MAC-015 Resistência dos Materiais Unidade 03
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- Amadeu Salazar
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1 MAC-015 Resistência dos Materiais Unidade 03 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental Leonardo Goliatt, Michèle Farage, Alexandre Cury Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional Universidade Federal de Juiz de Fora versão L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
2 Forças Internas em Barras Programa 1 Forças Internas em Barras Definição dos Esforços Diagramas de Esforços Relação entre Carregamentos e Esforços L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
3 Forças Internas em Barras Forças Internas em Barras Introdução As forças que atuam nos corpos podem ser classificadas em : 1 Forças Externas: representam a ação de outros corpos sobre o corpo em questão. Causam o movimento ou asseguram o equilíbrio do corpo. 2 Forças Internas: são as forças que mantêm unidas os pontos que formam o corpo rígido. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
4 Forças Internas em Barras Forças Internas em Barras Introdução As forças que atuam nos corpos podem ser classificadas em : 1 Forças Externas: representam a ação de outros corpos sobre o corpo em questão. Causam o movimento ou asseguram o equilíbrio do corpo. 2 Forças Internas: são as forças que mantêm unidas os pontos que formam o corpo rígido. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
5 Forças Internas em Barras Forças Internas em Barras Introdução F 1 A F 1 A F 2 A F 2 As forças internas surgem entre todas as partículas contíguas do corpo submetido à ação de uma carga externa. Em uma seção transversal, as forças internas são a resultante das forças distribuídas, que são produzidas devido as forças externas. Estas forças se distribuem de forma complexa na seção transversal. Devem ser tais que se cumpram as condições de equilíbrio de qualquer das partes do corpo em questão. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
6 Forças Internas em Barras Forças Internas em Barras Introdução F 1 A F 1 A F 2 A F 2 As forças internas surgem entre todas as partículas contíguas do corpo submetido à ação de uma carga externa. Em uma seção transversal, as forças internas são a resultante das forças distribuídas, que são produzidas devido as forças externas. Estas forças se distribuem de forma complexa na seção transversal. Devem ser tais que se cumpram as condições de equilíbrio de qualquer das partes do corpo em questão. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
7 Forças Internas em Barras Forças Internas em Barras Introdução F 1 A F 1 A F 2 A F 2 As forças internas surgem entre todas as partículas contíguas do corpo submetido à ação de uma carga externa. Em uma seção transversal, as forças internas são a resultante das forças distribuídas, que são produzidas devido as forças externas. Estas forças se distribuem de forma complexa na seção transversal. Devem ser tais que se cumpram as condições de equilíbrio de qualquer das partes do corpo em questão. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
8 Forças Internas em Barras Forças Internas em Barras Introdução F 1 A F 1 A F 2 A F 2 As forças internas surgem entre todas as partículas contíguas do corpo submetido à ação de uma carga externa. Em uma seção transversal, as forças internas são a resultante das forças distribuídas, que são produzidas devido as forças externas. Estas forças se distribuem de forma complexa na seção transversal. Devem ser tais que se cumpram as condições de equilíbrio de qualquer das partes do corpo em questão. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
9 Forças Internas em Barras Definição dos Esforços Programa 1 Forças Internas em Barras Definição dos Esforços Diagramas de Esforços Relação entre Carregamentos e Esforços L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
10 Forças Internas em Barras Definição dos Esforços Definição dos Esforços Vamos considerar um corpo em equilíbrio submetido a um conjunto de forças, ativas e reativas. Seja uma seção qualquer S, submetida a um conjunto de forças em equilíbrio, que separa um corpo em duas partes A e B. S y G x z L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
11 Forças Internas em Barras Definição dos Esforços Definição dos Esforços Vamos considerar um corpo em equilíbrio submetido a um conjunto de forças, ativas e reativas. Seja uma seção qualquer S, submetida a um conjunto de forças em equilíbrio, que separa um corpo em duas partes A e B. S S A G G B L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
12 Forças Internas em Barras Definição dos Esforços Definição dos Esforços Analisando o equilíbrio das partes A e B, tem-se que Forças em A equilibram Forças em B As ações exercidas pela parte A sobre a parte B equilibram as forças externas que atuam na parte B. Fazendo-se a redução deste sistema de forças interiores ao centroide G da seção S por intermédio das forças externas que atuam na parte B obtém-se as resultantes F R e M R. S S A G G B L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
13 Forças Internas em Barras Definição dos Esforços Definição dos Esforços Analisando o equilíbrio das partes A e B, tem-se que Forças em A equilibram Forças em B As ações exercidas pela parte A sobre a parte B equilibram as forças externas que atuam na parte B. Fazendo-se a redução deste sistema de forças interiores ao centroide G da seção S por intermédio das forças externas que atuam na parte B obtém-se as resultantes F R e M R. S M R F R S A G G B F R M R L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
14 Forças Internas em Barras Definição dos Esforços Definição dos Esforços Entende-se por esforço em uma seção como a redução das forças e momentos ao centroide da seção. O par de forças e momentos opostos são os esforços internos na seção S. S M R F R S A G G B F R M R L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
15 Forças Internas em Barras Definição dos Esforços Definição dos Esforços A força F R que atua na parte esquerda é a resultante das forças exteriores que ficam é direita. O momento M R que atua na parte esquerda é o momento resultante das forças exteriores que ficam é direita. O conjunto de forças estaticamente equivalente é ação de uma parte do corpo sobre a outra, através da seção qua as separa, é o esforço na seção. S M R F R S A G G B F R M R L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
16 Forças Internas em Barras Definição dos Esforços Definição dos Esforços Decompondo segundo os eixos coordenados as resultantes F R e F R e os momentos M R e M R em componentes normais e tangenciais, obtém-se os esforços simples. F R = F x + F y + F z = N + Q y + Q z M R = M x + M y + M z = T + M y + M z y M y A Q z G Q y N T x S z M z L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
17 Forças Internas em Barras Definição dos Esforços Definição dos Esforços N é o esforço normal ou axial. Q y é o esforço cortante segundo o eixo y. Q z é o esforço cortante segundo o eixo z. y M y A Q z G S Q y N T x z M z T é o momento torsor ou momento de torção. M y é o momento cortante e segundo o eixo y. M z é o momento cortante segundo o eixo z. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
18 Forças Internas em Barras Definição dos Esforços Definição dos Esforços Para o caso de vigas, o carregamento é coplanar e atua perperdicularmente ao seu eixo Consideraremos somente: Esforço Normal N Esforço Cortante Q Momento Fletor M π y Q A G N S z M L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85 x
19 Forças Internas em Barras Definição dos Esforços Definição dos Esforços Efeitos Causados pelos Esforços Simples Componente N aproximar (esforço de compressão), ou afastar (esforço de tração), seções imediatamente próximas. Componente Q provoca o o deslizamento realtivo entre secões paralelas devido é forças paralelas (em sentido oposto). Componente M tende a fazer com que a seção gire em torno de um eixo localizado no seu próprio plano. N N Q Q M M L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
20 Forças Internas em Barras Definição dos Esforços Definição dos Esforços Efeitos Causados pelos Esforços Simples Componente N aproximar (esforço de compressão), ou afastar (esforço de tração), seções imediatamente próximas. Componente Q provoca o o deslizamento realtivo entre secões paralelas devido é forças paralelas (em sentido oposto). Componente M tende a fazer com que a seção gire em torno de um eixo localizado no seu próprio plano. N N Q Q M M L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
21 Forças Internas em Barras Definição dos Esforços Definição dos Esforços Convenção de Sinais Vamos convencionar os sinais de N, Q e M da seguinte forma: M M N N Q Q M M N N Q Q L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
22 Forças Internas em Barras Diagramas de Esforços Programa 1 Forças Internas em Barras Definição dos Esforços Diagramas de Esforços Relação entre Carregamentos e Esforços L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
23 Forças Internas em Barras Diagramas de Esforços Diagramas de Esforços Elementos longos e retos que suportam cargas perpendiculares a seu eixo longitudinal são denominados vigas. Vigas são classificadas de acordo com o modo como são apoiadas. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
24 Forças Internas em Barras Diagramas de Esforços Diagramas de Esforços As funções de cisalhamento (cortante) e momento podem ser representadas em gráficos denominados diagramas de esforço cortante (V ou Q) e momento fletor (M). Direções positivas indicam que o cortante provoca uma rotação em sentido horário e o fletor traciona a parte de baixo da seção. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
25 Forças Internas em Barras Diagramas de Esforços Diagramas de Esforços Represente graficamente os diagramas de esforço cortante e momento fletor para a viga dada. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
26 Forças Internas em Barras Diagramas de Esforços Diagramas de Esforços Processo de solução: Equilíbrio de das porções antes e depois da carga. Calcular as reações e fazer os diagramas de corpo livre Desenhar os esforços com os sentidos positivos Equacionar os esforços visando o equilíbrio de cada porção L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
27 Forças Internas em Barras Diagramas de Esforços Diagramas de Esforços Solução: O diagrama de corpo livre do segmento esquerdo + equilíbrio: + F y = 0 V = P/2 + M A = 0 M = Px/2 L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
28 Forças Internas em Barras Diagramas de Esforços Diagramas de Esforços Solução: O diagrama de corpo livre do segmento esquerdo + equilíbrio: + F y = 0 V = P/2 + M A = 0 M = Px/2 Segmento esquerdo estende-se até a distância x na região BC. P/2 P V = 0 V = P/2 M + P(x L 2 ) Px 2 M = P(L x) 2 L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
29 Forças Internas em Barras Diagramas de Esforços Diagramas de Esforços Solução: Esboçar os diagramas (observar o sentido + dos momentos!) L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
30 Forças Internas em Barras Diagramas de Esforços Diagramas de Esforços Determine os diagramas para a viga abaixo: L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
31 Forças Internas em Barras Diagramas de Esforços Diagramas de Esforços Determine os diagramas para a viga abaixo: Equacionando os esforços: A y = M 0 L ; B y = M 0 L (Reações de apoio) (AB) F y = 0 V = M 0 L (AB) M A = 0 M = M 0 L x (BC) F y = 0 V = M 0 L (BC) M A = 0 M = M 0 M 0 L x L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
32 Forças Internas em Barras Diagramas de Esforços Diagramas de Esforços Os diagramas ficam: L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
33 Forças Internas em Barras Diagramas de Esforços Diagramas de Esforços Determine os diagramas para a viga abaixo: L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
34 Forças Internas em Barras Diagramas de Esforços Diagramas de Esforços Determine os diagramas para a viga abaixo: Equacionando os esforços: A y = + wl 2 (Reação de apoio) F y = 0 = + wl 2 wx V V = wl/2 wx M A = 0 = wl 2 x + (wx) x 2 + M M = w 2 (Lx x2 ) L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
35 Forças Internas em Barras Diagramas de Esforços Diagramas de Esforços Os diagramas ficam: L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
36 Forças Internas em Barras Diagramas de Esforços Diagramas de Esforços Represente graficamente os diagramas de esforço cortante e momento fletor para a viga dada. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
37 Forças Internas em Barras Diagramas de Esforços Diagramas de Esforços Solução: A carga distribuída é substituída por sua força resultante. A intensidade da carga triangular na seção é determinada por cálculo proporcional: R = w 0 L/2 (área do triângulo) w(x) x = w 0 L w(x) = w 0 L x L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
38 Forças Internas em Barras Diagramas de Esforços Diagramas de Esforços Solução: As expressões dos esforços ficam: w 0L 2 1 w 0 x 2 F y = 0 = L x V M A = 0 = w 0L 2 3 w 0L 2 x w V = 0 2L (L2 x 2 ) w M = 0 6L ( 2L3 + 3L 2 x x 3 ) w 0 x L x x 3 + M L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
39 Forças Internas em Barras Diagramas de Esforços Diagramas de Esforços Solução: Esboçar os diagramas (observar o sentido + dos momentos!) L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
40 Forças Internas em Barras Relação entre Carregamentos e Esforços Programa 1 Forças Internas em Barras Definição dos Esforços Diagramas de Esforços Relação entre Carregamentos e Esforços L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
41 Forças Internas em Barras Relação entre Carregamentos e Esforços Relação entre Carregamentos e Esforços Nos casos onde a viga está sujeita a varias cargas determinar V e M pode ser cansativo. Vamos discutir relações diferenciais entre os esforços e carregamentos para auxiliar a construir os diagramas Essas relações proporcionam obter rapidamente os diagramas de esforço cortante e momento fletor L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
42 Forças Internas em Barras Relação entre Carregamentos e Esforços Relação entre Carregamentos e Esforços Vamos considerar três casos: 1 Cargas distribuídas 2 Forças concentradas 3 Momentos concentrados L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
43 Forças Internas em Barras Relação entre Carregamentos e Esforços Relação entre Carregamentos e Esforços Vamos considerar primeiro o carregament distribuído Vamos separar segmento de comprimento x Os resultados abaixo não se aplicam em pontos de carga concentrada ou de momentos concentrados L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
44 Forças Internas em Barras Relação entre Carregamentos e Esforços Relação entre Carregamentos e Esforços F y = 0 = V w(x) x (V + V) V = w(x) x M O = 0 = V x M + w(x) x[k x] + (M + M) M = V x w(x)k( x) 2 L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
45 Forças Internas em Barras Relação entre Carregamentos e Esforços Relação entre Carregamentos e Esforços Dividindo por x e tomando limite x 0 V = w(x) x dv dx = w(x) M = V x w(x)k( x) 2 dm dx = V L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
46 Forças Internas em Barras Relação entre Carregamentos e Esforços Relação entre Carregamentos e Esforços Vamos analisar o caso de cargas concentradas Vamos tomar um segmento de comprimento x que contém a carga concentrada L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
47 Forças Internas em Barras Relação entre Carregamentos e Esforços Relação entre Carregamentos e Esforços Fazendo o equilíbrio do segmento selecionado F y = 0 = V F (V + V) V = F L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
48 Forças Internas em Barras Relação entre Carregamentos e Esforços Relação entre Carregamentos e Esforços Tomando o caso de um momento concentrado M O = 0 = M + M M 0 V x M M = M 1 L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
49 Forças Internas em Barras Relação entre Carregamentos e Esforços Relação entre Carregamentos e Esforços Relações entre esforços e carragamentos dv dx = w(x) dm dx = V V = F M = M 1 L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
50 Forças Internas em Barras Relação entre Carregamentos e Esforços Relação entre Carregamentos e Esforços Represente graficamente os diagramas de esforço cortante e momento fletor para a viga abaixo. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
51 Forças Internas em Barras Relação entre Carregamentos e Esforços Relação entre Carregamentos e Esforços Represente graficamente os diagramas de esforço cortante e momento fletor para a viga abaixo 1. 1 Solução em sala de aula L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
52 Forças Internas em Barras Relação entre Carregamentos e Esforços Relação entre Carregamentos e Esforços Represente graficamente os diagramas de esforço cortante e momento fletor para a viga dada 2. 2 Solução em sala de aula L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
53 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Programa 2 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroide Momentos de Inércia Teorema dos Eixos Paralelos L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
54 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Introdução Momentos de área com relação a um eixo e a um ponto Momento de área de primeira ordem Q Q x = y da (Momento de área com relação ao eixo x) A Q y = x da (Momento de área com relação ao eixo y) A L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
55 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Introdução Momentos de área com relação a um eixo e a um ponto Momento de área de segunda ordem I,J I x = y 2 da (Momento de inércia com relação ao eixo x) A I y = x 2 da (Momento de inércia com relação ao eixo y) A L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
56 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Introdução Momentos de área com relação a um eixo e a um ponto Momento de área de segunda ordem J J O = x 2 + y 2 da = r 2 da = I x + I y (Momento de inércia polar) A A L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
57 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Introdução Momentos de área com relação a um eixo e a um ponto Momento de área de segunda ordem I xy I xy = xy da (Produto de inércia) A L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
58 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroide Programa 2 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroide Momentos de Inércia Teorema dos Eixos Paralelos L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
59 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroide Propriedades Geométricas de Áreas Planas Definição de Centroide O centroide C(x,y) de uma área plana é o ponto que define seu centro geométrico. Para determinar matematicamente a localização dos centroides usamos o método dos momentos x da x = Q y A A = A y da y = Q x A A = A As fórmulas que definem o centroide de uma área plana dependem somente de sua geometria. A localização do centroide independe dos eixos Ox e Oy. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
60 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroide Propriedades Geométricas de Áreas Planas Relação entre Centroide e Centro de Gravidade O centroide C(x,y) de uma área plana é o ponto que define seu centro geométrico. x = Q x da y A = A, y = Q y da x da A = A da A O centro de gravidade G(x G,y G ) considera uma função de peso específico γ(x,y). γ x da γ y da A x G = A, y G = γ da γ da Temos C G quando γ(x,y) é constante. A L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85 A A
61 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroide Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroide de uma Área Retangular O eixo x coincide com a base do retângulo Faixa diferencial da = b dy Ay = y da h b h y = yb dy 0 = bh2 2 y = h 2 Este resultado é válido para os dois outros lados do retângulo, considerando-se uma nova base e altura correspondente. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
62 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroide Propriedades Geométricas de Áreas Planas Observações O centroide de algumas áreas podem ser parcial ou completamente especificados por meio de condições de simetria. Se um corpo possui um eixo de simetria, centroide localiza-se sobre este eixo. Em alguns casos, o centroide encontra-se em um ponto que não se localiza no objeto. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
63 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroide Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroide de uma Área Triangular O eixo x coincide com a base do triângulo Faixa diferencial da = x dy Por semelhança de triângulos x/(h y) = b/h da = (h y)b h dy Ay = y da h bh 2 y = y 0 = bh2 6 y = h 3 (h y) b dy h Este resultado é válido para os dois outros lados do triângulo, considerando-se uma nova base e altura correspondente. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
64 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroide Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroides de Áreas Compostas Áreas feitas de várias partes ou formas diferentes são chamadas áreas compostas. O centroide de uma área composta pode ser determinada a partir dos centroides e das áreas partes individuais. Para uma área que pode dividida em n partes x = n i=1 x ia i n i=1 A, y = n i=1 y ia i i n i=1 A i Para uma área que exige integração x c da y c da A x = A, y =, da da A x c e y c são as coordenadas da área diferencial da. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85 A
65 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroide Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroides de Áreas Compostas x = n i=1 x ia i n i=1 A i y = n i=1 y ia i n i=1 A i L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
66 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroide Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroides de Áreas Compostas x = 20(20)(40)+5(10)(30)+20(10)(40) (20)(40)+(10)(30)+(10)(40) = 17 mm y = 10(20)(40)+35(10)(30)+55(10)(40) (20)(40)+(10)(30)+(10)(40) = 27 mm L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
67 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroide Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroides de Áreas Compostas x c da y c da A x = A, y =, da da A A L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
68 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroide Propriedades Geométricas de Áreas Planas Tabela de Centroides de Áreas Planas Figura x y 4r 3π 4r 3π 4r 3π L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
69 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroide Propriedades Geométricas de Áreas Planas Tabela de Centroides de Áreas Planas Figura x y 2rsen α 3α b 2 h 2 a+b 3 h 3 L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
70 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroide Propriedades Geométricas de Áreas Planas Tabela de Centroides de Áreas Planas Figura x y 4a 3π 4b 3π 3a 4 3b 10 3a 8 3b 5 L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
71 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroide Propriedades Geométricas de Áreas Planas Exemplo 1 Os momentos dos furos ou cavidades são subtraídos Ax = A 1 x 1 A 2 x 2 A = A 1 A 2 x = A 1x 1 A 2 x 2 A L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
72 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroide Propriedades Geométricas de Áreas Planas Exemplo 1 Os momentos dos furos ou cavidades são subtraídos x = A 1x 1 A 2 x 2 A = (40)(60)20 (30)(30) = 17 cm y = A 1y 1 A 2 y 2 A = (40)(60)30 (30)(30) = 27 cm L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
73 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroide Propriedades Geométricas de Áreas Planas Exemplo 2 Determine o centroide da figura abaixo (dimensões em cm) L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
74 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroide Propriedades Geométricas de Áreas Planas Exemplo 2 Determine o centroide da figura abaixo (dimensões em cm) L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
75 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroide Propriedades Geométricas de Áreas Planas Exemplo 2 Arranjar as informações em uma tabela. Parte A (cm 2 ) x (cm) y (cm) xa (cm 3 ) ya (cm 3 ) / Totais x = n i=1 x ia i n i=1 A i y = n i=1 y ia i n i=1 A i = = 7.50 cm = = 5.08 cm L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
76 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Momentos de Inércia Programa 2 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroide Momentos de Inércia Teorema dos Eixos Paralelos L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
77 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Momentos de Inércia Propriedades Geométricas de Áreas Planas Considerações Os momentos de inércia I x e I y são grandezas positivas I x = y 2 da, I y = x 2 da, J O = I x + I y A O produto de inércia I xy podem assumir valores positivos e negativos I xy = xy da A A L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
78 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Momentos de Inércia Propriedades Geométricas de Áreas Planas Momentos de Inércia de Áreas Simples Retângulo Eixos horizontais, faixa diferencial da = b dy I x = I x = y 2 da = y 2 da = h by 2 dy = bh3 3 by 2 dy = bh h/2 h/2 Eixos verticais, faixa diferencial da = h dx I y = I y = x 2 da = x 2 da = b hx 2 dx = hb3 3 hx 2 dx = hb b/2 b/2 L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
79 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Momentos de Inércia Propriedades Geométricas de Áreas Planas Momentos de Inércia de Áreas Simples Retângulo Algumas considerações: Os momentos de inércia variam de acordo com o eixo considerado. A unidade dos momentos de inércia é (comprimento) 4. Unidades usuais: mm 4, cm 4, m 4. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
80 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Momentos de Inércia Propriedades Geométricas de Áreas Planas Momentos de Inércia de Áreas Simples Triângulo Eixos horizontal (base do triângulo), faixa diferencial da = x dy = b(h y) h dy I x = y 2 da = h 2 b(h y) = y dy = 0 h = bh3 12 L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
81 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Teorema dos Eixos Paralelos Programa 2 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Centroide Momentos de Inércia Teorema dos Eixos Paralelos L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
82 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Teorema dos Eixos Paralelos Propriedades Geométricas de Áreas Planas Teorema dos Eixos Paralelos Considere momento de inércia I x com relação a Ox Cx. O ponto C é o centroide da área plana. Cx e Cy são seus eixos centroidais. I x = (d y + y) 2 da = dy 2 da + 2d y yda + y 2 da = dya 2 + 2d y (ya) + I x = dya 2 + I x (y = 0) I x = I x + d 2 ya I y = I y + d 2 xa L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
83 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Teorema dos Eixos Paralelos Propriedades Geométricas de Áreas Planas Teorema dos Eixos Paralelos Momento de inércia com relação ao eixo centroidal Cx, paralelo ao eixo da base. I x = bh3 3 d y = h 2 I x =? I x = I x + d 2 ya I x = I x d 2 ya I x = bh3 3 h2 4 (bh) I x = bh3 12 L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
84 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Teorema dos Eixos Paralelos Propriedades Geométricas de Áreas Planas Teorema dos Eixos Paralelos Momento de inércia com relação ao eixo centroidal Cx, paralelo ao eixo da base Ox. I x já foi previamente calculado. I x = bh 3 /12 d y = h 3 I x =? I x = I x + dya 2 I x = I x dya 2 I x = bh3 12 I x = bh3 36 ( h 3 ) 2 bh 2 L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
85 Propriedades Geométricas de Áreas Planas Teorema dos Eixos Paralelos Propriedades Geométricas de Áreas Planas Teorema dos Eixos Paralelos Momento de inércia com relação ao eixo superior x 1, paralelo ao eixo centroidal Cx e situado a uma distância 2h 3 I x já foi previamente calculado. deste eixo. I x = bh3 36 d y = 2h 3 I x1 =? I x1 = I x + dya 2 I x1 = bh I x1 = bh3 4 ( 2h 3 ) 2 bh 2 L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
86 Programa 3 Flexão de um elemento de eixo reto Fórmula da Flexão L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
87 Flexão de um elemento de eixo reto Programa 3 Flexão de um elemento de eixo reto Fórmula da Flexão L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
88 Flexão de um elemento de eixo reto Flexão de um elemento de eixo reto Discutiremos as tensões que surgem em elementos de eixo reto submetidos à flexão Discussão ficará limitada a elementos com área da seção tranversal simétrica com relação a um eixo O momento fletor é aplicado perpendicularmente a um eixo de simetria L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
89 Flexão de um elemento de eixo reto Flexão de um elemento de eixo reto As peças longas, quando submetidas à flexão, apresentam tensões normais elevadas. Por exemplo, para se quebrar um lápis, com as mãos, é mais eficiente tracioná-lo, comprimi-lo, torcê-lo, cisalhá-lo ou flexioná-lo? Neste caso, jamais se cogitaria tracioná-lo, comprimi-lo, torcê-lo ou cisalhá-lo; Um momento fletor de pequeno valor seria suficiente para produzir tensões de ruptura no material. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
90 Flexão de um elemento de eixo reto Flexão de um elemento de eixo reto Tipos de flexão (de acordo com os esforços atuantes) Pura (somente momento fletor) Simples (momento fletor e cortante) Composta (momento fletor e esforço normal) L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
91 Flexão de um elemento de eixo reto Flexão de um elemento de eixo reto Tipos de flexão (de acordo com os momentos fletores) Normal ou reta: Quando o plano do momento contém um dos eixos centrais de inércia da seção. Oblíqua: Quando nenhum dos eixos centrais de inércia da seção está contidos no plano do momento. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
92 Flexão de um elemento de eixo reto Flexão de um elemento de eixo reto Flexão reta L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
93 Flexão de um elemento de eixo reto Flexão de um elemento de eixo reto Flexão oblíqua L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
94 Flexão de um elemento de eixo reto Flexão de um elemento de eixo reto O momento flexiona a barra As retas longitudinais tornam-se curvas As retas transversais permanecem retas, mas sofrem rotação L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
95 Flexão de um elemento de eixo reto Flexão de um elemento de eixo reto A seção transversal de uma viga reta permanece plana quando a viga se deforma por flexão. Isso provoca uma tensão de tração de um lado da viga e uma tensão de compressão do outro lado. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
96 Flexão de um elemento de eixo reto Flexão de um elemento de eixo reto O momento (positivo) faz o material na parte inferior esticar-se e na parte superior comprimir-se Entre as duas regiões há a superfície neutra, onde as fibras não sofrem alteração de comprimento L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
97 Flexão de um elemento de eixo reto Flexão de um elemento de eixo reto L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
98 Flexão de um elemento de eixo reto Flexão de um elemento de eixo reto Com base nessas observações fazemos as hipóteses: 1 O eixo longitudinal não sofre alteração de comprimento (eixo neutro EN) 2 As seções transversais permanecem planas e perpendiculares ao EN 3 Qualquer deformação no plano da seção transversal será desprezada L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
99 Flexão de um elemento de eixo reto Flexão de um elemento de eixo reto Determinação da deformação longitudinal ε varia de zero no eixo neutro até seu máximo nas extremidades A lei de Hooke se aplica quando o material é homogêneo O eixo neutro passa pelo centroide da área da seção transversal. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
100 Flexão de um elemento de eixo reto Flexão de um elemento de eixo reto L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
101 Flexão de um elemento de eixo reto Flexão de um elemento de eixo reto s s ε = lim s 0 x = lim θ 0 = y ρ (ρ y) θ (ρ) θ ρ θ L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
102 Flexão de um elemento de eixo reto Flexão de um elemento de eixo reto O resultado mostra que a deformação normal varia linearmente Temos então a relação linear ε = y/ρ ε max c/ρ ε = y c ε max L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
103 Flexão de um elemento de eixo reto Flexão de um elemento de eixo reto Esta deformação depende apenas das hipóteses estabelecidas em relação a deformação O modelo não considera deformações no plano da seção L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
104 Fórmula da Flexão Programa 3 Flexão de um elemento de eixo reto Fórmula da Flexão L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
105 Fórmula da Flexão Fórmula da Flexão Considerando um material homogêneo e linear elástico, vale a lei de Hooke σ = Eε Uma variação linear da deformação provoca uma variação linear da tensão normal ε = y c ε max σ = y c σ max L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
106 Fórmula da Flexão Fórmula da Flexão Este espécime de madeira falhou por flexão: suas fibras foram esmagadas na parte superior e rasgadas na sua parte inferior. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
107 Fórmula da Flexão Fórmula da Flexão Vamos agora determinar uma expressão para a tensão normal ao longo da seção L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
108 Fórmula da Flexão Fórmula da Flexão O momento resultante na seção transversal é igual ao momento produzido pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo neutro. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
109 Fórmula da Flexão Fórmula da Flexão Para determinar a linha neutra, fazemos F x = 0 = df = σda = y A A A c σ maxda = σ max yda c A 0 = yda (O eixo neutro passa deve passar pelo centroide) A L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
110 Fórmula da Flexão Fórmula da Flexão Para determinar a tensão normal M = ydf = yσda = A A A y y c σ maxda = σ max y 2 da c A σ max = Mc I σ max = + Mc I Observar sinal do momento fletor (±M) posição da fibra analisada (+ ) L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
111 Fórmula da Flexão Fórmula da Flexão Por semelhança de triângulos, σ max c = σ y E temos a fórmula da flexão σ = My I Para evitar confusão com os sinais de M e y, podemos usar σ = My I e lembrar que +M traciona a fibra inferior, e M traciona a fibra superior. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
112 Fórmula da Flexão Fórmula da Flexão σ = My (expressão alternativa) I σ = tensão normal no membro M = momento interno I = momento de inércia y = distância perpendicular do eixo neutro até a fibra L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
113 Fórmula da Flexão Fórmula da Flexão Exemplos A peça de máquina de ferro fundido é solicitada por um momento M = 3 kn m. Sabendo-se que o módulo de elasticidade E = 165 GPa, determine (a) as tensões máximas de tração e compressão, (b) o raio de curvatura. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
114 Fórmula da Flexão Fórmula da Flexão Exemplos Baseado na geometria da seção transversal, calcular a localização do centróide e momento de inércia. Aplicar a fórmula da flexão elástica para encontrar as tensões máximas de tração e compressão. σ = Mc I Calcular a curvatura 1 ρ = M EI L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
115 Fórmula da Flexão Fórmula da Flexão Exemplos O momento fletor máximo (negativo) vale 3 knm. Com relação a extremidade inferior, a LN encontra-se a 38 mm Y = 20(90) (30) = 38 mm Momento de inércia em relação a LN I LN = 90(20) (12) (40) (18) 2 = 868(10 3 ) mm 4 = = 868(10 9 ) m 4 L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
116 Fórmula da Flexão Fórmula da Flexão Exemplos Aplicar a fórmula da flexão elástica para encontrar as tensões máximas de tração e compressão. σ A = Mc A I σ B = Mc B I = (0.022) 868(10 9 ) = 3000(0.038) 868(10 9 ) Calcular a curvatura = MPa = MPa 1 ρ = M EI = (10 +9 )868(10 9 ) 1 ρ = 20.95(10 3 ) ρ = 47.7 m L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
117 Fórmula da Flexão Fórmula da Flexão Exemplos Determine para a viga abaixo: (a) a tensão máxima de tração (b) a tensão máxima de compressão L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
118 Fórmula da Flexão Fórmula da Flexão Exemplos O momento fletor máximo (negativo) vale 10(0.9) = 9 knm. Com relação a extremidade inferior, a LN encontra-se a mm y LN = 200(30) (300) (30) + 20(300) Momento de inércia em relação a LN = mm I LN = 200(30) (200)(30)( ) (300) (20)(300)( ) 2 = 127.1(10 6 ) mm 4 = = 127.1(10 6 ) m 4 L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
119 Fórmula da Flexão Fórmula da Flexão Exemplos A tensão de tração máxima ocorre no topo e vale σ t = (10 6 ( ) ) σ t = 6.9 MPa A tensão de compressão máxima ocorre na base e vale 9000 σ c = 127.1(10 6 ) (0.2325) σ c = 16.5 MPa L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
120 Fórmula da Flexão Fórmula da Flexão Exemplos Se o perfil abaixo for submetido a um momento fletor positivo M = 2 knm, determine a tensão normal nos pontos B e C. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
121 Fórmula da Flexão Fórmula da Flexão Exemplos Se o perfil abaixo for submetido a um momento fletor positivo M = 2 knm, determine a tensão normal nos pontos B e C. A localização do centroide (linha neutra) é y LN = y ia i (0.01)(0.02)(0.15) + (0.095)(0.009)(0.150) = = m A i (0.02)(0.15) + (0.009)(0.150) L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
122 Fórmula da Flexão Fórmula da Flexão Exemplos Se o perfil abaixo for submetido a um momento fletor positivo M = 2 knm, determine a tensão normal nos pontos B e C. Portanto, o momento de inércia em torno do eixo neutro é I LN = 0.15(0.02) (0.15)(0.02)( ) (0.15) (0.09)(0.15)( ) 2 = 9.358(10 6 ) m 4 L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
123 Fórmula da Flexão Fórmula da Flexão Exemplos Se o perfil abaixo for submetido a um momento fletor positivo M = 2 knm, determine a tensão normal nos pontos B e C. Aplicando a fórmula da flexão, a tensão normal em B e C é σ B = 2( ) = Mpa, σ 9.358(10 6 ) C = 2( ) = 7.78 Mpa 9.358(10 6 ) L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
124 Fórmula da Flexão Fórmula da Flexão Exemplos A viga simplesmente apoiada tem a área de seção transversal mostrada na figura abaixo. Determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga e represente a distribuição de tensão na seção transversal nessa localização. L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
125 Fórmula da Flexão Fórmula da Flexão Exemplos Solução: L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão / 85
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