Lista de exercícios sobre barras submetidas a força normal

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1 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Lista de exercícios sobre barras submetidas a força normal 1) O cabo e a barra formam a estrutura ABC (ver a figura), que suporta uma carga vertical P= 12 kn. O cabo tem a área da seção transversal A c = 160 mm 2, e a barra tem área A b = 340 mm 2. a) Calcular as tensões normais σ AB e σ BC no cabo e na barra, respectivamente, e indicar se são de tração ou compressão. b) Qual será a deformação do cabo se ele se alongar de 1,1 mm? c) Qual será a deformação da barra se ela se encurtar de 0,37 mm? 2) Uma placa (ou laje) quadrada de concreto armado, de lado 2,44 m e espessura de 22,9 cm, é suspensa por cabos em seus vértices, como mostrado na figura. Os cabos são presos por um gancho em um ponto a 1,52 m da face superior da placa (laje). Os cabos têm área da seção transversal A = 77,4 mm 2. Determine a tensão normal σ nos cabos. (Peso específico do concreto armado = 24 kn/m 3 ).

2 3) Três materiais diferentes A, B e C são ensaiados à tração usando corpos de prova com 12mm de diâmetro, medindo-se a distância entre dois pontos que inicialmente era 50 mm (ver a figura). Quando ocorre a ruptura, a distância entre os pontos de referência são 54,1 mm, 63,0 mm e 70,6 mm, respectivamente. Além disto, os diâmetros são 11,5 mm, 9,46 mm e 6,01 mm, respectivamente, quando a peça se parte. Determine os percentuais de deformação na direção longitudinal e de redução das áreas dos corpos de prova, e classifique os materiais como dúcteis ou frágeis. 4) Uma treliça simétrica composta por três barras rotuladas é submetida a uma força P (ver a figura). As barras inclinadas fazem um ângulo de 50 com a direção horizontal. A deformação axial (ε x ) medida na barra do meio é de 0,0025. Determine a tensão normal nas outras barras se elas são feitas de uma liga de alumínio com módulo da elasticidade de 70 GPa.

3 5) Um corpo de prova de um tipo de plástico é ensaiado à tração à temperatura ambiente (veja a figura), tendo-se para tensão normal e correspondente deformação os valores dados abaixo, pede-se: a) Plotar a curva de tensão Tensão Deformação deformação. (MPa) 8,0 0, ,5 0,0073 b) Determinar o limite de 25,6 0,0111 proporcionalidade e o módulo de 31,1 0,0129 elasticidade. c) Fornecer a tensão de escoamento 39,8 48,2 0,0163 0, ,0 53,9 0,0184 0,0260 (tensão que corresponde à 58,1 0, ,0 0,0429 deformação permanente de 0,2%). 62,1 ruptura d) Classificar o material como dúctil ou frágil.

4 6) Um poste tubular de diâmetro externo d e = 90 mm e diâmetro interno d i = 78 mm é preso por dois cabos ajustáveis por esticadores. Quando os cabos são esticados, é produzida tração nos mesmos e compressão no poste. Ambos os cabos fazem um ângulo de 60 com a direção horizontal. A tensão admissível de compressão no poste (para evitar flambagem) é 10,0 MPa. Os cabos são capazes de resistir a uma força de 29 kn, e é adotado para eles um coeficiente de segurança igual a 3. Qual é a carga máxima que pode ser imposta pelos cabos ao poste, para satisfazer as condições do problema? 7) Uma placa metálica onde são colocados equipamentos pesados é apoiada em 4 pilaretes de seção circular vazada feitos de ferro fundido. Cada um desses pilaretes deve ser projetado para resistir a uma força de 280 kn. Se a tensão de ruptura do ferro fundido é 350 MPa, o coeficiente de segurança com relação à ruptura é 4, e a espessura da parede dos pilaretes é 10mm, qual o diâmetro externo mínimo que os pilaretes devem ter? (ver a figura abaixo). 8) Um tubo de alumínio funciona como uma escora na fuselagem de um pequeno avião (ver a figura), e deve resistir a uma força de compressão P = 2580 N. Para prevenir o efeito de flambagem local nas paredes do tubo, a razão entre o diâmetro externo d e a espessura t da parede não deve exceder 10.

5 Além disto, para manter o peso da escora o menor possível, é preciso que sua área seja também a menor possível, o que significa que a tensão de compressão deve ser igual à admissível de 13,8 MPa. Qual é o maior diâmetro externo permitido? 9) Uma coluna de aço com seção transversal circular vazada é suportada por uma placa de aço circular e por um bloco de concreto (ver a figura). A coluna tem diâmetro externo d e = 250 mm e suporta uma carga P = 750 kn. a) Se a tensão admissível da coluna é 55 MPa, qual é a espessura t mínima necessária? Baseado em seu resultado, escolha uma espessura para a coluna que seja um número inteiro e par em milímetros. b) Se a tensão admissível no bloco de concreto é 11,5 MPa, qual é o diâmetro mínimo da placa de aço? Baseado em seu resultado, escolha um diâmetro inteiro em milímetros. 10) Uma barra de aço AD (ver a figura), com área de seção transversal igual a 260 mm 2, é carregada com as forças P 1 = 12 kn, P 2 = 8 kn e P 3 = 6 kn. Os comprimentos dos segmentos da barra são a = 1,5 m, b = 0,6 m e c = 0,9 m. a) Assumindo que o módulo da elasticidade é 210 GPa, calcular a variação do comprimento total da barra. A barra sofre encurtamento ou alongamento? b) De qual valor P a carga P 3 pode ser aumentada para que o ponto D da barra não se mova quando as cargas forem aplicadas?

6 11) Um tubo de aço com módulo de elasticidade de 207 GPa é carregado com as forças P 1, P 2 e P 3 (ver a figura do exercício anterior). O tubo tem 3657 mm de comprimento e as distâncias entre os pontos de aplicação de carga são a = b = 914 mm e c = 1829 mm. As cargas são P 1 = 18 kn, P 2 = 13 kn e P 3 = 13 kn, e a área da seção transversal é A = 1810 mm 2. a) Calcular os deslocamentos δ B, δ C e δ D das seções onde são aplicadas as cargas. b) Determinar a distância X a partir do apoio esquerdo da seção transversal cujo deslocamento é nulo. 12) A barra ABC é composta de dois materiais, tem comprimento total igual a 1 m e diâmetro de 50 mm (ver a figura). O trecho AB é de aço (E a =210 GPa) e o trecho BC é de alumínio (E al = 70 GPa). A barra está sujeita a uma força de tração F = 110 kn. Determine os comprimentos L 1 e L 2 para os segmentos de aço e de alumínio, respectivamente, para que os dois tenham as mesmas variações de comprimento.

7 13) Uma barra de aço (E = 200 GPa) tem comprimento L = 2440 mm, seção transversal com diâmetro d 1 = 19 mm até a metade e diâmetro d 2 = 13 mm na outra metade (ver a figura). a) Quanto a barra alongará se tracionada por uma carga P = 22,2 kn? b) Se o mesmo volume de material constituir uma barra de seção constante de diâmetro d e comprimento L = 2440 mm, qual será a variação do comprimento para a mesma carga P? 14) A barra ABC de comprimento L é composta de duas partes de mesmo comprimento e diâmetros diferentes (ver a figura). O segmento AB tem diâmetro d 1 = 100 mm e o segmento BC tem diâmetro d 2 = 60mm. Ambos os segmentos tem comprimento L/2 = 0,6 m. Um furo cilíndrico com diâmetro d é feito no segmento AB em metade de seu comprimento L/4 = 0,3 m. A barra é feita de um plástico com módulo de elasticidade de 4,0 GPa. Uma carga de compressão P = 110 kn atua na barra. Se o encurtamento da barra é limitado a 8,0 mm, qual é o diâmetro máximo d que o furo do segmento AB pode ter? 15) Uma estaca de aço cravada no solo suporta uma carga P unicamente pelo atrito na sua superfície lateral. A força de atrito f por unidade de comprimento é considerada uniformemente distribuída. A estaca tem comprimento L, área da seção transversal A e módulo da elasticidade E.

8 a) Deduzir a fórmula para a variação de comprimento δ da estaca em função de P, L, E e A. b) Fazer o diagrama de tensão de compressão ao longo do comprimento da estaca. 16) Um longo cabo de aço AB é usado para transportar materiais de uma mina por meio de uma cesta, onde é colocada uma carga P = 22 kn (ver a figura). O comprimento do cabo é L= 45m e ele pesa 6,1 N/m. Se a deformação no meio do cabo tem valor ε x = 0,00223, a) Qual é a deformação ε x,a na seção superior do cabo? Qual é a deformação ε x,b na seção inferior do cabo? b) Qual é a variação de comprimento δ do cabo? 17) A barra prismática AB vista no esquema abaixo tem comprimento L, área da seção transversal A, módulo de elasticidade E e peso próprio W. a) Deduza a fórmula para o deslocamento δ c do ponto C, localizado a uma distância c da seção inferior da barra.

9 b) Qual é o deslocamento δ B da seção na extremidade inferior da barra? c) Qual é a razão entre as variações de comprimento das metades superior e inferior da barra? 18) A estrutura mostrada na figura é constituída por um cilindro de latão na parte interior, com diâmetro d 1 = 6,0 mm, e por um tubo de aço exterior com diâmetro interno d 2 = 7,0 mm e diâmetro externo d 3 = 9 mm. Uma carga P comprime a estrutura, que tem um comprimento L= 85 mm. O módulo da elasticidade do latão e do aço são 100 GPa e 200 GPa, respectivamente. a) Qual é o valor da carga P que deformará a estrutura na direção longitudinal de 0,1 mm? b) Se a tensão admissível do aço é 180 MPa e a do latão é 140 MPa, qual será a maior carga que a estrutura pode suportar? 19) Um pilar de concreto armado de seção transversal circular e comprimento L = 3658 mm é comprimido por uma carga P = 890 kn (ver figura). O pilar tem oito barras de aço longitudinais com diâmetro d a = 25,4mm. As barras são contidas lateralmente por estribos

10 circulares para evitar o efeito de flambagem. A área efetiva de concreto tem diâmetro d c = 330 mm, como mostrado na figura (a parte exterior à armadura é considerada só como cobrimento e não como estrutural). Admitindo que o módulo da elasticidade do aço e do concreto são 200 GPa e 25 GPa, respectivamente, a) Calcular as tensões normais no aço e no concreto. b) Calcular a variação de comprimento δ do pilar. 20) Três barras prismáticas, duas de material A e uma de material B, suportam uma força P (ver a figura). As duas barras externas (material A) são idênticas. A área da seção transversal da barra do meio (material B) é 50% maior que a área de uma das barras externas. No entanto, o módulo de elasticidade do material A é o dobro do material B. a) Que fração da carga P é suportada pela barra do meio? b) Qual a razão entre a tensão normal na barra do meio e a tensão normal nas barras externas? c) Qual a razão entre as deformações ε x na barra do meio e nas barras externas?

11 21) A barra ABCD, carregada axialmente como mostra a figura, tem engastes nas suas extremidades. A barra tem área da seção transversal A 0 de A até C e 2A 0 de C até D. a) Obter as fórmulas das reações R A e R D nas extremidades da barra. b) Determinar os deslocamentos δ B e δ C nos pontos B e C respectivamente. c) Desenhar o diagrama no qual a abscissa é a distância x de cada seção à extremidade esquerda e a ordenada é o deslocamento horizontal desta seção. 22) Uma barra feita com três materiais metálicos é comprimida uniformemente por uma força axial P aplicada por meio de uma placa rígida (ver a figura). A barra é composta por um núcleo circular de aço, um tubo de latão e um tubo de cobre. O núcleo de aço tem diâmetro d a = 10mm, o tubo de latão tem diâmetro externo d b = 15 mm e o tubo de cobre tem diâmetro externo d c = 20mm. Os módulos de elasticidade dos materiais são E a = 210 GPa, E b = 100 GPa e E c = 120 GPa, respectivamente. Pede-se calcular as tensões normais no aço, latão e cobre, quando a força P for igual a 12 kn. 23) Um duto para passagem de vapor, com diâmetro de 150 mm, é posicionado a uma temperatura de 13 o C. Quando o vapor passa pelo duto, sua temperatura passa a ser 120 o C.

12 O duto é de aço, com módulo de elasticidade 200 GPa e coeficiente de dilatação térmica α = 12x10-6 / o C. a) Qual será o aumento do diâmetro do duto se este for livre para se expandir em todas as direções? b) Qual será a tensão normal σ x no duto se a vala onde for posicionado restringir seu alongamento a 1/3 do que ele alongaria se pudesse se expandir livremente? 24) Um cilindro de aço (S) é colocado dentro de um tubo de cobre (C) de mesmo comprimento (ver figura). O coeficiente de dilatação térmica do cobre é maior que o do aço. Se o cilindro e o tubo forem comprimidos entre placas rígidas por uma força P, qual a variação de temperatura que fará com que toda a carga P seja resistida pelo tubo de cobre?

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