RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II FLEXÃO PARTE III

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Renato Benevides
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1 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II FLEXÃO PARTE III Prof. Dr. Daniel Caetano

flexão assimétrica Conceituar a flexão oblíqua

2 Objetivos Conceituar a flexo-compressão Conceituar e determinar o núcleo central de inércia Conceituar a flexão assimétrica Conceituar a flexão oblíqua Determinar a posição da linha neutra em barras sob flexão pura oblíqua

br/ (Resistência dos Materiais II Aula 11) Resistência dos

3 Material de Estudo Material Apresentação Material Didático Biblioteca Virtual Acesso ao Material (Resistência dos Materiais II Aula 11) Resistência dos Materiais (Hibbeler), págs 216 a 224 e 304 a 320. Resistência dos Materiais

4 REVENDO...

5 Flexão Pura Reta Pode-se calcular a partir de M σ máx = M. c I w = I z c σ máx = M w

6 Deformação na Flexão Material Homogêneo e Alta Deformabilidade Seção transversal simétrica a um eixo Momento aplicado em torno de linha central perpendicular a esse eixo y z x

7 Exemplo Calcule a tensão de tração máxima: 10kN 1m 1m 0,3m 0,1m

8 Exemplo Calcule a tensão de tração máxima: 10kN V: 1m + 5kN 1m - -5kN I = b. h3 12 0,3m 0,1m 0, 3. 0, 13 = 12 M: I = 0, m 4 M máx = =5kN.m σ máx = M. c I = , 05 0, = 10MPa

9 Flexão Pura Reta Será que a teoria é limitada assim? Seção transversal qualquer Cargas combinadas Momento em qualquer direção Flexo-Compressão Flexão Oblíqua

10 FLEXO-COMPRESSÃO

11 Flexo-Compressão Quando há flexão e compressão simultâneas Comum em pilares/colunas Tratamento: princípio da superposição Relação linear entre tensão e deformação Geometria: não varia significativamente

12 Flexo-Compressão Carga de compressão excêntrica Pode ser de tratada como flexo-comrpessão e P P M = P. e

13 Flexo-Compressão Resolver por Superposição P M = P. e P M = P. e σ P σ M

14 Flexo-Compressão Resolver por Superposição P M = P. e σ P σ M

15 Exemplo 50mm 50mm 15kN 20mm 20mm B A I) Cargas Atuantes C B 15kN II) Força Normal σ = F A = ,1.0,04 = 3,75MPa 3,75MPa D A C M = 750N.m 3,75MPa D III) Momento Fletor I = σ = b. h3 12 M. y I 0, 04. 0, 13 = 12 = C B = 3, m , 05 3, , 25MPa D A 11,25MPa C B D A D C A B

Exemplo 50mm 50mm 15kN 20mm 20mm B A C D IV) Superposição 3,75MPa 3,75MPa 11,25MPa C B D A D C A B C B D A Em C/B: Em D/A: σ = 3,75 +

16 Exemplo 50mm 50mm 15kN 20mm 20mm B A C D IV) Superposição 3,75MPa 3,75MPa 11,25MPa C B D A D C A B C B D A Em C/B: Em D/A: σ = 3, ,25 = 7,5MPa σ = 3,75 11,25 = 15MPa 7,5MPa C B X=? D A 15MPa σ comp + σ tração largura , ,1 = x = 0,033m = σ x 7, x

17 Dúvida Cruel Podemos aplicar σ máx = M.c I M nesse caso? Diretamente, não... Premissa: ser ao redor de eixo perp. ao de simetria #Comofaz?

18 MOMENTOS OBLÍQUOS E A FÓRMULA DA FLEXÃO GENERALIZADA

19 Momentos Oblíquos Momento Oblíquo: Não é em torno de eixo perp. ao de simetria y M z θ

20 Momentos Oblíquos Onde ocorre? Pilares de Canto y M z

21 Momentos Oblíquos Onde ocorre? Pilares de Canto Outros...

22 Momentos Oblíquos Não são em torno de eixo perp. ao de simetria Mas podemos decompô-los y M z = M. cos θ z z M Mz θ My M y = M. sen θ z

23 Momentos Oblíquos Visão em Perspectiva Por superposição de efeitos...

24 Momentos Oblíquos Analisando as tensões

25 Momentos Oblíquos Analisando as tensões y σ = M z. y I z σ =? z σ = M y. z I y

26 Momentos Oblíquos Analisando as tensões y σ = M z. y I z + M y. z I y σ = M z. y I z z σ = M y. z I y

27 Exemplo Considerando M=12kN.m, indique a tensão em cada canto da seção transversal

28 Exemplo M=12kN.m, B a E C Mz = (3/5).M z y B 0,2 0,2 M D 0,1 0,1 E My = (4/5).M

29 Exemplo M=12kN.m, B a E M z = M y = 3. M 5 = M 5 = = 7,2kN. m = 9,6kN. m C y B Mz = (3/5).M z D E 0,1 0,1 0,2 0,2 My = (4/5).M

30 Exemplo M=12kN.m, B a E I) Momento My C Mz = 7,2kN.m z y B 0,2 I y = b. h3 12 σ = M y. z I y = = 0,4. 0,23 12 = 0, m , 1 2, , 60MPa D 0,1 0,1 E 0,2 My = 9,6kN.m 3,60MPa D C E B

31 Exemplo M=12kN.m, B a E II) Momento Mz C Mz = 7,2kN.m z y B 0,2 I z = b. h3 12 σ = M z. y I z = = 0,2. 0,43 12 = 0, m , 2 1, , 35MPa D 0,1 0,1 E 0,2 My = 9,6kN.m 3,60MPa C B D E 1,35MPa D C E B

32 C y B Exemplo M=12kN.m, B a E Mz = 7,2kN.m z 0,2 III) Sobreposição 0,2 C B 3,60MPa 1,35MPa D 0,1 0,1 E My = 9,6kN.m 3,60MPa E D C E B 1,35MPa D C B D E

33 C y B Exemplo M=12kN.m, B a E Mz = 7,2kN.m z 0,2 III) Sobreposição 0,2 C 3,60MPa B 1,35MPa 2,25MPa D 0,1 0,1 E My = 9,6kN.m 3,60MPa E D C E B 1,35MPa D C B D E

34 C y B Exemplo M=12kN.m, B a E Mz = 7,2kN.m z 0,2 III) Sobreposição 0,2 C 4,95MPa B 2,25MPa D 0,1 0,1 E My = 9,6kN.m 3,60MPa E D C E B D 3,60MPa 1,35MPa C B 1,35MPa D E

35 C y B Exemplo M=12kN.m, B a E Mz = 7,2kN.m z 0,2 III) Sobreposição 0,2 C 4,95MPa B 2,25MPa D 0,1 0,1 E My = 9,6kN.m 3,60MPa 2,25MPa D 3,60MPa E 1,35MPa C B D C E B 1,35MPa D E

36 C y B Exemplo M=12kN.m, B a E Mz = 7,2kN.m z 0,2 III) Sobreposição 4, , ,2 = 4, x 0,2 C 4,95MPa X=? B 2,25MPa Eixo Neutro x = 0,1375m D 0,1 0,1 E My = 9,6kN.m 3,60MPa E D C E B 2,25MPa D 4,95MPa C B 1,35MPa D E

37 EXERCÍCIO PRÉ-INTERVALO

38 My = 2kN.m y Exercício Qual a tensão de compressão máxima que surge? z Mz = 10kN.m 1m 0,3m

39 My = 2kN.m Exercício A y B Qual a tensão de compressão máxima que surge? I z = b. h3 12 = 0, I z = 0, 025m 4 z Mz = 10kN.m 1m I y = b. h3 12 = 1. 0, I y = 0, 00225m 4 D 0,3m C σ B = M y. c z I y M z. c y I z = , 15 0, , 5 0, 025 σ B = = 333, 33kPa

40 PAUSA PARA O CAFÉ

41 ÂNGULO DO EIXO NEUTRO

42 Eixo Neutro Se precisarmos saber onde é o eixo neutro... y B 2,25MPa σ = 0 C y B C X=? 4,95MPa Eixo Neutro z θ z z E α z 2,25MPa D 4,95MPa M D E

43 Eixo Neutro Se precisarmos saber onde é o eixo neutro... σ = M z. y I z 0 = M z. y I z y z = M y. I z M z. I y Ou seja... y z = I z I y. tan θ z + M y. z I y + M y. z I y σ = 0 M y = M. sen θ z M z = M. cos θ z z M C D α z θ z y B E

44 Eixo Neutro Se precisarmos saber onde é o eixo neutro... y z = I z I y. tan θ z y z = tan α z Para todo ponto no eixo neutro! Porém... tan α z = I z I y. tan θ z z M C D α z θ z y B E α z = atan I z I y. tan θ z α θ α y = atan I y I z. tan θ y

Exemplo Calcule o Ângulo do Eixo Neutro I y = I z = b. h3 12 b. h3 12 α z = atan α z = atan = 0,000266 m4 = 0,0010666 m4 I z I y.

45 Exemplo Calcule o Ângulo do Eixo Neutro I y = I z = b. h3 12 b. h3 12 α z = atan α z = atan = 0, m4 = 0, m4 I z I y. tan θ z 0, , α z = 1,39rad = 79,4 z 4 C 12kN.m D α z 3 θ z y 0,1 0,1 C 4,95MPa 2,25MPa D B E B E 0,2 0,2 2,25MPa 4,95M

46 FLEXÃO ASSIMÉTRICA

47 Flexão Assimétrica Consideremos a seguinte seção assimétrica M induz df =. da Equilíbrio? F x = 0 M z = M M y = 0

48 Flexão Assimétrica O que descobrimos na aula passada? Z no eixo neutro garante F x = 0 A relação σ máx = M.c M z = M I garante Como garantir M y = 0

49 Flexão Assimétrica M y = 0 Mas... A z. σ. da = 0 σ = y c. σ máx A z. y c. σ máx. da Resultará em... Isso não tem como valer 0! σ máx c = 0. y. z. da A = 0 Produto de Inércia

50 Flexão Assimétrica Conclusão: Momento é em torno de um dos eixos principais?

51 Flexão Assimétrica Simetria ajuda... Um dos eixos principais é o de simetria O outro é perpendicular

52 Flexão Assimétrica Se não há simetria... Recorrer à fórmula Ângulo dos Eixos Principais θ p = atan 2 I xy I y I x 2

53 EXEMPLO DE FLEXO- COMPRESSÃO OBLÍQUA

54 Exemplo A 0,8m 40kN D 0,4m B C I) Cargas Atuantes II) Força Normal 40kN M y = 16kN.m y σ = F A = ,8.0,04 = 125kPa z B A D M z = 8kN.m C A B C D 125kPa III) Momento Fletor em y I y = b. h3 12 σ = M y. z I y = = 0,4. 0, , m ,4 1, kPa 375kPa IV) Momento Fletor em z I z = b. h3 12 σ = M z. y I z = = 0,8. 0, , m ,2 4, kPa 375kPa A B C D C B D A

55 Exemplo A 0,8m 40kN D 0,4m B C 125kPa 375kPa 375kPa A B C D A B C D C B D A Em A: σ A = = 625kPa Em B: σ B = = 125kPa Em C: σ C = = 875kPa Em D: σ D = = 125kPa σ a + σ b l x ad = = σ a x ab x ab = σ a. l σ a + σ b = 625.0,4 750 = 0,33m σ a. l = 625.0,8 σ a + σ d kPa B 625kPa = 0,66m Xab=? A Xad=? 875kPa C D 125kPa

56 NÚCLEO CENTRAL DE INÉRCIA

57 Núcleo Central Imagine: tensões de uma carga central O que acontece quando movemos a carga? P P e P P h/2 h/2 h/2 h/2 h/2 h/2 h/2 h/2 σ ext = P M. c + A I I = b. h3 12 = A. h2 12 M = P. e c = h 2 σ ext = P A P. e. h A. h 2 = P A + P 6. e. A h σ ext = P A + P A. 6. e h

58 Núcleo Central Queremos manter toda seção comprimida Qual o maior valor de e? σ ext = P A + P A. 6. e h 0 σ ext = P A + P A e P h/2 h/2. 6. e h P A + P 6. e. A h 0 P A. 6. e h P A 6. e h 1 e h 6 e = h/3 e = h/6 h/2 h/2

59 Núcleo Central Queremos manter toda seção comprimida Considerando ambas as direções... σ ext = P A + P A. 6. e h σ ext = P A + P A. 6. e x h 6. e x h + P A. 6. e y b e y b 1 h y x Núcleo Central e x e y y P b x b/6 h/6

60 Exemplo No pilar abaixo, qual o maior valor de e para que o mesmo sofra apenas compressão? Qual o valor da compressão máxima, sabendo que a seção é retangular de área 0,3m 2? e 200kN.m 0,5 0,5 e max = h 6 b. h3 0,3. 13 e max = 0,166m I = = = 0,025m 4 σ ext = P M. c A I = ,3 σ ext = ,166.0,5 0,025 = σ ext 1, 33MPa

61 CONCLUSÕES

62 Resumo Flexões compostas podem... Ser decompostas para tratamento......considerando-se os eixos principais Tensão máxima: por superposição de efeitos Ângulo da LN Ângulo do momento oblíquo Exercitar: Exercícios Hibbeler Exercitar para a avaliação!

63 PARA TREINAR

64 Para Treinar em Casa Mínimos: Exercícios 6.104, 6.107, 8.20 e 8.21 Extras: Exercícios 6.103, 6.105, 8.26 e 8.60

65 EXERCÍCIO NO SAVA

66 Exercício Entrega Individual Considerando M=3,5kN.m, calcule o máx e a direção do eixo neutro.

67 PERGUNTAS?

68 EXERCÍCIO EM SALA

69 Exercício Individual, para Agora! Calcule a tensão máxima de compressão na base do pilar ABCD; ignore o peso próprio da estrutura. 1m 20kN D C A 0,1m B 1m σ max 12, 2MPa

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