Módulo 5 Lajes: Estados Limites Últimos Estados Limites de Serviço Detalhamento Exemplo. Dimensionamento de Lajes à Punção

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1 NBR 6118 : Estados Limites Últimos Estados Limites de Serviço Detalhamento P R O M O Ç Ã O Conteúdo ELU e ELS Força Cortante em Dimensionamento de à Punção - Detalhamento - - Conclusões

2 Estado Limite Último Na determinação dos esforços resistentes das seções de lajes submetidas a esforços normais e momentos fletores, devem ser usados os mesmos princípios estabelecidos na seção Estado Limite Último do módulo 4 Estados Limites de Serviço Em relação ao Estado Limite de Deformação e Estado Limite de Fissuração ão, devem ser usados os critérios dados no módulo 4 Força Cortante em sem Armadura para Força Cortante V Sd V Rd1 V Rd1 = [τ Rd k (1, ρ 1 ) + 0,15 σ cp ] b w d onde: ι Rd = 0,25 f ctd f ctd = f ctk,inf / γ c ρ As1, não maior que 0,02 1 = bw d σ cp = N Sd / A c k é um coeficiente que tem os seguintes valores: elementos onde 50 % da armadura inferior não chega até o apoio: k = 1 para os demais casos: k = 1,6 - d, não menor que 1, com d em metros

3 Força Cortante em Onde: resistência de cálculo do concreto ao cisalhamento f ctd sem Armadura para Força Cortante A s1 b w N Sd área da armadura de tração que se estende até não menos que d + l b,nec além da seção considerada; com l b,nec definido na figura largura mínima da seção ao longo da altura útil d força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento (compressão positiva) Punção é o Estado Limite Último determinado por cisalhamento no entorno de forças concentradas. Arm. de flexão. 25º a 30º Superfície de Ruptura Pilar

4 Punção Ruptura ocorre na ligação da laje com o pilar. Ruína de forma abrupta e frágil. Para aumentar a resistência à punção da laje: Aumentar a espessura das lajes na região do pilar; Utilizar concreto de alta resistência; Usar armadura de cisalhamento. Dimensionamento de à Punção Modelo de Cálculo Verificação do cisalhamento em duas ou mais superfícies críticas. Na primeira superfície crítica, dada pelo perímetro C do pilar ou da carga concentrada Na segunda superfície crítica, dada pelo perímetro C, afastado 2d do pilar ou da carga concentrada Caso haja necessidade, a ligação deve ser reforçada por armadura transversal. A terceira superfície crítica, perímetro C, só é utilizada quando é necessário colocar armadura transversal. O perímetro da superfície C é afastado 2d da última camada de armadura transversal

5 Dimensionamento de à Punção Superfícies Críticas C, C e C C" C'=2d C'=2d C C" Arm. de flexão Arm. de cisalhamento Pilar Dimensionamento de à Punção Superfícies Críticas C e C Superfícies críticas, limitadas pelos perímetros críticos C e C

6 Verificação da tensão resistente de compressão diagonal do concreto na superfície crítica C. τ Sd τ Rd2 = 0,27ανf Sendo: α ν = (1 - fck/250) cd Verificação da tensão resistente na superfície crítica C sem armadura de punção. ( 200 d )( ρ f ) 1 3 τ Sd τ Rd1 =, ck Sendo: ρ é a taxa geométrica de armadura de flexão; d é altura útil da laje ao longo do contorno C. Verificação da tensão resistente na superfície crítica C com armadura de punção. Sd ( / d )( 100ρf ) 1/3 Rd 3 = 0,10 1 ck + τ τ 1, 5 d s r A sw f ywd ( ud ) senα Sendo: s r o espaçamento radial entre linhas da armadura de punção; α é o ângulo de inclinação entre o eixo da armadura de punção e o plano da laje; A sw é a área da armadura de punção num contorno completo paralelo a C ; u é o perímetro crítico; f ywd é a resistêncoa dee cálculo da armadura ded punção, não maior que 300 MPa para conectores ou 250 MPa para estrtibos.

7 Verificação da tensão resistente na superfície crítica C com armadura de punção. ( 20 d )( ρ f ) 1 3 τ Sd τ Rd 4 =, ck Dimensionamento de à Punção Tensão Solicitante No caso em que o efeito do carregamento pode ser considerado simétrico: τ F Sd Sd = u d Com: d = (d x + d y )/2 onde: d altura útil da laje ao longo do contorno crítico C', externo ao contorno C da área de aplicação da força e deste distante 2d no plano da laje d x e d y alturas úteis nas duas direções ortogonais u perímetro do contorno crítico C' ud área da superfície crítica força ou a reação concentrada, de cálculo F Sd

8 Dimensionamento de à Punção Pilar Interno com Efeito de Momento F K M τ = Sd + Sd Sd u d Wp d onde: K coeficiente que fornece a parcela de M Sd transmitida ao pilar por cisalhamento, que depende da relação C 1 /C 2 C 1 /C 2 0,5 1,0 2,0 3,0 K 0,45 0,60 0,70 0,80 Onde: C 1 é a dimensão do pilar paralela à excentricidade da força C 2 é a dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força Para um pilar retangular: W 2 C1 2 p = + C1 C2 + 4 C2 d + 16 d π d C 1 Dimensionamento de à Punção Pilares de Borda Perímetro crítico em pilares de borda

9 Dimensionamento de à Punção Pilares de Borda Quando não agir momento no plano paralelo à borda livre: F Kx M τ Sd Sd1 Sd = + MSd1 =( MSd -MSd*) 0 * u d Wp1 d MSd* é o momento de cálculo resultante da excentricidade do perímetro crítico reduzido u* em relação ao centro do pilar Dimensionamento de à Punção Pilares de Borda Quando agir momento no plano paralelo à borda livre: τ Sd F = Sd u * d K M K M + 1 Sd1 + 2 Sd2 Wp1d Wp2d

10 Dimensionamento de à Punção Pilares de Canto Perímetro crítico em pilares de canto Dimensionamento de à Punção Pilares de Canto Como o pilar de canto apresenta duas bordas livres, deve ser feita a verificação separadamente para cada uma delas, considerando o momento fletor cujo plano é perpendicular à borda livre adotada K deve ser calculado em função da proporção C 1 /C 2, sendo C 1 e C 2, respectivamente, os lados do pilar perpendicular e paralelo à borda livre adotada

11 Dimensionamento de à Punção Capitel Dimensionamento de à Punção Casos Especiais de Contorno Crítico (b) (a) (a) Perímetro crítico no caso do contorno C apresentar reentrância (b) Perímetro crítico junto à abertura na laje

12 Dimensionamento de à Punção Disposição da armadura de punção em corte Dimensionamento de à Punção Colapso Progressivo A s f yd F Sd A s é a somatória de todas as áreas das barras que cruzam cada uma das faces do pilar

13 Dimensionamento de à Punção Verificação de Elementos Protendidos τ Sd,ef = τ Sd τ Pd ΣPk inf,i sen αi τpd = u d Dimensionamento de à Punção Verificação de Elementos Protendidos Onde: τ Pd tensão devida ao efeito dos cabos de protensão inclinados que atravessam o contorno considerado e passam a menos de d/2 da face do pilar P kinf,i α i força de protensão no cabo i inclinação do cabo i em relação ao plano da laje no contorno considerado u perímetro crítico do contorno considerado, em que se calculam τ Sd,ef e τ Sd

14 Detalhamento Bordas Livres e Aberturas Detalhamento sem Vigas - Armaduras Armaduras Passivas

15 Detalhamento Armaduras de Punção Para as lajes esquematizadas na figura do próximo slide, pede-se: a) Calcular e detalhar b) Verificar a laje L1 quanto à flecha e ao cisalhamento Dados: fck = 25 MPa Aço CA50A c = 1,5 cm (cobrimento mínimo das armaduras de laje) q = 2,0 kn/m²(carga acidental) enchimento = 16 kn/m³ vigas: b w = 12 cm e c = 2,0 cm

16 Determinação das Cargas Cargas(kN/m²) L1 L2 L3 Peso Próprio 0,08x25=2,00 0,07x25=1,75 1,75 Revestimento 1,00 1,00 1,00 Enchimento --- 0,25x16=4,0 --- Permanente 3,00 6,75 2,75 Acidental 2,00 2,0 2,00 Total 5,00 8,75 4,75

17 Cálculo dos Momentos Fletores Nas Isoladas [kn.m/m] Laje Tabela lx ly ly/lx αx αy βx β y mx my m'x m'y L1 1 4,0 5,0 1,3 15,9 22,4 5,0 3,6 L2 1 2,5 3,0 1,2 16,9 22,3 3,2 2,5 L3 2 2,5 3,0 1,2 22,0 23,8 10,1 1,4 1,3-2,9 Nos Apoios Contínuos [kn.m/m] Apoio m'esq m'dir 0,8 m' m'médio m L1 - L3 m'y = - 2,9 0,0-2,4-1,5 m 1-3 = -2,4 Armaduras de Flexão Laje d (cm) m (kn.cm) md (kn.cm) x (cm) As (cm2) ρs Asmin (cm2) Asefetivo Escolha L1 L2 L mx = 500 mx = 320 mx = % 0.10% 0.10% φ6,3 c/10 φ6,3 c/14 φ5,0 c/ my = 360 my = 250 my = % 0.10% 0.10% φ6,3 c/14 φ5,0 c/11 φ5,0 c/20 L1 - L3 5 mbarra_13 = % φ6,3 c/19

18 Tabela de Armadura Mínima Armadura Elementos estruturais sem armaduras ativas Elementos estruturais com armadura ativa aderente Elementos estruturais com armadura ativa não aderente Armaduras negativas ρ s ρ min ρ s ρ min ρ p 0,67 ρ min ρ s ρ min -0,5ρ p 0,67 ρ min (ver da NBR 6118) Armaduras positivas de lajes armadas nas duas direções Armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção Armadura positiva (secundária) de lajes armadas em uma direção ρ s 0,67 ρ min As/s 20 % da armadura principal As/s 0,9 cm2/m ρs 0,5 ρmin Onde: ρ s = A s /b w h e ρ p = A p /b w h NOTA - Os valores de ρ min constam da tabela 17.3 da NBR 6118/2003 ρ s ρ min Tabela da Taxa de Armadura Mínima Forma da seção ρ s 0,67 ρ min ρ p 0,5 ρ min ρ s ρ min ρ p 0,5 ρ min Valores de ρ 1) min (A s,min /A c ) % ρ s ρ s 40 ρ min -0,5ρ p 0,5 ρ min ρ min -0,5ρ p 0,5 ρ min Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288 1) Os valores de ρ min estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, γ c = 1,4 e γ s = 1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, ρ min deve ser recalculado com base no valor de ω mín dado. NOTA - Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante. Verificação do cisalhamento na laje 1 para o momento M x V Sd V Rd1 A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por: V Rd1 = [τ Rd k (1, ρ 1 ) + 0,15 σ cp ] b w d onde: τ Rd = 0,25 f ctd = 0,32 MPa f ctd = f ctk,inf / γ c = 1,282 MPa f ctk,inf = 0,7.f ct,m = 0,7.2,565 = 1,795 MPa f ct,m = 0,3.f ck 2/3 = 0,3.25 2/3 = 2,565 MPa Considerando o cortante na direção X : ρ 1 = A s1 /b w.d = 3,15/100.6,0 = 0,525% (não maior que 0,02) k = 1,6 d [m] = 1,6 0,06 = 1,54

19 onde: A s1 = 3,15 cm 2 (considerando toda a armadura) b w = 100 cm (largura mínima da seção ao longo da altura útil d); σ cp = N Sd / A c = 0 N Sd = 0 pois não existe força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento. Assim, V Rd1 = [τ Rd k (1, ρ 1 ) + 0,15 σ cp ] b w.d = [0,032. 1,54(1, ,00525)+ 0] = V Rd1 = 41,7 kn/m V Sd = p x. γ f = 5,0.1,4 = 7,0 kn/m V Rd1 = 41,7 > 7,0 = V Sd Não há a necessidade de estribos Considerando o cortante na direção Y : ρ 1 = A s1 /b w.d = 2,5/100.5,5 = 0,454% (não maior que 0,02) k = 1,6 d [m] = 1,6 0,055 = 1,545 A s1 = 2,5 cm 2 (considerando toda a armadura) b w = 100 cm (largura mínima da seção ao longo da altura útil d); Assim, V Rd1 = [τ Rd k (1, ρ 1 ) + 0,15 σ cp ] b w.d = [0,032. 1,545(1, ,00454)+ 0].100.5,5 = V Rd1 = 37,56 kn/m V Sd = p y. γ f = 6,0.1,4 = 8,4 kn/m V Rd1 = 37,56 > 8,4 = V Sd Não há a necessidade de estribos

20 Arranjo das Armaduras Arranjo das Armaduras

21 - Arranjo das Armaduras - Arranjo das Armaduras

22 - Arranjo das Armaduras Arranjo das Armaduras Tabela de Ferros e Resumo Tabela de Ferros Resumo Posição φ n CU CT φ CT Peso N , ,0 N2 6, , ,3 N3 6, N M = 194,3 kg N5 6, V = 5,12x4,06x0,08= 1,66 N ,56x3,06x0,07= 0,55 N ,56x3,06x0,07= 0,55 N ,76 N N10 6, Taxa de Consumo = 195,6/2,76 = 70,4 kg/m³

23 Verificação da Flecha Cálculo do Momento de Fissuração M r = (α.f ct,m. I c )/y t = (1, , ) / 0,04 = 4,1 kn.m α = 1,5 para seção retangular; f ct,m já calculado anteriormente para o cisalhamento I c = b.h 3 /12 que é momento de inércia da seção de base 100 cm ESTÁDIO I; y t é a distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada. Como : M r = 4,1 kn.m < 5 kn.m = M x Calcula-se pela formula de Branson o EI eq para considerar a perda da rigidez na seção fissurada. Verificação da Flecha Cálculo do Momento Equivalente EI eq = E c [(M r /M a ) 3. I c + [1- (M r /M a ) 3 ] I II ] E c = 0, f 1/2 ck = 23,8 GPa ou 23, kn/m 2 ; I II = é o momento de inércia da seção fissurada ESTÁDIO II; Calculando o x II para o ESTÁDIO II com α e = E s /E c 2 ( bx II ) x II = 0,015 m ( A 2 s α e ) ( dx II ) 0 Temos: I II ( ) 3 b x II 3 ( ) 2 + α e A s d x II I II = 5, m 4

24 Verificação da Flecha Cálculo do Momento Equivalente Assim, pode-se calcular o momento de inércia equivalente EI eq = E c [(M r /M a ) 3. I c + [1- (M r /M a ) 3 ] I II ] = EI eq = 23, [(4,1/5) 3.4, [1-(4,1/5) 3 ] 6, ] = 631 kn m 2 Flecha Imediata a i = (b.p.l x4 ) / 12.Ei eq. α 2 = (1.3,6.4 4 ) / ,3 = 0,0085 m Onde: α 2 = 14,3 (laje tipo 1 com ly/lx = 1,25); p = g + ψ 2 q = 3,6 kn/m 2 (valor da carga para a combinação quase permanente (ψ 2 = 0,3 p/ edifícios residenciais); Verificação da Flecha Flecha Diferida no Tempo t 0 = 1 (tempo, em meses, que foi aplicado o carregamento) t > 70 (tempo, em meses, que se deseja saber o valor da flecha) ( ) ( ) t 0 := ξ t 0 ( ) 0.32 t 0 ( ) 0.68 ( t ) ξ := ξ() t ξ t para t 70 meses 0 ξ t := t 0.32 ξ(t) = 2 para t > 70 meses ξ = 2-0,6773 = 1,3227 Como: ρ = 0 (não existe armadura negativa) ξ α f := α f = 1, ρ

25 Verificação da Flecha Flecha Diferida no Tempo a f =a i.α f = 0,0085.1,3227 = 0,0113 m = 1,13 cm Flecha Total a T =a i.(1+ α f ) = 0,0085.(1 + 1,3227) = 0,01978 m = 1,978 cm Flecha Limite Da tabela 13.2 (NBR6118/2003) a lim = (l/250) = 400/250 = 1,6 cm a t >a lim 1,978 cm > 1,6 cm - não passa!!! A norma sugere adotar uma contraflecha. Abertura de Fissuras Laje 1 1 φ i σ si 4 w = ,5φ 7,5φ 7,5φ w klim 12,5 ηb Esi ρri φ i σ si w2 = 12,5 ηb fctm Esi 7,5φ c < 7,5φ 7,5φ a 7,5φ (a < 15 φ) A cr é a área da região de envolvimento protegida pela barra φ i ; E si é o módudo de elasticidade do aço da barra considerada (φ i ); φ i é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada; ρ ri é a taxa de armadura em relação à área da região de envolvimento (A cri ); σ si é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura, no Estádio II; η b é o coeficiente de conformação da armadura (1 em barras lisas, 1,4 barras dentadas e 2,25 barras nervuradas) Acr

26 Abertura de Fissuras As 3,15 ρcri = = 0,053 = 5,53% Acri 58,82 M d σ si = = = 33,06kN / cm 0,8. d. A 0,8.6.3,15 2 E = 21000kN / cm f si ctm = 0,2565kN / cm 1 6,3 33,06 w1 = 12,5 2, w = 0,0425mm 1 s 1 1 w2 = 12,5 2,25 w = 0,14mm ,3 0, , , w 1 < w klim (tab 13.3-NBR6118/2003) w 1 < 0,4 mm - ok!!! Verificando a flecha e a possibilidade de dispensa de armadura de força cortante segundo a NBR , torna-se possível montar o quadro comparativo apresentado abaixo Comparativo Laje 1 Flecha Cisalhamento NBR 6118/ ,3 mm (diferida) 19,78 mm (total) Verificado NBR ,7 mm Verificado E 23,8 GPa 35,24 GPa

27 Conclusões Praticamente sem alterações no dimensionamento para Solicitações Normais Alterações nos procedimentos de verificação dos ELS (Mais rigoroso) Tratamento aprofundado em relação à punção

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