Flexão. Diagramas de força cortante e momento fletor. Diagramas de força cortante e momento fletor

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1 Capítulo 6: Flexão Adaptado pela prof. Dra. Danielle Bond Diagramas de força cortante e momento fletor Elementos delgados que suportam carregamentos aplicados perpendicularmente a seu eixo longitudinal são denominados vigas; em geral são barras longas e retas com área de seção transversal constante e classificadas conforme o modo como são apoiadas: Diagramas de força cortante e momento fletor Exemplos: elementos utilizados para suportar o piso de um edifício, a plataforma de uma ponte ou a asa de um avião, eixo de um automóvel, a lança de um guindaste e até mesmo muitos ossos do corpo humano agem como vigas.

2 Diagramas de força cortante e momento fletor Por conta dos carregamentos aplicados, as vigas desenvolvem uma força de cisalhamento interna, força cortante e momento fletor que variam de ponto para ponto ao longo do eixo da viga. As funções de cisalhamento e momento podem ser representadas em gráficos denominados diagramas de força cortante e momento fletor. Estes gráficos podem fornecer os valores máximos de V e M; assim os engenheiros podem, por exemplo, decidir onde colocar materiais de reforço no interior da viga. Utiliza-se o método das seções para determinar o carregamento interno de um elemento em um ponto específico. As funções de cisalhamento e momento fletor devem ser determinadas para cada região da viga localizada entre quaisquer duas descontinuidades de carregamento. Direções positivas indicam que a carga distribuída age para baixo na viga e a força cortante (V) interna provoca uma rotação em sentido horário; e o momento (M) interno causa compressão nas fibras superiores.

3 Exemplo 6.1 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga dada. x1 x2 Exemplo 6.1 Exemplo 6.4 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura.

4 Exemplo 6.4 Exemplo 6.6 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada abaixo. Exemplo 6.6

5 Deformação por flexão de um elemento reto A seguir serão discutidas as deformações que ocorrem quando uma viga prismática reta, feita de um material homogêneo, é submetida à flexão. Quando um momento fletor é aplicado, as linhas de grade tendem a se distorcer: as longitudinais se tornam curvas e as transversais verticais continuam retas, porém sofrem rotação. Deformação por flexão de um elemento reto A seção transversal de uma viga reta permanece plana quando a viga se deforma por flexão. Isso provoca uma tensão de tração de um lado da viga e uma tensão de compressão do outro lado; por consequência, entre essas duas regiões deve existir uma superfície, denominada neutra, na qual não ocorrerá mudança nos comprimentos das fibras longitudinais do material. O eixo longitudinal x, que se encontra no interior da superfície neutra, não sofre qualquer mudança no comprimento. O eixo z, que se encontra no plano da seção transversal e em torno do qual a seção transversal gira, é denominado eixo neutro.

6 Para mostrar como esta distorção deformará o material, isolaremos um segmento da viga em x. Qualquer segmento de reta x localizado na superfície neutra não muda de comprimento; já s localizado em y acima da linha neutra se contrairá e se tornará s` após a deformação;. Representando essa deformação em termos de localização y do segmento e do raio de curvatura do eixo longitudinal do elemento. Visto que define o ângulo entre os lados da seção transversal:

7 Ocorrerá uma contração (- ) nas fibras localizadas acima do eixo neutro (+y); e um alongamento (+ ) nas abaixo (-y). Esta variação da deformação na S.T. é mostrada na figura: A fórmula da flexão E A fórmula da flexão Momento de inércia da área da S.T. = I

8 A fórmula da flexão O momento resultante na seção transversal é igual ao momento produzido pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo neutro. My I σ = tensão normal no membro M = momento interno I = momento de inércia y = distância perpendicular do eixo neutro Rever: Cálculo do I e localização da linha neutra Exemplo 6.15 A viga simplesmente apoiada tem a área de seção transversal mostrada na figura abaixo. Determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga e represente a distribuição de tensão na seção transversal nessa localização. Solução: O momento máximo interno na viga é M 22,5 knm.

9 Exemplo 6.17 O elemento com seção transversal retangular, Fig.a. Abaixo, foi projetado para resistir a um momento de 40N.m. Para aumentar sua resistência e rigidez, foi proposta a adição de duas pequenas nervuras em sua parte inferior Fig.b. Determine a tensão normal máxima no elemento para ambos os casos. Vigas compostas Vigas construídas de dois ou mais materiais diferentes são denominadas vigas compostas; concreto madeira

10 Vigas compostas Para usar a fórmula da flexão é preciso transformar a S.T. da viga em uma seção feita de um único material. Se considermos que a viga é feita inteiramente do material 2, menos rígido, então a seção transversal será : A altura h da viga permanece a mesma, já que a distribuição de tensão de deformação deve ser preservada. A porção superior da viga tem que ser alargada, de modo a poder suportar uma carga equivalente à suportada pelo material 1, mais rígido. Vigas compostas Para isso utilizamos: O fator de transformação é uma razão entre os módulos dos diferentes materiais que compõem a viga. Vigas compostas seção transversal com largura b na viga original deve ser aumentada na largura para b2 = nb na região onde o material está sendo transformado no material 2 Se o material 2, menos rígido, for transformado no material 1, mais rígido, a largura do material 2 será b1=n`b, onde n`=e2/e1. n` será <1, visto que E1>E2. Precisamos de uma quantidade menor do material rígido para suportar um determinado momento

11 Vigas compostas Uma vez determinada a tensão na seção transformada, ela deve ser multiplicada pelo fator de transformação para obter a tensão na viga verdadeira: Exemplo 6.21 Uma viga composta é feita de madeira e reforçada com uma tira de aço localizada em sua parte inferior. Ela tem a área de seção transversal mostrada na figura abaixo. Se for submetida a um momento fletor M = 2 knm, determine a tensão normal nos pontos B e C. Considere E mad = 12 GPa e E aço = 200 GPa.

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