RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II FLEXÃO PARTE II

Transcrição

1 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II FLEXÃO PARTE II Prof. Dr. Daniel Caetano

2 Objetivos Conhecer as hipóteses simplificadoras na teoria de flexão Conceituar a linha neutra Capacitar para a localização da linha neutra e a determinar a distribuição de tensões na flexão pura reta Conceituar flexão inelástica, momento elástico máximo e momento plástico último

3 Material de Estudo Material Apresentação Biblioteca Virtual Acesso ao Material (Aula 10) Resistência dos Materiais (Hibbeler) 5ª Edição Páginas 221 a 237 e 268 a 275.

4 REVENDO...

5 Momento Fletor Momento Fletor: eforço que enverga barra Causado por forças cortantes P

6 Momento Fletor Momento Fletor: eforço que enverga barra Causado por forças cortantes P

7 Momento Fletor Momento Fletor: eforço que enverga barra Causado por forças cortantes P

8 Momento Fletor Momento Fletor: eforço que enverga barra Causado por forças cortantes Tensões normais de Tração / Compressão P

9 Diagrama de Momento Fletor Força Cortante Distribuída p N/m l x M(x) = p.(l x) 2 /2 traciona em cima! p.l 2 /2 M: l 0

10 DEFORMAÇÃO POR FLEXÃO

11 Deformação na Flexão Material Homogêneo e Alta Deformabilidade Seção transversal simétrica a um eixo Momento aplicado em torno de linha central perpendicular a esse eixo

12 Deformação na Flexão Elemento prismático reto

13 Deformação na Flexão - Elemento prismático reto Inchamento por compressão + Esticamento por tração

14 Deformação na Flexão - Elemento prismático reto +

15 Deformação na Flexão Eixo fica na superfície neutra Não sofre variação no comprimento Curva-se no plano x-y

16 Deformação na Flexão Eixo fica na superfície neutra Não sofre variação no comprimento Curva-se no plano x-y

17 Deformação na Flexão Eixo fica na superfície neutra Não sofre variação no comprimento Curva-se no plano x-y Seções transversais permanecem planas E perpendiculares ao eixo transversal Deformações da seção transversal: desprezadas >

18 Deformação na Flexão Vamos analisar um elemento Δx Sem Flexão Δs(y) = cte

19 Deformação na Flexão Vamos analisar um elemento Δx Com Flexão Δs (y) cte

20 Deformação na Flexão Vamos analisar um elemento Δx Δs Δs y Δx δ = Δs - Δs ε =?

21 Deformação na Flexão ε y ε y ε y s = lim y s s 0 s ρ y. θ ρ. θ = lim θ 0 ρ. θ = y ρ A deformação depende: y na seção transversal Raio de curvatura da flexão Deform. normal longitudinal: Varia linearmente com y =Δs

22 Deformação na Flexão ε y ε y ε y s = lim y s s 0 s ρ y. θ ρ. θ = lim θ 0 ρ. θ = y ρ Grande... Mas como determinar? A deformação depende: y na seção transversal Raio de curvatura da flexão Deform. normal longitudinal: Varia linearmente com y Que tal nos =Δs livrarmos dele?

23 Deformação na Flexão ε y = y ρ ε máx = c ρ Dividindo... ε = y c. ε máx

24 Deformação na Flexão ε = y c. ε máx Lembre das premissas! Há apenas tensões normais longitudinais

25 A FÓRMULA DA FLEXÃO

26 Fórmula da Flexão Lei de Hooke: = E.ε Como é ε linear com y, também! σ = y c. σ máx

27 Fórmula da Flexão Assim, pode-se encontrar a linha neutra... Afinal, se o corpo não está andando... O que se pode dizer da resultante em x? F R = F x = 0

28 Fórmula da Flexão Assim, pode-se encontrar a linha neutra... F R = 0 = A df = σ. da A σ = y c. σ máx

29 Fórmula da Flexão Assim, pode-se encontrar a linha neutra... A σ. da = 0 σ = y c. σ máx A y c σ máx. da = 0

30 Fórmula da Flexão Assim, pode-se encontrar a linha neutra... A y c σ máx. da = 0 σ máx c. y. da A = 0 Isso não pode ser 0!

31 Fórmula A da superfície Flexão neutra é aquela que passa pelo Assim, pode-se encontrar a linha neutra... eixo do centróide da seção A y c σ máx c σ máx. da transversal!. y. da A = 0 = 0 Isso não pode ser 0!

32 Fórmula da Flexão Pode-se calcular a paritr de M M Rz = A y. df = y. σ. da A

33 Fórmula da Flexão Pode-se calcular a paritr de M M Rz = A y. σ. da σ = y c. σ máx M Rz = A y. y c σ máx. da

34 Fórmula da Flexão Pode-se calcular a paritr de M M Rz = A y. y c σ máx. da M Rz = σ máx c. y2. da A M Rz = σ máx c. I z

35 Fórmula da Flexão Pode-se calcular a paritr de M M = σ máx c. I Fórmula da Flexão M. c σ máx = I M. y σ = I τ máx = T. R J

36 Exemplo Calcule a tensão longitudinal máxima 1ª Forma M. c σ máx = I Mas... I = b. h3 12 σ máx = M. c. 12 b. h 3

37 Exemplo Calcule a tensão longitudinal máxima 1ª Forma σ máx = M. c. 12 b. h 3 σ máx = M. (h ) b. h 3 σ máx = 6. M b. h 2

38 Exemplo Calcule a tensão longitudinal máxima 1ª Forma σ máx = 6. M b. h 2 M = σ máx. b. h 2 6 M = ( ) 2 6

39 Exemplo Calcule a tensão longitudinal máxima 1ª Forma M = ( ) 2 6 M = M = M = 2, 88kN. m

40 Exemplo Calcule a σ máx 2ª Forma df = σ. da Ou... df = σ. b. dy Mas... σ = y c. σ máx df = y c σ máx. b. dy

41 Exemplo Calcule a σ máx 2ª Forma df = y c σ máx. b. dy Mas... M = ys y. df yi M = yi ys y 2 c. σ máx. b. dy

42 Exemplo Calcule a σ máx 2ª Forma M = yi ys y 2 M = σ máx. b c c. σ máx. b. dy ys. y 2 dy yi M = σ máx. b c. ys 3 3 yi3 3

43 Exemplo Calcule a σ máx 2ª Forma M = σ máx. b ys 3. c 3 yi3 3 M = M = M = M = 2, 88kN. m 3

44 EXEMPLO MAIS COMPLETO

45 Exemplo: Flexão Calcule a σ máx σ máx = M. c I

46 Exemplo: Flexão Diagrama de M Calcule a σ máx M máx = p. l2 8

47 Exemplo: Flexão Cálculo de I Calcule a σ máx I = 2.I 1 + I 2 I 1 = b.h3 12 I 1 = + b. h. d I 1 = = 3, m 4

48 Exemplo: Flexão Cálculo de I Calcule a σ máx I = 2.I 1 + I 2 I 1 = 3, I 2 = b.h3 12 m 4 I 2 = I 2 = 0, m 4 I = 2.I 1 + I 2 = 3, m 4 =

49 Exemplo: Flexão Cálculo de σ máx Calcule a σ máx M = 22,5kNm I = 3, m 4 máx = M. c / I máx = ,17 / 0, máx 12,7MPa

50 Exemplo: Flexão Cálculo de σ máx Calcule a σ máx M = 22,5kNm I = 3, m 4 máx = M. c / I máx = ,17 / 0, máx 12,7MPa

51 FLEXÃO INELÁSTICA

52 Flexão Inelástica Momento Elástico Máximo Fibra superior e inferior escoando Seção transversal simétrica ao eixo de momento

53 Flexão Inelástica Momento Elástico Máximo Pela lei de Hooke...

54 Flexão Inelástica Cálculo do Momento Elástico Máximo Em 3D... C = T Cálculo pelo volume M e = C.d + T.d Ou... M e = σ e c. I M e = b. h2. σ e 6

55 Flexão Inelástica Momento Plástico Máximo Toda a seção escoando

56 Flexão Inelástica Momento Plástico Máximo

57 Flexão Inelástica Cálculo do Momento Plástico Máximo C = T Cálculo pelo volume M p = C.d + T.d M p = b. h2. σ e 4

58 Flexão Inelástica Fator de Forma: Relação entre Mp e Me Para seção retangular: M p = b.h2.σ e 4 M e = b.h2.σ e 6 K = M p /M e K = 1,5 No limite, viga retangular aguenta 50% a mais Manuais trazem K para cada seção

59 EXERCÍCIO

60 Exercício (Em Dupla) Calcule a máx na viga abaixo: 1kN/m 5m 10kN 5m

61 PARA TREINAR

62 Para Treinar em Casa Hibbeler (Bib. Virtual), Pág. 232 a 237 Mínimos: Exercícios 6.38, 6.42, 6.59, 6.72 Extras: Exercícios 6.47, 6.53, 6.73, 6.77 Adote essas conversões: 1 ksi = 7MPa 1hp = 1000W 1 pol = 25mm 1lb/pé = 15 N/m 1 lb = 4,5N

63 Para Treinar em Casa

64 CONCLUSÕES

65 Resumo A flexão pura causa uma deformação Linear com a distância do eixo Provoca tensões lineares com distância do eixo A fórmula da flexão permite calcular as tensões normais com base no momento fletor E vice-versa Quando o material tem comportamento elastoplástico, sua resistência última é majorada pelo fator de forma Exercitar Exercícios Hibbeler

66 Próxima Aula E em pilares, quando há mais de um momento atuando? Fórmula da Flexão Generalizada?

67 PERGUNTAS?

68 BOM DESCANSO A TODOS!