6 Vigas: Solicitações de Flexão

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1 6 Vigas: Solicitações de Fleão Introdução Dando seqüência ao cálculo de elementos estruturais de concreto armado, partiremos agora para o cálculo e dimensionamento das vigas à fleão. Ações As ações geram solicitações nas estruturas. Estas solicitações são determinadas através de teorias de cálculo estrutural. No caso geral, tem-se: F = F k F d = f F k S d ou, em estruturas de comportamento linear, F = F k S k S d = f S k. No caso da fleão simples, tem-se: F d M d. Resistências As resistências são determinadas através de teorias apropriadas, a partir dos dados da seção transversal e das características mecânicas dos materiais. No caso da fleão simples tem-se, como dados: f ck (resistência do concreto); f yk (resistência da armadura); e dimensões relativas da seção transversal (concreto e armadura). Através de teoria apropriada determina-se o momento resistente último, M u Verificações de Segurança Eiste segurança adequada quando é verificada a condição: M d M u. Por razões de economia, faz-se M d = M u. 168

2 Tipos de Ruptura na Fleão Em geral, tem-se o seguinte tipo de ruptura: se = 0, ou muito pequena ruptura frágil (brusca) por tração no concreto; se for muito grande (pequena deformação s ) ruptura frágil (brusca) por esmagamento do concreto comprimido; e se for adequada ruptura dúctil (com aviso), com escoamento da armadura e acompanhada de intensa fissuração da zona tracionada 3.6 Hipóteses de Cálculo na Fleão Para o dimensionamento usual das vigas em concreto armado, deve-se respeitar as seguintes hipóteses de cálculo: a) Manutenção da seção plana ; As seções A e B passam para A e B, quando fletidas, permanecendo planas conforme a figura a seguir: b) Aderência perfeita entre concreto e armadura; Ineiste qualquer escorregamento entre os materiais, em outras palavras, a deformação da armadura s é admitida igual à deformação da fibra de concreto c, junto a esta armadura. c) Tensão no concreto nula na região da seção transversal sujeita a deformação de alongamento; d) Diagramas tensão-deformação (de cálculo) no aço aço de dureza natural: este aço apresenta patamar de escoamento conforme a figura d1. 169

3 f yk sd f yd diagrama cálculo arctg E s de Figura d.1 E s = kn/cm 2 f yk = valor característico da resistência da armadura correspondente ao patamar de escoamento (resistência característica no escoamento) s = 1,15 (coeficiente de ponderação da resistência da armadura) f yd = f yk / s = valor de cálculo da resistência da armadura correspondente ao patamar de escoamento yd = f yd / E s = deformação correspondente ao início do patamar de escoamento Os aços desta categoria são os seguintes: yd 0,010 sd TIPO f yk (kn/cm 2 ) f yd (kn/cm 2 ) yd CA ,74 0,00104 CA ,48 0,00207 CA ,17 0,00248 Os aços são designados pela sigla CA (Concreto Armado), seguido da resistência característica no escoamento em kn/cm 2. e) Diagramas tensão-deformação (de cálculo) no concreto diagrama parábola-retângulo cd 0,85f cd patamar parábola do 2 o grau c encurtamento) 0,002 0,0035 Figura e.1 c = 1,4 (coeficiente de ponderação da resistência do concreto) f cd = f ck / c 0,85 : coeficiente para considerar a queda de resistência do concreto para cargas de longa duração (efeito Rusch) 170

4 diagrama retangular simplificado k f cd M ud 0,8 deformação de estado limite último ( u) Figura e.2 = altura da zona comprimida, medida a partir da borda comprimida k = 0,85, quando a largura da zona comprimida não diminui em direção à borda comprimida (seção retangular); em caso contrário usar 0,80. f) Domínios de Deformação, O estado limite último convencional ocorre quando o diagrama de deformação passa por um dos dois pontos, A ou B, na fig. f1). A 0,0035 D2 23 d M ud 34 2 h 4 D4 D3 3 B yd 0,010 Figura f.1 Sendo: d = altura útil da seção = distância do CG da armadura à borda comprimida = altura da zona comprimida (medida a partir da borda comprimida) Diz-se que o diagrama de deformação do tipo 2 está no domínio de deformação 2 quando a altura da zona comprimida obedece à condição: 23 = 0,0035 d / (0, ,010) = 0,259 d Por sua vez, o diagrama de deformação encontra-se no domínio 3 de deformação quando a altura da zona comprimida obedece à condição: = 0,0035 d / (0, yd ) Analogamente, o diagrama de deformação está no domínio 4 quando: 34 d. 171

5 eção que atinge o ELUlt. nos domínios D 2 e D 3 é dita sub-armada ou normalmente armada. Quando o ELUlt. é atingido no D 4, a seção é dita superarmada. Trata-se de situação antieconômica, pois a armadura não é eplorada na sua plenitude. Procura-se evitar o dimensionamento neste domínio. 3.7 Dimensionamento à Fleão Seção Retangular à Fleão eção retangular com armadura simples é caracterizada da seguinte forma: a zona comprimida da seção sujeita a fleão tem forma retangular; a barras que constituem a armadura está agrupada junto à borda tracionada e pode ser imaginada concentrada no seu centro de gravidade b 0,85f cd h d M ud 0,8 u R c d R sd 0,4 d - 0,4 sd Resultantes das tensões: no concreto: na armadura: R cd = 0,85f cd b0,8 = 0,68bf cd R sd = sd Equações de equilíbrio: Força: R cd = R sd ou 0,68bf cd = sd (1) Momento: M ud = R cd (d-0,4) ou M ud = R sd (d - 0,4) Substituindo o valor das resultantes de tensão, vem: Ou M ud = 0,68bf cd (d - 0,4) (2) M ud = sd (d - 0,4) (3) Nos casos usuais de dimensionamento, tem-se b, f cd e faz-se M ud = M d (momento fletor solicitante em valor de cálculo). Normalmente, pode-se adotar d 0,9 h. Dessa forma, a equação (2) nos fornece o valor de : 172

6 M d 1, 25d , bd f cd Com o valor de, tem-se o domínio de deformação correspondente, podendo ocorrer as seguintes situações: I) domínio 2, onde 23 = 0,259 d; e sd = f yd II) domínio 3, onde = 0,0035 d / (0, yd ); e sd = f yd III) domínio 4, se 34 ; neste caso, convém alterar a seção para se evitar a peça superarmada; esta alteração pode ser obtida da seguinte forma: aumentando-se h (normalmente, b é fio pois depende da espessura da parede onde a viga é embutida); adotando-se armadura dupla. Obs.: o aumento da resistência do concreto (f ck ), também permitiria fugir do domínio 4. Para a situação adequada de peça sub-armada tem-se, sd = f yd. Assim, a equação (3) nos fornece Md Md As (d 0,4) f (d 0,4) Seção T sd Para o cálculo de uma viga de seção T, deve-se inicialmente determinar uma largura que contribui para resistir ao esforço solicitante. Esta largura de contribuição da mesa, b f, mostrada na figura a seguir. yd b f 0,85f cd h f 0,8 0,85f c d b 1 b w M ud u Figura Onde: 173

7 onde 8 hf (6hf para laje em balanco) b1 a/10 b 2/2 em viga isostatica a 0,75 em vao etremo de viga contínua 0,6 em vao interno de viga contínua sendo l o vão correspondente da viga. Se a altura comprimida (0,8 ) for menor ou igual à espessura da laje (h f ), tem-se uma seção retangular com armadura simples, já vista. Quando for maior do que h f, a forma da zona comprimida (sujeita à tensão 0,85f cd ) tem a forma de um T. A análise da seção pode ser feita como se indica a seguir. M ud 0,85f cd 0,8 R cfd R cwd b f h f d u R sd b w Figura O problema pode ser equacionado subdividindo a zona comprimida em retângulos (1 e 2). As resultantes de tensão sobre as partes 1 e 2 valem: Resultante do concreto na aba colaborante: R cfd = 0,85 f cd (b f - b w ) h f (1) Resultante do concreto na alma: R cwd = 0,85 f cd b w (0,8 ) (2) A equação de equilíbrio de momento fornece: M ud = M d = M cfd + M cwd = R cfd (d - h f / 2) + M cwd ou M cwd = Md - R cfd (d - h f / 2) Este momento deve ser resistido pela parte 2 que é uma seção retangular b w por d. Portanto 1,25d1 M 1 0,425b 174 cwd 2 wd f cd

8 Com a posição da linha neutra, obtém-se a resultante do concreto na alma, R cwd, através de (2). A equação de equilíbrio de força permite escrever: R sd = f yd = R cfd + R cwd De onde se obtém a área de aço, As, necessária para resistir ao esforço solicitante. Seção Retangular com Armadura Dupla Quando se tem, além da armadura de tração, outra A s posicionada junto à borda oposta comprimida, diz-se que se tem seção com armadura dupla. Normalmente, ela é empregada para se conseguir uma seção sub-armada sem alterar as dimensões da seção transversal. A armadura comprimida A s introduz uma parcela adicional na resultante de compressão permitindo, assim, aumentar a resistência da seção. Seja o esquema de cálculo mostrado a seguir: c h d d A s M d s 0,4 R cd R sd d R sd b Figura Equilíbrio de força: Equilíbrio de momento: R sd = R cd + R sd sd = 0,68 b f cd + A sd sd M d = R cd (d - 0,4 ) + R sd (d - d ) M d = 0,68 b f cd (d - 0,4 ) + A sd sd (d - d ) (a) (b) Tem-se duas equações, (a) e (b) e três incógnitas:, e A s (pois, as tensões nas armaduras dependem de ). Costuma-se adotar um valor de (naturalmente, menor ou igual a 34 ), por eemplo, = d/2. Dessa forma, podem ser determinadas as armaduras e A s como se indica a seguir. As equações (a) e (b) sugerem a decomposição mostrada na figura seguinte. 175

9 c c d 1 M wd d 0,4 d R R sd cd A s M d s d d-d d- 0,4 R sd1 b 2 R sd2 Figura Conforme se indica na figura acima, pode ser determinada a primeira parcela do momento resistente, designada por M wd : M wd = 0,68 b f cd (d - 0,4 ) e R sd1 = M wd / (d - 0,4 ). Como sd = f yd (peça sub-armada), tem-se 1 = R sd1 / f yd. Assim, fica conhecida a parcela restante do momento resistente Também, M d = R sd (d - d ) = A sd sd (d - d ) e M d = R sd2 (d - d ) = 2 sd (d - d ) M d = M d - M wd. que permitem determinar as áreas restantes de armadura, 2 e A s. R sd = R sd2 = M d / (d - d ) e 2 = R sd2 / f yd. O cálculo de A s, requer a determinação da tensão sd. Com =, tem-se, no domínio 3, c = 0,0035 e no domínio 2: c = 0,010 / (d ) (por semelhança de triângulos). Logo: s = c ( - d ) / 176

10 que permite obter sd (no diagrama da armadura). Finalmente: A s = R sd / sd e = Alojamento das Armaduras A área da armadura necessária para resistir a um momento fletor M, numa dada seção de viga, é conseguida agrupando-se barras conforme as bitolas comerciais disponíveis. Geralmente, adotam-se barras de mesmo diâmetro. Uma das hipóteses básicas do dimensionamento de peças submetidas a solicitações normais é a da aderência perfeita. Para a garantia desta aderência é fundamental que as barras sejam perfeitamente envolvidas pelo concreto; por outro lado, a armadura deve ser protegida contra a sua corrosão; para isso adota-se um cobrimento mínimo de concreto para estas armaduras. A figura mostra a disposição usual com armaduras isoladas entre si. Eventualmente, pode-se adotar armadura formada por feies de 2 ou 3 barras. porta estribos c = cobrimento mínimo da armadura estribo c t armaduras de pele e h e v 3 a camada 2 a camada Figura camada A tabela apresenta as bitolas usuais de armaduras de concreto armado. Tabela (mm) 3, , , (cm 2 ) 0,08 0,125 0,2 0,315 0,5 0,8 1,25 2,0 3,15 5,0 8,0 1 a c 177

11 = diâmetro nominal (mm) 1 = área nominal da seção transversal de uma barra em cm 2 Os valores de cobrimento mínimo recomendado pela NBR-6118 são os seguintes: a) concreto revestido com argamassa de pelo menos 1 cm de espessura: c(cm) elemento estrutural 0,5 lajes no interior de edifícios 1,0 paredes no interior de edifícios 1,5 pilares e vigas no interior de edifícios 1,5 lajes e paredes ao ar livre 2,0 pilares e vigas ao ar livre b) concreto aparente c(cm) elemento estrutural 2,0 interior de edifícios 2,5 ao ar livre c) concreto em contato com o solo: c = 3 cm Nota: em solo não rochoso recomenda-se um lastro (camada adicional em contato com o solo) de pelo menos 5 cm de espessura com consumo de 250 kg de cimento por m 3. d) peça de concreto em ambiente fortemente agressivo: c = 4 cm. e) quando, por qualquer razão, c > 6 cm, deve-se utilizar uma rede complementar dentro dos limites anteriormente indicados. Para alojamento das armaduras, sem emendas, deve-se procurar proceder conforme indicado abaio: Brita brita 1 brita 2 agr 9,5 a 19 mm 19 a 25 mm 178

12 e h 2cm 1, 2 agr ; e cm v 2 0, 5 agr onde = diâmetro da barra agr = diâmetro máimo do agregado c t b s t c e v e h c b w Figura Na ocasião de emendas, deve-se procurar alojar as armaduras como mostrado na figura abaio (figura ): > 2 > > 2 > Figura Quando ocorrer uma distribuição em mais de três camadas, deve-se prever a partir da quarta camada, espaço adequado para a passagem do vibrador (figura ). 179

13 acesso p/vibrador vibr + 1 cm 4 a camada Figura Nota: se b w > 60 cm, prever mais acessos para o vibrador (admitindo-se a eficiência do vibrador dentro de um raio de aproimadamente 30 cm). Para alojar barras em feies de 2, 3 ou 4 barras, deve-se proceder de acordo com as regras do item 4, substituindo-se o diâmetro das barras pelo diâmetro equivalente ao feie de barras n = 2 n = 3 n = 4 eq n onde n = n o de barras no feie. Detalhes complementares: a) armadura de fleão alojada junto à face superior da seção (figura ) vib + 1 cm Figura Nota: prever espaço para passagem do vibrador. 180

14 b) armadura junto à borda com abas tracionadas (figura ) Recomenda-se distribuir parte da armadura de tração nas abas tracionadas devidamente ligadas à alma da viga através de armaduras de costura. f1, f1 h f /10 vib + 1 cm f2, f2 h f /10 w = w + f1 + f2 Figura c) vigas altas (h > 60 cm) Posicionar as armaduras de pele (l ) conforme indicado na figura l = 0,05% b w h (de cada lado) d / 3 30 cm Figura entre 6 e 20 cm 3.8 Eercícios Serão realizados eercícios em sala de aula envolvendo armaduras simples e duplas. 181

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