Exemplo de Análise de Tabuleiro com duas Vigas

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1 Exemplo de Análise de Tabuleiro com duas Vigas 1 Introdução Mostra-se no que segue um exemplo de determinação das solicitações permanentes e móveis das longarinas que formam juntamente com a laje e a transversina de apoio - o tabuleiro de uma ponte Classe 45. O modelo estrutural que se adota é o mais simples possível a ser refinado numa análise definitiva e admite a laje como uma seqüência de vigas funcionando apenas na direção transversal. Além disso, a rigidez à torção das longarinas é desprezada. Com isto, a ligação laje-longarina só transmite força vertical, como uma articulação interna fixa. Ver a Figura 1. No item 6 a longarina, protendida em pós-tração com aderência posterior, é verificada para os principais estados limites. 50 m Revestimento asfáltico, variável de 11 m a 04 m % 50 m 0 m h fl= 0 m 70 m (a) Seção transversal. 50 m 50 m,00 m 4,00 m (b) Transversina de apoio. (c) Modelo estrutural. Articulação fixa (c) Vão da ponte. l = 00 m Figura 1: (a) Seção transversal; (b) Transversina de apoio; (c) Modelo estrutural; (d) Vão da ponte. UEL Centro de Tecnologia e Urbanismo, Departamento de Estruturas, Pontes, Prof. Roberto Buchaim, Abril 07 1

2 . Características geométricas.1 Longarina A largura colaborante da laje, cf. a Figura, é definida pelas seguintes parcelas: b fl = b + bw + b 1 onde, de acordo com a NBR 6118:0 item , as parcelas da laje são limitadas a (com a = distância entre pontos de M = 0, donde no caso a = l = 0 m ): 10a =, 00 m b = 50 m 50 m 10a =, 00 m b1 =, 00 m, 00 m Sendo b w = 50 m, resulta a largura colaborante da laje (a ser usada tanto na análise quanto no dimensionamento) igual a: b = b + b + b =, + + = fl w , 00 4, 00 ou seja, toda a laje pode ser considerada como participante da viga. m b fl=4,00 m x h fl= 0 m 1 1 x 511 m y 70 m CG 1887 m b =50 m b w =50 m b 1=,00 m Figura : Características geométricas da seção transversal. De acordo com a Figura, obtém-se as características geométricas da seção transversal (sub-índice 0 ) da tabela seguinte. UEL Centro de Tecnologia e Urbanismo, Departamento de Estruturas, Pontes, Prof. Roberto Buchaim, Abril 07

3 Figura Seção b/h A i =Área (m ) y cgi (m) Momento estático em relação ao eixo x A i (y cgi -y cgo ) b i h i /1 1,50/ / Σ A 0 =55 S 0x = A distância do CG da seção ao eixo x é igual a y cg 0 = 795/ 55 = 511 m. O momento de inércia resulta da soma das duas últimas colunas, ou seja: I 0 = = 497 m 4. Determinação das cargas atuantes na longarina.1 Cargas permanentes As cargas permanentes originam-se do peso próprio da estrutura, do passeio, do revestimento asfáltico (inclusive eventual reposição de kn/m ) e do guarda-corpo (de espessura 15 m, e peso próprio estimado em 1 kn/m). peso próprio g 0 =A 0 γ +passeio concr = (55+0x5)x5= 415 kn/m rev. asfáltico g 1 =A asf γ +reposição = asf [5x(04+11)x4+]x,5= 0 kn/m guarda-corpo g = 00 kn/m Soma g = 55,55 kn/m. Carga móvel A carga móvel para ponte CL45 consta de um veículo de 6 rodas e peso igual a 450 kn (ou 75 kn por roda), de uma multidão igual a 5 kn/m, ambas majoradas pelo coeficiente de impacto, e de uma multidão no passeio de intensidade igual a kn/m, sem impacto. Assim, tem-se: Coeficiente de impacto: ϕ = 1, 4 007l = = 19 Carga de uma roda: 75 ϕ = 89, 5 kn Carga de multidão (na pista): 5ϕ = 5, 95 kn / m Carga de multidão (no passeio): kn / m Admite-se para pré-dimensionamento que a linha de distribuição transversal de carga (LDTC) seja a linha de influência de reação de apoio de uma viga biapoiada com balanços, uma vez que a rigidez à torção da longarina está desconsiderada neste cálculo simplificado. Ver a Figura. UEL Centro de Tecnologia e Urbanismo, Departamento de Estruturas, Pontes, Prof. Roberto Buchaim, Abril 07

4 5 m 5,75 m Corte fora do veículo 10 m 50 m,00 m 50 m,00 m 15 m Corte pelo veículo Articulação fixa Articulação fixa 4,50 m LDTC Figura : Determinação do trem-tipo da longarina. Conforme a Figura, tem-se a seguinte repartição de carga para a longarina da esquerda: Contribuição de cada par de rodas: Q=89,5(+778)=89,5x=178,5 kn Note-se que, na posição mais desfavorável, a longarina recebe a carga total do veículo com impacto, i.e., 450ϕ =55,5 kn, pois são pares de roda que a carregam (x178,5=55,5 kn). Multidão (no corte pelo veículo): q 1 =5,95(667x/)+[(56+)x10/]=6,6 kn/m Multidão (no corte transversal fora do veículo): q =5,95(78x5,75/)+[(56+78)x5/]=,5 kn/m O trem-tipo resultante está mostrado na Figura 4. UEL Centro de Tecnologia e Urbanismo, Departamento de Estruturas, Pontes, Prof. Roberto Buchaim, Abril 07 4

5 Q=178,5 kn Q=178,5 kn Q=178,5 kn q =,5 kn/m q1=6,6 kn/m q =,5 kn/m faixa fora do veículo 5 m 5 m 5 m 5 m 6 m faixa do veículo faixa fora do veículo Figura 4: Trem-tipo da longarina. Note-se que a LDTC tem uma região negativa, o que implica na existência de um trem-tipo negativo. A importância deste trem-tipo está na consideração da fadiga dos materiais. A sua determinação é feita de modo análogo ao do tremtipo positivo da Figura Solicitações na longarina Calculam-se neste item apenas as solicitações que permitem comprovar se a estrutura atende os estados limites previstos em norma. 5.1 Solicitações permanentes Máximo momento fletor: M g =gl /8=55,55x0 /8=649 knm Máxima força cortante: V g =gl/=55,55x0/=8 kn 5. Solicitações da carga móvel O máximo momento fletor da carga móvel é obtido a seguir através de linha de influência da longarina, como viga bi-apoiada. Ver a Figura 5. Q=178,5 kn Q=178,5 kn Q=178,5 kn q =,5 kn/m q 1=6,6 kn/m q =,5 kn/m 1 m 4x5 1 m 6,000 6,000 6,750 6,750 7,500 1 Figura 5: Linha de influência do momento fletor no centro do vão. maxm q =178,5(7,5+x6,75)+6,6[(7,5+6)6/]+,5[(6x1/)]=5680 knm UEL Centro de Tecnologia e Urbanismo, Departamento de Estruturas, Pontes, Prof. Roberto Buchaim, Abril 07 5

6 Q=178,5 kn Q=178,5 kn q 1=6,6 kn/m Q=178,5 kn q =,5 kn/m x5 5, /0 Figura 6: Linha de influência da força cortante no apoio. maxv q =178,5(1+95+9)+6,6[(1+85)4,5/]+,5(85x5,5/)=787, kn 6. Pré-dimensionamento das armaduras longitudinais ativa e passiva. 6.1 Dados iniciais Obtém-se neste item a cablagem a adotar, bem como a armadura passiva longitudinal, a qual complementa a resistência da peça no ELU-Flexão simples. Os dados mecânicos dos materiais a usar são os seguintes: Aço categoria CP 190 RB 15,: resistência característica à ruptura por tração: f ptk =1900 MPa, resistência característica ao escoamento: f pyk =9f ptk =1710 MPa, valor de cálculo no ELU da resistência ao escoamento: f pyd =f pyk /15=1487 MPa Aço para armadura passiva: CA-50 valor de cálculo no ELU da resistência ao escoamento: f yd =f yk /15=45 MPa Concreto Classe cf. a Tabela 7.1 da NBR 6118, item 7.4., para classe de agressividade II (ver a seguir): f ck =0 MPa, 85f cd =85x0/4=18,1 MPa. A disposição dos cabos na seção central deve obedecer aos espaçamentos mínimos prescritos na NBR 6118, item , após escolher na Tabela 7. da NBR 6118, item , o cobrimento das armaduras em função da classe de agressividade do meio ambiente (CAA) em que se situará a ponte. Admitindo-se, por hipótese, CAA II (agressividade ambiente moderada, região urbana, risco pequeno de deterioração da estrutura, cf. a Tabela 6.1 da mesma norma), obtém-se da Tabela 7. o cobrimento para concreto protendido: c = 5 mm. Para o estribo que compõe a armadura transversal, prevê-se diâmetro φ t = 10 mm. Os espaçamentos mínimos impostos na mencionada Tabela 18. para cabos compostos por 1 cordoalhas de diâmetro nominal UEL Centro de Tecnologia e Urbanismo, Departamento de Estruturas, Pontes, Prof. Roberto Buchaim, Abril 07 6

7 15, mm, estão mostrados na Figura 7. O diâmetro externo da bainha para o cabo adotado é φ b = φext = 85 mm. φ ext = 85 mm c +φ t = 45 mm ext av φ = 85 mm 50 mm ext ah φ = 85 mm 40 mm b w = 500 mm Figura 7: Disposição dos cabos na seção central. Conforme mostra a Figura 7, a distância d do CG dos cabos à base da viga é igual a: av 85 d = c + φ t + φb + = = 17, 5 mm 00 m No pré-dimensionamento que segue, admite-se que a armadura passiva tenha mesmo CG que a armadura ativa. 6. Estado Limite Último Flexão No centro do vão tem-se o momento solicitante de cálculo e o braço de alavanca (supondo a resultante de compressão no meio da laje), iguais a: M Sd = γ f ( M g + max M q ) = 1, 4( ) = knm h fl z = h d = = 40 m Com estes dados obtêm-se as forças resistentes no centro do vão: M Sd Rc = Rs, prot + Rs, pass = = = 1199 kn z 40 O concreto da laje resiste a esta força com uma altura y do bloco retangular de tensões igual a: f cdb fl y = Rc, ou seja, y = = 16, 7 mm hfl = 00 mm OK 18, UEL Centro de Tecnologia e Urbanismo, Departamento de Estruturas, Pontes, Prof. Roberto Buchaim, Abril 07 7

8 A armadura ativa consta de 4 cabos, cada qual com 1 cordoalhas de diâmetro 5 nominal 15, mm (ou ). Como a área de uma cordoalha vale 140 mm, temse no 8 total: A p = = 670 mm Logo, a força de cálculo dos cabos é: = Rs prot = Ap f pyd = kn, Assim, a armadura passiva deve resistir à força complementar dada por: R s, pass = As f yd = 999 = 196 kn, donde, As = = mm 45 Pode-se adotar 16φ 0 ou 10φ 5, distribuídos simetricamente no banzo tracionado do qual esta armadura faz parte, mesmo até o apoio. 6. Cargas Equivalentes da Protensão nos Estados Limites de Serviço Em serviço, a protensão é estabelecida de modo a contrapor-se à carga permanente (incluindo-se, eventualmente, a parcela quase-permanente da sobrecarga, que no caso de pontes é uma fração pequena da carga móvel). No exemplo, estima-se as perdas de protensão em 10% para atrito, e em outros 15% para as perdas por retração e fluência do concreto e por relaxação do aço de protensão. Assim, a força de protensão a tempo infinito (i.e., após todas estas perdas) é igual a 75% do valor da força inicial de protensão. Logo, P = 75P 0 Por outro lado, a força inicial de protensão é fixada através da tensão inicial permitida por norma, a saber, σ p 0 = 74 f ptk = = 1406 MPa. Assim, obtém-se: P0 = Apσ p0 = = 9448 kn, e P = 0, = 7086 kn 8 f Para cabos parabólicos, a força u de mudança de direção vale P, onde l f é a flecha da parábola, e l é o comprimento do cabo, no caso igual ao vão da viga. Igualando a zero a soma de u com a carga permanente da longarina, resulta: u = g = 55,55 kn / m UEL Centro de Tecnologia e Urbanismo, Departamento de Estruturas, Pontes, Prof. Roberto Buchaim, Abril 07 8

9 donde a flecha da parábola 8 f P l gl M g 649 = g, ou seja, f = 8 = = 0 88 m P P 7086 =, Assim, a extremidade do cabo resultante (cabo único, equivalente em força e posição aos 4 cabos adotados) dista da base da viga: f + d = 0, = 08 m Como se vê, este valor é próximo da distância do CG da seção à base da peça, igual a 19 m. Por causa desta diferença, as cargas equivalentes da protensão, transpostas para o eixo da peça, terão nas extremidades da viga, após todas as perdas, um momento M cp = 7086( 119, 08) = 780 knm, além u das forças N cp = P = 7086 kn e V l 55, 55 0 cp = = = 8 kn. Ver a Figura 8. M cp = 780 l u = 8 kn knm u = 55,55 kn / m l u = 8 kn M cp 780 = knm P = 7086 kn l = 0 m P = 7086 kn Figura 8: Cargas equivalentes de protensão após todas as perdas. Note-se que, sob ação exclusiva da protensão, não há reação de apoio. A ancoragem dos 4 cabos na face vertical da extremidade da viga deve levar em consideração as dimensões da placa de ancoragem, bem como os afastamentos horizontal e vertical entre as várias placas e, ainda a distância mínima destas às bordas da peça. Ver a Figura 9. Nesta figura estão indicadas duas alternativas de disposição dos cabos, cf. as Figuras 9b e 9c. Nesta última, os cabos podem ser dispostos na face externa da viga (sem alteração de sua largura) com W1 = 50 mm e X = 75 mm, de modo que o CG dos cabos dista da base da viga h ( W1 5X ) = 1700 ( ) = 887, 5 mm. Como d = 17, 5 mm, a flecha do cabo resultante altera-se para f = 887, 5 17, 5 = 715 mm. UEL Centro de Tecnologia e Urbanismo, Departamento de Estruturas, Pontes, Prof. Roberto Buchaim, Abril 07 9

10 A φext = 85 mm A=00 mm (a) Chapa de ancoragem do cabo, e diâmetro externo da bainha. Numeração dos cabos cf. a seqüência de protensão. h U + X + W = 875 mm 1 4 W 50 mm X 75 mm h X + W = 165 mm 1 W 50 mm X 75 mm U 50 mm 4 W 50 mm U U V 75 mm b w U = 500 mm b w U + V = 875 mm (b) Distâncias mínimas entre chapas e entre chapas e a borda da viga. Alternativa com alargamento da viga para bw=900 mm. (c) Distâncias mínimas entre chapas e entre chapas e a borda da viga. Alternativa sem alargamento da viga. Figura 9: Distâncias para a ancoragem dos cabos na face vertical externa da viga. Neste caso há redução da força de mudança de direção, que passa a valer u = 7086 ( ) = 45 kn / m. Ao mesmo tempo e em compensação, 0 aumenta o momento M cp = 7086( 119, 89) = 16 knm, pois o momento total da protensão no centro do vão continua com o mesmo valor anterior, uma vez que não houve alteração nos valores de P e d. Ver a Figura 10a. 6. Verificação do Estado Limite Último Força Cortante Considerando, na hipótese mais desfavorável, o valor da força de mudança de direção igual a u = 45 kn / m, tem-se junto ao apoio o valor de cálculo da 45 0 força cortante no concreto igual a γ p V cp = 0, 9 ( ) = 607, 5 kn, onde γ p = 9 é o valor do coeficiente de segurança da protensão a adotar nos casos em que sua atuação é favorável. Assim, a máxima força cortante efetiva vem a ser: UEL Centro de Tecnologia e Urbanismo, Departamento de Estruturas, Pontes, Prof. Roberto Buchaim, Abril 07 10

11 Vd, ef = γ f ( Vg + maxvq ) + γ pvcp = 1, 4( , ) 607, 5 = 1661 kn A tensão de compressão no concreto da alma da viga deve verificar a seguinte 1 desigualdade (pondo bw. ef = bw ( φ ext ) = 415 mm, z = 9d e cot θ = ): σ cwd V d, ef = (cotθ + tanθ ) = ( + 5) = 7, 4 MPa b d w, ef f cd onde a resistência do concreto da alma, em estado duplo de tensão do tipo compressão-tração, é dada por: f fck fck 0 0, 7 fcd = 7[ 85( 1 ) ] = 6( 1 ) = γ 50 4 cd = 0 1, c MPa Logo, há segurança contra o esmagamento do concreto da alma. 6.4 Verificação de Estados Limites de Serviço Em serviço deve-se considerar a combinação das ações originadas pela carga permanente e protensão, e pelas cargas móveis. Destas últimas interessam seus valores quase-permanente (para perda de protensão por fluência e por relaxação do aço, mas somente se for mais desfavorável), freqüente (para flecha imediata, abertura de fissura, e fadiga) e raro (para determinar se há fissuração). Conforme a NBR 6118, item.5., o coeficiente ψ 1 que define o valor freqüente das cargas móveis em pontes rodoviárias vale ψ 1 = 5 para a verificação das vigas (longarinas), ψ 1 = 8 para a verificação das transversinas, e ψ 1 = 8 para a verificação das lajes do tabuleiro. O valor quase-permanente da carga móvel (em pontes rodoviárias) é obtido através do fator de combinação ψ =, cf. a NBR 8681/1984, item e Tabela 5. O valor raro (i.e., característico) das cargas móveis é o fixado em norma e corresponde às cargas adotadas no item. deste trabalho Estado Limite de Formação de Fissuras Para saber se haverá fissuração na combinação rara das ações deve-se comparar o momento de fissuração com o máximo momento fletor vindo das cargas. A resistência do concreto na flexão, para o quantil de 5%, é dada por: f h 1+ 5( ) 100 h 5( ) ( ) 100 5( ) 100 ct fl fctk 0 0, =,inf =, [ ] = 9 09 =, MPa UEL Centro de Tecnologia e Urbanismo, Departamento de Estruturas, Pontes, Prof. Roberto Buchaim, Abril 07 11

12 O momento de fissuração da face inferior da viga no caso de peças protendidas deve vencer a tensão normal de compressão e a resistência à tração do concreto em flexão. Para a força normal N cp, P = 7086 kn, a P tensão de compressão é σ = = 6 A momento de fissuração da face inferior é igual a: = cp, = 4, MPa. Assim, o I0 4, M cr = ( fct, fl σ cp, ) = [, 11 ( 4, 57)] = Nmm = 76 knm y M cp = 16 knm l u = 675 kn g u = 55, = 1 55 kn / m + l u = 675 kn M cp = 16 knm P = 7086 kn l = 0 m P = 7086 kn (a) Cargas permanentes e cargas equivalentes da protensão após todas as perdas. l g = 8, kn 16 M g+m cp, (1)Combinação permanente das ações. M cr=76 M g+m cp, +ψ 1M qk () Combinação freqüente das ações = 1901 (b) Momentos fletores (knm) nas várias combinações das ações. M g+m cp, + M qk () Combinação rara das ações = 4741 Figura 10: Momentos fletores na longarina em serviço: (a) ações permanentes; (b) momentos fletores nas várias combinações. A Figura 10 mostra os diferentes diagramas de momento fletor na longarina, para três combinações das ações: permanente, freqüente e rara. Como se vê na Figura 9b, na combinação freqüente, sendo M cr = 76 knm > 1901 knm, não há fissuração na borda inferior da viga. UEL Centro de Tecnologia e Urbanismo, Departamento de Estruturas, Pontes, Prof. Roberto Buchaim, Abril 07 1

13 Entretanto, a fissuração ocorre na combinação rara das ações. Com isto, no trecho da viga onde há fissuração nesta combinação, deve-se contar com a rigidez do Estádio II. Admitindo, grosso modo, que o diagrama de momento fletor seja parabólico, sua equação é (unidades kn e m): M ( x) = 5x + 915, 6x 16 Os valores de x para M cr = 76 knm são 6, 0 m e, 80 m. Portanto, a viga, 80 6, 0 terá ( ) 100 = 59% do seu vão l = 0 m no Estádio II na combinação 0 rara das ações Determinação da Rigidez Secante e da Rigidez Tangente à Flexão no Estádio II No que segue, determina-se de forma simplificada a rigidez secante à flexão e as tensões no Estádio II no concreto e na armadura passiva, assim como o acréscimo de tensão na armadura ativa, a partir do estado de neutralização. Admite-se: (a) alturas úteis iguais para ambas as armaduras, i.e., d = d s = d p. (b) iguais módulos de elasticidade para ambas as armaduras, i.e., Es α s = α p =. No caso, tem-se Es = E p = MPa, e E cs E cs = 0, = 607 MPa, donde o coeficiente de equivalência α s = = 7, (c) os materiais seguem a lei de Hooke. (d) o concreto à tração é desprezado. A rigidez secante à flexão de seções T protendidas no Estádio II (puro, cf. hipótese (d)) é dada pela seguinte expressão: Ecs ( EI ) II = EcsIII = [ b1 hfl ( d hhfl )( x hfl ) + b1 hfl ( d hfl ) + bwx ( d x)] 6 onde b1 = b fl b w é a largura da mesa colaborante fora da alma da seção T; h fl é a espessura da laje; x é a profundidade da linha neutra, dada pela seguinte equação cúbica: a 0 x + a1x + ax + a = 0 UEL Centro de Tecnologia e Urbanismo, Departamento de Estruturas, Pontes, Prof. Roberto Buchaim, Abril 07 1

14 onde a0 = χb w, a1 = bw( 1 χd), a = b1h fl[ χ( d hfl )] + α s( As + Ap ) a χ = 1 fl fl s s p ) = b h [ 1 χ( d h )] α ( A + A Pn M d, serviço, d σ = ε = 0 c c M ε A p A S, ε A p + n n Pn + P A S ε S = ε = ε cp p I : Estadode II : Solicitação na Neutralização ε S = εcp = ε p SeçãoCompleta Figura 11 - Superposição do Estado de Neutralização com a flexão composta normal na seção completa. P n é a força de neutralização (força de tração aplicada no CG da armadura ativa para a qual são nulas as deformações da seção de concreto e armadura passiva, considerada apenas a protensão, ver a Figura 11). Para as perdas admitidas no exemplo (10% de perdas por atrito e 15% de perdas progressivas) esta força pode ser estimada em: = Pn Ap( 74 f ptk ) = 594Ap f ptk = kn A deformação de neutralização correspondente é: 74 f ε n E p ptk = 594 f E ptk p = 5, 6/ 1000 O valor de cálculo do momento solicitante em serviço a considerar corresponde à combinação rara das cargas, ou seja: M d serviço = M g + max M q = = 1199 knm, donde Pn = = 6 d, serviço χ = mm M 1 UEL Centro de Tecnologia e Urbanismo, Departamento de Estruturas, Pontes, Prof. Roberto Buchaim, Abril 07 14

15 A solução da equação cúbica pressupõe que a LN atinja a alma da seção, i.e., x h fl. Se esta condição não ocorrer, refaz-se o cálculo pondo b w = bfl. No exemplo, com b w = 500 mm, b1 = 500 mm, h fl = 00 mm, d = 1500 mm, α = 7, 67, A + A = mm, obtém-se: s p = s x d = 476 e x = 714, mm h OK fl 16 EI) II = Nmm (, sec A curvatura da seção é igual a: M 6 1 d, serviço = = = 5, mm 16 r ( EI ) II, sec , e adimensionalmente 10 d = 8967 r A tensão máxima no concreto é igual a 1 7 c cs c cs 1 σ = E ε = E x = 607 5, , = 1 r MPa A tensão na armadura passiva e o acréscimo de tensão na armadura ativa são: d x , σ = σ p = αs σ c = 7, , = 9, x 714, s 9 MPa A tensão total na armadura ativa é, cf. a Figura 1 a soma da existente no estado de neutralização com o acréscimo obtido acima, donde: Pn σ = σ pn + σ p = + σ p = , 9 = A p 9 p MPa Procurando por tentativas o valor de M para o qual σ σ = 0, obtém-se s = p M = 95 knm, x = 1499, 1 mm, σ c = 7, 8 MPa. x = d, e portanto d EI ) II, = 5, Nmm, = 8, r ( sec Com os dois momentos considerados, pode-se obter a rigidez tangente da seção transversal: UEL Centro de Tecnologia e Urbanismo, Departamento de Estruturas, Pontes, Prof. Roberto Buchaim, Abril 07 15

16 M ( ) 10 EI ) II, = 10 d = = d ( ) r ( tan 6 16 Nmm com o qual se pode calcular deslocamentos no Estádio II. Para finalizar, note-se que na combinação freqüente das cargas a seção está comprimida, pois a variação do momento fletor corresponde a ψ M q = knm e o valor de cálculo do momento de serviço é: 1 max = M d, serviço = M g + ψ 1 max M q = = 9089 knm < 95 knm. Por conseqüência, é baixa a variação de tensões nas armaduras longitudinais. Assim, pode-se comprovar que na flexão da presente longarina não há aumento da armadura longitudinal por fadiga. UEL Centro de Tecnologia e Urbanismo, Departamento de Estruturas, Pontes, Prof. Roberto Buchaim, Abril 07 16