(atualizado em 12/07/2014)

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1 ENG285 4ª Unidade 1 (atualizado em 12/07/2014) Fonte: Arquivo da resolução da lista 1 (Adriano Alberto), Slides do Prof. Alberto B. Vieira Jr., RILEY - Mecânica dos Materiais. Momento de Inércia (I) Para seção retangular: I =. Para seção triangular reta: I =. Semi-círculo: = Momento estático (Q) Q = A. (distância do centróide à L.N.) = -. ; =. = -.. Módulo de resistência (W)

2 = á W = => W req = á 2 PROBLEMAS ENVOLVENDO FLEXÃO Nas questões abaixo, de acordo com as respostas da lista, não são calculadas as tensões máximas. Para isso, seria necessário calcular também as tensões cisalhantes e, a partir do estado de tensão resultante, calcular as tensões máximas, que podem ou não coincidir com os resultados das questões abaixo. 1) A viga carregada como mostrado tem a seção transversal da figura. Determine a tensão longitudinal: (a) num ponto a 4,5 m a contar da extremidade esquerda e 125 mm acima da superfície neutra; (b) num ponto 75 mm abaixo da superfície neutra numa seção a 1,2 m do extremo direito R A + R D = = 75 kn = 0 => , R D = 0 => R D = 57 kn R A = 18 kn Para 0 x < 3: V(x) = - 10x + 18 Para V(x) = 0 => x = 1,8 m Diagrama:

3 3 a) M(4,5) =? Para 4 x < 5: V(x) = - 27 kn M(x) = - 27x + C M(4) = - 3 kn.m = C => C = 105 M(x) = - 27x => M(4,5) = , => M(4,5) = - 16,5 kn.m Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.) Obs: não era preciso calcular para esse caso, devido a simetria da seção. A T = = mm² A 1 = = mm² A 2 = = mm² A 3 = = mm² = 275 mm = 150 mm = 25 mm

4 y i =... y s = = 150 mm =. = 150 mm 4 Cálculo do momento de inércia I z = + + =. =. =. + A 1. = + A 2. = + A 3. = = ,3. m = ,33. m = ,3. m 4 => I z = m 4 = -. => = -,.... = ,143 Pa b) x = 7 1,2 = 5,8 m M(5,8) =? Para 5 x < 7: V(x) = - 15x + C V(5) = 30 = C => C = 105 => V(x) = - 15x M(x) = - 7,5. x² x + C M(5) = - 30 kn.m = - 7, C => C = - 367,5 M(x) = - 7,5. x² x - 367,5 => M(5,8) = - 7,5. (5,8)² ,8-367,5 => M(5,8) = - 10,8 kn.m = -. => = -,.... = ,714 Pa

5 2) (a) Determine a tensão longitudinal em um ponto 100 mm abaixo da superfície neutra numa seção a 1,3 m do extremo direito da viga carregada da figura; (b) determine a máxima tensão longitudinall numa seção a 1 m do extremo esquerdo. 5 = 0 => R A + R B = N = 0 => , R B = 0 => R B = N R A = N Para 1,5 x 3,5: V(x) = x + C V(1,5) = = ,5 + C => C = V(x) = x Para V(x) = 0 => x = 2,7 m Diagrama:

6 Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.) 6 A T = = mm² A 1 = = mm² A 2 = = mm² = 175 mm = 75 mm y i =.. = y s = = 75 mm.. = 125 mm Cálculo do momento de inércia I z = + =. =. + A 1. = + A 2. = = m = m 4 => I z = m 4 a) x = 4 1,3 = 2,7 m M(2,7) = 10,8 kn.m = -. => = -,.... = ,76 Pa b) M(1) = - 9 kn.m Cálculo das tensões acima da L.N.:

7 = -. => = = ,35 Pa 7 Cálculo das tensões abaixo da L.N.: = -. => = = ,59 Pa =,á 3) Uma barra de aço de 200 mm de diâmetro é carregada e apoiada como mostrado na figura. Determine a máxima tensão longitudinal numa seção a 1,5 m a partir da parede. R = 12 kn M = 0 => M = - 36 kn.m M(3) = - 18 kn.m I z = =, A = = 0,100 y i = y s = = 100 mm

8 = -. = -.. ±., = ± ,81 Pa 8 4) Para a viga mostrada, as tensões longitudinais admissíveis na seção sob a carga são de 42 MPa T e 70 MPa C. Determine a máxima carga admissível P. R A + R C = P (I) = 0 => - 1. P + 3,5. R C = 0=> R C =, (II) Substituíndo em (I): R A + = P => R,. A =,, R A = 2,5. R C Para o trecho 0 x < 1: V(0) = V(1) = R A M(x) = R A. x + C M(0) = 0 => C = 0 => M(x) = R A. x M(1) = R A Para o trecho 1 x < 3,5: V(1) = V(3,5) = R A P M(x) = (R A - P). x + C M(1) = R A = (R A - P). 1 + C => C = P => M(x) = (R A - P). x + P M(3,5) = (R A - P). 3,5 + P = 3,5. R A 3,5. P + P = 3,5. R A 2,5. P = 3,5. Para x = 3,5: V(3,5) = R A P + R C = R A P + P R A = 0,., 2,5. P = 0

9 M(3,5) = 0 M máx = R A =,., 9 Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.) A T = = mm² A 1 = = mm² A 2 = = mm² = 125 mm = 12,5 mm y i =.. = y s = ,5 = 37,5 mm.., Cálculo do momento de inércia = 87,5 mm I z = + =. =. + A 1. = + A 2. = ,5 = ,67. m ,5 87,5 = ,33. m 4 => I z = m 4 Para o trecho AB: M máx =,., Cálculo das tensões acima da L.N.: = -. => = -,..,.,. => P = ,83334 N

10 Cálculo das tensões abaixo da L.N.: 10 = -. => = -,..,.,. => P = ,5 N = P adm 5) e 6) Se o momento mostrado atua no plano vertical, determinar a tensão no: (a) ponto A; (b) ponto B. 5) a) Como o ponto A vai ser comprimido, será negativo. M z = 15 kn.m y i = y s = 60 mm Cálculo do momento de inércia Como a seção é simétrica, e a área interna é concêntrica com a área externa, I z = - : - =. -. = ,333. m 4 = -. = -...,. = ,35 Pa b) Como o ponto B vai ser tracionado, será positivo. M z = 15 kn.m = -. = -...,. = ,52 Pa

11 *** 6) 11 a) Como o ponto A vai ser comprimido, será negativo. M z = 2,8 kn.m y i = y s = 30 mm Cálculo do momento de inércia I z = - 2. = = ,588. m 4 = -. = -,...,. = ,42 Pa b) Como o ponto B vai ser tracionado, será positivo. M z = 2,8 kn.m = -. = -,...,. = ,28 Pa Resposta da lista: 6) σa = 44,1 MPa C σb = 29,3 MPa T 7) A viga mostrada é feita de aço com tensão de escoamento igual a 250 MPa. Determinar o maior momento que pode ser aplicado à viga quando ela encurva em torno do eixo z, considerando um coeficiente de segurança de 2,5.

12 Posição da Linha Neutra (L.N.) y i = 130 mm 12 Cálculo do momento de inércia A 1 = = mm² A 2 = = mm² A 3 = = mm² = 252 mm = 130 mm = 8 mm I z = + + = =. =. =. + A 1. = + A 2. = + A 3. = = ,67. m = m = ,67. m 4 => I z = ,3. m 4 =. =>., =..,. => = ,76408 N.m 8) Sabendo-se que uma viga de seção transversal, como mostrado, é encurvada em torno de um eixo horizontal e está submetida a um momento fletor de 5,7 kn.m, determinar a intensidade total da força atuando: (a) na aba superior; (b) na porção sombreada da alma.

13 13 Posição da Linha Neutra (L.N.) y i = 87,5 mm Cálculo do momento de inércia A 1 = ,5 = mm² A 2 = = mm² A 3 = ,5 = mm² = 156,25 mm = 87,5 mm = 18,75 mm I z = + + = =. =. + A 1. = + A 2. =., ,25 87,5 = ,75. m ,5 87,5 = ,667. m 4 => I z = ,17. m 4 a)

14 Para y = 68,75 mm (distância da L.N. ao centróide da figura) 14 = -. = -,..,.,. => = ,136 Pa F =. A 1 => F = , m² => F = ,24639 N b) Para y = - 25 mm (distância da L.N. ao centróide da figura) = -. = -,...,. => = ,777 Pa F =. A => F = , m² => F = 6 073, N *** 9) Duas forças verticais são aplicadas a uma viga de seção transversal mostrada. Determinar as máximas tensões de tração e compressão numa seção transversal na porção BC da viga. R A + R D = 20 kn R A = R D = 10 kn M z = 1,5 kn.m

15 Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.) 15 A T = = mm² A 1 = = 500 mm² A 2 = = 300 mm² A 3 = = 500 mm² = 35 mm = 5 mm = 35 mm y i =... =... = 28, mm y s = 60-28, = 31, mm Cálculo do momento de inércia I z = + + =. =. + A 1. = + A 2. = , = ,1637. m , = ,3137. m 4 = => I z = ,6411. m 4 Cálculo acima da L.N. = -. = -,..,.,. = ,6 Pa Cálculo abaixo da L.N.

16 = -. = -,..,.,. = ,5 Pa 16 A resposta da lista deu diferente, mas acredito que meus cálculos estão certos. 9) 73,2 MPa T 102,4 MPa C 10) Sabendo-se que uma viga de seção transversal mostrada é encurvada sobre um eixo horizontal, e que está submetida a um momento fletor de 4 kn.m, determinar a intensidade total da força que atua na porção sombreada da viga. y i = y s = 44 mm A 1 = = mm² A 2 = = mm² A 3 = = mm² = 44 mm = 44 mm = 44 mm Cálculo do momento de inércia = I z = 2. + =. =. + A 1. = + A 2. =.. = m 4 = ,3333. m 4

17 => I z = ,333. m 4 17 Cálculo do centróide da figura A T = = 928 mm² A 1 = = 528 mm² A 2 = = 400 mm² A 3 = = 500 mm² = 22 mm = 10 mm =.. =.. = 16, mm = y = -. = -..,.,. = ,26 Pa F =. A => F = , = ,5444 N 11) Para a viga com seção transversal mostrada, determine a tensão longitudinal máxima entre as seções A e C, e localize onde ela ocorre. Aproveitando os cálculos da questão 6 da Lista 1:

18 Para 0 x 2: V(x) =. + C 1 => V(x) = 3. + C 1 => V(x) = 3x + C 1 18 V(0) = 0 => C 1 = 0 => C 1 = 0 => V(x) = 3x V(0) = 0 V(2) = 3. 2 = 6 kn M(x) =. + C 2 => M(x) = 3x. + C 2 => M(x) = 1,5 x² + C 2 M(0) = - 12 => 1,5 (0)² + C 2 = - 12 => C 2 = - 12 => M(x) = 1,5 x² - 12 M(0) = - 12 kn.m M(2) = 1,5. (2)² - 12 => M(2) = - 6 kn.m Para 2 x 5: V(x) = -. + C 3 => V(x) = C 3 => V(x) = - 5x + C 3 V(2) = 6 + 5,5 = 11,5 kn => C 3 = 11,5 => C 3 = 21,5 => V(x) = - 5x + 21,5 (OK) V(2) = 11,5 kn V(5) = ,5 => V(5) = - 3,5 kn Para V(x) = 0 => - 5x + 21,5 = 0 => x = 4,3 m M(x) =. + C 4 => M(x) = 5x + 21,5. + C 4 => M(x) = - 2,5 x² + 21,5. x + C 4 M(2) = - 6 kn.m => - 2,5 (2)² + 21, C 4 = - 6 => C 4 = - 39 => M(x) = - 2,5 x² + 21,5. x 39

19 M(2) = - 6 kn.m M(5) = - 2,5 (5)² + 21, => M(5) = 6 kn.m 19 M f,máx = M(4,3) = - 2,5. (4,3)² + 21,5. 4,3-39 => M f,máx = 7,225 kn.m Para 5 x 7: , V(x) = 0 => V(x) = - 6,5 kn M(x) =. + C 5 => M(x) = 6,5. + C 5 => M(x) = - 6,5x + C 5 M(5) = 6 kn.m => - 6, C 5 = 6 => C 5 = 38,5 => M(x) = - 6,5x + 38,5 M(5) = 6 kn.m M(7) = - 6, ,5 => M(7) = - 7 kn.m Diagrama:

20 20 Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.) A T = = mm² A 1 = = mm² A 2 = = mm² = 112,5 mm = 50 mm y i =.. =.,. y s = , = 50, mm = 74, mm Cálculo do momento de inércia I z = + =. + A 1.

21 =. + A = = ,5 74, = ,185. m , = ,866. m 4 => I z = ,051. m 4 Para o trecho AB: M máx = ³ N.m Cálculo das tensões acima da L.N.: = -. => = -..,.,. = ,18 Pa Cálculo das tensões abaixo da L.N.: = -. => = -..,.,. = ,04 Pa Para o trecho BC: M máx = 7, ³ N.m Cálculo das tensões acima da L.N.: = -. => = -,..,.,. = ,83 Pa Cálculo das tensões abaixo da L.N.:

22 = -. => = -,..,.,. = ,17 Pa 22 12) e 13) Para a viga com seção transversal mostrada, determine: (a) a tensão trativa máxima longitudinal na viga e onde ela ocorre; (b) a tensão compressiva máxima na viga e onde ela ocorre. 12) 30 + R C = 37,5 kn => R C = 7,5 kn = 0 => 7, ,5 7, , M = 0 => M = 26,25 kn.m Para o trecho 0 x < 1: V(x) = - 7,5. x + C V(0) = 0 = - 7, C => C = 0 => V(x) = - 7,5. x V(1) = - 7,5 kn M(x) = -,. + C M(0) = 0 = 0 + C => M(x) = - M(1) = - 3,75 kn.m Para o trecho 1 x < 5: V(x) = - 7,5. x + C,. V(1) = - 7, = 22,5 kn = - 7, C => C = 30 => V(x) = - 7,5. x + 30 Para V(x) = 0 => x = 4 m M(x) = -,. + 30x + C

23 M(1) = - 3,75 kn.m = -, C => C = M(x) = - M(4) = -,.,. + 30x = 30 kn.m M(5) = -,. Para x = 5: M(5) = 26,25 M = = 26,25 kn.m Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.) A T = = mm² A 1 = = mm² A 2 = = mm² = 125 mm = 50 mm y i =.. = y s = ,5 = 62,5 mm.. = 87,5 mm Cálculo do momento de inércia I z = + =. =. + A 1. = + A 2. = ,5 = ,667. m ,5 = ,67. m 4 => I z = ,33. m 4 Para o trecho AB: M máx = - 3,75 kn.m

24 Cálculo das tensões acima da L.N.: 24 = -. => = -,..,.,. = ,16 Pa Cálculo das tensões abaixo da L.N.: = -. => = -,..,.,. = ,03 Pa Para o trecho BC: M máx = ³ N.m Cálculo das tensões acima da L.N.: = -. => = -..,.,. = ,31 Pa Cálculo das tensões abaixo da L.N.: = -. Logo: => = -..,.,. = ,2 Pa a),á = ,2 Pa (no trecho BC, abaixo da L.N.) b),á = ,31 Pa (no trecho BC, acima da L.N.) 13)

25 25 Utilizando os cálculos da questão 13 da lista 1 R A R D 7. 2 = 0 => R A + R D = 63 kn (I) = 0 => R D = 0 => R D = = 30 kn Substituíndo em (I): R A + 30 = 63 => R A = 33 kn Para 2 x 4: V(x) = (x 2) => V(x) = - 14x + 40 Para V(x) = 0 => x = 2, m Cálculo do momento fletor à partir da área do diagrama do esforço cortante: (- 25) + ( ) + (0, ) (1, ) + (11) (16. 3) + (14) = 0 (OK) Diagrama:

26 26 Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.) A T = = mm² A 1 = = mm² A 2 = = mm² = 255 mm = 120 mm y i =.. = y s = = 105 mm.. = 165 mm Cálculo do momento de inércia I z = + =. =. + A 1. = + A 2. = = m = m 4 m 4 => I z = m

27 Para o trecho AB: M máx = ³ N.m 27 Cálculo das tensões acima da L.N.: = -. => = = ,36 Pa Cálculo das tensões abaixo da L.N.: = -. => = = ,56 Pa Para o trecho CD: M máx = ³ N.m Cálculo das tensões acima da L.N.: = -. => = = ,77 Pa Cálculo das tensões abaixo da L.N.: = -. => = = ,21 Pa Logo: a),á = ,21 Pa (no trecho CD, abaixo da L.N.) b),á = ,56 Pa (no trecho AB, abaixo da L.N.)

28 PROBLEMAS ENVOLVENDO FLEXÃO DE SEÇÃO HETEROGÊNEA 28 14) Duas barras de latão são unidas firmemente a duas barras de alumínio, formando a seção composta mostrada. Determinar o maior momento fletor permissível, quando a viga é encurvada em torno de um eixo horizontal. Dados: E alum = 70 GPa ; E lat = 105 GPa ; = 100 MPa ; = 160 MPa Posição da L.N.: y i = = = => y i = 30 mm (OK) Cálculo do momento de inércia = = =. m 4 = = =. m 4 = = ± = ± => M z = N.m = -....

29 = ± = ± => 29 => M z = 3 081, N.m (resposta) Obs: se as diferentes partes do latão e/ou do alumínio estivessem em posições diferentes em relação à L.N, seria necessário calcular as tensões correspondentes em cada parte (sendo que quanto mais distante o ponto estiver da L.N., maior será a tensão). No presente problema, devido à simetria de ambos em relação à L.N, as tensões acima e abaixo da L.N. são iguais em módulo (tração e compressão). 15) Uma barra de aço e uma de alumínio são unidas firmemente, para formar a viga composta mostrada. O módulo de elasticidade para o alumínio é de 70 GPa e para o aço é de 200 GPa. Sabendo-se que a viga é curvada em torno de um eixo horizontal por um momento M = 1500 N.m, determinar a máxima tensão no: (a) alumínio; (b) aço.

30 30 Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.

31 31 Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr. 15) a) 66,2 MPa T b) 112,4 MPa C *** 16) Uma viga de concreto é reforçada por três barras de aço, colocadas como indicado. Os módulos de elasticidade são de 20 GPa para o concreto e de 200 GPa para o aço. Usando uma tensão admissível de 10 MPa para o concreto e de 150 MPa para o aço, determinar o maior momento fletor que pode ser aplicado à viga. E conc = 20 GPa ; E aço = 200 GPa ; = 10 MPa ; ç = 150 MPa A aço = 3.., m² A conc = 0,225. 0, ,012 = 0, , m²

32 32 = = 252, mm Posição da L.N.: y i =.... ç.. ç = =.. 0, ,012 2., , , , ,012 2 => y i = 230, mm y s = , = 269, mm Cálculo do momento de inércia. I aço = 3. = ,9. m 4 + ç. ç. = , = =. +. = , = m 4 I 2 = I aço = , ,9. 10 => I 2 = ,7. m 4 I conc = I 1 + I 2 = m 4

33 = ç 33 = ± = -...,......,. => => M z = ± ,7877 N.m (resposta) ç = -.. ç.. ç ç = ± = -...,......,. => => M z = ± ,8549 N.m (não serve) Obs: a resposta da lista deu 79,1 kn.m, mas acredito que meus cálculos estão corretos. Método da homogeneização: Homogeneizando para concreto: A aço = 3.. 0,012 m² => A 1(conc) = ,012 = 30.., A 2(conc) = 0,024. 0, ,012 = 5, , A transformada = , , ,012 = = 27.., + 5,4. b =..,,., = 0, m

34 34 Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.) A T = , = ,5122 mm² A 1 = = mm² A 2 = 733, = ,51222 mm² A 3 = = mm² y i =... =.,.., = 230, mm y s = , = 269, mm Cálculo do momento de inércia I z = + + =. + A 1. = = m , = =. + A 2. = = ,4. m 4 733, , , = =. + A 3. = = ,8. m , =

35 => I z = m 4 35 Cálculo da tensão acima da L.N.: = = ±.,.. => M z = ± ,2247 N.m ç = = ± 10..,.. => M z = ± ,2813 N.m Verificar a pequena diferença encontrada nos resultados finais dos dois métodos. A posição da L.N. apresentou o mesmo valor nos dois casos, com uma aproximação, possivelmente da calculadora, de uma unidade na última casa decimal. PROBLEMAS ENVOLVENDO CARGA EXCÊNTRICA 17) Duas forças de 10 kn são aplicadas a uma barra de seção retangular de 20 mm x 60 mm, como mostrado. Determinar a tensão no ponto A, quando: (a) b = 0; (b) b = 15 mm; (c) b = 25 mm. N = = 20 kn Posição da L.N.: y i = y s = 0,03 m = - =. = m 4 a) b = 0

36 M z = ,025 = 250 N.m =,., -.,. = ,667 Pa 36 b) b = 15 mm M z = , ,015 = 100 N.m =,., -.,. = ,333 Pa c) b = 25 mm M z = , ,025 = 0 =,., -.,. = ,67 Pa 18) Uma pequena coluna de 120 mm x 180 mm suporta três cargas axiais mostradas. Sabendo-se que a seção ABD é suficientemente afastada das cargas, para que permaneça plana, determinar a tensão no: (a) canto A; (b) canto B.

37 37 Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr. 18) a) 926 kpa T b) 14,81 MPa C 19) Sabendo-se que a tensão admissível é 90 MPa, determinar a maior força P que pode ser aplicada ao elemento de máquina mostrado. N = P =? = - Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.)

38 y i =.. = y s = 80-47, = 32, mm = 47, mm 38 Cálculo do momento de inércia I z = + =. =. + A 1. = + A 2. = , = ,2077. m , = ,8603. m 4 => I z = ,068. m 4 M z =? Considerando o eixo x passando pela L.N.: M z = P. (47, ) = -.,..,. =>,.,,.,,. => =, + 338, P => = P + 0, P => => P = ,2841 N 20) A força axial excêntrica P atua no ponto D, que está localizado a 30 mm abaixo da borda superior da barra de aço mostrada. Para P = 90 kn, determinar: (a) a largura d da barra para que a tensão no ponto A seja máxima; (b) o correspondente valor da tensão no ponto A. N = P = 90 kn

39 Posição da L.N.: 39 y i = y s = = - = a),. M z = ,030 =,.. -,.,.,.. =,.,. => 1 =,. = 0,030. => => 1 = 3,, => = 2 => d = 0,09 m = 90 mm b) =,,.,. -,.,,., = 40 MPa PROBLEMAS ENVOLVENDO FLEXÃO ASSIMÉTRICA 21) e 22) A viga com uma seção transversal mostrada está submetida a um momento fletor M aplicado no plano a a. Determine: (a) a intensidade da máxima tensão de flexão; (b) a orientação do eixo neutro, mostre o resultado num esboço. 21) M = N.m tg = => = arctg(0,75) M y = sen[arctg(0,75)]

40 M z = cos[arctg(0,75)] 40. I z = = m 4. I y = = m 4 tg =.. =.,...,.. => = - 75, tg =. tg A e B são os pontos mais distantes da L.N. Para o ponto A: = = -.,., +..,., =. = ,753 Pa Para o ponto B: = -.,.,.,.,. + =. = ,753 Pa 22) M = 20 kn.m

41 41 M y = sen(10 ) M z = cos(10 ). I z = = m 4 I y =. +. = m 4 tg = =.... => = 67, tg =. tg A e B são os pontos mais distantes da L.N. Para o ponto A: = = -.., ,. = = ,83 Pa (resposta)

42 Para o ponto B: 42 = -..,.., + = ,48 Pa *** 23) Uma cantoneira de 200 x 200 x 24 mm é usada numa viga que suporta um momento fletor de N.m aplicado no plano yx. Os momentos de inércia obtidos em um manual de aço estrutural são Iz = Iy = 33,3 x 10 6 mm 4, e Iyz = + 19,5 x 10 6 mm 4. Determine: (a) a tensão de flexão no ponto A; (b) a máxima tensão de flexão e sua localização na seção transversal; (c) a orientação do eixo neutro, mostre a localização num esboço. = Ou = y z =. y. z tg =.... a)

43 M y = 0 ; M z = N.m 43. = -. y +... z. ou =... = ,...,.,...,. =,...,..,.. = ,58 Pa c) tg = 19, = => = 30, , b) A maior distância à L.N. é em relação ao ponto B, onde ocorre a maior tensão. = ,...,.,...,. = ,48 Pa,...,..,.. Acredito que a resposta da lista esteja errada: 23) a) 42,3 MPa T b) 55,8 MPa C c) 75,4 a partir do eixo z 24) Uma viga com uma seção cantoneira está carregada com um momento fletor de + 20 kn.m aplicado num plano yx. Determine: (a) a tensão de flexão no ponto A; (b) a orientação do eixo neutro, mostre a localização num esboço.

44 44. I z = = m 4 I y = = m 4 =. y. z = = m 4 M y = 0 ; M z = N.m a) =... = ,....,.... =,...,..,.. = ,44 Pa b) tg = 6 9, = => = 34, , ), 26) e 27) O momento M é aplicado a uma viga de seção transversal mostrada, em um plano formando um ângulo β com a vertical. Determinar: (a) a tensão no ponto A; (b) o ângulo que a linha neutra forma com o plano horizontal. 25)

45 45 M y = sen(20 ) M z = cos(20 ). I z = I y =. = =. m 4. m 4 a) Para o ponto A: = = -.., +...,. = ,803 Pa Para o ponto B: = -.., +...,. = ,211 Pa b) tg =. tg =.. tg20 => = 75,

46 46 26) M y = sen(55 ) M z = cos(55 ) I z = = m 4 I y = = m 4 a) Para o ponto A: = -..,.., + = ,2 Pa.. Para o ponto B: = = -..,. +..,. = ,12 Pa b)

47 tg =. tg =... tg55 => = 79, ) M y = sen(15 ) M z = cos(15 ) I z = = m 4 I y =. +. = m 4 a) Para o ponto A: = = -..,. +..,. = ,31 Pa Para o ponto B: = -..,. +..,. = ,9 Pa

48 b) tg =. tg =... tg15 => = 41, *** 28) Uma carga axial P é aplicada como mostrado a curto perfil estrutural em forma de T. Determinar: (a) a maior distância a para que a tensão máxima de compressão não exceda a 120 MPa; (b) o ponto correspondente onde a linha neutra intercepta a linha AB. Dados: A = 4450 mm 2, Iy = 9,16 x 10 6 mm 4, Iz = 6,00 x 10 6 mm 4 = a = ,024 = N.m a) = =., ,,.. => => ,35 = a => a = 49, mm b) = , = 6 742, N.m tg =. =,.....,.. => = 53,

49 49 tg(53, ) = => z = 19, mm PROBLEMAS ENVOLVENDO CISALHAMENTO NA FLEXÃO Nas questões abaixo, de acordo com as respostas da lista, não são calculadas as tensões máximas. Para isso, seria necessário calcular também as tensões longitudinais e, a partir do estado de tensão resultante, calcular as tensões máximas, que podem ou não coincidir com os resultados das questões abaixo. 29) O cortante vertical em certa seção de uma viga cuja forma é mostrada na figura é 18 kn. Determinar: (a) a tensão tangencial horizontal máxima, e indique onde ela ocorre dentro da seção transversal; (b) a tensão tangencial vertical 80 mm abaixo do topo.

50 50 Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.

51 51 Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr. a) 822 kpa no eixo neutro b) 707 kpa 30) Uma viga com 6 m de comprimento está simplesmente apoiada em suas extremidades e tem uma seção transversal como mostrado. A viga suporta uma carga uniformemente distribuída de 5 kn/m em todo o seu comprimento. Determine: (a) a tensão transversal vertical em um ponto 0,5 m a partir do extremo direito e 100 mm abaixo da superfície do topo da viga; (b) as tensões tangenciais máximas horizontal e vertical, e mostre onde cada uma ocorre. R A + R B = 30 kn R A = R B = 15 kn V(x) = - 5x + 15

52 Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.) 52 A T = = mm² A 1 = = mm² A 2 = = mm² A 3 = = mm² = 100 mm = 30 mm = 100 mm y i =... =... = 80 mm y s = = 120 mm Cálculo do momento de inércia I z = + + =. =. =. + A 1. = + A 2. = + A 3. = = m = m = m 4 = => I z = m 4 a) x = 6 0,5 = 5,5 m V(5,5) = , = - 12,5 kn

53 53 = -.. Q = Q 1 + Q 2 Q 1 = Q 2 => Q = 2. Q 2 Q 1 = A 1. Q 2 = A 2. = = m³ Q = m³ b = = 120 mm = 0,120 m = -,....., = ,9231 Pa b) = -.. V = ± 15 kn

54 Acima da L.N.: Q = Q 1 + Q 2 54 Q 1 = Q 2 => Q = 2. Q 2 Q 1 = A 1. Q 2 = A 2. = = m³ Q = m³ b = = 120 mm = 0,120 m = - ±... = ± ,8022 Pa.., Abaixo da L.N.: Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 Q 1 = A 1. = = m³ Q 2 = A 2. = = m³ Q 3 = A 3. = = m³ Q 1 = Q 3 Q = m³ b = = 120 mm = 0,120 m = - ±... = ± ,8022 Pa.., 30) a) 751 kpa b) 927 kpa na superfície neutra dos apoios *** 31) Uma viga com 4 m de comprimento tem a seção transversal mostrada na figura. Ela é simplesmente apoiada nos extremos e suporta uma carga uniformemente distribuída de 4 kn/m sobre todo seu comprimento. Em um ponto a 500 mm da extremidade esquerda e 40 mm abaixo da superfície neutra, determine: (a) a tensão longitudinal (b) a tensão tangencial horizontal; (c) a tensão tangencial vertical.

55 55 R A + R B = 16 kn R A = R B = 8 kn V(x) = - 4x + 8 x = 0,5 m V(0,5) = ,5 + 8 = 6 kn M(x) = - 2x² + 8x + C M(0) = 0 = C => C = 0 => M(x) = - 2x² + 8x M(0,5) = - 2(0,5)² ,5 = 3,5 kn.m Posição da Linha Neutra (L.N.) y i = 100 mm Cálculo do momento de inércia A 1 = = mm² A 2 = = mm² A 3 = = mm² = 180 mm = 100 mm = 20 mm

56 I z = + + =. + A 1. = = m 4 56 =. =. + A 2. = + A 3. = = m = m 4 = => I z = m 4 a) = -. => = -,.... = ,59 Pa b) Cálculo abaixo da L.N. para a área abaixo de y = 40 mm = -.. Q = Q 1 + Q 2 Q 1 = A 1. = = m³ Q 2 = A 2. = = m³ Q = m³

57 b = 40 mm = 0,040 m = , = ,7692 Pa 57 c) = ,7692 Pa??????? Qual a diferença entre tensão tangencial horizontal e tensão tangencial vertical? 31) a) 1,402 MPa T b) 0,925 MPa c) 0,925 MPa 32) Para a viga mostrada, a reação esquerda é de 5,36 kn para cima. Determine: (a) a tensão longitudinal máxima da viga; (b) a tensão tangencial horizontal máxima. R A = 5,36 kn 5,36 + R C = 12 kn => R C = 6,,64 kn = 0 => , ,64 + M = 0 => M = - 4,92 kn.m Diagrama:

58 Posição da Linha Neutra (L.N.) y i = 100 mm 58 Cálculo do momento de inércia A 1 = = mm² A 2 = = mm² A 3 = = mm² = 175 mm = 100 mm = 25 mm I z = + + =. =. =. + A 1. = + A 2. = + A 3. = = ,67. m = ,667. m = ,67. m 4 = => I z = ,01. m 4 a) y i = y s Para o trecho 0 x <1: M máx = 4,36 kn.m = -. => = -,.. ±.,. = ± ,999 Pa

59 Para o trecho 1 x <3: M máx = - 4,92 kn.m 59 = -. => = -,.. ±.,. = ± ,999 Pa (resposta) b) V máx = - 6,64 kn = -.. Q = Q 1 + Q 2 Q 1 = A 1. = = m³ Q 2 = A 2. = = m³ Q = m³ b = 50 mm = 0,050 m = -,...,.., = ,9999 Pa 33) Uma viga T com 5 m de comprimento é simplesmente apoiada em suas extremidades e tem a seção transversal mostrada na figura. É especificado que a tensão longitudinal de tração não pode exceder 12 MPa e que a tensão tangencial horizontal não ultrapasse 0,7 MPa. Determine a carga concentrada para baixo máxima que pode ser aplicada a 3 m da extremidade direita.

60 60 R A + R B = P - 2P + 5. R B = 0 => R B = 0,4. P R A = 0,6. P Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.) A T = = mm² A 1 = = mm² A 2 = = mm² = 150 mm = 25 mm y i =.. y s = = 150 mm =.. = 100 mm Cálculo do momento de inércia I z = + =. =. + A 1. = + A 2. = = m = ,33. m 4

61 => I z = ,3. m 4 61 Cálculo das tensões abaixo da L.N.: = -. => = -,...,. => P = ,33333 N V máx = 0,6. P = -.. Cálculo acima da L.N. Q = A. = = m³ b = 75 mm = 0,075 m 0, = -,...,.., => P = ,45679 N Cálculo abaixo da L.N. Q = Q 1 + Q 2 Q 1 = A 1. = = m³ Q 2 = A 2. = = m³ Q = m³ b = 50 mm = 0,075 m 0, = - Logo, P máx = ,33333 N,...,.., => P = ,45679 N

62 34) e 35) Para a viga com carregamento indicado, considerar a seção n n e determinar: (a) a maior tensão normal, e indicar onde ela ocorre; (b) a tensão de cisalhamento no ponto A; (c) a maior tensão de cisalhamento e indicar onde ela ocorre 62 34) R A = 36 kn ,760 + M = 0 => M = 27,36 kn.m M z = - 0, = - 21,6 kn.m y i = y s = 75 mm A 1 = = 800 mm² A 2 = = mm² A 3 = = mm² A 4 = = 800 mm² = 146 mm = 75 mm = 75 mm = 4 mm Cálculo do momento de inércia I z = = = =. =. + A 1. = + A 2. = = ,667. m = ,333. m 4

63 => I z = m 4 63 Como a seção é simétrica, e a área interna é concêntrica com a área externa, este cálculo apresentaria o mesmo resultado subtraíndo-se - :. -. = m 4 = -. = -,.. ±.. = ± Pa (no topo ou na base da seção) b) V(0,160) = 36 kn = -.. Q = A. = = m³ b = 2. 8 mm = 0,016 m = -... = ,67 Pa.., c) Cálculo acima da L.N. Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 Q 1 = A 1. = = m³ Q 2 = A 2. = ,5 75 = m³ Q 3 = Q 2 = m³ Q = m³

64 Como a seção é simétrica, e a área interna é concêntrica com a área externa, este cálculo apresentaria o mesmo resultado subtraíndo-se - : , ,5 75 = m³ b = 2. 8 mm = 0,016 m = , = ,01 Pa (ocorre na L.N.) 35) R A = R B = 80 kn Para 0 x < 0,9: V(x) = 80 kn M(x) = 80x M z = M(0,6) = 80. 0,6 = 48 kn.m y i = y s = 130 mm A 1 = A 2 = A 7 = A 8 = = 960 mm² A 3 = A 6 = = mm² A 4 = A 5 = = mm² = = 220 mm = 172 mm

65 = = 130 mm = 88 mm 65 = = 40 mm Cálculo do momento de inércia I z = = = = = = I z = =. =. =. + A 1. = + A 3. = + A 4. = = m = m = ,6667. m 4 => I z = ,33. m 4 = -. = -.. ±.,. = ± ,9 Pa (no topo ou na base da seção) b) V(0,6) = 80 kn = -.. Cálculo acima da L.N. Q = 2. Q 1

66 Q = 2. A. = = m³ b = mm = 0,024 m 66 = -...,.., = ,37 Pa c) Cálculo acima da L.N. Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 + Q 4 + Q 5 Q 1 = Q 2 Q 4 = Q 5 Q = 2. Q 1 + Q Q 4 Q 1 = A 1. = = m³ Q 3 = A 3. = = m³ Q 4 = A 4. = = m³ Q = m³ b = mm = 0,032 m = -...,.., = ,67 Pa (ocorre na L.N.) PROBLEMAS ENVOLVENDO COMBINAÇÃO DE CARREGAMENTO *** 36) a alavanca AB tem uma seção transversal retangular de 10 x 30 mm. Sabendo-se que θ = 40º, determinar as tensões normal e de cisalhamento nos três pontos indicados (a, b e c).

67 sen(40 ). 0,125 = M => M = 222,5. sen(40 ) N.m M = M = M = M = sen(40 ). 0,100 = 178. sen(40 ) N.m N = cos(40 ) N y i = 15 mm (posição da L.N.) = -. ; =.. ; Q = A. V = sen(40 ) ; b = 0,010 m I z = = = -. = m.,.. A = 0 => = 0 +.., m 4. = ,05 Pa =, = ,03 Pa R = á =, + 0 = ,03 Pa á = + R = ,05 Pa í = - R = 0

68 68. = +, = = ,029 Pa Q = 0,010. 0,015. 0,0075 = 1,125. m³ = -..,..., = ,726 Pa =, = ,515 Pa R = á = , ,726 = ,699 Pa

69 á = + R = ,214 Pa 69 í = - R = ,,184 Pa sen =,, => = 34, (anti-horário) = = -.,.. A = 0 => = 0 +..,. = ,99 Pa =, R = á = Pa = Pa

70 á = + R = 0 70 í = - R = ,99 Pa Acredito que a resposta da lista considera apenas as tensões normais e cisalhantes separadamente, sem calcular as tensões máximas. Além disso, os valores parciais encontrados diferem um pouco das respostas. Possivelmente foram feitas muitas aproximações. 36) σa = 80,85 MPa T τa = 0 σb = 4,55 MPa T τb = 5,70 MPa σc = 71,8 MPa C τc = 0 *** 37) O eixo mecânico de um automóvel é feito para suportar as forças e o torque mostrado. Sabendo-se que o diâmetro do eixo é de 30 mm, determinar as tensões normal e de cisalhamento no: (a) ponto H; (b) ponto K.

71 71 N = 0 V y = ; V z = 0 T = N.m M y = 0 M z = , ,200 = N.m I z = I y = =, A T = = 0,015 = + + a) Para o ponto H: = 0 -.,, +., = ,4 Pa =,.. =,., = = + = + 0 = Pa, => = Pa

72 72 R = á = 533, MPa á = - 610,049349,6 Pa Para o ponto K: = 0 +., +.,, = 0 =,.. = = =>,.,, = Pa = + = + 0 = Pa De acordo com o desenho, que não está muito claro, como as forças em y estão equilibradas, não existe força cortante em y no ponto k. Logo, V y = 0 =.. = 0

73 Através do circulo de Mohr, á = á = Pa Acredito que a resposta da lista está errada ) H: σx = 151 MPa C σz = 0 τxz = 527 MPa K: σx = σy = 0 τxy = 527 MPa *** 38) Uma mola é feita de um arame circular de raio c, formando uma hélice de raio R. Determinar a máxima tensão de cisalhamento produzida pelas forças P e P, iguais e opostas. (Sugestão: determinar inicialmente a força cortante V e o torçor T numa seção transversal.) V = P T = P. 2R = -.. I = = = -.,... M = T = 2PR Para o ponto A: = + Q = 0 => = 0

74 = = = -,.. = = - 74 = = - R = = = á á = + R = = í = - R = = sen = => = 22,5 (anti-horário)

75 75 Para o ponto B: = + Q = =. = = +. =. +.,....,...,.. = =,.. á = á = A lista não apresentou a resposta para esta questão.

76 *** 39) Várias forças são aplicadas ao tubo mostrado. Sabendo-se que o tubo tem diâmetro, interno e externo, de 40 mm e 48 mm, respectivamente, determinar as tensões normal e de cisalhamento no: (a) ponto H; (b) ponto K. 76 N = 660 N ; V y = 0 ; V z = 0 T = ,250 = 220 N.m M y = , , ,250 = - 99 N.m M z = ,250 = N.m I z = I y =,, = 1, m 4 = - + Para o ponto H: =,, -.,,. +.,. => = ,14 Pa =.,,..,, = ,71 Pa = + = + 0 = => = ,71 Pa =, = ,07 Pa

77 77 R = á = , ,71 = ,4 Pa á = + R = ,47 Pa í = - R = ,33 Pa sen =,, => = 26, (horário) Para o ponto K: =,, -.,. +.,,. => = ,57 Pa =.,,..,, = ,71 Pa = + = + 0 = => = ,71 Pa

78 78, = = ,783 Pa R = á = , ,71 = ,67 Pa á = + R = ,89 Pa í = - R = ,45 Pa sen =,, => = 33, (anti-horário) Obs: As respostas da lista não são as tensões máximas: H: σx = 30,5 MPa T σz = 0 τxz = 19,56 MPa K: σx = 16,4 MPa C σy = 0 τxy = 19,56 MPa

79 79 Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.

80 80 Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.

81 40) e 41) Os eixos maciços são carregados como mostrado nas figuras. Determine, e mostre num esboço, as tensões principais e a tensão tangencial máxima no ponto A da superfície do eixo ) Como V z, ao flexionar a barra em torno de y, causa uma tração no ponto A, a convenção de sinais deve ser de forma que seja positivo. Ou seja, sentido anti-horário como positivo. N = N ; V y = 0 ; V z = N T = - 0, ³ = N.m M y = 0, ³ = N.m M z = 0 O sinal do torque T tem que seguir a mesma convenção para os sinais de M y e M z. I z = I y = =, = + + Para o ponto A: = +.,, +.,, => = ,86 Pa =,.. =,.., = ,07 Pa = + = + 0 = => = ,07 Pa A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, deve seguir a mesma convenção.

82 82, = = ,43 Pa R = á = , ,07 = ,79 Pa á = + R = ,22 Pa í = - R = ,36 Pa sen =,, => = 18, (anti-horário)

83 41) 83 Como V z, ao flexionar a barra em torno de y, causa uma tração no pontoo A, a convenção de sinais deve ser de forma que seja positivo. Ou seja, sentido anti-horário como positivo. N = N ; V y = 0 ; V z = N e N T = - 0, , = N.m M y = = N.m M z = 0 O sinal do torque T tem que seguir a mesma convenção para os sinais de M y e M z. I z = I y = =, = + + Para o ponto A: = +.,, +.,, => = ,4 Pa =,.. =,.., = ,35 Pa = + = + 0 = => = ,35 Pa A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, devee seguir a mesma convenção.

84 , = = ,2 Pa R = á = , ,35 = ,3 Pa 84 á = + R = ,5 Pa í = - R = ,,1 Pa sen =,, => = 6, (anti-horário) *** 42) Uma barra de aço de 50 mm de diâmetro está carregada como mostrado na figura. Determine, e mostre num esboço, a tensão principal máxima no topo da superfície adjacente ao apoio.

85 85 Como V y, ao flexionar a barra em torno de z, causa uma tração no ponto superior, a convenção de sinais deve ser de forma que seja positivo. Ou seja, sentido horário como positivo. N = N ; V y = N ; V z = 0 T = N.m M y = 0 M z = ,900 = 450 N.m O sinal do torque T tem que seguir a mesma convenção para os sinais de M y e M z. I z = I y = =, = + + Para o ponto: =.,, +, => = ,16 Pa =,.. =,.., = ,52 Pa = + = + 0 = => = ,52 Pa A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, devee seguir a mesma convenção. =, = ,08 Pa

86 R = á = , ,52 = ,59 Pa á = + R = ,67 Pa 86 í = - R = ,51 Pa sen =,, => = 32, (horário) Na resposta da lista tem anti-horário. Isso seria válido para um torque negativo. Mas, o torque tem que ser positivo de acordo com a convenção adotada. *** 43) O eixo circular maciço de aço está submetido aos torques e cargas indicados. Determine, e mostre num esboço, as tensões principais e a tensão tangencial máxima nos pontos: (a) A; (b) B.

87 87 a) Como V z, ao flexionar a barra em torno de y, causa uma compressãoo no ponto A, a convenção de sinais deve ser de forma que seja negativo. Ou seja, sentido horário como negativo. N = N ; V y = 0; V z = 500. N T = = N.m M y = - 1, = N.m M z = 0 O sinal do torque T tem que seguir a mesma convenção para os sinais de M y e M z. I z = I y = =, = + + =...,, -, => = Pa =,.. =.,.., = Pa = + = + 0 = => = Pa A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, devee seguir a mesma convenção. = = Pa

88 R = á = = ,35 Pa á = + R = ,35 Pa 88 í = - R = ,35 Pa sen =, => = 35, (horário) b). = =>, = Pa

89 =,.. =.,.., = Pa 89 =.. Q = A. =.. = =, 500..,., = ,6667 Pa = + = ,6667 => = ,33 Pa A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, devee seguir a mesma convenção. = = Pa R = á = ,33 = ,86 Pa á = + R = ,86 Pa í = - R = ,86 Pa sen =,, => = 43, (anti-horário) O resultado da lista deu diferente. Mas, pelos cálculos, = Pa coincide. Então, a diferença está no = ,33 Pa. Como o torque não variou em relação à letra a (cuja resposta foi igual à da lista), o erro está no cálculo do = ,,6667 Pa. Porém, acredito que meus cálculos estejam corretos.

90 90 43) b) σ1 = 33,1 MPa T σ2 = 29,9 MPa C σ3 = 0 τmáx = 31,5 MPa θp = 43,5º *** 44) Sabendo-se que nos pontos A e B, sobre o eixo da figura, as tensões normal e tangencial são limitadas a 90 MPa T e 60 MPa, respectivamente. Determine o valor máximo permissível de P.

91 91,á =,á = Pa,á =,á = Pa P =? Convenção de sinais: sentido horário positivo para o ponto A e negativo para o ponto B N = 8P ; V y = P ; V z = 0 T = 0,200. P M y = 0,200. 8P = 1,6. P M z = 0,400. P O sinal do torque T tem que seguir a mesma convenção para os sinais de M y e M z. I z = I y = =, = + + Para o ponto A: = =,..,, +, +,.. => =.,,., => = 5 092, P,.., + =>, =,.. =,.,.., = 1 018, P = + = + 0 = => = 1 018, P Para o ponto B:

92 =,.., + +,..,, => =,.., +, => 92 =.,,., => = , P = + = -.. Q = A. = = -.,,.,.. = = - 169, P = , P - 169, P => = , P No ponto B, a força P em V y e o torque T apresentam o mesmo sentido. Logo, devem ter o mesmo sinal que, no caso, deve ser o de T, que já foi convencionado negativo no início dos cálculos. Como as tensões foram maiores no ponto B, utiliza-se esses valores pra o círculo de Mohr. =,.. = 8, P R = á = 8, P , P = 8, P

93 á = + R = 17, P = 8, P => P = 6 865, N (não serve) = 17, P => P = 5 173, N = P adm Resp da lista: 5199 N 45) Sabendo-se que o tubo estrutural mostrado tem uma espessura da parede uniforme de 6 mm, determinar a tensão de cisalhamento em cada um dos três pontos indicados (a, b e c). V y = N Posição da L.N.: y i = y s = 30 mm I z =. -. T = ,047 = N.m =. =.,.,., = m 4 = ,53 Pa Para o ponto a: = + = -. b = 0, = 0,012 m Q = A..,.,.,,.,., = = 0, m.,.,,., Q = (2. 0,006. 0, ,088. 0,006). 0, = 19, m³ = -.,..., ,53 = ,11 Pa

94 Para o ponto b: = + 94 = -. b = 0, = 0,012 m Q = A. = 0,027 m Q = (0,100. 0,006). 0,027 = 16,2. m³ = -.,..., ,53 = ,87 Pa Para o ponto c: = + => = 0 + => = ,53 Pa 45) τa = 97,1 MPa τb = 85,5 MPa τc = 30,9 MPa