P U C R S PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHARIA CURSO DE ENGENHARIA CIVIL CONCRETO ARMADO II FLEXÃO SIMPLES

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1 P U C R S PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHARIA CURSO DE ENGENHARIA CIVIL CONCRETO ARMADO II FLEXÃO SIMPLES (OUTRA APRESENTAÇÃO) Prof. Almir Schäffer PORTO ALEGRE AGOSTO DE 2011

2 1 FLEXÃO SIMPLES 1- Notações principais Ac = área da seção de concreto As = área da seção de aço (armadura tracionada) Es = módulo de elasticidade do aço M = momento fletor Md = momento solicitante de cálculo Mcd = momento resistente de cálculo (da seção de concreto) Msd = momento resistente de cálculo (da seção de aço) fck = resistência característica do concreto fcd = resistência de cálculo do concreto fyk = resistência característica ao escoamento do aço fyd = resistência de cálculo do aço bw = largura da viga h = altura total da viga d = altura útil x = distância da LN até a borda comprimida da seção de concreto y = altura da zona comprimida de concreto z = braço de alavanca do par interno γc = coeficiente de minoração da resistência do concreto γs = coeficiente de minoração da resistência do aço γf = coeficiente de ponderação das cargas = encurtamento de ruptura do concreto εs = alongamento do aço εl = alongamento plástico limite do aço εyd = alongamento do aço no início do escoamento

3 2 2- Diagrama tensão-deformação do concreto O diagrama tensão-deformação (de cálculo) do concreto, de acordo com a norma (NBR 6118, item ) é o diagrama parábola-retângulo da figura seguinte σcd 0,85.fcd C A B C' B' 0 0,002 0,0035 εc r.y r.x FIGURA 1 onde fck fcd = (1) γc Para simplificar, a norma (NBR 6118, item , e) permite substituir este diagrama parábola-retângulo (OAB) por um diagrama retangular de tensões (C CBB ) (Fig. 1) de extensão y = 0,8.x (2)

4 3 3- Diagrama tensão-deformação do aço O diagrama tensão-deformação (de cálculo) do aço, de acordo com a norma (NBR 6118, item 8.3.6) é o diagrama da figura seguinte σsd fyd A B σ sd = Es.εs O εyd εs FIGURA 2 onde e fyk fyd = γs (3) fyd ε yd = Es (4) em O módulo de elasticidade do aço é fixado pela norma (NBR 6118, item 8.3.5) Es = MPa (5) A tensão de cálculo no aço, de acordo com o diagrama anterior, pode ser calculada como segue: Se ε s < εyd (6) então senão σ sd = Es. εs (7) σ sd = fyd (8)

5 4 4- Estado limite último de ruptura (ELU de ruptura) O estado limite último de ruptura é atingido quando o encurtamento da fibra mais comprimida de concreto atingir o encurtamento de ruptura do concreto () ou quando o alongamento da barra mais tracionada de aço atingir o alongamento plástico limite do aço (εl). O encurtamento de ruptura (convencional) do concreto, na solicitação de flexão, é fixado pela norma (NBR 6118, item , g) em e o alongamento plástico limite (convencional) do aço, em ε R = 0,0035 (9) ε L = 0,010 (10) 5- Alongamento do aço O alongamento do aço (εs), em função da profundidade (x) da LN na seção e em função do encurtamento de ruptura do concreto (), pode ser obtido como segue: S' ε R εc S x LN d As d-x εyd εs ε L FIGURA 3 Da semelhança dos triângulos (Fig. 3) obtém-se εs d x = x (11)

6 5 donde d x ε s =. (12) x 6- Valor mínimo x Para que o ELU de ruptura não seja ultrapassado é necessário que ε s εl (13) Substituindo nesta condição εs dado pela equação (12) e isolando x, resulta x.d (14) + εl Portanto, o valor mínimo de x, para atender a condição (13) é: xmin =.d (15) + εl Substituindo os valores de e εl dados pelas equações (9) e (10) na equação anterior resulta ainda: x min = 0,26.d (16) O valor mínimo de y, conforme a equação (2), é dado por: y min = 0,8.x min (17)

7 6 7- Valor máximo de x Para aproveitar integralmente a resistência do aço ao escoamento, isto é, para que a tensão no aço (σsd) atinja a tensão de escoamento (fyd), é necessário que ε s εyd (18) Esta é também a condição de que a viga seja sub-armada, isto é, a condição de que a ruptura da viga ocorra por escoamento do aço (ruptura dúctil) e não por esmagamento do concreto (ruptura frágil). Substituindo nesta condição εs dado pela equação (12) e isolando x, resulta x.d (19) + εyd Portanto, o valor máximo de x, para atender a condição (18) é: xmax =.d (20) + εyd O valor máximo de y, conforme a equação (2), é dado por: y max = 0,8.x max (21)

8 7 8- Condições de equilíbrio e condições de segurança As condições de equilíbrio na seção transversal de uma viga exigem que os esforços resistentes (R) sejam iguais aos esforços solicitantes (S), isto é, que: R = S (22) A segurança é introduzida no cálculo verificando as condições de equilíbrio dadas pela equação (22) com os esforços resistentes diminuídos (=esforços resistentes de cálculo) e os esforços solicitantes aumentados (=esforços solicitantes de cálculo). Para diminuir os esforços resistentes eles são calculados com as resistências dos materiais (concreto e aço) diminuídas. Para diminuir as resistências elas são divididas pelos coeficientes de minoração das resistências (γc e γs). Para aumentar os esforços solicitantes eles são calculados com as cargas (F) que atuam sobre a viga aumentadas. Para aumentar as cargas elas são multiplicadas pelos coeficientes de majoração das cargas (γf). A segurança à ruptura, na seção transversal de uma viga, é considerada satisfatória (NBR 6118, item ) quando os esforços resistentes de cálculo (Rd), calculados no ELU de ruptura, são iguais ou superiores aos esforços solicitantes de cálculo (Sd), isto é, quando: Rd Sd (23) O máximo de economia de materiais se obtém explorando a condição (23) ao máximo, isto é, quando: Rd = Sd (24)

9 8 9- Distribuição das tensões na seção Seja uma viga de seção retangular solicitada por flexão (Fig. 4). S' ε R εc S 0,85.fcd x y Rcd h d LN z Md a As bw εyd εs ε L fyd Rsd FIGURA 4 Para aproveitar ao máximo a resistência do concreto à compressão, admite-se que o encurtamento da fibra mais comprimida de concreto seja igual ao encurtamento de ruptura do concreto (), de modo que as tensões de compressão no concreto possam ser consideradas uniformemente distribuídas sobre o retângulo de lados bw e y, com intensidade 0,85.fcd. Para aproveitar ao máximo a resistência do aço à tração, admite-se também que o alongamento da armadura de tração seja igual ou superior ao alongamento correspondente ao início do escoamento do aço (εyd), de modo que as tensões na armadura de tração tenham intensidade fyd. por (Fig. 4) A distância (z) entre as resultantes das tensões no concreto e no aço é dada y z = d (25) 2

10 9 10- Forças e momentos resistentes Resultante das tensões de compressão no concreto (Fig. 4): Rcd = bw.y.0,85.fcd (26) Resultante das tensões de tração no aço (fig. 4): Rsd = As.fyd (27) Momento das tensões no concreto, em relação ao centro de gravidade da armadura de tração (Fig. 4): Mcd = Rcd.z Substituindo nesta equação Rcd e z por seus valores dados pelas equações (26) e (25), resulta y Mcd = bw.y.0,85.fcd. d (28) 2 Momento das tensões no aço, em relação ao centro de gravidade da zona comprimida da seção de concreto (Fig. 4): Msd = Rsd.z resulta Substituindo nesta equação Rsd por seu valor dado pela equação (27), Msd = As.fyd.z (29)

11 Par interno A condição de equilíbrio a translação na direção normal à seção exige que a resultante das tensões normais que atuam na seção (=Rcd-Rsd) seja igual à força normal solicitante (Nd=0). Portanto (Fig. 4) donde Rcd Rsd = 0 Rcd = Rsd (30) De acordo com esta equação as forças Rcd e Rsd (na solicitação de flexão simples) são iguais e opostas, isto é, formam um par de forças. Este par de forças é conhecido como par interno e a distância (z) entre as forças do par é chamada de braço de alavanca do par interno. 12- Cálculo da armadura Nos problemas de dimensionamento de uma viga à flexão intervém várias variáveis, como fcd, fyd, bw, h, a, x, As... Estas variáveis precisam satisfazer duas condições de equilíbrio, o que significa que duas das variáveis devem ser escolhidas para satisfazer tais condições e as demais podem ter seus valores arbitrados livremente. É usual escolher para variáveis dependentes y e As. A condição de equilíbrio à rotação exige que o momento do par interno seja igual ao momento solicitante (Md). Como o momento do par interno independe do pólo escolhe-se para pólo o centro de gravidade da armadura de tração. Logo Mcd = Md resulta Substituindo nesta equação Mcd por sua expressão dada pela equação (28),

12 11 y bw.y.0,85.fcd. d = Md (31) 2 Resolvendo esta equação encontra-se y. Para maiores detalhes do cálculo de y com a equação (31) ver o anexo A. Conhecido y pode-se calcular z com a equação (25). Para calcular a área de aço pode-se desenvolver a equação de equilíbrio à translação (equação (30)), substituindo na mesma Rcd e Rsd por suas expressões dadas pelas equações (26) e (27) e isolando As. A solução preferida, no entanto, obtém-se com outra equação de equilíbrio à rotação, como se mostra a seguir. Tomando como pólo para o par das forças internas o centro de gravidade da zona comprimida da seção de concreto, resulta: Msd = Md resulta Substituindo nesta equação Msd por sua expressão dada pela equação (29), As.fyd.z = Md donde: Md As = (32) z.fyd Esta equação permite calcular As.

13 Momento de cálculo limite (Mcd,lim) O momento máximo que a seção de concreto resiste como sub-armada, isto é, com a armadura de tração entrando em escoamento antes da ruptura, obtém-se calculando o momento Mcd dado pela equação (28) com a LN na posição limite ymax dada pela equação (21). Procedendo assim obtém-se: ymax Mcd,lim = bw.y max.0,85.fcd. d (33) Taxas de armadura A taxa geométrica de armadura (ρ) é a relação entre a área da seção da armadura e a área da seção do concreto que a envolve, isto é: As ρ = (34) Ac A taxa mecânica de armadura (ω) é a relação entre a resistência de cálculo da armadura e a resistência de cálculo do concreto que a envolve, isto é: Nsd As.fyd ω = = (35) Ncd Ac.fcd Dividindo membro a membro a equação (34) pela (35) e isolando ρ, obtém-se fcd ρ = ω. (36) fyd que é a relação existente entre as duas taxas de armadura.

14 Armadura de tração mínima A taxa geométrica da armadura de tração de uma viga não pode ser menor que a mínima dada pela expressão (NBR 6118, item ): fcd ρmin = Maior 0,0015; ωmin. (37) fyd Para vigas de seção retangular (NBR 6118, tabela 17.3), ω min = 0,035 (38) A área mínima de seção de armadura é dada por: As,min = ρmin.ac (39)

15 14 Anexo A Para calcular y a partir da equação (31), transcrita a seguir, y bw.y.0,85.fcd. d = Md (31) 2 pode-se proceder como segue: a) passando bw.0,85.fcd para o segundo membro, resulta y y. d = 2 Md bw.0,85.fcd b) dividindo ambos os membros por donde y. 1 d 1 y. 2 d 2 2 d, resulta y Md = 2.d 2 bw.d.0,85.fcd y Md + = 0 d 2 bw.d.0,85.fcd y d) calculando d com a fórmula de Báskara, resulta y = 1 d 1 2. b w.d 2 M d.0,85.f cd donde M d y = d (40) 2 bw.d.0,85.f cd Para que este valor de y seja a solução do problema, isto é, para que sejam atendidas as condições (13) e (18), é necessário que: ymin y ymax (41)

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