Professor Assistente do Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica da Escola Politécnica da USP.

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1 EXEMPLOS DE IGAS CISALHAMENTO E FLEXÃO Januário Pellegrino Neto 1 Proessor Associado da Escola de Engenharia Mauá CEUN-IMT; Proessor Assistente do Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica da Escola Politécnica da USP. 1. Introdução O objetivo destes exemplos é a aplicação dos conceitos das seções 17 e 18 da NBR 6118:14. igas de concreto armado, isostática e contínua, submetidas às solicitações tangenciais e normais em aplicações simples de projeto são estudadas. Com o intuito de apresentar um roteiro prático para o projeto de estruturas de concreto armado, serão desenvolvidos três exemplos: I. Cisalhamento devido à orça cortante numa viga isostática; II. Dimensionamento e detalhamento de uma viga contínua; III. Dimensionamento e detalhamento de uma viga submetida à torção.. Exemplo I - Cisalhamento devido à orça cortante numa viga isostática Para a viga simplesmente apoiada, cujo esquema estrutural e diagrama de orça cortante estão indicados na igura.1, considera-se classe de agressividade II, concreto C5 ( ck =5MPa) e aço CA50 ( yk =500MPa). (/) 1 (/80) P (/) 3,0 m 4,0 m 3,0 m 100kN kn/m 100kN =0kN 0 P=0kN 1 k (kn) 1 Figura.1 Esquema estrutural e diagrama de k da viga 1(/80). O concreto C5 atende a seção 7 da NBR 6118:14 com relação à durabilidade (tabela 7.1), e adotase um cobrimento c=3,0cm, especiicado na tabela 7.. Admite-se altura útil d=7cm (d=0,9h). O estudo do cisalhamento devido à orça cortante será desenvolvido de acordo com a seção 17 da NBR 6118:14, veriicando-se o estado-limite último (17.4.) no cálculo da resistência ( ) e admitindo-se o modelo de cálculo I (17.4..). Devem-se veriicar, simultaneamente, as seguintes condições: 0

2 veriicação da compressão diagonal do concreto (biela de compressão), onde Sd é a orça cortante solicitante de cálculo, na seção; Sd Rd Rd é a orça cortante resistente de cálculo à compressão. = 0,7 α b d ; Rd cd w ck α = 1 e 50 ck, expresso em megapascal (MPa). cálculo da armadura transversal, Rd 3 é a orça cortante resistente de cálculo à tração diagonal. Sd Rd 3 = +, c = c0, =0,6, Rd 3 c Sw ctk,in ctd =, γ c a parcela absorvida por mecanismos complementares ao da treliça; A Sw = 0,9 d ywd, s a parcela resistida pela armadura transversal. Sendo bw a largura da seção, d a altura útil da seção, s o espaçamento entre estribos, ywd é a tensão no estribo, considerando-o na vertical ( α = ), cálculo do concreto e seção 8, item 8..5, por expresso em megapascal (MPa). ctd a resistência à tração de ctk,in a resistência à tração característica do concreto, explicitada na /3 /3 ctk,in = 0,7 ct, m = 0,7 0,3 ck = 0,1 ck, sendo ck Resultando para o cálculo da armadura transversal (estribo): A = s 0,9 d Sd c ywd. Para o dimensionamento e detalhamento das vigas de concreto armado, as disposições construtivas têm grande importância na execução e também para atender o modelo resistente de cálculo evitando rupturas rágeis. Assim sendo, deve-se respeitar a taxa de armadura mínima ρ, explicitada em , dada por: A ρ = 0, b s w ct, m ywk O diâmetro dos estribos ( φ t - bitola) e seu espaçamento longitudinal ( s ), são apresentados no item : bw 5mm φt, 10 0,6 d 30 cm, se d 0,67 7cm s 0,3 d cm, se d > 0,67 Rd Rd,

3 sendo que o espaçamento mínimo entre estribos deve ser suiciente para permitir a passagem do vibrador. Adota-se neste caso 7cm. Para a viga 1 de concreto C5 e aço CA50, ρ, α e 0,6 ctd são necessários para a veriicação do estado-limite último: ρ /3 ct, m 0,7 (5) 0, = 0, = 0,00106 = 0,10% 500 ywk ck 5 α = 1 = 1 = 0, /3 0,1 (5) 0,6 ctd = 0,6 = 0,77MPa 1,4 A tabela.1 indica estes valores para outros concretos usuais. Tabela.1: alores auxiliares ρ,mín, α v e 0,6. ctd. ck (MPa) ρ,mín (%) 0,09 0,10 0,1 0,13 0,14 α v 0,9 0, 0,88 0,86 0,84 0,6. ctd (MPa) 0,66 0,77 0,87 0,96 1,05.1. eriicação da compressão diagonal do concreto (biela de compressão) Para esta veriicação basta veriicar a maior orça cortante na viga 1, k =0kN, portanto: = γ = 1,4 0 = 80 kn Sd k,5 Rd = 0, 7 α cd bw d = 0, 7 0, 7 = 64,8 65kN 1,4 Sd Rd Sd Rd, portanto está veriicada a biela de compressão, e = 0,45 < 0,67 s = 30cm < 0,6 d = 0,6 7 = 43,cm máx.. Cálculo da armadura transversal (estribo) O dimensionamento da armadura transversal devido à orça cortante em vigas de ediícios é eito normalmente de orma escalonada (degraus), tendo no máximo três trechos por vão. Em geral, armaduras concentradas para resistir às orças cortantes são localizadas nos trechos extremos do elemento e armadura mínima é disposta no trecho central. Para a viga 1 da igura.1, tem-se: Trecho extremo k =0kN = γ = 1,4 0 = 80kN d k c = 0,6 ctd bw d = 0,077 7 = 110,9kN 0,77MPa kn / cm cm cm

4 kn φ6,3 c /10 A d c , 9 cm = = = 6,0 φ8 / 16 0,9 50 c s d ywd 0, 9 0,7 m 1,15 φ10 c / 6 m kn / cm bw 0 O diâmetro da armadura transversal (bitola) deve atender 5mm φt = = mm, e o As 1 espaçamento 7cm s 30cm. O espaçamento pode ser calculado por s =, onde A A s1 é a área de uma barra, utilizando-se ramos, e A a armadura calculada. Tem-se na tabela. os cálculos das bitolas e espaçamentos possíveis. Excluindo-se φ5mm, pois s < s mín = 7cm, e φ1,5mm, onde s >> s máx = 30cm, adota-se φ6,3c/10. Tabela.: Bitolas e espaçamentos. φ (mm) 5 6, ,5 A s1 (cm ) 0, 0,315 0,50 0,80 1,5 s calculado (cm) 6,7 < 7 10,5 16,7 6,7 41,7 > 30 S adotado (cm) Trecho central k =kn (Tabela.3) A d = γ k = 1, 4 = 56 < c s Onde: A φ5 c / ρ, mín = 0,10% = 0,10% bw = 0,10 = 0,0 =,0 s mín φ % cm 6,3 / 30 cm / cm cm / m c Tabela.3: Bitolas e espaçamentos. φ (mm) 5 6,3 8 A s1 (cm ) 0, 0,315 0,5 s calculado (cm) 31,5 50 >> 30 S adotado (cm) ~ mín.3. Detalhamento da armadura transversal (arranjo dos estribos) A igura. apresenta o detalhamento dos estribos. A orça cortante no trecho extremo oi considerada como sendo a reação de apoio, onde pode-se utilizar a orça cortante na ace do apoio (item ), além da redução prescrita em , considerando a orça cortante à distância d/ da ace de apoio.

5 (/) 1 (/80) P (/) 3,0 m 4,0 m 3,0 m 100kN kn/m 100kN =0kN 0 0 d/=188,8 d/=36cm 1 armação em degraus, trecho central com armadura mínima P=0kN 14 d/=36cm k (kn) d/=188, φ6,3 c=1,91m 9 φ6,3c/10 80cm (6 φ 6,3c/11) 14 φ6,3c/30 0cm 9 φ6,3c/10 80cm (6 φ6,3c/11) c=(14+74)+15=191cm G=15cm ( φ6,3mm) Figura. Detalhamento da armadura transversal O detalhamento da armadura transversal (arranjo dos estribos) indicado na igura. mostra o arranjo em degraus assim como a alternativa da redução da cortante na seção à d/ da ace de apoio, k,d/ =188,8kN, que resulta: = γ = 1,4 188,8 = 64,3 kn d k kn φ6,3 c /11 A d c 64, 3 110, 9 cm = = = 5,45 φ8 / 18 0,9 50 c s d ywd 0,9 0,7 m 1,15 φ10 c / 9 m kn / cm Neste exemplo não há a necessidade de veriicar a suspensão das cargas concentradas, pois como indicado no esquema estrutural da igura.1, são oriundas de dois peris sobre a 1.

6 .4. Exemplo I Carga uniormemente distribuída Considera-se o mesmo exemplo I, com a carga equivalente uniormemente distribuída p=kn/m. Pretende-se discutir o detalhamento, a deinição do trecho central de armadura mínima (identiicando a cortante mínima) e considera-se a cortante extrema sem a redução na seção à d/ da ace - k =0kN. A igura.3 mostra o detalhamento da armadura, onde analogamente tem-se: = γ = 1,4 0 = 80kN e d k A s =,0 φ6,3 c / 30 e mín cm / m A s cm = 6,0 φ6,3 c /10, m , 3 d, mín =,0 0,9 0, ,88 = 167,3kN k, mín = = 119,4 1kN 1,15 1, 4 (/) 1 (/80) P (/) 10,0 m kn/m =0kN P=0kN 0 0 armação em degraus, trecho central com armadura mínima k,mín =1 k (kn),0m 3,0m φ6,3c/10 180cm 1 φ6,3c/30 600cm 19 φ6,3c/10 180cm Figura.3 Detalhamento da armadura transversal carga uniormemente distribuída

7 3. Dimensionamento e detalhamento de uma viga contínua O dimensionamento e o detalhamento da viga contínua indicada na igura 3.1 é apresentado na sequência. É eito o estudo do cisalhamento devido à orça cortante e a distribuição da armadura longitudinal de lexão considerando as seções 17 e 18 da NBR6118:14. Para esta viga 1 adotou-se uma solução equilibrada com um nível de plastiicação dos momentos negativos e o correspondente acréscimo dos momentos positivos. Considera-se classe de agressividade II, e materiais concreto C5 ( ck =5MPa) e aço CA50 ( yk =500MPa) (os mesmos materiais do exemplo I). Admite-se altura útil d=54cm (d=0,9h). (/60) P (/) P3 (/) 1 (/60) 3 (/) (/60) ,0 m 5,0 m 4,0 m,0 m M1=1kN.m =80kN kn/m M=0kN.m (hiperestático) kn/m 3=100kN kn/m =1kN e=1 d=180 P=300kN =1kN Figura 3.1 Esquema estrutural da viga 1(/60) 3.1. eriicação do estado-limite último ELU da orça cortante De acordo com o roteiro do exemplo I, segue o dimensionamento abaixo e o detalhamento indicado na igura 3.: eriicação da diagonal de compressão (Biela de compressão) Sd Rd = 1,4 180 = 5kN,5 = 0,7 0, 54 = 468,6kN 1,4 Sd < Rd ok! Armadura mínima ( k,mín Cortante mínima) A s =,0 φ5 c / mín cm / m c = 0, = 83,kN 0,6 ctd d, mín =, 0 0, 9 0,54 43,5 + 83, ( ) cm / m d m yd ( kn / cm ) = 15,5 kn = kn d, mín k, mín kn Dimensionamento dos estribos d = 1,4.180 = 5kN A 5 83, cm = = 8,0 s 0, 9 0,54 43,5 m φ 8 c / 1,5 (1,5cm é utilizado por ser 1/8m) d = 1,4.1 = 168kN A s , cm = = 4,0 0, 9 0,54 43,5 m φ5 c /10 φ8 c / 5 Espaçamento máximo Sd Rd = 0,54 < 0,67 s = 30cm máx

8 O detalhamento na igura 3. não considera a necessidade de armadura de suspensão nos apoios indiretos das vigas e 3 sobre a 1. (/60) 1 (/60) P (/) P3 (/) 3 (/) (/60) ,0 m 5,0 m 4,0 m,0 m M1=1kN.m =80kN kn/m M=0kN.m (hiperestático) kn/m 3=100kN kn/m =1kN e=1 d=180 P=300kN P3=1kN k (kn) 1 1 (6φ 8c/5) 13φ5c/10 6φ5c/ (6φ 8c/5) 14φ5c/ φ8c/1 1φ5c/ Figura 3. Detalhamento da armadura transversal 1(/60) (7φ 8c/5) 15φ5c/ Neste detalhamento observa-se a deinição do trecho central de armadura mínima por meio da cortante mínima k =kn, e os trechos extremos dos vãos com as cortantes k =1kN e k =180kN, sendo atendida a veriicação da biela de compressão para a cortante máxima k =180kN d =5kN. Analisando-se a armadura de suspensão das cargas oriundas dos apoios indiretos, veriica-se a necessidade de suspender estas cargas por armadura transversal calculada pela seguinte órmula: A susp R h R h d d =, yd a yd onde, R d - orça a ser suspensa, h - altura da viga apoiada, h a - altura da viga suporte, yd - resistência ao escoamento do aço, valor de cálculo.

9 Apoio indireto (/) 1,4 80 Asusp = = 1,7 cm (5φ5 = 5 0, =,0 cm ) 5φ5 c / 15(60 cm ) 43,5 60 ramos As 1 Apoio indireto 3(/60) 1, Asusp = = 3, cm (4φ8 = 4 0,5 = 4,0 cm ) 4φ8 c / (60 cm ) 43,5 60 ramos A armadura de suspensão especial não precisa ser somada com os estribos existentes. Na igura 3.3, detalha-se a armadura de suspensão diminuindo-se os espaçamentos dos estribos nas regiões de suspensão, deinidas como sendo h a / para cada lado do eixo da viga que se apoia, portanto, 60 cm no total. As 1 (/60) 1 (/60) P (/) P3 (/) 3 (/) (/60) ,0 m 5,0 m 4,0 m,0 m M1=1kN.m =80kN kn/m M=0kN.m (hiperestático) kn/m 3=100kN kn/m =1kN e=1 d=180 P=300kN P3=1kN k (kn) (suspensão) 1 80 (suspensão) 1 (6φ 8c/5) 13φ5c/10 5 5c/15 7φ5c/ φ (6φ 8c/5) 4φ8c/ 17φ5c/ 14φ5c/ φ8c/1 8φ5c/ (10φ8c/5) 3φ5c/ Figura 3.3 Detalhamento da armadura transversal e de suspensão 1(/60) 3.. eriicação do estado-limite último ELU de lexão normal simples Neste item, apenas ilustra-se o detalhamento - distribuições transversal e longitudinal - das armaduras, sendo o detalhamento longitudinal somente das armaduras resistentes, segundo o item 18.3 da NBR6118:14. O resultado do dimensionamento está indicado na igura 3.4, onde

10 consideram-se seções tipo T para o meio vão (armadura positiva) e retangulares para os apoios (armadura negativa). (/60) 1 (/60) P (/) P3 (/) 50 3 (/) (/60) ,0 m 5,0 m 4,0 m,0 m M1=1kN.m =80kN kn/m M=0kN.m (hiperestático) kn/m 3=100kN kn/m e=1 d=180 =1kN P=300kN =1kN A s=8,0cm (4φ16) A s=14,5cm (5φ) 0 1 Mk (kn.m) A s=9,1cm (5φ16) A s=1,cm (4φ) Figura 3.4 Resultados do dimensionamento das armaduras de lexão 1(/60) Os seguintes dados oram considerados nos detalhamentos transversal e longitudinal: concreto C5 ( ck =5 MPa), aço CA50 ( yk =5 MPa), cobrimento c=3,0cm; estribo φ t =8,0mm, φ vib +1=5cm, φ máx,agr =19mm boa l = 38 φ; má l = 54 φ; a = cm; a =,8 cm; a =,0cm. b b l h v l b - comprimento de ancoragem a l - comprimento de decalagem a h e a v - espaçamento livre entre as aces das barras longitudinais, horizontal e vertical. O resultado do detalhamento, transversal (18.3..) e longitudinal ( ) está indicado na igura 3.5. Detalhamento transversal (Alojamento na seção; b s é a distância livre entre aces internas dos estribos) O alojamento deve observar o disposto no item da NBR6118:14, atendendo a unção estrutural como também as condições adequadas de execução.

11 b n φ + ) s b n φ + s b + e s h ( n 1 eh n (armadura inerior) φ + eh φ b + e ( φ + 1) s h vib ( n ) eh + ( vib + 1) n (armadura superior) φ + eh 13,4 +,3 13,4 +,3 n φ (in) n = 3,6 3φ 1,6 +,3,0 +,3 φ16 (in) = 4,0 = 4φ 13,4 +,3 5,0 13,4 +,3 5,0 n φ (sup) n = 3,0 = 3φ 1,6 +,3,0 +,3 φ16 (sup) = 3,3 3φ (/60) 1 (/60) P (/) P3 (/) 3 (/) (/60) ,0 m 5,0 m 4,0 m,0 m M1=1kN.m =80kN kn/m M=0kN.m (hiperestático) kn/m 3=100kN kn/m =1kN e=1 d=180 P=300kN =1kN (4φ 16) (4φ 16) 1 φ16 φ 0 c=480 φ16 φ 150 c=355 1φ 173 c= l b=54 φ=86 l b=54 φ= φ= (5φ ) 0 (5φ ) 10 φ=16 Mk (kn.m) (5φ 16) 10 φ=16 l b=38 φ= (5φ 16) l b =38 φ= φ φ16 65 φ φ φ= ( grampos φ10) Figura 3.5 Resultados do detalhamento das armaduras de lexão 1(/60) 67 φ (4φ ) Alojamento longitudinal (Corte longitudinal das barras) A distribuição longitudinal das barras ancoradas por aderência (vide igura 18.3 da NBR6118:14) indicada na igura 3.5 segue o estabelecido no item : prolonga-se 10φ além do ponto de σ s nula e l b onde se necessita de máxima eiciência da armadura - yd.

12 O diagrama de momento letor decalado é dividido na vertical em partes iguais entre si, tantas quantas orem o número de barras a serem detalhadas. eriica-se que barras, As, apoio 1/ 3( As, vão ) φ = >, atende o requisito da quantidade de armadura de tração no apoio junto ao P3. A distância disponível para a ancoragem é dada por = = 3=17. Para ancorar a última biela de compressão, a área de aço necessária é de: A s, apoio al d 1,4 1 = 0,75 =, 9cm. d 43,5 yd É preciso, ainda, veriicar se as barras existentes se ancoram em. Para isso, calcula-se o comprimento necessário de ancoragem (9.4..5): A,9 l = α l = 0,7 38 = 4,50cm,8cm = l s, calc b, nec b b, mín As, e 3,15 Considerou-se α = 0,7 (presença de gancho) admitindo-se que se tenha cobrimento no plano normal ao do gancho maior ou igual a 3φ. Como o comprimento necessário para ancoragem é maior que que o comprimento disponível, adiciona-se grampos horizontais localizados para que o valor do A s,e seja aumentado e, por consequência, l b, nec, diminuído. Impõem-se l b, nec =adisp e encontra-se A s,e = 9,08 cm². Como já existem 6,3 cm² ( φ mm) adicionam-se dois grampos horizontais, indicados na igura 3.5, em orma de U com φ 10 mm totalizando 3, cm² (xx0,8cm²), de comprimentos l = 38 φ = 38 1,0 = 38cm da ace do apoio (ver Figura 3.5). b