Resistência dos Materiais

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1 Resistência dos Materiais Eng. Mecânica, Produção UNIME Lauro de Freitas, Março, 2016.

2 3 Torção

3 Conteúdo Introdução Cargas de Torção em Eixos Circulares Torque Puro Devido a Tensões Internas Componentes de Cisalhamento Axial Eixos Estaticamente Indeterminados Problema Resolvido 3.4 Projetos de Eixos de Transmissão Concentração de Tensões Deformações em uma Barra de Seção Circu Deformações Plásticas lar Materiais Elastoplásticos Deformações de Cisalhamento Tensões Residuais Tensões no Regime Elástico Exemplos 3.08, 3.09 Tensões Normais Torção de Elementos não Circulares Tipos de Falha por Torção Eixos Vazados de Paredes Finas Problema Resolvido 3.1 Exemplo 3.10 Ângulo de Torção no Regime Elástico

4 Introdução Tensões e deformações de eixos circulares submetidos a pares de torção ou torques Turbina exerce torque T no eixo Eixo transmite o torque para o gerador Gerador cria um torque T igual e oposto

5 Discussão Preliminar das Tensões em uma Barra de Seção Circular. Forças de cisalhamento elementares são equivalentes a um torque interno, igual e oposta ao torque aplicado, T = ρ df= ρ (τ da ) Embora o momento das forças de cislhamento seja conhecido, a distribuição das tensões na seção tranversal não é. Distribuição de tensões de cisalhamento é estaticamente indeterminada por isso deve-se considerar as deformações do eixo. Ao contrário da tensão normal devido à carga axial, a distribuição das tensões de cisalhamento devido a cargas de torção não pode ser considerada uniforme.

6 Componentes de Cisalhamento Axial Torque aplicado ao eixo produz tensões de cisalhamento nas faces perpendiculares ao eixo. Condições de equilíbrio requer a existência de tensões iguais no faces formadas pelos dois planos que contêm o eixo da barra. A existência de componentes de cisalhamento axial é demonstrada, considerando um eixo formado por tiras separadas e fixadas por meio de pinos. As tiras adjacentes deslizam uma em relação à outra, quando torques iguais e opostas são aplicadas nas extremidades da barra.

7 Deformações em uma Barra de Seção Circular A partir da observação, o ângulo de torção da barra é proporcional ao torque aplicado e ao comprimento da barra. φ T φ L Quando uma barra circular é submetida à torção, toda seção transversal plana permanece plana e indeformada. Seções transversais circulares cheias ou vazadas permanecem plana e sem distorções, porque um eixo circular é axissimétrico. Seções transversais não circulares (não axissimétricas) são distorcidas quando submetidas à torção.

8 Deformações de Cisalhamento Considerar a seção interna da barra. Como a barra é submetida a um carregamento torcional, o elemento do cilindro interior se deforma em um losango. Uma vez que as extremidades do elemento permanecem planas, a deformação de cisalhamento é igual ao ângulo de torção. Segue-se que Lγ=ρφ ou γ= ρφ L A deformação de cisalhamento é proporcional a distância do eixo da barra γ max = cφ L e γ= ρ c γ max

9 Tensões no Regime Elástico Multiplicando a equação anterior pelo módulo de elasticidade, Gγ= ρ c Gγ max Da Lei de Hooke, τ =Gγ, assim τ = ρ c τ max J= 1 2 πc4 J= 1 2 π (c 2 4 c 14 ) Tensão de cisalhamento varia linearmente com a distância radial do eixo da barra. Lembre-se que a soma dos momentos das forças elementares internas é igual ao torque no eixo da seção, T = ρτ da= τ max ρ 2 da= τ max c c Os resultados são conhecidos como as fórmulas de torção no regime elástico, J τ max = Tc J e τ = Tρ J

10 Tensões Normais Elementos com faces paralelas e perpendiculares ao eixo da barra são submetidos a tensões de cisalhamento apenas. Tensões normais, tensões de cisalhamento ou uma combinação de ambas podem ser encontradas para outras orientações do elemento. Considere um elemento a 45 o com o eixo da barra, F=2 (τ max A 0 )cos 45 = τ max A 0 2 σ 45 o= F A =τ max A 0 2 A 0 2 =τ max O elemento a está em cisalhamento puro. O elemento c é submetido a uma tensão de tração em duas de suas faces e tensão de compressão nas outras duas. Note-se que todas as tensões para os elementos a e c têm a mesma magnitude.

11 Tipos de Falhas por Torção Materiais dúcteis geralmente falham em cisalhamento. Materiais frágeis falham mais em tração do que em cisalhamento. Quando submetido à torção, um corpo de prova feito de material dúctil rompe-se ao longo de um plano perpendicular ao seu eixo longitudinal. Quando submetido à torção, um material frágil tende a se romper ao longo de planos perpendiculares à direção em que a tensão de tração é máxima, ou seja, ao longo de superfícies em 45º com o eixo longitudinal do corpo de prova.

12 Problema Resolvido 3.1 SOLUÇÃO: Eixo BC é vazado, com diâmetros internos e externos de 90 mm e 120 mm, respectivamente. Os eixos AB e CD são sólidos e tem diâmetro d. Para o carregamento mostrado, determine (a) As tensões de cisalhamento máxima e mínima no eixo BC, (b) o diâmetro d necessário para os eixos AB e CD, se a tensão de cisalhamento admissível nesses eixos for de 65 Mpa. Cortar a seção através dos eixos AB e BC, realizar análises de equilíbrio estático para encontrar os torques. Aplicar as fórmulas de torção elástica para encontrar as tensões mínimas e máximas no eixo BC. Dada a tensão de cisalhamento admissível e os torques aplicados, inverter a fórmula de torção elástica para encontrar o diâmetro necessário.

13 Problema Resolvido 3.1 SOLUÇÃO: Cortar a seção através dos eixos AB e BC, realizar análises de equilíbrio estático para encontrar os torques. M x =0=(6 kn m ) T AB T AB =6 kn m=t CD M x =0=(6 kn m )+ (14 kn m ) T BC T BC =20 kn m

14 Problema Resolvido 3.1 Aplicar as fórmulas de torção elástica para encontrar as tensões mínimas e máximas no eixo BC. Dada a tensão de cisalhamento admissível e os torques aplicados, inverter a fórmula de torção elástica para encontrar o diâmetro necessário. J= π 2 ( c 2 4 c 14 )= π 2 [ (0.060)4 (0.045 ) 4 ] m 4 τ max =τ 2 = T BC c 2 J MPa τ min = c 1 τ min τ max c MPa τ min =64. 7 MPa (20 kn m ) (0.060 m ) = m 4 =45 mm 60 mm τ max =86. 2 MPa τ min =64.7 MPa τ max = Tc J =Tc 65 MPa= 6 kn m π 2 c4 π 2 c3 c= m d =2 c=77. 8 mm

15 Ângulo de Torção no Regime Elástico Lembre-se que o ângulo de torção e a deformação de cisalhamento máxima estão relacionados, γ max = cφ L No regime elástico, a tensão de cisalhamento e a deformação de cisalhamento estão relacionados pela Lei de Hooke, γ max = τ max G = Tc JG Igualando as expressões para a tensão de cisalhamento e resolvendo para o ângulo de torção TL φ= JG Se o eixo consistir em várias partes com diferentes seções transversais e diferentes materiais ao longo do seu comprimento, o ângulo de torção é encontrado com a soma dos ângulos de torção de cada componente. φ= i T i L i J i G i

16 Eixos Estaticamente Indeterminados Dadas as dimensões do eixo e o torque aplicado, encontrar as reações aplicadas no eixo devido aos apoios A e B. A partir de uma análise de corpo livre do eixo, T A +T B =120 N. m que não é suficiente para encontrar os torques desconhecidos. O problema é estaticamente indeterminado. Divida o eixo em dois componentes que devem ter deformações compatíveis. φ=φ 1 +φ 2 = T A L 1 J 1 G T B L 2 J 2 G =0 T B = L 1 J 2 L 2 J 1 T A Substitua na equação de equilíbrio original, T A + L 1 J 2 L 2 J 1 T A = 120 N. m

17 Problema Resolvido 3.4 Dois eixos cheios de aço estão ligados por engrenagens. Sabendo que para cada eixo G = 77,2 Gpa, e que a tensão de cisalhamento admissível é de 55 MPa, determine (a) o maior torque T 0 que pode ser aplicado à extremidade A do eixo AB e (b) o ângulo correspondente pelo qual a extremidade A do eixo AB gira. SOLUÇÃO: Aplicar uma análise de equilíbrio estático sobre os dois eixos para encontrar uma relação entre T CD e T 0. Aplicar uma análise cinemática que relacione as rotações angulares das engrenagens. Encontre o torque máximo permitido em cada eixo, escolha o menor. Encontrar o ângulo de torção correspondente para cada eixo e da rotação angular da extremidade final A.

18 Problema resolvido 3.4 SOLUÇÃO: Aplicar uma análise de equilíbrio estático sobre os dois eixos para encontrar uma relação entre T CD e T 0. Aplicar uma análise cinemática que relacione as rotações angulares das engrenagens. M B =0=F (22 mm ) T 0 M C =0=F (62 mm ) T CD T CD =2,8 T 0 r B φ B =r C φ C φ B = r C 62 mm φ r C = B 22 mm φ C φ B =2,82 φ C

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