Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias. Resistência dos Materiais II. Capítulo 3 Flexão

Transcrição

1 Capítulo 3 Flexão

2 3.1 Revisão Flexão provoca uma tensão de tração de um lado da viga e uma tensão de compressão do outro lado.

3 3.2 A fórmula da flexão O momento resultante na seção transversal é igual ao momento produido pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo neutro. M I σ = tensão normal no membro M = momento interno I = momento de inércia = distância perpendicular do eixo neutro

4 3.3 Flexão Reta ou Normal Quando desenvolvemos a fórmula da flexão, impusemos a condição de que a área da seção transversal fosse simétrica em torno de um eixo perpendicular ao eixo neutro e também que o momento interno resultante M agisse ao longo do eixo neutro. Agora veremos como fica a fórmula da flexão para uma viga com momento interno resultante que aja em qualquer direção.

5 3.4 Flexão Oblíqua

6 Momento aplicado arbitrariamente Podemos expressar a tensão normal resultante em qualquer ponto na seção transversal, em termos gerais, como: M I M I σ = tensão normal no ponto, = coordenadas do ponto medidas em relação a x,, M, M = componentes do momento interno resultante direcionados ao longo dos eixos e I, I = momentos principais de inércia calculados em torno dos eixos e

7 Orientação do eixo neutro O ângulo α do eixo neutro pode ser determinado aplicando σ = 0. Temos: M M M M M I MsenI 0 I I I I MI McosI tgi I tg tg I I IMPORTANTE: utiliar um sistema x, e orientado pela regra da mão direita. Ângulo Θ sentido do + para + até encontrar o M Ângulo α sentido do + para + até encontrar LN ou seja horário positivo, anti-horário negativo.

8 Exemplo 1 - A seção transversal retangular mostrada na figura abaixo está sujeita a um momento fletor M=12kNm. Determine a tensão normal desenvolvida em cada canto da seção.

9 Vemos que os eixos e representam os eixos principais de inércia, uma ve que são os eixos de simetria para a seção transversal. O momento decomposto em suas componentes e, onde: 4 M (12 knm ) 9,60 knm 5 3 M (12 knm ) 7,20 knm 5 M M I I I I Os momentos de inércia em torno dos eixos e são: 1 0,2 0,4 12 1, ,4 0,2 12 0, m m

10 Tensão de flexão: M I B C B C M I m 1,06710 m 0,26710 m 3 7,210 Nm0,2 2,25 MPa D 3 7,210 Nm0,2 3 9,60 10 Nm 0, m 1,06710 m 0,26710 m 4,95 MPa D 3 7,210 Nm( 0,2) 2,25 MPa 3 9,60 10 Nm 0, m 1,06710 m 0,26710 m m m 3 9,60 10 Nm 0, m

11 E E m 1,06710 m 0,26710 m 3 7,210 Nm( 0,2) 4,95 MPa 3 9,60 10 Nm 0, m Orientação do eixo neutro: a localiação do do eixo neutro NA pode ser determinada por cálculo proporcional. Ao longo da borda BC, exige-se: 2,25MPa 4,95MPa (0,2 m ) 0,45 2,254,95 0,0625m

12 tg tg I I tg 1, , ,4 m m tg(-53,1 ) 306,9

13 Exemplo 2 - Uma viga em T está sujeita a um momento fletor de 15 knm. Determine a tensão normal máxima na viga.

14 Ambas as componentes do momento são positivas. Temos M M 15cos30 15sen30 7,50 knm 12,99 knm Para propriedades da seção, temos A A 0,050,1 0,04 0,115 0,030,2 0,1 0,04 0,030,2 0,0890 m

15 2 Pelo teorema dos eixos paralelos, I I Ad inércia são: I 0,1 0,04 0,030,2 20,5310 m I 0,040,1 0,1 0,040,089 0, ,2 0,03 0,2 0,03 0,115 0,089 12, os principais momentos da ,9210 m A maior tensão de tração ocorre em B e a maior tensão de compressão ocorre em C. M M I I B B 3 3 7,510 0,1 12, ,041 20, , ,8 MPa 6 6 4

16 C 7,5 0,02 12,99 0,089 90,3 MPa 6 6 C 20, , ,53 10 tg 6 13, ,6 tg60 tg -300

17 Exercício de fixação 1)O momento fletor é aplicado à viga com a seção transversal indicada na figura. Determine o valor das tensões normais de flexão nos pontos A, B e D. Respostas: 100,1 MPa, 24,93 MPa e 100,1MPa A B D M M I I

18 3.5 Cargas combinadas- Flexão + carga axial Uma viga de madeira servindo de suporte a um tablado, em uma estrutura sobre um rio. A viga sofre flexão normal ou reta. Se essa estrutura suporta o empuxo lateral do terreno, sofre compressão.

19 Exemplo de flexão oblíqua composta: mesa de quatro pés. Analisando um dos pés, vemos que chegam duas traves (vigas) e são pregadas. Cada trave transporta ao pé da mesa um momento fletor. A soma dos dois momentos gera um momento fletor oblíquo.

20

21 Exemplo 3- Uma força de N é aplicada à borda do elemento. Despree o peso do elemento e determine o estado de tensão nos pontos B e C. M C B Para equilíbrio na seção, é preciso haver uma força axial de 15000N agindo no centroide e um momento fletor de N mm em torno do eixo. M é nulo.

22 Para equilíbrio na seção, é preciso haver uma força axial de 15000N agindo no centroide e um momento fletor de N mm em torno do eixo. M é nulo. P M M x A I I C C B B N Nmm 50mm 100mm 40mm 1 40mm100mm 12 3,75 MPa 11,25 MPa= -15MPa N Nmm ( 50 mm) 100mm 40mm 1 40mm100mm 12 3,75 MPa+11,25 MPa= 7,5MPa 3 3

23 Elementos de material em B e C estão submetidos as tensões normais:

24 Exemplo 4- O bloco retangular de peso despreível está sujeito a uma força vertical de 40 kn aplicada em seu canto. Determine a distribuição da tensão normal que age sobre uma seção que passa por ABCD. M Pe 40kN 0,2m 8kNm M Pe 40kN 0,4m 16kNm

25 Para a distribuição uniforme da tensão normal temos x A A B C D P M M A I I 40kN 8kNm 16kNm 0,2m 0,4m 3 3 0,8m 0,4m 0,8m 0,4m 0,4m 0,8m kpa+375kpa+375kpa=625kpa 125 kpa-375kpa+375kpa=-125kpa 125 kpa-375kpa-375kpa=-875kpa 125 kpa+375kpa-375kpa=-125kpa A 0,2 m B 0,2 m C 0,2 m D 0,2 m = 0,4m = 0,4m =+0,4m =+0,4m

26

27 Exercício de fixação 2) O bloco está sujeito às duas cargas mostradas abaixo. Calcule as tensões normais que agem na seção transversal no corte a-a nos pontos A e B. Respostas: 25 psi e 75psi A B

28 Exercício de fixação - extra Uma edificação é composta por três pavimentos, cada um formado por uma laje de concreto de 4x6m, com 15cm de espessura, suportanto uma carga uniformemente distribuída de 1,5kN/m 2. Cada laje está apoiada em vigas de contorno com seção de 12x28cm, as quais se apoiam em quatro pilares de 20x30cm nas extreminades da edificação. Calcule as máximas tensões normais no pilar. γ=25kn/m 3

29 3.6- Vigas Compostas Vigas construídas de dois ou mais materiais diferentes são denominadas vigas compostas. A fórmula da flexão foi desenvolvida para vigas de material homogêneo. Entretanto vamos modificar a seção transversal da viga em uma seção feita de um único material e utiliar a fórmula.

30 Método da seção transformada Se um momento for aplicado a essa viga, então, como ocorre a um material homogêneo, a área total da seção transversal permanecerá plana após a flexão, e por consequência, as deformações normais variarão linearmente de ero no eixo neutro a máxima no material mais afastado desse eixo. E 1 2 E O método consiste em transformar a viga em outra feita de um ÚNICO material.

31 A altura da viga deve permanecer a mesma para preservar a distribuição de deformações. n E E 1 2 n' E E rígido 2 rígido - Regra: numerador o material que será substituído! O fator de transformação é uma raão entre os módulos dos diferentes materiais que compõem a viga.

32 Uma ve determinada a tensão da seção transformada, ela deve ser multiplicada pelo fator de transformação para obter a tensão na viga verdadeira.

33 Exemplo 5 - Uma viga composta é feita de madeira e reforçada com uma tira de aço localiada em sua parte inferior. Ela tem a área de seção transversal mostrada na figura abaixo. Se for submetida a um momento fletor M = 2 knm, determine a tensão normal nos pontos B e C. Considere E mad = 12 GPa e E aço = 200 GPa.

34 Transformaremos a seção em outra feita inteiramente de aço, substituindo a madeira. n E mad E aço ,06 baço nbmad 0,06 150mm 9 mm A seção transformada é mostrada na figura ao lado. A localiação do centroide (eixo neutro) é A A 0,01 0,020,150 0,095 0,009 0,15 0,020,15 0,009 0,15 0,03638 m

35 Portanto, o momento de inércia em torno do eixo neutro é I LN 1 0,15 0,02 0,15 0,02 0, , ,009 0,15 0,009 0,15 0,095 0, , m 3 2 Aplicando a fórmula da flexão, a tensão normal em B e C é M 20,17 0,03638 B' 28,6 MPa 6 I 9, C 2 0, ,78 MPa 6 C 9, A tensão normal na madeira em B é B n B' 0,06 28,56 B 1,71. MPa

36 Exercício de fixação 3) Uma barra constituída de aço e latão tem seção indicada abaixo. Determinar a máxima tensão no aço e no latão quando a barra fica sujeita à flexão pura com o momento M=2kNm. Respostas em módulo: Eaço 200 GPa, Elat 100GPa aço máx 500MPa lat 250MPa máx

37 Exercício de fixação 4) A fim de reforçar a viga de aço, colocou-se entre seus flanges uma tábua de carvalho como mostra a figura abaixo. Se a tensão normal admissível do aço é adm 24ksi e da madeira aço adm 3ksi mad, qual momento fletor máximo que a viga pode suportar, com e sem o reforço?o 4 momento de inércia da viga de aço é I 20,3in, e sua área da seção transversal é A 8,79in. E 2910 ksi, E 1,610 ksi aço mad Respostas: sem reforço M=116kip.in com reforço M=172kip.in

38 Exercício de fixação 5) Duas barras de latão são unidas firmemente a duas barras de alumínio, formando a seção composta mostrada. Usando os dados abaixo, determinar o maior momento fletor permissível, quando a viga é encurvada em torno de um eixo horiontal. MPa E 105GPa adm 100MPa 160 adm lat Respostas: M=3,08kNm lat E alum alum 70GPa

39 Vigas de concreto armado

40 Exemplo 6 - A viga de concreto armado tem a área de seção transversal como mostra a figura abaixo. Se for submetida a um momento fletor M = 60 kn m, determine a tensão normal em cada uma das hastes de reforço de aço e a tensão normal máxima no concreto. Considere E aço = 200 GPa e E conc = 25 GPa.

41 A área total de aço é A aço ,5 982 mm 2 A' na aço mm 3 Exige-se que o centroide se encontre no eixo neutro. E A aço n 8 3 Econc h' 300 h' h' 0 2 h h h 2 ' 52,37 ' ,33 0 ' 120,9 mm h' 173,3mm

42 O momento de inércia da seção transformada, calculado em torno do eixo neutro, é ,9 120,9 2 I , , I 788,67 10 mm 6 4 Aplicando a fórmula da flexão à seção transformada, a tensão normal máxima no concreto é 6 M ,9 Nmm conc máx 6 4 I 788,67 10 mm conc máx 9,20 MPa mm

43 ' A tensão normal em cada uma das duas hastes é, portanto, aço aço Nmm ,9 conc 6 4 n' 821,23 conc 169,84 MPa 788,67 10 mm mm 21,23 MPa

44 Exercício de fixação 6) Uma laje de concreto tem barras de aço de 16mm de diâmetro a cada 150mm, colocadas a 20mm acima da face inferior da laje. Os módulos de elasticidade são 21GPa para o concreto e de 210GPa para o aço. Sabendose que um momento fletor de 4kNm está aplicado à cada 30cm de largura da laje, determinar: (a) a máxima tensão no concreto; (b) a tensão no aço. Respostas: conc ( a) 7,7MPa aço máx ( b) 114,8MPa

45 Exercício de fixação 7) A viga de concreto armado está reforçada por duas barras de aço. Se o esforço de tração admissível para o aço for adm 40ksi aço e o esforço de compressão admissível para o concreto, qual momento adm 3ksi conc máximo M poderá ser aplicado à seção? Supor que o concreto não suporta 3 3 esforço de tração. E 2910 ksi, E 3,810 ksi aço conc Resposta: M=1168,8kip.in