Módulo 4 Vigas: Estados Limites Últimos Estados Limites de Serviço Detalhamento Exemplo. Segurança em Relação aos ELU e ELS

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1 NBR 6118 : Estados Limites Últimos Estados Limites de Serviço Detalhamento P R O M O Ç Ã O Conteúdo Segurança em Relação aos ELU e ELS ELU Solicitações Normais ELU Elementos Lineares Sujeitos à Força Cortante ELS Estado Limite de Deformação ELS Estado Limite de Fissuração Dimensionamento Detalhamento Conclusões

2 Segurança em Relação aos ELU Segurança Adequada (Peq.. Prob. de Ruína) Boa Ductilidade Segurança em Relação aos ELS Flechas Abertura de Fissuras Estado Limite Último Solicitações Normais Introdução Dimensionamento (N Rd, M Rd ) (N Rd, M Rd ) (N Sd, M Sd ) Hipóteses Básicas a) as seções transversais planas após deformação b) Aderência entre o concreto e as armaduras d) tensões de tração no concreto desprezadas e) distribuição de tensões no concreto segundo diagrama parábolaretângulo, com tensão de pico igual a 0,85 f cd

3 Estado Limite Último Solicitações Normais Hipóteses Básicas f) tensão nas armaduras obtida a partir dos diagramas tensãodeformação Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras ativas Estado Limite Último Solicitações Normais g) o estado limite último é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertencer a um dos domínios definidos abaixo

4 Estado Limite Último Solicitações Normais Protensão Na verificação do ELU devem ser considerados, além do efeito de outras ações, apenas os esforços solicitantes hiperestáticos de protensão Além das hipóteses básicas já apresentadas, devem ainda ser respeitadas as seguintes hipóteses suplementares: a) considera-se como resistência característica do concreto f ckj aquela correspondente à idade fictícia j (em dias), no ato da protensão, sendo que a resistência de f ckj deve ser claramente especificada no projeto Estado Limite Último Solicitações Normais Protensão b) para a verificação, admitem-se os seguintes valores para os coeficientes de ponderação, com as cargas que efetivamente atuarem nessa ocasião: γ c = 1, γ s = 1,15 γ p = 1,0 na pré-tração γ p = 1,1 na pós-tração γ f = 1,0 para as ações desfavoráveis γ f = 0,9 para as ações favoráveis

5 Estado Limite Último Elementos lineares sujeitos à força cortante estribos h Vd Vd NÃO EXISTEM MODIFICAÇÕES SIGNIFICATIVAS NO CALCULO DAS ARMADURAS AUMENTO DAS ARMADURAS MÍNIMAS PARA CONCRETOS MELHORES Estado Limite Último Elementos lineares sujeitos NB1-003 / NB1-78 à força cortante Tensões Últimas Maior Capacidade para Concretos Melhores 0,350 (τc/fcd)003 (τu/fcd)003 (τu/fcd)78 (τc/fcd)78 0,300 TENSÕES ÚLTIMAS PERMITIDAS τ/ fcd 0,50 0,00 0,150 0,100 TENSÕES ABSORVIDAS PELO CONCRETO SEM O AUXÍLIO DE ARMADURA 0,050 0, fck (MPa)

6 Estado Limite Último Elementos lineares sujeitos à força cortante Consumos de Armadura Mínima MAIS ECONÔMICO 4,50% NB1-003 NB1-78 ARMADURA DE CISALHAMENTO 4,00% 3,50% 3,00%,50%,00% 1,50% 1,00% 0,50% 0,00% fck Estado Limite Último Elementos lineares sujeitos à força cortante Consumos de Armadura de Estribos MAIS ECONÔMICO Taxas Mecânicas de Armadura 35,0% Linear (C0/003) Linear (C0/78) (Asw.fyd)/(bw.fcd) 30,0% 5,0% 0,0% 15,0% 10,0% região não permitida NB ,0% 0,0% 0,00 0,05 0,10 0,15 0,0 0,5 0,30 0,35 τsd/fcd

7 Estado Limite Último Elementos lineares sujeitos à força cortante Armadura Transversal Mínima A sw f ρ = sw 0, b.s.sen α f w ctm ywk A sw s α área da seção transversal dos estribos espaçamento dos estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural b w largura média da alma, medida ao longo da altura útil da seção f ywk é a resistência ao escoamento do aço da armadura transversal Estado Limite Último Elementos lineares sujeitos Verificação do ELU Cálculo da Resistência V Sd < V Rd à força cortante Modelo de cálculo c I V Sd < V Rd3 = V c + V sw Diagonais de compressão inclinadas de θ=45 a) verificação da compressão diagonal do concreto V Rd = 0,7 α v f cd b w d sendo: α v = (1 - f ck / 50)

8 Estado Limite Último Elementos lineares sujeitos à força cortante Verificação do ELU Cálculo da Resistência Modelo de cálculo c I b) cálculo da armadura transversal V Rd3 = V c + (A sw / s)0,9 d f ywd (sen α + cos α) V c = 0 nos elementos estruturais tracionados quando a linha neutra se situa fora da seção V c = V c0 na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção V c = V c0 (1+ M o / M Sd,máx ) V c0 na flexo-compressão V c0 = 0,6 f ctd b w d f ctd = f ctk,inf /γ c Estado Limite Último Elementos lineares sujeitos à força cortante Verificação do ELU Cálculo da Resistência Modelo de cálculo c I c) decalagem do diagrama de força no banzo tracionado a l VSd,máx = d (1 + cotg α) cotg (V Sd,máx Vc ) α

9 Estado Limite Último Elementos lineares sujeitos à força cortante Verificação do ELU Cálculo da Resistência Modelo de cálculo c II θ variável livremente entre 30 e 45 a) verificação da compressão diagonal do concreto V Rd = 0,54 α v f cd b w d sen θ (cotg α + cotg θ) com: α v = (1- f ck /50) e f ck em MPa b) cálculo da armadura transversal V Rd3 = V c + V sw Estado Limite Último Elementos lineares sujeitos Verificação do ELU Cálculo da Resistência Modelo de cálculo c II V sw = (A sw / s)0,9 d f ywd (cotg α + cotg θ) sen α à força cortante V c = 0 V c = V c1 em elementos estruturais tracionados quando a linha neutra se situa fora da seção; na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção; V c = V c1 (1+ M 0 / M Sd,máx ) < V c1 na flexo-compressão, com: V c1 = V c0 V c1 = 0 quando V Sd V c0 quando V Sd = V Rd, interpolando-se linearmente para valores intermediários

10 Estado Limite Último Elementos lineares sujeitos à força cortante Verificação do ELU Cálculo da Resistência Modelo de cálculo c II c) deslocamento do diagrama de momentos fletores a l = 0,5 d(cot g θ a l 0,5d, no caso geral cotg α ) a l 0,d, para estribos inclinados a 45 Estados Limites de Serviço Introdução Estruturas trabalham nos Estádios I e II Momento de Fissuração M = α f r I ct c yt α = 1, para seções T ou duplo T; α = 1,5 para seções retangulares; onde: α fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a resistência à tração direta y t distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada I c momento de inércia da seção bruta de concreto f ct resistência à tração direta do concreto

11 ELS - Estado Limite de Deformação Limites para Deslocamentos ELS - Estado Limite de Deformação Flecha Imediata Expressão de Rigidez Equivalente 3 3 M r Mr ( EI) eq Ecs I c 1 = + I II Ecs Ic Ma M a onde : I c momento de inércia da seção bruta de concreto I II momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II M a momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximo no vão para vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para balanços, para a combinação de ações considerada nessa avaliação M r momento de fissuração do elemento estrutural, cujo valor deve ser reduzido à metade no caso de utilização de barras lisas E cs módulo de elasticidade secante do concreto

12 ELS - Estado Limite de Deformação Flecha Imediata My Mr cs II 3 M 3 r M r ( EI) eq = E I + c 1 I Ecs I M a M a (EIo)c Proporcional ao (EI)II Proporcional ao vr vy c v ELS - Estado Limite de Deformação Flecha Diferida no Tempo Flecha Total = Flecha Imediata. (1 + α f ) com: As ρ = b d α f ξ = ρ onde: ξ coeficiente função do tempo ξ = ξ( t ) ξ( t 0) ξ(t) = 0,68. ( 0,996 t ) t 0,3 para t 70 meses ξ(t) = para t > 70 meses

13 ELS - Estado Limite de Deformação Ainda: Flecha Diferida no Tempo t tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida t 0 idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração. No caso de parcelas da carga de longa duração serem aplicadas em idades diferentes, pode-se tomar para t 0 o valor ponderado a seguir: Σ P t i t = 0i 0 Σ P i onde: P i representa as parcelas de carga idade em que se aplicou cada parcela P i, em meses t 0i ELS - Estado Limite de Fissuração Controle da Fissuração Limitação da Abertura Estimada das Fissuras

14 ELS - Estado Limite de Fissuração Controle da Fissuração Limitação da Abertura W - Abertura de fissuras, menor valor entre: Estimada das Fissuras i si 3 w = φ σ σsi φ σ 1,5 ηi Esi f = i si 4 w + 45 ctm 1,5ηi Esi ρri onde: σ si, φ i, E si, ρ ri são definidos para cada área de envolvimento em exame A cri área da região de envolvimento protegida pela barra φ i E si módulo de elasticidade do aço da barra considerada, de diâmetro φ i φ i diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada ρ ri taxa de armadura passiva ou ativa aderente em relação à área da região de envolvimento (A cri ) σ si tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada, calculada no estádio II Dimensionamento Armadura de Pele A mínima armadura lateral deve ser 0,10 % A c,alma em cada face da alma da viga e composta por barras de alta aderência (η 1,5) com espaçamento não maior que 0 cm Em vigas com altura igual ou inferior a 60 cm, pode ser dispensada a utilização da armadura de pele.

15 Dimensionamento Valores Limites para Armaduras longitudinais (Para vigas isostáticas com l/h 3,0 e a vigas contínuas com l/h,0) Armadura mínima de tração : ρ min = 0,15 % para : M d,mín = 0,8W 0 f ctk,sup onde: W 0 módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo à fibra mais tracionada f ctk,sup resistência característica superior do concreto à tração O dimensionamento para M d,mín deve ser considerado atendido se forem respeitadas as taxas mínimas de armadura da tabela apresentada a seguir Dimensionamento Valores Limites para Armaduras longitudinais (Para vigas isostáticas com l/h 3,0 e a vigas contínuas com l/h,0) Forma da seção Valores de ρ min 1) (A s,min /A c ) % f ck ω mín Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,01 0,30 0,59 0,88 T (mesa comprimida) T (mesa tracionada) 0,04 0,150 0,150 0,150 0,150 0,158 0,177 0,197 0,031 0,150 0,150 0,153 0,178 0, ,55 Circular 0,070 0,30 0,88 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575 1) Os valores de ρ min estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, γ c = 1,4 e γ s = 1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, ρ min deve ser recalculado com base no valor de ω mín dado. NOTA - Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante.

16 Detalhamento Armadura Longitudinal - Distribuição Transversal ah av 0 mm Na direção horizontal (a h) diâmetro da barra, do feixe ou da luva 1, dmax 0 mm Na direção vertical (a v ) diâmetro da barra, do feixe ou da luva 0,5 dmax Para feixes de barras deve-se considerar o diâmetro do feixe: φ = φ n n Detalhamento Armadura Longitudinal - Distribui Distribuição Longitudinal Armadura de Tração na Flexão Simples, Ancoradas por Aderência

17 Detalhamento Armadura Transversal para Força a Cortante mm φ 5 t largura da 10 alma Para barras lisas, φ 1 mm t Espaçamentos Mínimos entre Estribos O suficiente para passagem do vibrador Espaçamentos Máximos entre Estribos Se V d 0,67 V Se V > 0,67 V d Rd Rd Se V 0,0 V d Se V > 0,0 V d Rd Rd, então s, então s Entre ramos sucessivos:, então s, então s max max t,max t,max = 0,6 d 300 mm = 0,3 d 00 mm = d 800 mm = 0,6 d 350 mm Para a estrutura esquematizada abaixo, e considerando as recomenda endações da NBR pede-se: Dimensionar e alojar as armaduras Verificar as flechas e fissuração g=8 kn/m q=5 kn/m 6 m

18 Seção Transversal Materiais f ck =5MPa Aço CA50 a) Dimensionamento a.1) Armadura Longitudinal M k M = γ M d = 148,5KNm. M = 1,40 M = 07,90 KN. m d 8 = 6 8 f k k x = 1,5d 1 x = 1, x = 6,19cm M d 1 0,45bd f cd ,5 0, ,4 a) Dimensionamento As = σ 0790 As = 50 (45 0,4.6,19) 1,15 A = 11,4cm² s sd b S = 9 cm (c = 1,5 cm e φ t = 5 mm) b S 3 φ e = l h Md (d 0,4x) 6 φ 16,0 mm 9 3 1,60 e = = cm h,10 φ camada

19 a) Dimensionamento 3 46, + 3 4,6 d ef = = 44, 4cm 3 a.) Cálculo da Armadura Transversal V k = 99 kn V d = 139, kn V Verificação do concreto Rd = 0.7α f f = 1 ck αv = 0,9 50,5 VRd = 0.7.0, > Vsd 1,4 V = 9,9kN > 138,6 OK!!!! Rd V cd b d > V w sd V f V V V Dimensionamento da Armadura Transversal Modelo de Cálculo 1 sd V = 0,6. f c ctd V = 0,6.0, = 51,84kN c sd 138,6 = 51,84 + V sw sw A s sw < V f = 0,7 γ < V rd 3 rd 3 = 86,76kN A = s = V + V. b. d f = V + V sw ctd ctm sw 0.9d. f = 4,93cm² / m c c c w sw sw ctm ywd = 0,3 f 3 ck = 0,18kN / cm² Verificação da Armadura Mínima Asw f 0,. b. s f ctm ywk Asw 0,56 0,.15. s 50 Asw 1,54cm² / m s 4,9 1,54cm² / m OK!!!!

20 Verificação da Armadura Mínima Asw s f 0,. b. f ctm ywk Asw 0,56 0,.15. s 50 Asw 1,54cm² / m s 4,9 1,54cm² / m OK!!!! Espaçamento máximo V d <0,67V dr S 0,6d 7cm = φ 8,0 c/0 cm max = a) Detalhamento Longitudinal Comprimento de Ancoragem Básico f l φ yd b = com f bd = η 1 η η 3 f ctd 4 fbd f bd =, ,8 =, 89MPa l φ f yd = = 37,81φ 38φ = 60, cm 4 f b 8 bd Comprimento de Ancoragem Necessário l As, calc b, nec = α l 1 b l b,min As, ef l = b, nec 56,67 57cm l b,min l b, nec 0,3 l = b 18,4cm = maior entre 10φ = 16cm 100mm = 57cm

21 a) Detalhamento Longitudinal Barras que chegam aos Apoios Situação mais crítica entre: R Sd = (a l /d) V d + N d N d =0 a = 0,5d (cotg θ cotg α) = 0,5d 3 cm l R Sd = 0,5 V d =54,6 kn A s = 1,6 cm (1φ16 ) e: A s,apoio 1/3 (A s,vão ) Deve chegar pelo menos 1φ16 ao apoio Será considerado que barras chegam aos apoios (φ16 ) Armadura Negativa sobre Apoios Extremos A s,min A s,min (de flexão) =0,0015.b w.h= 1,13cm φ10 Comprimento de ancoragem = 1,5 l b,nec = 85,5cm a) Detalhamento Longitudinal φ φ φ φ φ φ

22 φ Tabela de Ferros e Resumo Tabela de Ferros Resumo Posição φ n CU(cm) CT(m) φ CT(m) Peso(kg) N ,0 13, ,4 N ,7 N ,8 N ,6 N M=68, kg + 10% =75,5 N V = 0,68 m³ Taxa de Consumo = 75,5/0,68 =110,7kg/m³

23 b) ELS Estado Limite de Deformação Hipótese 1 Linha neutra na mesa b f x b f As As x +. αe.. x. n.. d = 0 b b h f Es αe = = = 8,8 E 3800 c w 1 1 x +.8,8.. x.8,8..45 = x = 10,59cm > h f = 7 cm w d b) ELS Estado Limite de Deformação (cont.) Hipótese Linha neutra na alma b f b f -b w h f x 0,8x x = 11,10cm d As A sf A sw b b w w, hf,, [( b b ) h + α ( A + A )] x ( b b ) α ( A d + A d ) bw x + f w f e s 15 x + 7,5. x + 455,84. x 5987,6 = 0 s [( 65 15) 7 + 8,8 ( 1) ] x ( 65 15) 8,8 ( 1.45) f w 7 e S = 0 S = 0

24 b) ELS Estado Limite de Deformação (cont.) Cálculo do momento de inércia para viga T I = I cm 4 I I II II 3 bf x = 3 4 I = ,70 cm II ,10 = 3 x h 3 ( ) ( ) f,, b b + α A ( d x) + α A ( x d ) f w 3 e 11, ( 65 15) ( ) + 8,8 1 ( 45 11,10) S e S Cálculo do momento de fissuração b) ELS Estado Limite de Deformação (cont.) M r = (α.f ct,m. I c )/y t = (1,. 0, ) / 31,8 = 588,88 kn.cm = 5,88 kn.m α = 1, para seção T; f ct,m = 0,56 kn/cm² I c = é momento de inércia da seção ESTÁDIO I; y t é a distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada = 31,8 cm Como : M r = 5,88 kn.m < 148,5 kn.m = M k Calcula-se pela formula de Branson o EI eq para considerar a perda da rigidez na seção fissurada.

25 b) ELS Estado Limite de Deformação (cont.) EI eq = E c [(M r /M a ) 3. I c + [1- (M r /M a ) 3 ] I II ] E c = 0, f 1/ ck = 3,8 GPa ou 3, kn/m ; I II = é o momento de inércia da seção fissurada ESTÁDIO II; Assim, pode-se calcular o momento de inércia equivalente EI eq = E c [(M r /M a ) 3. I 1 + [1- (M r /M a ) 3 ] I II ] = EI eq = 3, [(5,88/148,5) 3., [1-(5,88/148,5) 3 ].1, ] EI eq = kn m Flecha Imediata ( g + 0,7q) 5 f = 384 l ( EI ) eq 4 = 0,0148 m = 1,48cm b) ELS Estado Limite de Deformação (cont.) Flecha de Longa Duração α f ξ = 1+ 50ρ A s ρ = ' = 0 b d ξ = ξ ( t) ξ (t 0 ) = 0,68 = 1,3 α f = 1,3 Flecha Total ( 1 + ) = 14,8 ( 1+ 1,3) mm f = l f αf =34,4 l 174 l 50 = 4 mm (não passa)!!!

26 c) ELS Estado Limite de Fissuração w klim 1 φ i σ si 4 w = ,5 ηb Esi ρri 1 1 3φ i σ si w = 1,5 ηb fctm Esi 7,5φ c < 7,5φ 7,5φ 7,5φ 7,5φ Acr 7,5φ a 7,5φ (a < 15 φ) A cr é a área da região de envolvimento protegida pela barra φ i ; E si é o módudo de elasticidade do aço da barra considerada (φ i ); φ i é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada; ρ ri é a taxa de armadura em relação à área da região de envolvimento (A cri ); σ si é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura, no Estádio II; η b é o coeficiente de conformação da armadura (1 em barras lisas, 1,4 barras dentadas e,5 barras nervuradas) c) ELS Estado Limite de Fissuração (cont.) As ρcri = = 0,073 = 7,3% Acri 13.,1 M d σ si = = = 34,38kN / cm 0,8. d. A 0, E f si ctm = 1000kN / cm = 0,565kN / cm ,38 w1 = 1,5, w = 0,098mm 1 s 4 0, ,38 w = 1,5,5 0, w = 0,374mm w 1 < w klim (tab 13.3-NBR6118/003) w 1 < 0,4 mm - ok!!!

27 Resolvendo Segundo a NBR , torna-se possível montar o quadro comparativo apresentado a seguir Comparativo Viga NBR NBR ρ(%) As Estribos Flecha 1,1 10,9 cm² 6φ16 Φ8,3c0 34,44 mm 1,1 10,9 cm² 6φ16 Φ5,0c0 15,14 mm W 0,085 mm 0,099 mm E 3,8 GPa 35,4GPa EIeq(Est II) kn.m² kn.m² Conclusões Poucas alterações no dimensionamento Solicitações Normais Alterações nos procedimentos de verificação dos ELS (Maior preocupação com o comportamento das Estruturas em serviço) Aumento da durabilidade em virtude do aumento dos cobrimentos

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