lajes armadas em uma Direção Costuma-se impor a armadura mínima usual de fleão para o momento fletor principal m : 0,67.0,15% de acordo com a tabela 17.3 da NBR 6118/007 onde A A s s (em unidades: cm e cm). bh 100h Nos apoios de engastamento ou de continuidade de lajes (m ) deve-se verificar, também, a taa mínima que é igual a 0,15%. Para o momento fletor secundário m y recomenda-se adotar A sy 0, A s ou y 0,5 min com o mínimo de 0,9 cm / m, onde

12 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Armadura Elementos estruturais sem armaduras ativas Elementos estruturais com armadura ativa aderente Elementos estruturais com armadura ativa não aderente Armaduras negativas s min s min p 0,67 min s min - 0,5 p 0,67 min (ver da NBR 6118) Armaduras positivas de lajes armadas nas duas direções Armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção Armadura positiva (secundária) de lajes armadas em uma direção s 0,67 min s 0,67 min p 0,5 min s min - 0,5 p 0,5 min s min s min p 0,5 min s min - 0,5 p 0,5 min As/s 0 % da armadura principal As/s 0,9 cm /m s 0,5 min Onde: s A s /b w h e p A p /b w h NOTA - Os valores de min constam da tabela 17.3 da NBR 6118/007 -

13 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Forma da seção Valores de min 1) (A s,min /A c ) % f ck min Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,01 0,30 0,59 0,88 1) Os valores de min estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, g c = 1,4 e g s = 1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, min deve ser recalculado com base no valor de mín dado. NOTA - Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante.

14 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Lajes armadas em uma Direção Escolha das barras 100 cm h s s Bitolas comerciais mm) A s1 (cm ) m 1 (kg/m) 4 0,15 0,1 5 0, 0,16 6,3 0,315 0,5 8 0,5 0,4 10 0,8 0,63 1,5 1,5 1,0 = diâmetro nominal da barra em mm A s1 = área da seção transversal de uma barra em cm m 1 = massa de uma barra por metro linear em kg/m

15 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Lajes armadas em uma Direção A escolha da bitola espaçamento ( s) é feita para as bitolas comerciais com as seguintes recomendações: min = 4 mm ma = h/10 s min = 8 cm s s ma = 0 cm Para as bitolas, adota-se um mínimo de 4 mm e um máimo correspondente a um décimo da espessura da laje. O espaçamento mínimo de 8 cm tem por finalidade facilitar a concretagem da laje e, o espaçamento máimo, visa garantir a uniformidade de comportamento admitida nos cálculos.

16 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Lajes armadas em uma Direção Detalhamento das armaduras As armaduras obtidas para os momentos de vão são estendidas de apoio a apoio da laje; As armaduras resistentes calculadas junto aos apoios internos da laje são estendidas de modo à cobrir o diagrama de momento fletor negativo; uma etensão de l /4 para cada lado do apoio é, normalmente, suficiente para essa finalidade; Nas bordas da laje costuma-se posicionar uma armadura (A s,borda ) com etensão l /5, visando controlar uma fissuração proveniente do engastamento parcial da laje nestas vigas. Pode-se considerar min =0,15%

17 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Lajes armadas em uma Direção Verificação ao Cisalhamento V Sd V Rd1 A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por: onde: Rd = 0,5 f ctd V Rd1 = [ Rd k (1, ) + 0,15 cp ] b w d f ctd = f ctk,inf / g c 1 = A s1 /b w.d, não maior que 0,0 cp = N Sd / A c

18 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Lajes armadas em uma Direção Verificação ao Cisalhamento k é um coeficiente que tem os seguintes valores: - para elementos onde 50 % da armadura inferior não chega até o apoio: k = 1; - para os demais casos: k = 1,6 d, não menor que 1, com d em metros; onde: f ctk,,inf = 0,7 f ct,m f ct,m = 0,3 f ck /3 A s1 é a área da armadura de tração que se estende até não menos que d + l b,nec além da seção considerada; b w é a largura mínima da seção ao longo da altura útil d; N Sd é a força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento (compressão positiva).

19 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Lajes armadas em uma Direção Verificação ao Cisalhamento O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por: As, calc b, nec a1 b b,min onde: As, ef a 1 = 1,0 para barras sem gancho; a 1 = 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao do gancho 3 ;

20 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Lajes armadas em uma Direção Verificação ao Cisalhamento b b,min é calculado por: b 4 f yd bd Onde: f bd = h 1 h h 3 f ctd f é o maior valor entre 0,3 b, 10 e 100 mm. h 1 = 1,0 para barras lisas; h 1 = 1,4 para barras; h 1 =,5 para barras nervuradas; h = 1,0 para situações de boa aderência; h = 0,7 para situações de má aderência; h 3 = 1,0 para < 3 mm; h 3 = (13 - )/100, para > 3 mm; onde: é o diâmetro da barra, em milímetros.

21 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Lajes armadas em uma Direção Verificação ao Cisalhamento Consideram-se em boa situação quanto à aderência os trechos das barras que estejam em uma das posições seguintes: a) com inclinação maior que 45 sobre a horizontal; b) horizontais ou com inclinação menor que 45 sobre a horizontal, desde que: para elementos estruturais com h < 60 cm, localizados no máimo 30 cm acima da face inferior do elemento ou da junta de concretagem mais próima; para elementos estruturais com h 60 cm, localizados no mínimo 30 cm abaio da face superior do elemento ou da junta de concretagem mais próima. Os trechos das barras em outras posições e quando do uso de formas deslizantes devem ser considerados em má situação quanto à aderência.

22 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Lajes armadas em uma Direção Ganchos das armaduras de tração Os ganchos das etremidades das barras da armadura longitudinal de tração podem ser: a) semicirculares, com ponta reta de comprimento não inferior a φ; b) em ângulo de 45 (interno), com ponta reta de comprimento não inferior a 4 φ; c) em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a 8 φ. R sd R sd R sd Semicircular Ângulo de 45 º Ângulo reto Nota: barras comprimidas não devem ter ganchos; feies e barras com φ > 3 mm não devem ter ganchos;

23 Lajes armadas em uma Direção Ganchos das armaduras de tração O diâmetro interno da curvatura dos ganchos (D) das armaduras longitudinais de tração deve ser pelo menos igual ao estabelecido na tabela abaio: Bitola (mm) Tipo de Aço CA - 5 CA - 50 CA - 60 < D

24 Eemplo e Detalhamento Dados: - Laje de escritórios de bancos - Considerar revestimento não argamassado (g = 1,0 kn/m ) - CAA I (para efeito de ELS-W) 4 m 4 m 4 m 4 m L1 L L3 m 3 =-11 kn.m/m m 1 m m 3 f ck = 5 MPa CA50 c l = 1,5 cm c v =,0 cm h = 10 cm (todas as lajes) g =,5 kn/m (concreto) q =,0 kn/m (ocupação) vigas de b w = 1 cm 11 kn.m/m 6,96 kn.m/m

25 Eemplo e Detalhamento Laje L1 Momento Fletor Principal: m = p l / 8 = 5,54 / 8 = 11,0 kn.m/m b = 100 cm ; d = d h - c - 0,5 = 10-1,5-0,5 = 8 cm m d = g f m = 1,411,0 = 15,4 kn.m/m = 1540 kn.cm/m m d ,5d 1 1 1, , 73 cm 0,45bd fcd 0,451008,5/1,4 A s f yd md ( d 0,4) ,48(8 0,41,73) 4,85cm / m A s > A smin =,min b h = 0, = 1,5 cm /m

26 Eemplo e Detalhamento Laje L1 bitola espaçamento min = 4 mm ma = h/10 = 10 mm s min = 8 cm s 0 cm (mm) A s1 (cm ) n = A s /A s1 s = 100/n (cm) 6,3 0,315 15,5 7 < s min 8 0,5 9, ,8 6,0 17

27 Eemplo e Detalhamento Laje L1 Momento Fletor Secundário: m y = m = 0,11,0 =, kn.m/m b = 100 cm ; d = d y h - c - 1,0 = 10-1,5-1,0 = 7,5 cm m d = g f m = 1,4, = 3,08 kn.m/m = 308 kn.cm/m 1,5d 1 A s 1,57,5 1 f yd md 1 0,45bd md ( d 0,4) f cd ,451007,5,5/1,4 0,34 cm A s > A smin = principal = 4,850, = 0,97 cm /m 308 0,96cm 43,48(7,5 0,4 0,34) As/s 0 % da armadura As/s 0,9 cm /m s 0,5 min / m

28 Eemplo e Detalhamento Laje L1 bitola espaçamento min = 4 mm ma = h/10 = 10 mm s min = 8 cm s 0 (mm) A s1 (cm ) n = A s /A s1 s = 100/n (cm) 4 0,15 7, , 4,85 0 6,3 0,315 3,0 3

29 Eemplo e Detalhamento Lajes L=L3 Momento Fletor Principal (m ): m = 6,96 kn.m/m b = 100 cm ; d = d h - c - 0,5 = 10-1,5-0,5 = 8 cm m d = g f m = 1,46,96 = 9,74 kn.m/m = 974 kn.cm/m m d 974 1,5d 1 1 1, , 06 cm 0,45bd fcd 0,451008,5/1,4 A s f yd md ( d 0,4) ,48(8 0,41,06),96cm / m A s > A smin =,min b h = 0, = 1,5 cm /m

30 Eemplo e Detalhamento Lajes L=L3 bitola espaçamento min = 4 mm ma = h/10 = 10 mm s min = 8 cm s 0 cm (mm) A s1 (cm ) n = A s /A s1 s = 100/n (cm) 6,3 0,315 9, ,5 5, ,8 3,7 7

31 Eemplo e Detalhamento Lajes L=L3 Momento Fletor Principal (m 3 ) no apoio interno: m = p l / 8 = 5,54 / 8 = 11,0 kn.m/m b = 100 cm ; d = d h - c - 0,5 = 10-1,5-0,5 = 8 cm m d = g f m = 1,411,0 = 15,4 kn.m/m = 1540 kn.cm/m m d ,5d 1 1 1, , 73 cm 0,45bd fcd 0,451008,5/1,4 A s f yd md ( d 0,4) ,48(8 0,41,73) 4,85cm / m A s > A smin =,min b h = 0, = 1,5 cm /m

32 Eemplo e Detalhamento Lajes L=L3 bitola espaçamento min = 4 mm ma = h/10 = 10 mm s min = 8 cm s 0 cm (mm) A s1 (cm ) n = A s /A s1 s = 100/n (cm) 6,3 0,315 15,5 7 < s min 8 0,5 9, ,8 6,0 17

33 Eemplo e Detalhamento Lajes L=L3 Momento Fletor Secundário (m y ): m y =. m = 0,. 6,96 kn.m/m = 1,39 kn.m/m b = 100 cm ; d = d y h - c 1,0 = 10-1,5 1,0 = 7,5 cm Pode-se adotar a mesma armadura obtida para a laje L1 (5c/0)

34 Eemplo e Detalhamento Verificação do Cisalhamento (Laje 1) onde: Rd = 0,5 f ctd = 0,3 MPa V Sd V Rd1 A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por: f ctd = f ctk,inf / g c = 1,8 MPa V Rd1 = [ Rd k (1, ) + 0,15 cp ] b w d f ctk,inf = 0,7.f ct,m = 0,7,565 = 1,795 MPa f ct,m = 0,3.f ck /3 = 0,3 5 /3 =,565 MPa 1 = A s /b w.d = 5 /100 8,0 = 0,65% (não maior que 0,0) k = 1,6 d [m] = 1,6 0,08 = 1,5

35 Eemplo e Detalhamento onde: A s = 5 cm (considerando toda a armadura) b w = 100 cm (largura mínima da seção ao longo da altura útil d); cp = N Sd / A c = 0 N Sd = 0 pois não eiste força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento. Assim, V Rd1 = [ Rd k (1, ) + 0,15 cp ] b w.d = [0,03 1,5(1, ,0065)+ 0]100 8 = V Rd1 = 56,4 kn/m V Sd = p. g f = 5,5 1,4 = 7,7 kn/m V Rd1 = 56,4 > 7,7 = V Sd Não há a necessidade de estribos!

36 Eemplo e Detalhamento Verificação da Flecha (Laje 1) Cálculo do Momento de Fissuração M r = (a.f ct,m. I c )/y t = (1, , ) / 0,05 = 6,4 kn.m a = 1,5 para seção retangular; f ct,m já calculado anteriormente para o cisalhamento I c = b.h 3 /1 que é momento de inércia da seção de base 100 cm ESTÁDIO I; y t = 0,05 m (distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada) Como : M r = 6,4 kn.m < 11 kn.m = M Calcula-se pela formula de Branson o EI eq para considerar a perda da rigidez na seção fissurada.

37 Eemplo e Detalhamento Verificação da Flecha (Laje 1) Cálculo do Momento Equivalente EI eq = E c [(M r /M a ) 3. I c + [1- (M r /M a ) 3 ] I II ] E c = 0, f 1/ ck = 3,8 GPa ou 3, kn/m ; I II = é o momento de inércia da seção fissurada ESTÁDIO II; Calculando o II para o ESTÁDIO II com a e = E s /E c b II I II Temos: 3 b II A s a e d II 0 3 a e A s d II II = 0,05 m I II = 1, m 4

38 Eemplo e Detalhamento Verificação da Flecha (Laje 1) Cálculo do Momento Equivalente Assim, pode-se calcular o momento de inércia equivalente EI eq = E c [(M r /M a ) 3. I c + [1- (M r /M a ) 3 ] I II ] = EI eq = 3, [(6,4/11) 3 8, [1-(6,4/11) 3 ] 1, ] = 74,6 kn m Flecha Imediata a i = (b.p.l 4 ) / 1.Ei eq. a = (1 4,1 4 4 ) / 1 74,6 1,4 = 0,0055 m Onde: a = 1,4 (laje tipo 1 com ly/l = 1,00); p = g + y q = 4,1 kn/m (valor da carga para a combinação quase permanente (y = 0,3 segundo a NBR 6118:007);

39 Eemplo e Detalhamento Verificação da Flecha (Laje 1) Flecha Diferida no Tempo t 0 = 1 (tempo, em meses, que foi aplicado o carregamento) t > 70 (tempo, em meses, que se deseja saber o valor da flecha) D = - 0,6773 = 1,37 Como: D ( t) t 0 = 0 (não eiste armadura negativa) t 0 t 0 t (t) = 0.3 t t t 0.3 para t 70 meses para t > 70 meses a f D a f = 1,

40 Eemplo e Detalhamento Verificação da Flecha (Laje 1) Flecha Diferida no Tempo a f = a i a f = 0,0055 1,37 = 0,0073 m Flecha Total a T = a i 1 a f ) = 0,0055(1 + 1,37) = 0,0187 m < 4,0/50 = 0,016m OK! Segundo a NBR 6118 (007) este deslocamento deve estar limitado a l/50, sendo l o vão do elemento estrutural.

41 Eemplo e Detalhamento Abertura de Fissuras (Laje 1) w klim w 1 w φ i σsi ,5ηb Esi ρri φi 1,5η b 3σ E f si si ctm 7,5 c < 7,5 A cr é a área da região de envolvimento protegida pela barra i ; E si é o módudo de elasticidade do aço da barra considerada i ; 7,5 7,5 7,5 7,5 a A cr 7,5 (a < 15 i é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada; ri é a taa de armadura em relação à área da região de envolvimento (A cri ); si é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura, no Estádio II; h b é o coeficiente de conformação da armadura (1 em barras lisas, 1,4 barras dentadas e,5 barras nervuradas)

42 Eemplo e Detalhamento Abertura de Fissuras (Laje 1) p = g + y 1 q = 4,3 kn/m (valor da carga para a combinação frequente e y 1 = 0,4 segundo a NBR 6118:007); M d = p l / 8 = 4,34 / 8 = 8,6 kn.m/m A crit ρ σ E cri si si A A s cri Md 0,8.d.A 5 73,8 s 1000kN/cm 0,068 6,80% 860 0, ,88 kn/cm 7,5 7,5 7,5 c = 1,5 cm f ctm 0,565kN/cm

43 Eemplo e Detalhamento w 1 8 1,5,5 6, , w 1 0,038 mm w 8 1,5,5 3 6, ,56 w 0,1 mm w 1 < w klim (tab 13.3-NBR6118/007) w 1 < 0,4 mm OK!

44 T5-5Ø 5,0 c/0 C = T4-0Ø 5,0 c/0 C = 406 T5-5Ø 5,0 c/0 C = 406 Eemplo e Detalhamento Laje L T1-0Ø 6,3 c/0 C = T1-0Ø 6,3 c/0 C = T3-39Ø 8,0 c/10 C =

45 Eemplo e Detalhamento Lajes L=L3

46 Eemplo e Detalhamento Tipo n cm C Unit m C Tot 1 6, , , , ,6 5 e ,8 C tot (m) Peso (kg) 5 361,4 55,7 6,3 8,4 0, 8 448,1 177,0 Taa de consumo por m 3 : 5,9 kg / 4,8 m 3 = 5,7 kg/m 3 TOTAL 5,9

47 Lajes armadas em duas Direções B A a l y C l l y l = o menor vão teórico, l y = o maior vão teórico (l y l ). Normalmente, admitem-se as seguintes hipóteses simplificadoras: vigas rigidas à fleão; apoios da laje sobre as vigas através de charneiras (rotação livre); a continuidade de lajes vizinhas quando estiverem no mesmo nível.

48 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Lajes armadas em duas Direções m = momento fletor por unidade de largura com plano de atuação paralelo a l ; m y = momento fletor por unidade de largura com plano de atuação paralelo a l y. m p a ; m y p a y ; m p ; m y p y onde, as variáveis a e estão tabeladas em função dos seguintes parâmetros: tipo de carga (por eemplo, distribuida uniforme) condições de apoio da laje (tipos de apoio) relação (l y / l ).

49 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Lajes armadas em duas Direções Tipos de apoio usualmente empregados para o cálculo das lajes l X charneira engaste l y 1 A B 3 4A 4B 5A 5B 6

50 Lajes armadas em duas Direções TABELA 1 - TIPO 1 Laje com as 4 bordas livremente apoiadas (carga uniforme) a / y y y 1,00,7,7 1,4 1,05 0,8,5 19,4 1,10 19,3,3 17,8 1,15 18,1,3 16,5 1,0 16,9,3 15,4 1,5 15,9,4 14,3 1,30 15,,7 13,6 1,35 14,4,9 1,9 1,40 13,8 3,1 1,3 1,45 13, 3,3 11,7 1,50 1,7 3,5 11, 1,55 1,3 3,5 10,8 1,60 11,9 3,5 10,4 1,65 11,5 3,5 10,1 1,70 11, 3,5 9,8 1,75 10,8 3,5 9,5 1,80 10,7 3,5 9,3 1,85 10,4 3,5 9,1 1,90 10, 3,5 8,9 1,95 10,1 3,5 8,7,00 9,9 3,5 8,6 > 8,0 3,5 6,7 y m p a m p y ay p w ma Eh 0, m 4 3 a m y Beton-Kalender (1976)

51 Lajes armadas em duas Direções TABELA - TIPO A Laje com 3 bordas livremente apoiadas e uma borda menor engastada (carga uniforme) / y a y y 1,00 3,4 6,5 11,9 31, 1,05 9, 5,0 11,3 7,6 1,10 6,1 4,4 10,9 4,7 1,15 3,7 3,9 10,4,3 1,0,0 3,8 10,1 0,3 1,5 0, 3,6 9,8 18,7 1,30 19,0 3,7 9,6 17,3 1,35 17,8 3,7 9,3 16,1 1,40 16,8 3,8 9, 15,1 1,45 15,8 3,9 9,0 14, 1,50 15,1 4,0 8,9 13,5 1,55 14,3 4,0 8,8 1,8 1,60 13,8 4,0 8,7 1, 1,65 13, 4,0 8,6 11,7 1,70 1,8 4,0 8,5 11, 1,75 1,3 4,0 8,45 10,8 1,80 1,0 4,0 8,4 10,5 1,85 11,5 4,0 8,35 10,1 1,90 11,3 4,0 8,3 9,9 1,95 10,9 4,0 8,5 9,6,00 10,8 4,0 8, 9,4 > 8,0 4,0 8,0 6,7 y m m p a y p a y p m y p w ma Eh 0, m y m y 4 3 a m y Beton-Kalender (1976)

52 Lajes armadas em duas Direções TABELA 3 - TIPO B Laje com 3 bordas livremente apoiadas e uma borda maior engastada (carga uniforme) y / a y y 1,00 6,5 3,4 11,9 31, 1,05 5,7 33,3 11,3 9, 1,10 4,4 33,9 10,9 7,4 1,15 3,3 34,5 10,5 6,0 1,0,3 34,9 10, 4,8 1,5 1,4 35, 9,9 3,8 1,30 0,7 35,4 9,7,9 1,35 0,1 37,8 9,4,1 1,40 19,7 39,9 9,3 1,5 1,45 19, 41,1 9,1 0,9 1,50 18,8 4,5 9,0 0,4 1,55 18,3 4,5 8,9 0,0 1,60 17,8 4,5 8,8 19,6 1,65 17,5 4,5 8,7 19,3 1,70 17, 4,5 8,6 19,0 1,75 17,0 4,5 8,5 18,7 1,80 16,8 4,5 8,4 18,5 1,85 16,5 4,5 8,3 18,3 1,90 16,4 4,5 8,3 18,1 1,95 16,3 4,5 8,3 18,0,00 16, 4,5 8,3 17,8 > 14, 4,5 8,0 16,7 y m m p a m p y ay p m p w ma 3 Eh 0, m 4 a m y Beton-Kalender (1976)

53 Lajes armadas em duas Direções TABELA 4 - TIPO 3 Laje com bordas adjacentes engastadas e as outras duas livremente apoiadas (carga uniforme) y / a y y 1,00 34,5 34,5 14,3 14,3 41,3 1,05 3,1 33,7 13,3 13,8 37,1 1,10 30,1 33,9 1,7 13,6 34,5 1,15 8,0 33,9 1,0 13,3 31,7 1,0 6,4 34,0 11,5 13,1 9,9 1,5 4,9 34,4 11,1 1,9 8, 1,30 3,8 35,0 10,7 1,8 6,8 1,35 3,0 36,6 10,3 1,7 5,5 1,40, 37,8 10,0 1,6 4,5 1,45 1,4 39,1 9,8 1,5 3,5 1,50 0,7 40, 9,6 1,4,7 1,55 0, 40, 9,4 1,3,1 1,60 19,7 40, 9, 1,3 1,5 1,65 19, 40, 9,1 1, 1,0 1,70 18,8 40, 8,9 1, 0,5 1,75 18,4 40, 8,8 1, 0,1 1,80 18,1 40, 8,7 1, 19,7 1,85 17,8 40, 8,6 1, 19,4 1,90 17,5 40, 8,5 1, 19,0 1,95 17, 40, 8,4 1, 18,8,00 17,1 40, 8,4 1, 18,5 > 14, 40, 8,0 1,0 16,7 y m m p a m p y ay p m p m y p w ma Eh 0, m y m y 4 3 a m y Beton-Kalender (1976)

54 Lajes armadas em duas Direções TABELA 5 - TIPO 4A Laje com bordas maiores livremente apoiadas e duas bordas menores engastadas (carga uniforme) a / y y y 1,00 46,1 31,6 14,3 45,3 1,05 39,9 9,8 13,4 39, 1,10 36,0 8,8 1,7 34,4 1,15 31,9 7,7 1,0 30,4 1,0 9,0 6,9 11,5 7, 1,5 6, 6,1 11,1 4,5 1,30 4,1 5,6 10,7,3 1,35,1 5,1 10,3 0,4 1,40 0,6 4,8 10,0 18,8 1,45 19,3 4,6 9,75 17,5 1,50 18,1 4,4 9,5 16,3 1,55 17,0 4,3 9,3 15,3 1,60 16, 4,3 9, 14,4 1,65 15,4 4,3 9,05 13,7 1,70 14,7 4,3 8,9 13,0 1,75 14,0 4,3 8,8 1,4 1,80 13,5 4,3 8,7 11,9 1,85 13,0 4,3 8,6 11,4 1,90 1,6 4,3 8,5 11,0 1,95 1,1 4,3 8,4 10,6,00 11,8 4,3 8,4 10,3 > 8,0 4,3 8,0 6,7 y m p a m p y ay p m y p w ma Eh 0, m y m y 4 3 a m y m y Beton-Kalender (1976)

55 Lajes armadas em duas Direções TABELA 6 - TIPO 4B Laje com bordas maiores engastadas e duas bordas menores livremente apoiadas (carga uniforme) y / a y y 1,00 31,6 46,1 14,3 45,3 1,05 9,9 46,4 13,8 43, 1,10 9,0 47, 13,5 41,5 1,15 8,0 47,7 13, 40,1 1,0 7, 48,1 13,0 39,0 1,5 6,4 48, 1,7 37,9 1,30 5,8 48,1 1,6 37, 1,35 5,3 47,9 1,4 36,5 1,40 4,8 47,8 1,3 36,0 1,45 4,4 47,7 1, 35,6 1,50 4, 47,6 1, 35,1 1,55 4,0 47,6 1,1 34,7 1,60 4,0 47,6 1,0 34,5 1,65 4,0 47,6 1,0 34, 1,70 4,0 47,4 1,0 33,9 1,75 4,0 47,3 1,0 33,8 1,80 4,0 47, 1,0 33,7 1,85 4,0 47,1 1,0 33,6 1,90 4,0 47,1 1,0 33,5 1,95 4,0 47,1 1,0 33,4,00 4,0 47,0 1,0 33,3 > 4,0 47,0 1,0 3,0 y m m p a m p y ay p m p w ma 3 Eh 0, m 4 a m y Beton-Kalender (1976) m

56 Lajes armadas em duas Direções TABELA 7 - TIPO 5A Laje com bordas menores engastadas, uma borda maior engastada e outra livremente apoiada (carga uniforme) a / y y y 1,00 44,6 38,1 18,3 16, 55,4 1,05 41,7 37,3 16,6 15,4 49,1 1,10 38,1 36,7 15,4 14,8 44,1 1,15 34,9 36,4 14,4 14,3 40,1 1,0 3,1 36, 13,5 13,9 36,7 1,5 9,8 36,1 1,7 13,5 33,8 1,30 8,0 36, 1, 13,3 31,7 1,35 6,4 36,6 11,6 13,1 9,7 1,40 5, 37,0 11, 13,0 8,1 1,45 4,0 37,5 10,9 1,8 6,6 1,50 3,1 38,3 10,6 1,7 5,5 1,55,3 39,3 10,3 1,6 4,5 1,60 1,7 40,3 10,1 1,6 3,6 1,65 1,1 41,4 9,9 1,5,8 1,70 0,4 4,7 9,7 1,5,1 1,75 0,0 43,8 9,5 1,4 1,5 1,80 19,5 44,8 9,4 1,4 1,0 1,85 19,1 45,9 9, 1,3 0,5 1,90 18,7 46,7 9,0 1,3 0,1 1,95 18,4 47,7 8,9 1,3 19,7,00 18,0 48,6 8,8 1,3 19,3 > 14, 48,6 8,0 1,0 16,7 y m m p a m p y ay p m p m y p w ma Eh 0, m y m m y y 4 3 a m y Beton-Kalender (1976)

57 Lajes armadas em duas Direções TABELA 8 - TIPO 5B Laje com bordas maiores engastadas, uma borda menor engastada e outra livremente apoiada (carga uniforme) y / a y y 1,00 38,1 44,6 16, 18,3 55,4 1,05 35,5 44,8 15,3 17,9 51,6 1,10 33,7 45,7 14,8 17,7 48,7 1,15 3,0 47,1 14, 17,6 46,1 1,0 30,7 47,6 13,9 17,5 44,1 1,5 9,5 47,7 13,5 17,5 4,5 1,30 8,4 47,7 13, 17,5 41, 1,35 7,6 47,9 1,9 17,5 39,9 1,40 6,8 48,1 1,7 17,5 38,9 1,45 6, 48,3 1,6 17,5 38,0 1,50 5,7 48,7 1,5 17,5 37, 1,55 5, 49,0 1,4 17,5 36,5 1,60 4,8 49,4 1,3 17,5 36,0 1,65 4,5 49,8 1, 17,5 35,4 1,70 4, 50, 1, 17,5 35,0 1,75 4,0 50,7 1,1 17,5 34,6 1,80 4,0 51,3 1,1 17,5 34,4 1,85 4,0 5,0 1,0 17,5 34, 1,90 4,0 5,6 1,0 17,5 33,9 1,95 4,0 53,4 1,0 17,5 33,8,00 4,0 54,1 1,0 17,5 33,7 > 4,0 54,0 1,0 17,5 3,0 y m m p a m p y ay p m p my p w ma Eh 0, m y m y 4 3 a m y Beton-Kalender (1976) m

58 Lajes armadas em duas Direções TABELA 9 - TIPO 6 Laje com as 4 bordas engastadas (carga uniforme) a / y y y 1,00 47,3 47,3 19,4 19,4 68,5 1,05 43,1 47,3 18, 18,8 6,4 1,10 40,0 47,8 17,1 18,4 57,6 1,15 37,3 48,3 16,3 18,1 53,4 1,0 35, 49,3 15,5 17,9 50,3 1,5 33,4 50,5 14,9 17,7 47,6 1,30 31,8 51,7 14,5 17,6 45,3 1,35 30,7 53,3 14,0 17,5 43,4 1,40 9,6 54,8 13,7 17,5 4,0 1,45 8,6 56,4 13,4 17,5 40,5 1,50 7,8 57,3 13, 17,5 39,5 1,55 7, 57,6 13,0 17,5 38,4 1,60 6,6 57,8 1,8 17,5 37,6 1,65 6,1 57,9 1,7 17,5 36,9 1,70 5,5 57,8 1,5 17,5 36,3 1,75 5,1 57,7 1,4 17,5 35,8 1,80 4,8 57,6 1,3 17,5 35,4 1,85 4,5 57,5 1, 17,5 35,1 1,90 4, 57,4 1,1 17,5 34,7 1,95 4,0 57, 1,0 17,5 34,5,00 4,0 57,1 1,0 17,5 34,3 > 4,0 57,0 1,0 17,5 3,0 y m p a m p y ay p m p my p w ma Eh 0, m y m m m m y y 4 3 a m y Beton-Kalender (1976)

59 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Lajes armadas em duas Direções Para os pisos usuais de edifícios residenciais e comerciais (sobrecargas de valores moderados) pode ser aplicado o método simplificado eposto a seguir a) lajes isoladas: inicialmente, isolam-se as lajes, admitindo-se, para cada uma delas, as seguintes condições de apoio: apoio livre, quando não eistir laje vizinha junto a este apoio; apoio engastado, quando eistir laje vizinha no mesmo nível permitindo, assim, a continuidade da armadura negativa de fleão de uma laje para a outra; vigas rígidas de apoio da laje; e, calculam-se os momentos fletores máimos (em valor absoluto) nestas lajes isoladas (m, m y, m e m y ).

60 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Lajes armadas em duas Direções b) correção dos momentos fletores devido à continuidade entre as lajes vizinhas: momentos sobre os apoios comuns às lajes adjacentes: adota-se para momento fletor de compatibilização, o maior valor entre 0,8 m > e (m 1 + m ) /, onde m 1 e m são os valores absolutos dos momentos negativos nas lajes adjacentes junto ao apoio considerado e, m >, o maior momento entre m 1 e m. momentos nos vãos: para sobrecargas usuais de edifícios podem ser adotados os momentos fletores obtidos nas lajes isoladas; portanto. Para sobrecargas maiores convém efetuar essas correções, principalmente, quando acarretar aumento no valor do momento fletor. Para isso, eistem tabelas apropriadas.

61 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes

62 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Lajes armadas em duas Direções Dimensionamento a momento fletor a) altura útil Do mesmo modo que para as lajes armadas em uma direção, as alturas úteis são dadas por: d = h - c - / ; d y = h - c - - y / podendo ser estimadas, nas lajes usuais, por d h - c - 0,5 cm ; d y h - c - 1,0 cm

63 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Lajes armadas em duas Direções b) cálculo de A s m d = (g f m, g f m y ou g f m ) onde g f = 1,4 (kn.cm/m) d = (d ou d y ) (cm) A s = (A s ou A sy ) (cm / m) b = 100 cm f cd = f ck / g c (g c = 1,4) (kn/cm ) f yd = f yk / g s (g s = 1,15) (kn/cm ) Para 34 : 1,5d1 m 1 d 0,45bd f cd

64 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Lajes armadas em duas Direções Armadura: onde A s f yd m d (d 0,4) A s = A s para m = m ; A s = A sy para m = m y ; A s = A s para m = m

65 Lajes armadas em duas Direções Armaduras mínimas (tabelas 19.1 e 17.3 da NBR 6118/003) armaduras de vão: A s = (A s ou A sy ) 0,9 cm /m e s A s bh armaduras sobre os apoios de continuidade: A s 1,5 cm /m ' s A s bh

66 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Lajes armadas em duas Direções Escolha das barras diâmetro: 4 mm h/8 espaçamento entre as barras: armadura nos vãos: A s armaduras nos apoios: A s 0cm 8 cm s h 8cm s 0cm

67 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Regras usuais de arranjo das armaduras de lajes

68 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Casos Particulares

69 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Casos Particulares

70 Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Casos Particulares menor menor 3 3 maior maior

71 Eemplo f ck = 5 MPa Aço CA50A c l = 1,5 cm (cobrimento das lajes) q =,0 kn/m (escolas outras salas) h = 10 cm vigas: b w = 1 cm c v =,0 cm CAA I (para efeito de ELS-W)

72 Eemplo e Detalhamento peso próprio = 0,105 =,5 kn/m revestimento = 1,0 kn/m g = 3,5 kn/m (carga permanente) q =,0 kn/m (carga de ocupação) p = g + q = 5,5 kn/m (carga total) Laje Tipo l l y p l y /l a a y - - y m m y m m y L1 3 3,5 4,0 5,5 1,14 8,0 33,9 1,0 13,3,4,0-5,6-5,1 L3 5B 3,5 4,0 5,5 1,14 3,0 47,1 14, 17,6,1 1,4-4,7-3,8

73 Eemplo e Detalhamento Apoio m esq m dir 0,8m > m médio m ij L1-L m y =-5,1 m y =-5,1-4,1-5,1 m 1 =-5,1 L1-L3 m =-5,6 m =-4,7-4,5-5, m 13 =-5, L3-L4 m y =-3,8 m y =-3,8-3,0-3,8 m 34 =-3,8 L3-L5 m y =-4,7 m =-4,7 m 35 =-4,7 Laje d (cm) m (kn.cm) m d (kn.cm) (cm) A s (cm ) s % A smin (cm ) A sf Escolha 8,0 m = ,35 0,98 1,00 L1 7,5 m y = ,31 0,87 0,10 1,00 5 c/0 1,00 (L) 8,0 m 1 = ,76,13,13 6,3 c/15 0,15 1,50 8,0 m 13 = ,78,18,18 6.,3 c/16 L3 (L4) (L5) 8,0 7,5 8,0 8,0 m = ,3 0,86 1,00 m y = , 0,60 0,10 1,00 1,00 5 c/0 m 34 = ,56 1,57 1,57 F5 c/1 m 35 = ,70 1,96 0,15 1,50 1,96 6,3 c/16

74 Detalhamento

75 Lajes armadas em duas Direções Verificação ao Cisalhamento (Laje 1) onde: Rd = 0,5 f ctd = 0,3 MPa f ctd = f ctk,inf / g c = 1,8 MPa V Sd V Rd1 A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por: V Rd1 = [ Rd k (1, ) + 0,15 cp ] b w d f ctk,inf = 0,7.f ct,m = 0,7,565 = 1,795 MPa f ct,m = 0,3.f ck /3 = 0,3 5 /3 =,565 MPa 1 = A s /b w.d = 1 /100 8,0 = 0,15% (não maior que 0,0) k = 1,6 d [m] = 1,6 0,08 = 1,5

76 onde: A s = 1 cm (considerando toda a armadura) b w = 100 cm (largura mínima da seção ao longo da altura útil d); cp = N Sd / A c = 0 N Sd = 0 pois não eiste força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento. Assim, V Rd1 = [ Rd k (1, ) + 0,15 cp ] b w.d = [0,03 1,5(1, ,0015)+ 0]100 8 = V Rd1 = 48,64 kn/m V Sd = p. g f = 4,8 1,4 = 6,7 kn/m V Rd1 = 48,64 > 6,7 = V Sd Não há a necessidade de estribos!

77 Lajes armadas em duas Direções Verificação da Flecha (Laje 1) Cálculo do Momento de Fissuração M r = (a.f ct,m. I c )/y t = (1, , ) / 0,05 = 6,4 kn.m a = 1,5 para seção retangular; f ct,m já calculado anteriormente para o cisalhamento I c = b.h 3 /1 que é momento de inércia da seção de base 100 cm ESTÁDIO I; y t = 0,05 cm (distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada) Como : M r = 6,4 kn.m >,4 kn.m = M Não se faz necessário o cálculo da flecha em ESTÁDIO II.

78 Lajes armadas em duas Direções Verificação da Flecha (Laje 1) Flecha Imediata a i = (b.p.l 4 ) / 1.EI 0. a = (1 4,1 3,5 4 ) / ,34 31,7 = 0, m Onde: a = 31,7 (laje tipo 3 com ly/l = 1,15); p = g + y q = 4,1 kn/m (valor da carga para a combinação quase permanente (y = 0,3 não há equipamentos fios e não há concentração de pessoas); Flecha Diferida no Tempo t 0 = 1 (tempo, em meses, que foi aplicado o carregamento) t > 70 (tempo, em meses, que se deseja saber o valor da flecha)

79 Lajes armadas em duas Direções Verificação da Flecha (Laje 1) D ( t) t t 0 t 0 t (t) = 0.3 t t t 0.3 para t 70 meses para t > 70 meses D = - 0,6773 = 1,37 Como: = 0 (não eiste armadura negativa) a f D a f = 1,

80 Lajes armadas em duas Direções Verificação da Flecha (Laje 1) Flecha Diferida no Tempo a f = a i a f = 0, ,37 = 0,0011 m Flecha Total a T = a i.1 a f ) = 0,000815(1 + 1,37) = 0,00189 m

81 Lajes armadas em duas Direções Abertura de Fissuras (Laje 1) φ i σsi 4 w ,5ηb Esi ρ 7,5 7,5 7,5 ri w klim w φi 1,5η b 3σ E f si si ctm A cr é a área da região de envolvimento protegida pela barra i ; E si é o módudo de elasticidade do aço da barra considerada i ; i é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada; ri é a taa de armadura em relação à área da região de envolvimento (A cri ); si é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura, no Estádio II; A cr 7,5 c < 7,5 7,5 a 7,5 h b é o coeficiente de conformação da armadura (1 em barras lisas, 1,4 barras dentadas e,5 barras nervuradas) (a < 15

82 Lajes armadas em duas Direções Abertura de Fissuras (Laje 1) p = g + y 1 q = 4,3 kn/m (valor da carga para a combinação frequente (y 1 = 0,4 segundo a NBR 6118:007); M d = p l / 8 = 4,33,5 / 8 = 1,9 kn.m/m ρ cri A A s cri 1 39,38 0,054,54% A crit σ si Md 0,8.d.A E si s 190 0, kN/cm 9,7kN/cm 7,5 7,5 7,5 c = 1,5 cm f ctm 0,565kN/cm

83 Lajes armadas em duas Direções Abertura de Fissuras (Laje 1) w w ,5.,5 0,051 mm 9, , w w 5 1,5.,5 0,09 mm 3.9, ,56 w 1 < w klim (tab 13.3-NBR6118/007) w 1 < 0,4 mm OK!

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