CAPÍTULO 3 ESFORÇO CORTANTE

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Ricardo Pinho Marques
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1 CAPÍTULO 3 ESFORÇO CORTANTE 1 o caso: O esforço cortante atuando em conjunto com o momento fletor ao longo do comprimento de uma barra (viga) com cargas transversais. É o cisalhamento na flexão ou cisalhamento longitudinal, que só será estudado em Resistência dos Materiais II. 2 o caso: Seções isoladas sujeitas a um esforço cortante, sendo desprezível o momento fletor, como o da seção AB do ressalto do pilar, que serve para o apoio da viga. 1

2 3.1) TENSÕES DE CISALHAMENTO (Tensões Tangenciais) DEVIDO AO ESFORÇO CORTANTE EM SEÇÕES ISOLADAS É importante lembrar que o esforço cortante está situado no plano da seção (que é chamada seção de corte ou de cisalhamento). Admite-se a tensão de cisalhamento uniformemente distribuída na seção. Então: τ = Q/A, onde Q é o esforço cortante e A é a área da seção de corte. Na realidade, esta distribuição não é uniforme e o quociente Q/A representa a tensão média na seção. No entanto, utilizaremos a propriedade acima para resolver os problemas de dimensionamento, avaliação e verificação, desde que na condição de estabilidade τ τ adm. O valor de τ adm deve ser escolhido convenientemente, através de ensaios para este fim específico. Exemplo 1) Conexão simples (pino ou parafuso sujeito a cisalhamento simples). As figuras seguintes mostram detalhes da articulação B da treliça embaixo. 2

3 A seção transversal do pino que transmite a força N da barra para a chapa está sujeita ao esforço cortante Q = N. Sendo d o diâmetro do pino, a área de Q N corte será A = π.d 2 /4 e a tensão tangencial será τ = = 2. A π. d / 4 Como exemplo, temos uma ligação rebitada por superposição (ligação simples). Admite-se que cada rebite da ligação em cima transmite 1/6 da força N de uma chapa para a outra (ou 1/n de N se forem n rebites). Cada rebite está sujeito a cisalhamento simples, como o pino do exemplo acima, com Q = N/6 (ou Q = N/n para n rebites). Uma observação importante é que a disposição dos rebites deve ser simétrica em relação ao eixo das chapas. 3

4 Exemplo 2) Conexão dupla (pino ou parafuso sujeito ao cisalhamento duplo). Se a ligação do exemplo anterior for executada com 2 chapas de espera: Cada uma da 2 seções indicadas do pino transmite a força N/2 da barra para cada uma das chapas de espera. Portanto: Q = N/2 e A = π.d 2 /4 e a tensão Q N / 2 tangencial será τ = = 2 A π. d / 4 juntas). Exemplo 2.a) Ligação rebitada de topo (com chapas de ligação cobre- Sejam n rebites de cada lado (n = 4 no exemplo). Cada um deles tem 2 seções de corte, como o pino do exemplo 2. Se cada rebite transmite N/n (N/4 no exemplo), então o esforço cortante em cada seção é N/2n (N/8 no exemplo). 4

5 Exemplo 3) Blocos de encaixe Entre várias possibilidades de ruptura da ligação, há duas por cisalhamento: na peça A com τ 1 = F/b.t e na peça B com τ 2 = F/a.t, sendo t a espessura da peça e a e b a largura de contato, mostrada na figura abaixo. Haverá estabilidade se τ 1 τ adm e τ 2 τ adm. Exemplo 4) Colagem 5

6 A distribuição de tensões não é uniforme. Nos bordos ocorre τ máx, difícil de avaliar. Calculamos, então, τ o = τ méd = F/a.t e, na condição de estabilidade, τ o τ adm. Usamos um valor adequado para τ adm. 3.2) TENSÕES DE CISALHAMENTO EM PLANOS NORMAIS ENTRE SI. CISALHAMENTO PURO. DISTORÇÃO ANGULAR Seja o elemento de volume representado na figura, com faces normais e arestas paralelas aos eixos cartesianos. Se a face direita está sujeita a uma tensão de cisalhamento τ xy, então a face esquerda está sujeita a mesma tensão, mas com sentido oposto, de modo que ΣF y = τ xy. dy.dz -τ xy.dy.dz = 0. As faces horizontais superior e inferior estão sujeitas às tensões tangenciais τ xy, também opostas, constituindo um binário capaz de equilibrar o binário das faces direita e esquerda, isto é, ΣM o = τ xy. dy.dz.dx -τ yx.dx.dz.dy = 0 -> τ xy. = τ yx. (força) (dist.) (força) (dist.) Conclui-se que as forças tangenciais em faces (planos) normais entre si de um elemento volumétrico têm o mesmo módulo, convergindo para ou divergindo da aresta de interseção. Não esquecendo a natureza tridimensional do problema, passamos a representar o elemento volumétrico pela vista longitudinal (retângulo ABCD da figura acima). Para simplificar ainda mais, representaremos τ xy. = τ yx = τ. Se um elemento volumétrico estiver sujeito somente a estas tensões, diz-se que ele está sujeito ao cisalhamento puro. A deformação deste elemento será o 6

7 alongamento da diagonal AC e o encurtamento da diagonal BD, de modo que o retângulo fica distorcido (paralelogramo), conforme representado (com exagero) na figura abaixo. A medida desta deformação elementar será o quanto uma face deslizou em relação à face oposta dv (unidades de comprimento) e a deformação específica dv será = senγ γ ( rd) porque, sendo γ muito pequeno, sen γ tg γ γ (rd) dx e cos γ 1. Esta deformação específica γ = dv/dx é chamada distorção angular. O melhor dispositivo para se obter o diagrama τ xy. Experimentalmente será o ensaio de torção em um tubo delgado. Verifica-se que para pequenas deformações, é valida a lei de Hooke: τ = const = tgα = G γ (constante do material): módulo de elasticidade transversal. Dimensional: F.L -2. Unidade prática: kgf/cm 2 ou similar). Portanto, τ = G γ ou τ γ =. Observa-se, também, uma semelhança entre os diagramas G σ x ε e τ x γ, mas com valores das tensões τ menores que os correspondentes valores das tensões σ (cerca de 50 % a 60 % destas). Lembrando as propriedades ε = σ/e, ε t = ν. ε e γ = τ/g, convém observar que existe uma relação entre as constantes E, ν e G, pois as deformações ε, ε t e γ 7

8 não são independentes uma das outras. Mais adiante, será demonstrado que E G =. 2(1 + ν ) OBS: O que foi deduzido par as tensões de cisalhamento τ xy = τ yx também para as outras tensões de cisalhamento. é válido 3.2) LIGAÇÕES REBITADAS São cinco as possibilidades de ruptura (e as conseqüentes condições de estabilidade para dimensionamento, avaliação e verificação): 1) cisalhamento nos rebites (Já visto na introdução e no início deste capítulo); 2) tração nas chapas; 3) compressão diametral (compressão mútua, esmagamento); 4) cisalhamento nas chapas; 5) cisalhamento e tração nas chapas Os tipos de ruptura 4 e 5 acima são evitados com espaçamento mínimo entre os rebites e distância mínima dos rebites às bordas da chapa, conforme figura em baixo (d é o diâmetro dos rebites). 8

Compressão diametral (σ d ): Considera-se área comprimida a seção diametral da porção do rebite em contato com a chapa. Sejam: F a força no rebite, d o diâmetro do rebite e t a espessura da chapa.

9 Compressão diametral (σ d ): Considera-se área comprimida a seção diametral da porção do rebite em contato com a chapa. Sejam: F a força no rebite, d o diâmetro do rebite e t a espessura da chapa. Então: σ d = F/d.t Observação: a tensão admissível σ d (peça confinada) é geralmente maior que a tensão admissível à compressão em peça não confinada. Tração na chapa (σ t ): Sejam: N i o esforço normal na chapa em uma seção à altura de uma linha de rebites e A i a área líquida (útil) da chapa, tendo sido descontados os furos. Então: σ ti = N i /A i (O caso crítico, certamente, é a seção que apresenta maior σ ti ). 9

10 Exercício 1) Na ligação por superposição abaixo, as chapas têm largura b e espessura t, sendo d o diâmetro dos furos. Vamos considerar as seções nas linhas 1, 2 e 3 na chapa superior. Então: A 1 = A 2 = A 3 = (b 2d ).t (Força que chega na seção) Para a chapa de cima: N 1 = P ; N 2 = 2.P/3 (= P P/3) e N 3 = P/3 (= 2.P/3 P/3) Caso crítico: linha 1: σ t1 N1 = A 1 P = ( b 2d'). t Exercício 2) Na ligação por superposição abaixo, analisando as seções na chapa superior, o caso crítico será uma das seções 1, 2 ou 3. 10

11 Sejam a largura das chapas = b, a espessura das chapas = t e o diâmetro dos furos = d Então: N 1 = P ; N 2 = 8.P/9 ; N 3 = 6.P/9 ; N 4 = 3.P/9 e N 5 = P/9 (N 2 = P P/9 = 8.P/9) (N 3 = 8.P/9 2.P/9 = 6.P/9) (N 4 = 6.P/9 3.P/9 = 3.P/9) A 1 = A 5 = (b-d ).t ; A 2 = A 4 = (b-2d ).t e A 3 = (b-3d ).t A 1 > A 2 > A 3 e N 1 > N 2 > N 3 indicam que o caso crítico é determinado somente após calcular os valores numéricos de σ t1, σ t2 e σ t3. Observação: Sejam P 1 a carga admissível devido ao cisalhamento nos rebites; P 2 a carga admissível devido à compressão diametral, P 3 a carga admissível à tração nas chapas, P adm a carga admissível na ligação ( a menor entre P 1, P 2 e P 3 ) e P o a carga admissível na chapa inteira, então a eficiência da ligação, expressa em porcentagem, é igual a P adm P 0 x100% Relembrando: Qual é a capacidade de carga da ligação do Exemplo 2.a da página 4? Admitir chapas de ¼ de espesura para o aço A24, rebites de ½ A502 tipo 1, sendo dados: Limite admissível para tensão de corte tipo apoio: τ = 10,5 kgf/mm 2 ; Limite de pressão de apoio: σ a = 28 kgf/mm 2 ; Limite de tração: σ t = 14 kgf/mm 2 ; 1 P =. 2 A τ (corte), 1 P. 2 t. d σ 1 = (apoio) e 1 P t d σ = 2. (apoio) 2 11

12 Se t 1 = 1/4" = 6,35 mm, t 2 = 1/4" = 6,35 mm e d = 1/2 = 12,7 mm, teremos: Capacidade admissível de apoio: Chapa 1 (em cima e em baixo): 2. t 1.d. σ 1 = 2 x 6,35 mm x 12,7 mm x 28 kgf/mm 2 = 4516 kgf; Chapa 2 (no meio): t 2.d. σ 2 = 6,35 mm x 12,7 mm x 28 kgf/mm 2 = 2258 kgf; Sendo a área do parafuso igual a 126,67 mm 2, a capacidade admissível de corte é P = 2 x 126,67 x 10,5 kgf/mm 2 = 2660 kgf; A capacidade de apoio é determinante. Então, a capacidade de carga da ligação é 8 x 2258 kgf = kgf (VER EXEMPLOS 55, 56 E 59) 12

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