Dimensionamento de Lajes ao Puncionamento

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1 Dimensionamento de Lajes ao Puncionamento Prof. Henrique Innecco Longo q θ d h F Sd Departamento de Estruturas Escola Politécnica da Universidade Federal do Rio de Janeiro 018

2 Dimensionamento de Lajes ao Puncionamento - prof. Henrique Longo pág. 1 Dimensionamento de Lajes ao Puncionamento Prof. Henrique Innecco Longo longohenrique@gmail.com Resumo: A finalidade é verificar e dimensionar as lajes lisas e cogumelo ao puncionameto. 1 Introdução A ruptura por punção pode acontecer quando uma carga concentrada atua em uma área relativamente pequena de uma placa de concreto. A punção é um estado limite último determinado por cisalhamento no entorno da carga concentrada. Esse efeito pode acontecer em lajes cogumelo, lajes lisas (fig.1) e em fundações em sapatas (fig.). A tensão de puncionamento pode ser maior quando houver transferência de momentos fletores da laje para o pilar ou quando o pilar estiver no bordo ou no canto da laje. De acordo com LEONHARDT (1977), a ruptura por puncionamento é caracterizada por uma superfície cônica de ruptura com inclinação de 30 o a 35 º, conforme mostrado na figura.1. superfície de ruptura Fig. 1 Superfície de ruptura nas lajes lisas devido ao efeito da punção superfície de ruptura Fig. Superfície de ruptura em uma sapata devido ao efeito da punção

3 Dimensionamento de Lajes ao Puncionamento - prof. Henrique Longo pág. A ruptura por puncionamento pode ser evitada com o capitel, que é um engrossamento da laje na região do pilar, conforme figura 3. Fig. 3 apitel em torno do pilar com altura constante e variável Modelo de cálculo para o dimensionamento à punção De acordo com a NBR-6118 (014), o modelo de cálculo para o dimensionamento das lajes à punção corresponde à verificação do cisalhamento em duas ou mais superfícies críticas definidas no entorno da força concentrada (fig.4): Superfície crítica de contorno do pilar ou da carga concentrada - deve ser verificada indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto, através da tensão de cisalhamento. Superfície crítica de contorno afastado do pilar ou da carga concentrada - deve ser verificada a capacidade de ligação à punção, associada à resistência à tração diagonal. Esta verificação também se faz através de uma tensão de cisalhamento, no contorno. aso haja necessidade, a ligação deve ser reforçada por armadura transversal. Superfície crítica de contorno - apenas deve ser verificada quando for necessário colocar armadura transversal. 1 Fig.4 ontornos críticos em pilares internos

4 Dimensionamento de Lajes ao Puncionamento - prof. Henrique Longo pág. 3 3 Pilares internos com carregamento simétrico Pela NBR-6118 (014), a tensão de cisalhamento solicitante de cálculo devido ao efeito do puncionamento em um pilar interno com carregamento simétrico no contorno crítico será: F Sd τ Sd = u d τ Sd - tensão de cisalhamento solicitante de cálculo no contorno crítico considerado ( ou ) F Sd - força ou a reação concentrada de cálculo u - perímetro do contorno crítico perímetro de u = (1 + ) para pilar interno retangular perímetro de u = (1 + ) + π () para pilar interno retangular d - altura útil da laje ao longo do contorno crítico ou d = (d x + d y )/ sendo d x e d y as alturas úteis nas duas direções ortogonais Esse contorno é definido a uma distância da face do pilar porque a superfície de ruptura no Estado Limite Último acontece com uma inclinação em torno de 1: (fig.5). Assim sendo, o ângulo de inclinação será: θ = arc tg (1/) = 6,6 º q θ d h F Sd Fig.5 Força concentrada atuante na laje lisa Quando o pilar estiver passando pela laje, vindo do piso superior, a força F Sd será a seguinte: F 1 carga do pilar do nível superior F carga do pilar do nível inferior F Sd = 1,4( F F 1 ) Redução da força de punção De acordo com a NBR-6118 (014), a força de punção F Sd pode ser reduzida da força distribuída aplicada na face oposta da laje, dentro do contorno considerado na verificação, ou ': F Sd RED = F Sd 1,4 q. A q carga distribuída na laje A área dentro do contorno considerado ( ou )

5 Dimensionamento de Lajes ao Puncionamento - prof. Henrique Longo pág. 4 Pilar interno com efeito do momento Quando existe transferência de momento da laje ao pilar (fig.6), cujo efeito de assimetria deve ser considerado, a tensão solicitante deve levar em consideração este momento. 1 M Sd Fig. 6 Momento atuante em um pilar interno De acordo com a NBR-6118(014), a tensão solicitante deve ser a seguinte: K - coeficiente que fornece a parcela do M Sd transmitida ao pilar por cisalhamento (tabela 1) K = 0,6 para pilares circulares internos W P - módulo de resistência plástica do perímetro crítico u 1 - dimensão do pilar paralela à excentricidade da força - dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força Tabela 1 - Valores de K pela NBR-6118(014) para pilares retangulares 1 / 0,5 1,0,0 3,0 K 0,45 0,60 0,70 0,80 Os valores de W P devem ser calculados pelas expressões: pilar retangular: 1 Wp = + 1 pilar circular: W ( ) p = D + 4d D - diâmetro do pilar. W p pode ser calculado desprezando a curvatura dos cantos do perímetro crítico por:: W p = u 0 e dl τ FSd = ud Sd + d l - comprimento infinitesimal no perímetro crítico u + 4 d + 16d KM W p Sd d + πd 1 e - distância de d l ao eixo que passa pelo centro do pilar e sobre o qual atua o momento fletor M Sd.

6 Dimensionamento de Lajes ao Puncionamento - prof. Henrique Longo pág. 5 ontorno do pilar com reentrâncias Pela NBR-6118(014), se o contorno apresentar reentrâncias, o contorno crítico ' deve ser paralelo ao polígono circunscrito ao contorno (fig.7). Fig.7 ontorno crítico para pilar com reentrância Pilar próximo a uma abertura Se na laje existir uma abertura situada a menos de 8d do contorno, a NBR-6118 (014) recomenda que não deve ser considerado o trecho do contorno crítico ' entre as duas retas que passam pelo centro de gravidade da área de aplicação da força e que tangenciam o contorno da abertura (fig.8). Abertura na laje < 8d Fig. 8- Perímetro crítico para pilar próximo à abertura na laje Estimativa das cargas nos pilares As cargas nos pilares de um pavimento podem ser estimadas por áreas de influência (fig.9). O retângulo desta área A i pode ser definido tomando-se 60% da distância entre um pilar interno e um de extremidade e 50% da distância entre pilares internos. Assim, a carga estimada será: N = A i x q sendo q - carga distribuída na laje l Y l Y1 0,5l Y 0,6l Y1 P10 0,6l X1 0,5l X l X l X1 Fig.9 Área de influência para o pilar P10

7 Dimensionamento de Lajes ao Puncionamento - prof. Henrique Longo pág. 6 4 Pilares de borda O puncionamento se torna mais crítico nos pilares situados na borda livre e nos cantos da laje. Para se levar em conta esse efeito, o perímetro do contorno crítico é reduzido (fig.10). F Sd - reação de apoio u* - perímetro crítico reduzido τ F = Sd u d Sd * 1 a = 1,5d e 0,5 1 (o menor valor) contorno crítico reduzido u * Borda livre da laje Fig. 10 ontorno crítico reduzido em pilar de borda Momento agindo no plano perpendicular à borda livre (fig.11) FSd K1M Sd1 τsd = + * u d Wp1d M Sd1 =( M Sd - M Sd *) 0 M Sd - momento de cálculo no plano perpendicular à borda livre M Sd * = F Sd. e * momento de cálculo resultante da excentricidade do perímetro crítico reduzido u* em relação ao centro do pilar, sendo e * -excentricidade do contorno crítico reduzido em relação ao centro do pilar W P1 - módulo de resistência plástica perpendicular à borda livre, calculado para o perímetro u K 1 - valores estabelecidos para K na tabela 1 a = 1,5d e 0,5 1 (o menor valor) 1 contorno crítico reduzido u * Borda livre da laje M Sd e * Fig. 11 ontorno crítico reduzido em pilar de borda com um momento

8 Dimensionamento de Lajes ao Puncionamento - prof. Henrique Longo pág. 7 Momento agindo em duas direções (fig.1) τ FSd K1M = + u * d W d Sd Sd1 + p1 K M Sd1 -momento de cálculo no plano perpendicular à borda livre M Sd -momento de cálculo no plano paralelo à borda livre W P -módulo de resistência plástica na direção paralela à borda livre, calculado pelo perímetro u. W O coeficiente K assume os valores estabelecidos para K na tabela 1, substituindo-se 1 / por / 1 (sendo 1 e conforme a figura 1). M p Sd d M Sd 1 a = 1,5d e 0,5 1 (o menor valor) contorno crítico reduzido u * M Sd1 Fig. 1 ontorno crítico reduzido em pilares de borda com momentos em duas direções 5 Pilares de canto Pela NBR-6118 (014), aplica-se o disposto para o pilar de borda quando não age momento no plano paralelo à borda. omo o pilar de canto apresenta duas bordas livres, deve ser feita a verificação separadamente para cada uma delas, considerando o momento fletor cujo plano é perpendicular à borda livre adotada. Nesse caso, K deve ser calculado em função da proporção 1 /, sendo 1 e, respectivamente, os lados do pilar perpendicular e paralelo à borda livre adotada, conforme tabela 1. A figura 13 mostra o contorno crítico reduzido em pilares de canto. M Sd e * a = 1,5d e 0,5 (o menor valor) a 1 = 1,5d e 0,5 1 (o menor valor) contorno crítico reduzido u * Fig Perímetro crítico em pilares de canto

9 Dimensionamento de Lajes ao Puncionamento - prof. Henrique Longo pág. 8 6 Verificação da tensão resistente Pela NBR-6118(014), é preciso verificar a tensão nas superfícies críticas, e. a) Tensão resistente de compressão diagonal do concreto na superfície crítica Esta verificação deve ser feita no contorno, em lajes submetidas à punção, com ou sem armadura de punção. τ Sd τ Rd = 0,7α v f cd τ Sd - tensão de cisalhamento solicitante de cálculo no contorno f ck resistência característica do concreto à compressão f cd resistência de cálculo do concreto à compressão α ν = (1 - f ck /50) (f ck em MPa) O valor de τ Rd pode ser aumentado de 0% por efeito de estado múltiplo de tensões junto a um pilar interno, quando os vãos que chegam a esse pilar não diferem mais de 50% e não existem aberturas na laje junto ao pilar. b) Tensão resistente na superfície crítica em trechos sem armadura de punção Nesta verificação da tração diagonal, a norma NBR-6118(014) adotou um modelo empírico que corresponde a limitar a tensão convencional de cisalhamento. Essa verificação deve ser feita no contorno crítico ' ou em 1 ' e ' no caso de existir capitel. τ Sd - tensão de cisalhamento solicitante de cálculo no contorno τ Rd1 tensão resistente na superfície crítica (em MPa) f ck (em MPa) τ Sd τ Rd1 =,13(1 + 0/ d ) 100 d (cm) - altura útil da laje ao longo do contorno crítico da área de aplicação da força sendo d = (d x + d y ) / d x e d y alturas úteis nas direções ortogonais X e Y ρ taxa geométrica de armadura de flexão aderente (armadura não aderente deve ser desprezada) sendo ρ = ρ x ρ y ( ρf ) 1/ 3 0 ck ρ x e ρ y são as taxas de armadura nas duas direções ortogonais assim calculadas: - na largura igual à dimensão ou área carregada do pilar acrescida de 3d para cada um dos lados - no caso de proximidade da borda prevalece a distância até a borda quando menor que 3d

10 Dimensionamento de Lajes ao Puncionamento - prof. Henrique Longo pág. 9 c) Tensão resistente nas superfícies em trechos com armaduras de punção τ Sd τ ( 100 ρf ) 1 / 3 Rd 3 = 0,10(1 + 0 / d ) ck + 1,5 d s r A sw f ywd ud sen α τ Sd - tensão de cisalhamento solicitante de cálculo no contorno d (cm) - altura útil da laje ao longo do contorno crítico ' da área de aplicação da força, sendo d = (d x + d y ) / s r espaçamento radial entre linhas de armadura de punção, sendo s r 0,75d A sw área da armadura de punção num contorno completo paralelo a ' α ângulo de inclinação entre o eixo da armadura de punção e o plano da laje u perímetro crítico (ou perímetro u* crítico reduzido no caso de pilares de borda ou canto) em f ywd resistência de cálculo da armadura de punção f ywd 300 MPa para conectores f ywd 50 MPa para estribos (aço A-50 ou A-60) para lajes com espessura até 15cm f ywd 435 MPa para estribos (aço A-50 ou A-60) para lajes com espessura maior que 35cm 7 Armadura transversal de punção De acordo com a NBR-6118(014), quando for necessário utilizar armadura transversal de punção, esta armadura deve ser estendida em contornos paralelos a até que, num contorno afastado do último contorno de armadura (fig.14), não seja mais necessária armadura, isto é, quando: τ sd τ Rd1 O contorno depende da disposição da armadura de punção. Assim sendo, caso necessário, podese aumentar o número de linhas de conectores para aumentar o contorno. < Fig Disposição da armadura de punção em planta

11 Dimensionamento de Lajes ao Puncionamento - prof. Henrique Longo pág. 10 A figura 15 mostra a disposição da armadura de puncionamento e os contorno em corte transversal. 0,75d 0,75d s r s r 0,5d Fig.15 - Disposição da armadura de punção em corte transversal A figura 16 mostra os tipos de ruptura por puncionamento por compressão no concreto, por tração na região da armadura de puncionamento e ruptura fora da região desta armadura. Fig. 16 Ruptura por puncionamento por compressão no concreto e por tração A armadura transversal de punção deve ser constituída por estribos verticais ou por conectores (studs), sendo que a NBR-6118(014) recomenda utilizar preferencialmente os conectores.

12 Dimensionamento de Lajes ao Puncionamento - prof. Henrique Longo pág. 11 onectores O IBRAON (003) recomenda usar três ou mais linhas de conectores tipo pino com extremidades alargadas, dispostas radialmente a partir do perímetro do pilar (fig.17). ada uma dessas extremidades deve estar ancorada fora do plano da armadura de flexão correspondente. Esses conectores são de fácil manuseio, transporte e montagem, facilitando a utilização de armadura de punção em lajes lisas de pequena espessura. Além disso, esses conectores não interferem nas armaduras das lajes. placa de ancoragem Área de ancoragem 10 x área do pino conectores solda barra de ancoragem furo de fixação nas fôrmas /3D D D/,5D D diâmetro do pino Fig. 17 Especificação dos conectores de acordo com IBRAON (004) A figura 18 mostra as armaduras de uma laje lisa sobre os pilares e os conectores dispostos em forma radial antes da concretagem. Fig.18 onectores na laje lisa antes da concretagem

13 Dimensionamento de Lajes ao Puncionamento - prof. Henrique Longo pág. 1 Estribos (fig.19) De acordo com a NBR-6118(014), o diâmetro da armadura de estribos não pode superar h/0 e deve haver contato mecânico das barras longitudinais com os cantos dos estribos (ancoragem mecânica). LEONHARDT (1978) sugere que o espaçamento dos estribos seja menor do que h/. diâmetro do estribo φ h/0 espaçamento dos estribos e h / Fig. 19 Estribos aberto e fechado Área da armadura de punção Se igualarmos a tensão solicitante τ Sd com a tensão τ Rd3, podemos então determinar a área de armadura de punção em um contorno paralelo a, conforme as linhas tracejadas da figura 0: A Sw = ( τ Sd 0,10(1 + 0 / d ) ( 100 ρf ) ck 1/ 3 s ) 1,5 f r ywd u senα Fig. 0 Armadura de punção em contornos paralelos a Armadura de punção obrigatória Pela NBR-6118(014), no caso da estabilidade global da estrutura depender da resistência da laje à punção, deve ser prevista armadura de punção, mesmo que τ Sd seja menor que τ Rd1. Essa armadura deve equilibrar um mínimo de 50% de F Sd. Armadura contra colapso progressivo Pela NBR-6118(014), para garantir a dutilidade local e a conseqüente proteção contra o colapso progressivo, a armadura de flexão inferior que atravessa o contorno, deve estar suficientemente ancorada além do perímetro '.

14 Dimensionamento de Lajes ao Puncionamento - prof. Henrique Longo pág. 13 Armadura de punção em pilares de borda e de canto IBRAON(004) recomenda que nos pilares de borda e de canto, a armadura de punção não seja considerada fora do perímetro crítico, conforme mostrado na figura 1. armadura calculada armadura adicional Fig. 1 Armadura de punção considerada em pilares de borda 8 Verificação da tensão com armadura de punção No caso de ser necessária a armadura de punção, três verificações devem ser feitas, segundo a NBR-6118(014), conforme figura : a) Tensão resistente de compressão do concreto no contorno τ Sd τ Rd b) Tensão resistente à punção no contorno, considerando a armadura de punção τ Sd τ Rd3 c) Tensão resistente à punção no contorno, sem armadura de punção τ Sd τ Rd1 (τ Sd τ Rd ) (τ Sd τ Rd1 ) \ sem armadura de punção (τ Sd τ Rd1 ) sem armadura de punção (τ Sd τ Rd3 ) com armadura de punção Fig. Verificações da tensão de puncionamento com armadura de punção

15 Dimensionamento de Lajes ao Puncionamento - prof. Henrique Longo pág apitel nas lajes cogumelo O capitel é um engrossamento da laje na região do pilar e pode ser usado para reduzir o efeito do puncionamento na laje. Pela NBR-6118(014), quando existe capitel, devem ser feitas verificações nos contornos críticos 1, de acordo com o seguinte critério (fig.3): capitéis estreitos l c (d c d) verificar o contorno com altura d capitéis intermediários (d c d) < l c c verificar o contorno 1 com altura d a capitéis largos l c > c verificar o contornos 1 com altura d a e o contorno com altura d Sendo d a = (l c + c ) / 1 a c d 1 d a 1 d c l c Fig. 3 Verificações no capitel com altura constante Se o capitel largo tiver uma mísula, os contornos, 1 e são os mostrados na figura 4. 1 c d 1 d a 1 d c l c Fig. 4 Verificações no capitel com altura variável

16 Dimensionamento de Lajes ao Puncionamento - prof. Henrique Longo pág Recomendações para se evitar a ruptura por punção Para se evitar este tipo de colapso, as tensões de cisalhamento solicitantes devem ser menores do que as tensões resistentes. Há várias maneiras de se reduzir estas tensões solicitantes. Dentre essas opções, podemos ter as seguintes: aumentar a espessura de toda a laje engrossar a laje na região do pilar (capitel) aumentar as dimensões dos pilares projetar mais pilares para reduzir a carga em cada pilar evitar posicionar os pilares nas bordas ou nos cantos da laje aumentar a resistência característica f ck do concreto à compressão Quando a verificação do contorno não estiver satisfeita: aumentar a taxa de armadura de flexão na laje em trechos sem armadura de punção aumentar a armadura de punção e/ou diminuir o espaçamento radial entre linhas da armadura de punção 11 Verificação de elementos estruturais protendidos Pela NBR-6118(014), esta verificação deve ser feita considerando a tensão solicitante efetiva: τ Sd,ef = τ Sd τ Pd τ Pd - tensão devida ao efeito dos cabos de protensão inclinados que atravessam o contorno considerado e passam a menos de d/ da face do pilar (fig. 5) τ Pd = ΣP k inf,i sen α ud i P kinf,i - força de protensão no cabo i α i - inclinação do cabo i em relação ao plano da laje no contorno considerado u -perímetro crítico do contorno considerado, em que se calculam τ Sd,ef e τ Sd. a contorno b+4d b+d b cabo i P kinf,i a+4d Fig.5 - Efeito favorável dos cabos inclinados

17 Dimensionamento de Lajes ao Puncionamento - prof. Henrique Longo pág. 16 Exemplo numérico Verificação da tensão de puncionamento em uma laje lisa apoiada em um pilar interno. materiais: concreto 30 aço A-50 0 cm 500 kn 30 cm 40 cm - Tensão solicitante no contorno F Sd τ Sd = u o d 1,4 x 500 τ Sd = x (0,4 + 0,3) x 0,18 30 cm 40 cm = 36cm τ Sd =.778 kn/m - Tensão resistente no contorno τ Rd = 0,7α v f cd α ν = (1 - f ck / 50) = 1 30 / 50 = 0,88 τ Rd = 0,7 x 0,88 x 30 / 1,4 τ Rd = 5,091 MPa = kn/m como τ Rd > τ Sd então não haverá ruptura por compressão diagonal do concreto - Tensão solicitante no contorno Perímetro do contorno u = x (0,4 + 0,3) + π x 0,36 = 3,66 m Tensão solicitante em F Sd 1,4 x 500 τ Sd = = = kn/m u d 3,66 x 0,18

18 Dimensionamento de Lajes ao Puncionamento - prof. Henrique Longo pág Tensão resistente no contorno τ Rd 1 =,13 (1 + 0 / d ) 100 ( ρ f ) 1 / 3 0 ck onsiderando uma taxa de armadura de flexão na laje ρ = 0,5 % τ ( 100 x0,005 ) 1 / 3 1 = 0,13 (1 0 / 18 ) x30 Rd + τ Rd1 = 0,13 x,05 x,46 τ Rd1 = 0,656 MPa = 656 kn/m omo τ Sd > τ Rd1 haverá ruptura por tração diagonal. Solução 1 aumentar a espessura da laje para h = 30 cm omo a espessura da laje aumentou, a reação N passou para 550 kn. - Tensão solicitante no contorno para h = 30cm Perímetro do contorno u = x (0,4 + 0,3) + π x 0,56 = 4,9 m F Sd 1,4 x 550 τ Sd = = = 558 kn/m u d 4,9 x 0,8 -Tensão resistente no contorno τ Rd 1 =,13 (1 + 0 / d ) 100 ( ρ f ) 1 / 3 0 ck onsiderando uma taxa de armadura de flexão na laje ρ = 0,5 % τ ( 100 x0,005 ) 1 / 3 1 = 0,13 (1 0 / 8 ) x30 Rd + τ Rd1 = 0,13 x 1,85 x,46 = 0, 59 MPa > τ Sd não haverá ruptura por tração diagonal. Solução colocar armadura de punção A armadura de punção será composta por conectores tipo pino com aço A-50, distribuídos em linhas, conforme figura 9. A primeira linha de conectores está distante 8cm < 0,5d das faces do pilar e a distância entre as linhas de conectores é igual a s r = 10cm < 0,75d. O contorno está situado a uma distância = 36cm da última linha de conectores. Área da armadura de punção A Sw = ( τ Sd 0,10(1 + 0 / d ) ( 100 ρf ) ck 1/ 3 s ) 1,5 f r ywd u senα

19 Dimensionamento de Lajes ao Puncionamento - prof. Henrique Longo pág x 366 A Sw = { 1,06-0,10 x ( 1 + 0/18) x (100x 0,005x 30) 1/3 } x ,5 x 300 A Sw = { 1,06-0,05 x,46 } x 8,13 = 4, 53 cm onsiderando conectores com diâmetro Φ = 6,3mm (0,3cm ), teremos 16 conectores em cada linha, conforme figura. = 36cm contorno = 36cm Verificação da tensão resistente na superfície em trechos sem armadura de punção O perímetro do contorno (fig. 9) será igual a: u = Π ( ) = 6 cm 1,4 x 500 τ sd = = 65 kn/m < τ rd1 = 656 kn/m certo 6, x 0,18 Solução 3 colocação de um capitel 1 a c d 1 d a 1 d c l c

20 Dimensionamento de Lajes ao Puncionamento - prof. Henrique Longo pág. 19 Desafio O pavimento de lajes lisas da figura está apoiado em 1 pilares. Estime a carga nos pilares P5, P4 e P1 e verifique a tensão de puncionamento nestes pilares. Se necessário, faça modificações no projeto. espessura da laje = 30cm pilares 30cm x 50cm carga acidental = kn/m carga de paredes na laje = 1 kn/m concreto 30 P1 P P3 8 m P4 P5 P6 8 m P7 P8 P9 8 m P10 P11 P1 10 m 10 m

21 Dimensionamento de Lajes ao Puncionamento - prof. Henrique Longo pág. 0 Referências Bibliográficas UNHA, Albino J.P. e SOUZA Vicente.M Lajes em oncreto Armado e Protendido, a edição, Editora UFF, GUARDA, M.., LIMA J. S., PINHEIRO L. M. Novas Diretrizes para a Análise de Punção no Projeto de Lajes Lisas, IV Simpósio EPUSP sobre Estruturas de oncreto. IBRAON Prática Recomendada IBRAON omentários Técnicos NB-1, junho 003. LEONHARDT F. e MÖNNIG E. onstruções de oncreto,vols.1, e 3, Ed. Interciência, NORMA NBR Projeto de Estruturas de oncreto Procedimento, ABNT, mar. 014