3. Dimensionamento ao cisalhamento.

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1 cisalhamento ELU Dimensionamento ao cisalhamento. No capítulo anterior foi estudado o dimensionamento das seções transversais das vigas à flexão pura ou uniforme. Entretanto, nas vigas usuais, os momentos fletores variam de seção para seção, fazendo com estas estejam também solicitadas por forças tangenciais ou cortantes. Os mecanismos resistentes de uma peça de concreto armado sujeita a solicitações tangenciais são essencialmente tridimensionais e sofrem influência de diversos fatores, como, por exemplo, a disposição das armaduras longitudinais e transversais, a forma da seção transversal, os tipos e as disposições das cargas e dos apoios. Assim sendo, não é possível se analisar uma seção isoladamente. Deve-se lançar mão de modelos que tratem a peça como um todo Modelos de Treliça Os modelos de treliça são modelos no ELU para vigas de concreto armado, com armadura transversal, sujeitas a momentos e cortantes. Estes modelos pressupõem, para efeito de cálculo, que vigas de concreto armado estejam suficientemente fissuradas, de modo que se possa imaginar a formação de uma treliça no interior destas. Este modelos se aplicam apenas a peças armadas transversalmente com funcionamento à flexão no domínio da teoria das vigas. (Não se aplica a consoles curtos e vigas paredes) P d P d L z β θ V d = P d I z ctg β a ij J z ctg θ barra tracionada barra comprimida V d = P d Fig Modelo de treliça Treliça clássica de Ritter-Mörsch: β = 45 o O modelo clássico de treliça foi idealizado por Ritter e Mörsch, analisado experimentalmente por Mörsch no início do século, e, com algumas poucas modificações, até hoje é usado. A treliça, ilustrada na figura acima, é formada por: dois banzos paralelos - um banzo superior comprimido de concreto e um banzo inferior tracionado formado pela armadura longitudinal de tração - ligados por diagonais comprimidas e tracionadas. bielas ou diagonais comprimidas de concreto delineadas pelas fissuras e consideradas com inclinação de β = 45 o em relação ao eixo longitudinal da viga; montantes ou diagonais tracionadas representando a armadura transversal, que por razões práticas é disposta com inclinação de 45 o θ 90 o em relação ao eixo da viga. A armadura transversal pode ser constituída por estribos (verticais ou inclinados) ou cavaletes (barras dobradas).

2 cisalhamento ELU - 2 Treliça Generalizada: β 45 o Resultados experimentais (Leonhardt e Walther, Alemanha, 1961 a 1965) mostraram que, nos casos gerais, a consideração das diagonais comprimidas a 45 o da treliça clássica conduziam a um excesso de armação e a tensões de compressão menores que as reais. Observou-se que o banzo comprimido não era paralelo ao tracionado e que o ângulo de inclinação das bielas β era da ordem de 30 o β 38 o, para vigas T de alma espessa; e de 38 o β 45 o, para vigas T de alma fina. Buscou-se, então, um modelo mais sofisticado de treliça - com banzo comprimido não paralelo ao tracionado e ângulo β inclinação das fissuras diminuindo em direção aos apoios - que foi abandonado em face da quantidade e complexidade dos cálculos envolvidos. A conciliação dos resultados experimentais, com as hipóteses básicas de Mörsch e com os aspectos práticos conduziu ao modelo da 'treliça generalizada de Mörsch', que difere do modelo clássico apenas no ângulo β de inclinação das fissuras, não mais definido como 45 o Bielas ou diagonais comprimidas Do equilíbrio das forças verticais, para a seção de Ritter S 1, pode-se obter a compressão na biela ΣY = 0 D cd = V d / senβ Tomando-se a seção transversal da biela com dimensões ( b w ; a ij senβ ), a ij = z ( ctgβ + ctgθ ), S 1 R cd a tensão na biela é: z D cd σ cd = D cd / [ b w z (ctgβ + ctgθ ) senβ ] I β K R sd σ cd = V d / [ b w z ( ctgβ + ctgθ ) sen 2 β ] Tomando-se z 0,87 d, têm-se que V d = P d a ij /2 = z (ctgβ + ctgθ) /2 σ cd = 1,15 τ wd / [ ( ctgβ + ctgθ ) sen 2 β ] onde τ wd = V d / ( b w d ) τ wd é uma tensão de referência de cálculo, sem nenhum significado físico. Considerando-se os ângulos limites para as inclinações da armadura transversal (θ = 90 o e θ =45 o ) e das bielas ( β = 45 o e β = 30 o ), pode-se construir o quadro: σ cd =Tensão de compressão nas bielas β = 45 o ( treliça clássica ) Inclinação das bielas ou das fissuras 2,3 τ wd / (1+ ctgθ ) β = 30 o 4,6 τ wd / ( 1,732 + ctgθ ) Inclin. da armadura θ = 90 o 2,30 τ wd 2,66 τ wd Transversal θ = 45 o 1,15 τ wd 1,68 τ wd Deste quadro, pode-se concluir que a tensões de compressão nas bielas aumentam quando:

3 cisalhamento ELU - 3 o ângulo β de inclinação das fissuras diminui; o ângulo θ de inclinação da armadura aumenta Diagonais Tracionadas Do equilíbrio das forças verticais para a seção de Ritter S 2, pode-se obter a tração a ser absorvida pelas barras da armadura transversal num trecho de comprimento a ij = z ( ctg β + ctgθ ) z β I K L θ R sd S 2 R cd D sd ΣY=0 D sd = V d / senθ V d = P d a ij / 2 = z (ctgβ + ctgθ) / 2 Imaginando-se que a diagonal tracionada represente as n barras de aço da armadura transversal existentes neste trecho de comprimento a ij, tendo cada uma delas área de seção a sθ e que estas estejam trabalhando com tensão de tração σ sd : D sd = n A sθ σ sd = V d / senθ L s θ θ J n A sθ cada s θ Supondo-as com espaçamento longitudinal de s θ, n = a ij / s θ = z ( ctg β + ctg θ ) / s θ a ij = z ( ctg β + ctg θ ) por unidade de comprimento longitudinal, têm-se que A sθ / s θ = V d / [ z σ sd senθ ( ctg β + ctgθ ) ] Tomando-se as dimensões ( b w ; s θ sen θ ) da área da seção envolvendo uma barra da diagonal tracionada, pode-se obter a taxa de armadura transversal na alma da viga ρ w, θ = A sθ / ( b w s θ sen θ ) s θ senθ ρ w, θ = V d / [ z b w σ sd sen 2 θ ( ctg β + ctgθ ) ] ρ w, θ = 1,15 τ wd / [σ sd sen 2 θ ( ctg β + ctgθ ) ] θ s θ Considerando-se os ângulos limites para as inclinações da armadura (θ = 90 o e θ = 45 o ) e das bielas ( β = 45 o e β = 30 o ) pode-se construir o quadro abaixo. A sθ / s θ = Área de armadura transversal por unidade de comprimento Inclinação das bielas ou das fissuras β = 45 o (treliça clássica) β = 30 o V d / [ z σ sd ( senθ + cosθ ) ] V d / [z σ sd ( 1,732 senθ + cosθ ) ] Inclin. da armadura θ = 90 o V d / [ z σ sd ] 0,577 V d / [ z σ sd ] Transversal θ = 45 o 0,707 V d / [ z σ sd ] 0,518 V d / [ z σ sd ]

4 cisalhamento ELU - 4 Deste quadro pode-se concluir que: a armadura inclinada é mais eficiente que a vertical, ou seja, a capacidade de carga das armaduras inclinada é maior que da armadura vertical; a capacidade de carga das armaduras aumenta quando a inclinação das fissuras diminui. Vale observar que, de acordo com a geometria da treliça, o espaçamento teórico da armadura transversal fica limitado em: s θ z ( ctg β + ctg θ ). Correção da inclinação das bielas para a treliça generalizada a partir da clássica A relação entre as áreas das armaduras transversais, de mesma inclinação θ, calculadas pela treliça generalizada ( β 45 o ) e pela treliça clássica ( β = 45 o ) é dada por: η = (A sθ ) β / (A sθ ) 45 = (1 + ctg θ ) / ( ctgβ + ctgθ ) Assim, se fosse conhecido o ângulo β de inclinação das fissuras na treliça generalizada, seria possível se fazer o dimensionamento pelas expressões da treliça clássica, multiplicando-se os valores obtidos pelo coeficiente η = η(β,θ) função de β e θ. Na verdade, o procedimento real é inverso - o coeficiente η é expresso em norma como: η = τ d / ( 1,15 τ wd ) onde τ d = 1,15 τ wd - τ c τ c é uma tensão definida por expressões estabelecidas em norma, obtidas experimentalmente, e a partir dele é que se pode determinar β. Utilizando-se a definição de η, conclui-se que a taxa de armadura transversal ρ w, θ pode ser escrita como: ρ w, θ = τ d / ( λ θ σ sd ) = (1,15 τ wd - τ c ) / ( λ θ σ sd ) ρ w, θ = 1,15 τ wd / ( λ θ σ sd ) para a treliça generalizada; semelhante à para a treliça clássica λ θ = senθ (senθ + cosθ ) Decalagem do diagrama de momentos Para o esquema resistente de treliça na viga fissurada, os esforços de flexão não são exatamente iguais aos previstos para a viga não fissurada (estádio I): a resultante R st na armadura de tração, numa dada seção transversal, é maior do que o calculado para a viga não fissurada. Para a viga não fissurada, numa seção transversal distante c do apoio, têm-se do equilíbrio dos momentos: V d c = R sd z R sd = V d c / z V d c V d z R cd R sd

5 cisalhamento ELU - 5 No modelo de treliça, para a seção de Ritter S 1, a condição de equilíbrio dos momentos em relação ao ponto L do banzo superior, distante ( c + a l ) do apoio é dada por: V d ( c + a l ) = R sd z c + a l R sd = V d ( c + a l ) / z Isto mostra que, na viga fissurada, a tração na armadura longitudinal numa seção a uma distância c do apoio é calculada com o momento fletor que ocorre na seção distante a l dela. z I z. ctgβ β K L θ R sd S 1 D sd R cd a l = z ctgβ - z ( ctg β + ctg θ ) / 2 a l = z ( ctgβ - ctgθ ) / 2 V d = P d z (ctgβ + ctgθ)/2 c c Tudo se passa como se houvesse uma translação a l do diagrama de momentos fletores, aumentando a intensidade de M d e, conseqüentemente de R sd. V d a l V d ( c + a l ) Diagrama de M d Considerando-se os ângulos limites para as inclinações da armadura (θ = 90 o e θ = 45 o ) e das bielas ( β = 45 o e β = 30 o ) pode-se construir o quadro abaixo. a l =decalagem do diagrama de Momentos ou de forças R sd na armadura de tração Inclinação das Bielas ( e fissuras) β = 45 o (treliça clássica) β = 30 o z ( 1 - ctgθ ) / 2 z ( 1,732 - ctgθ ) / 2 Inclin. da armadura θ = 90 o 0,5 z 0,44 d 0,87 z 0,75 d Transversal θ = 45 o 0 0,37 z 0,32 d a l Esta translação horizontal no diagrama ( ou na envotória ) de momentos fletores, dita decalagem, é sempre considerada no sentido mais desfavorável, de forma a aumentar o momento fletor nas seções. O comprimento das barras da armadura longitudinal de tração será determinado com base neste diagrama decalado. a l a l M d M d decalado a l a l

6 cisalhamento ELU - 6 Pelo equilíbrio dos momentos em relação ao ponto K, para seção de Ritter S 2, pode-se obter relações semelhantes para o banzo comprimido. Destas, pode-se concluir que no banzo comprimido ocorre justamente o oposto - o valor da resultante de compressão R cd em uma seção distante c do apoio deve ser calculada com o momento fletor de um seção mais próxima do apoio. R cd M d /z R cd 3.2. Verificação dos Estados Limites Últimos Na verificação da segurança das peças a forças cortantes será feita considerando-se os estados limites últimos, reais ou convencionais, descritos a seguir. ( NBR6118, item ) ELU força cortante-compressão ( esmagamento das bielas ) É um estado limite em que o colapso é atingido pela ruptura das bielas à compressão, sem o escoamento da armadura transversal. A ruptura é frágil, não avisada, e geralmente de caráter catastrófico. A segurança contra este será garantida pela limitação do valor de cálculo da tensão de cisalhamento convencional τ wd a um certo valor τ wu, também convencionalmente estabelecido: τ wd τ wu a) Tensão de referência de cálculo: (NBR6118, item ) τ wd = V d / ( b w d ) Largura variável: Para as seções transversais de largura variável, no cálculo de τ wd, considerar b w = b mín, para garantir em todos os níveis o não esmagamento da biela comprimida. Altura variável: Para uma seção transversal de uma peça de altura variável, define-se o ângulo α = α S + α I como o ângulo entre as tangentes aos bordos superior e inferior da peça nesta seção. Na determinação de α, a inclinação da tangente em relação ao eixo da peça, em cada bordo, não pode ser tomada maior que 1:3, pois as tensões não se espraiam acima deste limite. α S tg α I 1/3 tg α S 1/3 α I

7 cisalhamento ELU - 7 O cortante V d na seção transversal considerada deve ser corrigido, substituindo-se V d por V rd nas expressões, de acordo com o caso: o aumento da altura acompanha o aumento de momento fletor em módulo Neste caso, o aumento da altura produz um alívio no valor do esforço cortante, pode-se considerar nas expressões o cortante reduzido V rd = V d - M d tgα / d a altura diminui a medida que a intensidade do momento fletor, em módulo, aumenta Neste caso o efeito da variação da altura é aditivo ao cortante, deve-se considerar V rd = V d + M d tgα / d V rd V d V d V rd b) Limitação da compressão nas bielas para peças armadas ao cisalhamento (NBR6118, item ) para peças lineares com b w 5h τ wu = 0,30 f cd 5,5 MPa τ wu = 0,25 f cd 4,5 MPa toda a armadura transversal for inclinada a 45 o nos outros casos para peças lineares (e lajes) com b w > 5h os coeficientes 0,30 e 0,25, anteriores, serão multiplicados por um dos fatores abaixo, mantendose os limites absolutos 0,5 se h 15 cm 1/3 + h / 90 se 15 cm < h < 60 cm [ h = altura total da peça em cm ] 1 se h 60 cm ELU força cortante-tração ( dimensionamento da armadura transversal ) Este é um estado de deformação excessiva, que se caracteriza pela intensa fissuração diagonal decorrente do escoamento da armadura transversal. Não implica na ruptura simultânea da peça, mas em grandes deformações da armadura transversal. A segurança contra este ELU é garantida

8 cisalhamento ELU - 8 pela determinação da quantidade e espaçamento adequados da armadura transversal, de forma que, para as solicitações de cálculo, as tensões nestas armaduras não superem o valor de cálculo da resistência ao escoamento do aço. a) Tensão de cálculo para o dimensionamento da armadura (NBR6118, item ) A armadura transversal deve ser calculada pela teoria clássica de Mörsch, com base na seguinte tensão τ d = 1,15 τ wd - τ c 0 A tensão τ c que introduz a correção da inclinação das fissuras para a treliça generalizada, é definida por [τ c e f ck em MPa] τ c = ψ 1 f ck na flexão simples τ c = ( σ cmd / f ck ) ψ 1 f ck na flexo-compressão, onde σ cmd = N cd / A c = tensão média τ c = ( 1-9 σ tmd / f ck ) ψ 1 f ck na flexo-tração onde σ tmd = N td / A c = tensão média τ c = 0 nas peças curvas τ c = 0 nas peças de altura variável, com intensidade do momento fletor crescente com a altura, quando o valor absoluto de V d tiver sido diminuído. ψ 1 = 0,07 para ρ 1 0,001 ψ 1 = 0, (ρ 1-0,001) para 0,001 < ρ 1 < 0,015 (por interpolação linear) ψ 1 = 0,14 para ρ 1 0,015 ρ 1 = menor taxa de armadura longitudinal de tração no trecho de comprimento 2h medido a partir da face do apoio = mínimo A s, eh / ( b w h ) Uma vez que a taxa mínima de armadura de longitudinal de tração para seções T e retangular é definida em 0,15% (para CA-40, CA-50 ou CA-60), têm-se que: ρ 1 0,0015 ψ 1 0,0725 τ c 0,0725 f ck flexão simples, seções retangular e T b) Tensão máxima a ser considerada na armadura transversal: σ sd f yd 435 MPa no caso de estribos σ sd 0,70 f yd 435 MPa no caso de barras dobradas Observa-se que estribos em aço CA-60 serão calculados como CA-50, pois σ sd 435 MPa c) Cálculo da armadura necessária: (A sθ / s θ ) ( sen θ + cosθ ) = τ d b w / σ sd ou em termos de taxa ρ w, θ = A sθ / ( b w s θ sen θ ) = τ d / ( λ θ σ sd ) onde λ θ = senθ (senθ + cosθ )

9 cisalhamento ELU - 9 Para estribos, respeitando-se σ sd = f yd 435 MPa, verticais: A st / s t = τ d b w / f yd ou ρ wt = τ d / f yd inclinados a 45 o : A s45 / s 45 = 0,707 τ d b w / f yd ou ρ w, 45 = τ d / f yd A norma prescreve que, no caso de peças lineares, no máximo 60% do esforço cortante pode ser resistido por barras dobradas. Assim sendo, respeitados os limites para σ sd, para estribos e barras dobradas têm-se que: [ ( A sθ / s θ ) ( sen θ + cosθ ) ] estribos + [ ( 0,7 A sθ / s θ ) ( sen θ + cosθ ) ] barras dobradas = τ d b w / f yd [ ( 0,7 A sθ / s θ ) ( sen θ + cosθ ) ] barras dobradas 0,60 τ d b w / f yd d) Reduções da Força Cortante nas seções próximas aos apoios (NBR6118, item ) Para o dimensionamento da armadura transversal, nos casos em que a carga e a reação de apoio forem aplicadas em faces opostas da peça, comprimindo-a, são permitidas as reduções na força cortante apresentadas a seguir. Para a verificação das tensões, estas reduções não são permitidas a força cortante provocada por cargas distribuídas, pode ser considerada com o valor do cortante a h/2 da face, constante até o apoio. ( h = altura da peça) a força cortante provocada por carga concentrada aplicada a uma distância a 2h do centro do apoio, neste trecho a, pode ser reduzida multiplicando-se por a / 2h. q d P d h a 2 h h h/2 Diagrama de V d Diagrama de V d Deslocamento do diagrama de momentos (NBR6118, item ) Nas peças armadas transversalmente, a decalagem do diagrama (ou envoltória) de momentos M d ou de resultante de tração na armadura longitudinal R sd é dada por:

10 cisalhamento ELU - 10 a l = (1,5-1,5 η) d 0,2 d a l = (1,5-1,2 η) d 0,5 d se toda a armadura transversal é inclinada a 45 o com o eixo da peça nos outros casos η τ d / 1,15 τ wd 1 Permite-se adotar, simplificadamente, os seguintes valores a l Valores de a l para η 0,6 0,6 < η < 0,8 η 0,8 toda armadura inclinada a 45 o 0,75 d 0,50 d 0,25 d outros casos 1,00 d 0,75 d 0,50 d 3.3. Detalhamento da armadura transversal em estribos Tipos de estribos Estribos simples ( 2 pernas ) fechados abertos Estribos duplos ( 4 pernas ) Os estribos podem ser abertos ou fechados, e simples ou múltiplos (ver figura). Os estribos abertos são aqueles que possuem apenas um ramo horizontal. Este o ramo horizontal deve se localizar no lado do banzo tracionado da peça, pois equilibra os esforços de tração provocados pela inclinação (no sentido transversal da nervura) das bielas comprimidas que aí chegam. Se, por razões construtivas, o lado aberto do estribo estiver localizado no banzo tracionado da peça, devese dispor uma armadura suplementar de fechamento. No lado do banzo comprimido, o Banzo comprimido Banzo tracionado b w h

11 cisalhamento ELU - 11 ramo horizontal é recomendável, mas não obrigatório. Tanto os estribos abertos como fechados podem ser simples ou múltiplos. Os estribos múltiplos são aqueles têm mais de dois ramos ou pernas costurando as fissuras ao longo da altura da viga. No caso de estribos múltiplos, os ramos horizontais devem se sobrepor parcialmente. Para vigas com b w 40 cm, sugere-se que sejam utilizados estribos de 3 ou 4 ramos ou pernas. Vale ressaltar, que área A sθ da seção transversal total de cada estribo é igual a área da barra do estribo multiplicada pelo número de pernas ou ramos (devidamente detalhados), que cortam o plano neutro da peça, costurando as fissuras ao longo da altura desta. A sθ = p a st Prescrições construtivas Devem sempre ser colocados estribos em toda a extensão das peças fletidas (excetuando-se o caso das lajes que atendem os requisitos para dispensa de armadura transversal), respeitando-se os valores mínimos das prescrições normativas. Os estribos devem abraçar a armadura longitudinal, devendo sempre existir uma barra em cada canto deste. Caso não existam barras longitudinais determinadas pelo cálculo, devem ser adicionadas barras de amarração (porta-estribo) de diâmetro pelo menos igual ao diâmetro da barra do estribo. Armadura mínima: ( NBR6118, item ) A norma prescreve valores mínimos para a taxa de seção transversal total de cada estribo ρ wθ = A sθ / (b w s θ senθ ) 0,25 % para CA-25 ou CA-32 0,14 % para CA-40, CA-50 e CA-60 não se tomando b w maior que d Bitola (ou diâmetro) dos estribos: (NBR6118, item ) 5 mm φ t b w / 12. No quadro abaixo, são sugeridos valores da bitola φ t dos estribos em função da bitola φ l da armadura longitudinal de tração φ l [mm] 6,3 a 8 10 a 12,5 16 a φ t [mm] 5 6, Espaçamento longitudinal estribos: (NBR6118, item ) s θ 0,5 d ; 30 cm ; 7 cm

12 cisalhamento ELU - 12 Se houver armadura longitudinal de compressão, exigida pelo cálculo da seção à flexão, os estribos devem garantir estas barras longitudinais contra a flambagem. Assim, o espaçamento longitudinal deve atender também a: s θ 21 φ l 12 φ l para CA-25 e CA-32 para CA-40, CA-50 e CA-60 onde φ l é o diâmetro das barras longitudinais da armadura de compressão 3.4. Cobertura do diagrama ou envoltória de cálculo de esforços cortantes: q d h/2 h V d1 Diagrama de V d V θ1 V c V d2 V θ2 Vθ mín V dmín trecho c/ armadura transversal mínima trecho com armadura transversal calculada trecho com armadura transversal calculada Definindo-se τ c como τ c = V c / ( b w z ) = 1,15 V c / ( b w d ) e substituindo-se na expressão (A sθ / s θ ) ( sen θ + cosθ ) σ sd = τ d b w onde τ d = 1,15 τ wd - τ c e τ wd = V d / ( b w d ) obtêm-se (A sθ / s θ ) ( sen θ + cosθ ) σ sd = 1,15 ( V d - V c ) / d

13 cisalhamento ELU - 13 V d = V c + ( A sθ / s θ ) ( sen θ + cosθ ) σ sd d / 1,15 V d = V c + V θ V d = esforço cortante (solicitante) de cálculo V c = parcela (resistente) correspondente à correção da inclinação das fissuras V c = τ c b w d / 1,15 = τ c b w z V θ = parcela do esforço cortante a ser equilibrada pela armadura transversal A sθ /s θ V θ = ( A sθ / s θ ) ( senθ + cosθ ) σ sd d / 1,15 = ( A sθ / s θ ) ( sen θ + cosθ ) σ sd z O objetivo do dimensionamento é o de que a capacidade resistente da peça seja suficiente para atender as solicitações de cálculo: V d V θ + V c Ou seja, o diagrama de esforços resistentes ( V θ + V c ) deve cobrir o diagrama de esforços solicitantes de cálculo V d. Assim, no detalhamento da armadura transversal, para uma armadura A sθ /s θ escolhida, pode-se determinar ( V θ + V c ) e verificar se o diagrama V d, ou um trecho deste, está coberto. É interessante lembrar que a armadura transversal mínima exigida por norma ( A sθ / s θ ) mín = ρ w mín b w senθ ( tomando-se na expressão b w d ) corresponderá a ( V c + V θ mín ) V θ mín = ρ w mín λ θ b w σ sd z, λ θ = senθ ( sen θ + cosθ ) Para estribos verticais, com σ sd = f yd 435 MPa V t = ( A st / s t ) f yd z z = d / 1,15 V t mín = ρ w mín b w f yd z

14 cisalhamento ELU Aplicações numéricas Calcular a área necessária de estribos verticais para a viga solicitada pelas cargas de cálculo indicadas na figura abaixo, dados: f ck = 18 MPa ; CA-50 B; b w = 20 cm; h = 75 cm ; d = h - 5cm; A s, 2h = 4 φ 16 mm = 8 cm 2 = menor armadura longitudinal de tração nos trechos de 2h das faces dos apoios 100 kn 430 kn 100 kn 1,5 m 2 m 2 m 1,5 m V d [ kn ] Solução: a) Verificação do ELU de cortante-compressão: Como a viga tem seção constante, é suficiente realizar a verificação para o máximo cortante (em módulo). τ wd, máx = V d, máx / ( b w d ) = 215 / ( 0,20. 0,70 ) = 1536 kn/m 2 τ wu = 0,25 f cd = 0, / 1,4 = 3,21 MPa 4,5 MPa τ wd, máx = 1,536 MPa < τ wu = 3,21 MPa b) Verificação do ELU de cortante-tração: b.1) Cálculo de τ c ρ 1 = mínimo A s, eh / ( b w h ) = 8 cm 2 / ( 20 cm. 75 cm) = 0,0053 ψ 1 = 0, ( ρ 1-0,001 ) = 0, (0,0053-0,001) = 0,092 τ c = ψ 1 f ck = 0, = 0,39 MPa b.2) Cálculo da armadura necessária de estribos verticais (A st / s t ) mín = ( 0,14 / 100 ) = 2,8 cm 2 / m No vão: V d = 215 kn τ d = 1,15 τ wd - τ c = 1, = 1376 kn/m 2 A st / s t = τ d b w / f yd = 1376 kn/m 2. 0,20 m / ( 43,5 kn/cm 2 ) = 6,33 cm 2 / m No balanço: V d = 100 kn τ wd = 100 / ( 0,20. 0,70 ) = 714 kn/m 2 τ d = 1, = 431 kn/m 2 A st / s t = ,20 / 43,5 = 1,98 cm 2 / m (A st / st ) mín

15 cisalhamento ELU - 15 c) Detalhamento dos estribos verticais de 2 pernas ( p = 2 ) Escolhendo-se para os estribos a de bitola : 5 mm φ = 8 mm 200 mm /12 (a sφ = 0,50 cm 2 ) deve-se determinar o máximo espaçamento necessário entre eles, respeitando-se s t 0,5 d = 35 cm 7 cm s t 30 cm 30 cm 7 cm Definindo-se n t = número de estribos por metro, têm-se que A st / s t = n t p a sφ n t = ( A st / s t ) / ( p a sφ ) s t = 1 / n t No vão: n t = ( 6,33 cm 2 / m ) / ( 2. 0,50 cm 2 ) = 6,33 estribos / m s t = 100 / 6,33 = 15,8 cm E φ 8 mm c 16 A st / s t = 2. 0, / 16 = 6,25 cm 2 / m E φ 8 mm c 15 A st / s t = 2. 0, / 15 = 6,67 cm 2 / m No balanço: armadura mínima N t = ( 2,8 cm 2 / m ) / ( 2. 0,50 cm 2 ) = 2,8 estribos / m s t = 100 cm / 2,8 = 36 cm > 30 cm E φ 8 mm c 30 A st / s t = 2. 0, / 30 = 3,33 cm 2 / m Obs: A escolha de [ A st / ( p s t ) ] pode ser feita com um auxílio de uma tabela que fornece a área de aço por metro, para espaçamentos especificados das bitolas padronizadas (semelhante à tabela utilizada para armadura em lajes) N1 c N1 c 15 ( cobrimento = 1,5 cm ) 5 N1 c N1 - φ 8 mm Para a viga do exercício anterior, representar a cobertura do diagrama para a armadura adotada. V c = τ c b w z = 390 kn/m 2. 0,20 m. 0,70 m / 1,15 = 47,5 kn V t = ( A st / s t ) f yd z E φ 8mm c15 V c + V t = 47,5 kn + 6,67 cm 2 /m. 43,5 kn/cm 2. 0,70 m / 1,15 = 224 kn E φ 8mm c30 V c + V t = 47,5 kn + 88,2 kn = 136 kn

16 cisalhamento ELU V d [ kn ] V R =V c + V φ [ kn] Detalhar os estribos (verticais) da viga da figura a seguir, dados: f ck = 20 MPa γ c = 1,4 Aço CA-50 B b w = 30 cm d = h - 5 cm P d = 160 kn q d = 100 kn/m P d P d P d q d Solução: Diagrama de V d [ kn ] com reduções p/ dimensionamento * 80 ( 30/2 + 90/2 ) a) Verificação das tensões: * 466* τ wd, máx = V d, máx / ( b w d ) = 600 / ( 0,30. 0,85 ) = 2353 kn/m 2

17 cisalhamento ELU - 17 τ wu = 0,25 f cd = 0, / 1,4 = 3,57 MPa 4,5 MPa τ wd, máx = 2,35 MPa < τ wu = 3,57 MPa ok b) Dimensionamento dos estribos: b.1) Reduções de V d para o dimensionamento (*) Os diagramas de esforços cortantes da viga, representados na figura anterior, foram obtidos pela superposição dos diagramas abaixo: 160 kn 100 kn/m 160 kn 160 kn V d [ kn ] V d * [ kn ] - ( com as reduções ) * 300* * 80 67* Para o dimensionamento da armadura, no caso de apoio direto, é permitido: Reduzir o cortante devido à carga concentrada distante a = 85 cm 2h = 180 cm do eixo do apoio, no trecho a: V d P a / ( 2h ) = / 180 = 67 kn ( reduzido ) Para a carga distribuída, considerar o cortante na seção distante h/2 da face do apoio: x = /2 = 60 cm V d q (x = h/2) = ,60 = 300 kn Logo, nas seções distantes x do apoio teórico, têm-se os seguintes valores após a redução: x 60 cm V d * = = 466 kn x = 85 cm V d * = = 441 kn b.1) Cálculo de τ c Uma vez que a taxa de armadura longitudinal de tração não é conhecida, será considerado, a favor da segurança: ρ 1 ρ mín = 0,15 % ψ 1 = 0, ( ρ 1-0,001 ) = 0, (0,0015-0,001) = 0,0725 τ c = ψ 1 f ck = 0, = 0,324 MPa V c = 324 kn/m 2. 0,30 m. 0,85 m / 1,15 = 72 kn

18 cisalhamento ELU - 18 b.2) Cálculo da armadura necessária de estribos verticais V t = V d - V c [ kn ] z = d / 1,15 = 0,85 m / 1,15 f yd = 43,5 kn/cm 2 V t [ kn ] = ( A st / s t ) cm 2 /m. 43,5 kn/cm 2. 0,85 m / 1,15 = 32,152 ( A st / s t ) V d = 466 kn V t = = 394 kn A s t / s t = 394 / 32,152 = 12,3 cm 2 / m V d = 355 kn V t = = 283 kn A st / s t = 283 / 32,152 = 8,8 cm 2 / m (A st / s t ) mín = ( 0,14 / 100 ) = 4,2 cm 2 / m c) Detalhamento dos estribos verticais de 2 pernas ( p = 2 ) bitola : 5 mm φ = 10 mm 300 mm /12 espaçamento: 7 cm s t 30 cm 0,5 d = 42,5 cm Com o valor de A st / s t, obtido da tabela de armadura, pode-se construir o quadro com a capacidade resistente correspondentes, e cobrir o digrama reduzido ( V R V d ): s t [ cm ] A st / s t [ cm 2 /m ] V t [ kn ] V R = V t + V c [ kn ] 12,5 2. 6,40 = 12, ,0 2. 5,33 = 10, ,0 2. 2,67 = 5, N N1 c12, N1 c 15 12,5 62, N1 c Cobertura do Diagrama: V R V d 80 7 N1 c 15 6 N1 c12, ,5 12, N1 - φ 10 mm 245 cm V d [ kn ] V R =V c + V φ [ kn]

19 cisalhamento ELU - 19 A solução apresentada acima não é em geral a adotada na prática. Observe que a mudança dos espaçamentos de 12,5 cm para 15 cm, não traz grande economia para a obra e implica em uma montagem mais trabalhosa ( 5 faixas ao longo do vão ). A solução apresentada abaixo, apesar de utilizar mais 3 estribos que a anterior, é preferível pois é de mais fácil execução. Nesta, são adotadas 2 faixas com 12 φ 10 mm a cada 12,5cm ( 2 x 6 φ10 mm a cada 25 cm, alternados) junto a cada um dos apoios e, no trecho central, 15 φ 10 mm a cada 25 cm. Em seguida, são apresentadas algumas observações sobre o detalhamento: 1) os estribos são dispostos apenas no vão livre. Verifique na solução abaixo que as cotas da puxada dos estribos somam o vão livre: cm cm = 690 cm 2) o primeiro estribo estribo, em cada extremidade, pode ter um afastamento da face interna do apoio de até no máximo o valor do espaçamento calculado para resistir o cortante nesta região. No detalhamento abaixo adotou-se 10 cm 12,5 cm (calculado). 3) A resistência dos estribos de φ 10 mm a cada 25 cm é V R = 412 / = 278 kn ( obtida a partir da resistência calculada na tabela p/os estribos φ 10 mm a cada 12,5 cm). A armadura a cada 25 cm está detlhada para a faixa central de ( ,5) = 395 cm. Os cortantes de cálculo máximo desta faixa são cobertos pelo valor resistente (na seção limite): V d ,95/2 = 277,5 kn V R = 278 kn. 4) A armadura de φ 10 mm a cada 25 cm atende as prescrições de área mínima e de espaçamento máximo. N N1 c N1 c N1 c N1 - φ 10 mm 245 cm Cobertura do Diagrama de V R V d [ kn ] ,5 80

20 cisalhamento ELU Detalhar os estribos (verticais) da viga da figura a seguir, dados: f ck = 20 MPa γ c = 1,4 Aço CA-50 B b w = 30 cm d = h - 5 cm q d = 120 kn/m q d = 120 kn/m Solução: x 653,4 M d [ kn m ] V d [ kn ] = 60/2 + 90/2 4,20 5,28 A st / s t [cm 2 /m ] E φ 10 mm c 30 ( 5,34 cm 2 /m ) 7,35 E φ 10 mm c 20 ( 8 cm 2 /m ) N1 var 5 N1 c30 8 N1 c N1 φ 10 mm - var

21 cisalhamento ELU - 21 Como a altura da seção aumenta a intensidade do momento fletor, pode-se considerar o cortante reduzido ( ver tabela a seguir): V rd = V d - M d tgα / d tgα = 30/300 = 0,10 < 1/3 M d = - 60 x 2 V d = x d = 0,55 + 0,10 x a) Verificação do não esmagamento das bielas: τ wu = 0,25 f cd = 0, / 1,4 = 3,57 MPa 4,5 MPa τ wd, = V d, máx / ( b w d ) < τ wu = 3570 kpa ok b) Dimensionamento dos estribos (verticais, com p=2) A st /s t = 1,15 V rd / ( f yd d ) ( A st /s t ) mín A st /s t [ cm 2 /m] = 1,15 V rd [kn] / ( 43,5 kn/cm 2. d [m] ) ( A st /s t ) mín = 0, = 4,20 cm 2 /m c) Detalhamento dos estribos: bitola : 5 mm φ = 10 mm 300 mm /12 espaçamento: 7 cm s cm 0,5 d > 27,5 cm 30 cm x [m] d [m] V d [kn] M d [kn m] V rd [kn] τ wd [kpa] A st / s t [cm 2 /m] φ t 8mm [cm 2 /m] φ t 10mm [cm 2 /m] 0 0, ,20 c 20 5,00 c 30 5,34 0,50 0, , ,20 4,20 1,00 0, , ,92 4,20 1,50* 0, , ,28 2,00 0, , ,38 c 12,5 8,0 c 20 8,0 2,55* 0, ,2 257, ,35 3,30* 0, ,4 321, (*) Na prática, o dimensionamento da armadura poderia ser feito apenas para as seções x = 1,50m e x = 2,55m ( h/2 da face do apoio); e a verificação da compressão apenas para a seção do eixo do apoio x= 3,30 m, onde ocorre máximo τ wd.