Resistência dos Materiais I - Caderno de Consultas

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1 Resistência dos Materiais I - Caderno de Consultas Instruções: Resolva as questões com clareza e ordem. A interpretação dos enunciados faz parte da prova. Não sendo indicado o contrário, use aproximações de 4 algarismos significativos, considere os pesos próprios desprezíveis e as deformações elásticas proporcionais. A seguir, as especificações de materiais a considerar: Aço Alumínio Bronze Madeira Peso Específico (N/m 2 ) Módulo de Elasticidade Longitudinal (MPa) Módulo de Elasticidade Transversal (MPa) Coeficiente de Dilatação Térmica ( o C) 1 11, , , Unidades de Força e Tensão 1.1 Sistema Internacional de Unidades (SI - MKS) Força: Newton (N), sendo usual o quilonewton (1 kn = 10 3 N) Tensão: Pascal (Pa = 1 N/m 2 ), sendo usual o Megapascal (1 MPa = 10 6 Pa = 1 N/mm 2 ) 1.2 Sistema Técnico (Mkfs) Força: quilograma Força (kgf) Tensão: kgf/m 2 ou tf/cm 2 ou kgf/mm Conversões 1 kgf = 9,81 N 10 N 1 kgf/cm 2 = 0,0981 MPa 0,1 MPa 1 N = 0,102 kgf 0,1 kgf 1 MPa = 10,2 kgf/cm 2 10 kgf/cm 2 1

2 2 Tração/Compressão Simples Observação: não sendo indicado o contrário, admitir as deformações elásticas proporcionais (válida a lei de Hooke) E = módulo de elasticidade longitudinal L = comprimento inicial da barra A (constante) ou A x (variável) = área da seção sransversal N (constante) ou N x (variável) = esforço normal σ (constante) ou σ x (variável) = tensão normal ε (constante) ou ε x (variável) = deformação longitudinal específica L = deformação longitudinal (total) da barra 2.1 Barra prismática com esforço normal constante: σ = N A ε = σ E = N E A L = ε L = σ L E = N L E A Figura 1: Barras submetidas a tração e compresão simples 2.2 Barra de eixo reto e seção variável, com esforço normal variavel: N x = x 0 q x dx+f σ x = Nx A x ε x = σx E = Nx E A x L = L 0 ε xdx = L 0 N x E A x dx Figura 2: Barra com eixo e esforço normal variáveis 2

3 Observações: Se a carga axial distribuída for o peso próprio, então q x = γa x (γ é o peso específico): Onde: N x = F + x 0 γa xdx N B = F + L 0 γa xdx = F +G x 0 γa xdx é o peso do corpo até a seção S, e L 0 γa xdx é o peso total (G) do corpo. No caso anterior se A x = A (constante), então q = γa (constante), assim temos que: N x = F +γax σ = F A +γx ( Variações lineares com máximo em x = L ) ε x = F + γx L = FL + γl2 = (F+G/2)L EA E EA 2E EA 2.3 Deformações transversal, superficial e volumétrica: Sejam: a = uma dimensão da seção transversal A = área da seção transversal V = volume da barra ε a, ε A e ε V as respecivas deformações específicas a, A e V as respectivas deformações totais Então: Para Tração e Compressão simples, segue: Observação: ε a = νε x e a = ε a a ε A = ε y +ε z e A = A ε AdA ε V = ε x +ε y +ε z e V = V ε VdV ε y = ε z = νε x A = 2νε x A V = 1 2ν E L 0 N xdx Na análise dos efeitos da variação de temperatura, a deformação longitudinal (não impedida) em um barra de comprimento L, seção constante ou variável, devido à variação de temperatura T ( C) é igual a: L = αl T (α = coeficiente de dilatação térmica, ( C) 1 ) 3 Cisalhamento em Seções Isoladas Q = esforço cortante na seção A = área da seção transversal τ = tensão tangencial (de cisalhamento) média na seção: τ = Q/A G = módulo de elasticidade transversal: G = E/2(1+ν) γ(rad) = distorção angular (deformação específica no cisalhameno puro): γ = τ/g 3

4 4 Torção em eixos de seção circular anular r e d = raio e diâmetro internos R e D = raio de diâmetro externos n = r R = d D (n = 0 para seção circular) momento polar de inércia: J 0 = πd4 32 (1 n4 ) módulo de resistência a torção: W 0 = J 0 /R tensão máxima: τ max = T W 0 = 16T πd 3 (1 n 4 ) tensão em uma fibra distante ρ unidades de comprimento do eixo: τ = τ max ρ/r ângulo de torção entre duas seções distantes L unidades de comprimento entre si, sendo o momento torsor T constante e sendo o módulo de elasticidade transversal G: θ = TL GJ 0 = τ maxl RG Figura 3: Seção anelar submetida à torção 5 Torção em tubos de paredes finas T = momento torsor na seção A m = área delimitada pela linha média L m = comprimento da linha média f = fluxo de cisalhamento (constante ao redor da seção) e = espessura (constante ou variável ao redor da seção) τ = tensão de cisalhamento em um ponto J = constante de torção θ = ângulo de torção para um comprimento L G = módulo de elasticidade transversal f = T 2A m τ = f e = T 2eA m θ = TL GJ J = 4A 2 m LM ds 0 e 4

5 Figura 4: Linha média de uma seção transversal de um tubo de paredes finas. 6 Torque aplicado a um eixo na transmissão de potência Torque: T (Nm) Potência: P (1W = 1N.m/s) Velocidade Angular: ω (rad/s) T = P/ω Frequência: f (Hertz: 1Hz = 2π rad/s) T = P/2πf Frequência: f (rpm: 1rpm = (2π/60) rad/s) T = 60P/2πf Potência em cavalos-vapor: 1 cv = 736 W (Watts) Potência em cavalos-força: 1 hp = 746 W (Watts) 7 Tensões em Vigas 7.1 Tensões normais devido ao momento fletor na flexão reta (pura ou simples) Eixos principais de inércia da seção: - eixo-y: eixo de solicitação (ES), interseção entre o plano de cargas e o plano da seção. - eixo-x: linha neutra (LN), interseção da superfície neutra com o plano da seção. Sejam: M = momento fletor na seção I = momento de inércia da seção em realação à LN y = ordenada de uma cama de fibras paralelas à superfície neutra σ = tensão normal nas fibras dessa camada Figura 5: Tensões em fibras em função do momento 5

6 Então: σ = M y Variação Linear conforme mostra o diagrama de tensões à seguir, para M > 0 I Figura 6: Diagrama de tensoes normais devido ao momento fletor M As tensões máximas em valor absoluto, que ocorrem nos extremos da seção, são : σ s = M W s e σ i = M W i Onde W s e W i são os módulos de resistência a flexão (elásticas e proporcional, isto é, tensões e deformações proporcionais, obedecendo à lei de Hooke) e são determinados por: 7.2 Tensões de Cisalhamento W s = I d s e W i = I d i Figura 7: Tensão de cisalhamento e momento estático em uma superfície AB de uma seção S, qualquer. Q = esforço cortante na seção I = momento de inércia da seção, em relação à LN t = largura da seção, constante ou variável t = t(y) M s = momento estático (1 o ordem), em relação a LN e em valor absoluto, da área A i (inferior à camada AB) ou da área A s (superior à camada AB) 6

7 Na camada de fibras AB, paralela à LN, de ordenada y: Fluxo de Cisalhamento (força de cisalhamento lingitudinal por unidade de comprimento): f = QMs I Tensão de Cisalhamento (constante na largura da seção): τ = f t = QMs It M s = M Ai = M As (momento estático: M s = AydA = Aȳ) Obs.: M s, f e τ são funções de y ( d s y d i ), iguais a zero no topo e na base. M s e f são máximos na LN, enquanto que a posição da camada de τ max depende de t(y). 8 Baricentros e Momentos de Inércia de Superfícies Planas Seja uma superfície S de Área A e baricentro (Centro de Gravidade) G( x,ȳ), P(x,y) um ponto genérico de S, e um elemento da em torno de P: Momento Estático (1 o ordem) em relação a um eixo (eixo-x ou eixo-y): M x = S yda = ȳa e M y = SxdA = xa Momento de Inércia (2 o ordem) em relação a um eixo (eixo-x ou eixo-y): I x = S y2 da e I y = S x2 da Momento Polar de Inércia em relação à origem J 0 : J 0 = S r2 da = S (x2 +y 2 )da = I x +I y Teorema dos eixo paralelos: J = J CG +d 2 A 9 Deformações em Vigas - Linha Elástica da Flexão 9.1 Equação da linha elástica q = q(x) = ordenada de carga Q = Q(x) = esforço cortante M = M(x) = momento fletor θ = θ(x) = ângulo de rotação 7

8 Figura 8: Equação diferencial da linha elástica da flexão em uma seção s de abscissa x genérica v = v(x) = flecha = ordenada da linha elástica k = 1 = dθ = d2 v = M d 3 v = Q d e 4 v = q ρ dx dx 2 EI dx 3 EI dx 4 EI k = curvatura ρ = raio de curvatura (na seção s) E = módulo de elasticidade longitudinal I = momento de inércia da seção (em relação a linha neutra) 9.2 Condições de apoios e articulações (extraída de Hibbeler (2008)) Apoio do 1 0 gênero de extremidade Apoio do 2 0 gênero de extremidade M A = 0 M A = 0 v A = 0 v A = 0 θ A 0 θ A 0 Apoio interno do 1 0 gênero Apoio interno do 2 0 gênero v A = v B = 0 v A = v B = 0 θ A = θ B 0 θ A = θ B 0 Apoio do 3 0 gênero Extremidade livre M A 0 Q A 0 M A = 0 Q A = 0 v A = 0 θ A = 0 v A 0 θ A 0 Pino ou articulação interna M = 0 (no pino) v A = v B θ A θ B Q A = Q B 8

9 10 Propriedades geométricas de figuras planas 9

10 11 Tabela de propriedades de Perfis Metálicos 10

11 11

12 12

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14 12 Deflexões e Inclinações de Vigas Fonte: Mecânica dos Sólidos - Volume 1 - Timoshenko Tabela 1: Deflexões e inclinações de vigas engastadas em balanço (EI constante) Caso Equações v = deflexão na direção y v = dv = θ = inclinação da linha elástica dx v B = v(l) = deflexão na extremidade direita da viga θ B = inclinação na extremidade direita da viga (1) v = qx2 24EI (6L2 4Lx+x 2 ) θ = qx 6EI (3L2 3Lx+x 2 ) v B = ql4 θ 8EI B = ql3 6EI (2) v = qx2 24EI (6a2 4ax+x 2 ) θ = qx 6EI (3a2 3ax+x 2 ) v = qa3 θ = qa3 24EI 6EI Para x = a : v = qa4 8EI v B = qa3 (4L a) 24EI 0 x a 0 x a a x L θ = qa3 6EI θ B = qa3 6EI (3) v = qx2 (3bL+3ab 2bx) 12EI 0 x a θ = qbx (L+a x) 2EI 0 x a v = q 24EI (x4 4Lx 3 +6L 2 x a 3 x+a 4 ) a x L θ = q 6EI (x3 3Lx 2 +3L 2 x a 3 ) a x L Para x = a : v = qa2 b (3L+a) 12EI Para x = a : θ = qabl 2EI v B = q 24EI (3L4 4a 3 L+a 4 ) θ B = q 6EI (L3 a 3 ) (4) v = Px2 (3L x) 6EI v B = PL3 3EI θ = Px (2L x) 2EI θ B = PL2 2EI (5) v = Px2(3a x) θ = Px (2a x) 0 x a 6EI 2EI v = Pa2(3x a) θ = Pa2 a x L 6EI 2EI Para x = a : v = Pa3 θ = Pa2 3EI 2EI v B = Pa2(3L a) θ 6EI B = Pa2 2EI Continua na próxima página. 14

15 (6) (7) (8) Caso Tabela 1 Continuação Equações v = Mx2 2EI v B = ML2 2EI θ = Mx EI θ B = ML EI v = q 0x 2 120LEI (10L3 10L 2 x+5lx 2 x 3 ) θ = q 0x 24LEI (4L3 6L 2 x+4lx 2 x 3 ) v B = q 0L 4 θ 30EI B = q 0L 3 24EI v = q 0x 2 120LEI (20L3 10L 2 x+x 3 ) θ = q 0x 24LEI (8L3 6L 2 x+x 3 ) v B = 11q 0L 4 θ 120EI B = q 0L 3 8EI 15

16 Tabela 2: Deflexões e inclinações de vigas simplesmente apoiadas (EI constante) Caso Equações v = deflexão na direção y v = dv = θ = inclinação da linha elástica dx v C = v(l/2) = deflexão no meio do vão x 1 = distância de A ao ponto de deflexão máxima v max = deflexão máxima θ A = ângulo na extremidade esquerda da viga θ B = ângulo na extremidade direita da viga (1) v = qx 24EI (L3 2Lx 2 +x 3 ) θ = q 24EI (L3 6Lx 2 +4x 3 ) v C = v max = 5qL4 384EI θ A = θ B = ql3 24EI (2) v = qx 384EI (9L3 24Lx 2 +16x 3 ) 0 x L 2 θ = q 384EI (9L3 72Lx+64x 3 ) 0 x L 2 v = ql 384EI (8x3 24Lx 2 +17L 2 x L 3 ) L x L 2 θ = ql 384EI (24x2 48Lx+17L 2 ) L x L 2 θ A = 3qL3 128EI v C = 5qL4 768EI θ B = 7qL3 384EI (3) v = Px 48EI (3L2 4x 2 ) 0 x L 2 θ = P 16EI (L2 4x 2 ) 0 x L 2 v C = v max = PL3 48EI θ A = θ B = PL2 16EI (4) v = Pbx 6LEI (L2 b 2 x 2 ) 0 x a θ = Pb 6LEI (L2 b 2 3x 2 ) 0 x a θ A = Pab(L+b) θ 6LEI B = Pab(L+a) 6LEI Se a b, v C = Pb(3L2 4b 2 ) Se a b, x 1 = 48EI L 2 b 2 3 e v max = Pb(L2 b 2 ) 3/2 9L 3EI Continua na próxima página. 16

17 (5) (6) Caso Tabela 2 Continuação Equações v = qx... 24LEI (a 4 4a 3 L+4a 2 L 2 +2a 2 x aLx 2 +Lx 3 ) 0 x a θ = q... 24LEI (a 4 4a 3 L+4a 2 L 2 +6a 2 x aLx 2 +4Lx 3 ) 0 x a v = qa2 24LEI ( a2 L+4L 2 x+a 2 x 6Lx 2 +2x 3 ) a x L θ = qa2 24LEI (4L2 +a 2 12Lx+6x 2 ) a x L θ = qa2 24LEI (4L2 +a 2 12Lx+6x 2 ) a x L θ a = qa2 24LEI (a2 4aL+4L 2 ) θ B = qa2 24LEI (2L2 a 2 ) v = Px 6EI (3aL 3a2 x 2 ) 0 x a θ = P 2EI (al a2 x 2 ) 0 x a v = Pa 6EI (3Lx 3x2 a 2 ) a x L 2 θ = Pa (L 2x) a x L 2EI 2 θ A = Pa(L a) 2EI v C = v max = Pa 24EI (3L2 4a 2 ) (7) (8) (9) v = Mx 6LEI (2L2 3Lx+x 2 ) θ = M 6Lx+3x 2 ) v C = ML26LEI(2L2 θ A = ML θ B = ML 16EI 3EI x 1 = L ( v max = ML2 9 3EI ) e 6EI v = Mx 24LEI (L2 4x 2 ) 0 x L 2 θ = M 24LEI (L2 12x 2 ) 0 x L 2 v C = 0 θ A = ML θ 24EI B = ML 24EI v = Mx... 6LEI (6aL 3a 2 2L 2 x 2 ) 0 x a θ = M... 6LEI (6aL 3a 2 2L 2 3x 2 )0 x a Para x = a : v = Ma 3LEI (3aL 2a2 L 2 ) Para x = a : θ = M 3LEI (3aL 3a2 L 2 ) θ A = M 6LEI (6aL 3a2 2L 2 ) θ B = M 6LEI (3a2 L 2 ) Continua na próxima página. 17

18 (10) Caso Tabela 2 Continuação Equações v = q 0x 360LEI (7L4 10L 2 x 2 +3x 4 ) θ = q 0 360LEI (7L4 30L 2 x 2 +15x 4 ) v C = 5q 0L 4 θ 768EI A = 7q 0L 3 θ 360EI B = q 0L 3 45EI x 1 = 0,5193L v max = 0,00652 q 0L 4 EI 18