1) Determine a energia de deformação (energia interna) da estrutura abaixo. Rigidez flexional = 4200 knm²

Transcrição

1 CE2 ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II LISTA DE EXERCÍCIOS PREPARATÓRIA PARA O ENADE 1) Determine a energia de deformação (energia interna) da estrutura abaixo. Rigidez flexional 42 knm² Formulário: equação geral da energia de deformação: Solução: A estrutura não possui cargas axiais nem torcionais, portanto as duas últimas parcelas da equação geral da energia de deformação são iguais a zero. O efeito de cisalhamento para vigas esbeltas pode ser desprezado, portanto a energia de deformação pode ser determinada por: U L M2 dx 2EI As equações de momento fletor por trecho são: Trecho A-B (para nó A; x ) Trecho B-A (para nó B; x ) M(x) 45x M(x) 45(x 3) Trecho B-C (para nó B; x ) Trecho C-B (para nó C; x ) M(x) 6(x 1,5)² M(x) 6x² 1

2 A energia de deformação é obtida pelo comprimento total da estrutura, para isso basta somar as integrais do trecho AB (ou BA) com o trecho BC (ou CB), pois a integral do trecho AB e BA são iguais já que representam a mesma área (o mesmo é válido para o trecho BC), portanto podemos calcular a energia de deformação da seguinte forma: Usando as equações do trechos AB e CB: U L M2 3 dx ( 45x)2 dx + 2EI ,5 ( 6x²)2 dx 2,821 knm 2 42 Ou, usando as equações do trechos BA e BC: U L M2 dx 2EI 3 (45(x 3)) dx + 1,5 (6(x 1,5)²) dx 2,821 knm 2) Para o pórtico abaixo determine: a) Deflexão horizontal, a deflexão vertical e a rotação no ponto B. b) O valor percentual que P2 deve majorado para o ponto B não ter deslocamento. Dados: Perfis A-36 W46x6, ambos posicionados para trabalhar no eixo de maior inércia conforme figura abaixo. Ix cm4 Formulário: Deslocamento obtido com trabalho virtual: 2

3 SOLUÇÃO: Tabela Kurt Bayer A estrutura não possui cargas torcionais, portanto a parcela da equação do trabalho virtual devido à torção é nula. O efeito dos esforços de cisalhamento para vigas esbeltas podem ser desprezados, além disso o pilar possui altíssima rigidez axial (EA 1524 kn), o que gera um deslocamento desprezível devido aos esforços axiais (,46 m), portanto em geral, o deslocamento em pórticos (e semipórticos como é o caso) pode ser calculado apenas com o efeito flexional da estrutura: A rigidez flexional é igual a: L Δ mm dx EI EI 2 kn/m² m knm² Para realizar a multiplicação do diagrama virtual interno e do diagrama interno da peça devemos calcular os diagramas de momento fletor: M(x) p/ P1 e P2 m(x) p/ δvb m(x) p/ δhb m(x) p/ θb Deslocamento horizontal do nó B (com tabela Kurt-Bayer): 3

4 EIδ hb ( 1 3,5 (2 ( 7, 32,5) + ( 7, 5) + ( 3,5 32,5) ( 3,5 5))) + ( 1 3,5 ( 3,5) ( 5)) 2 EIδ hb 74, ,25 δ hb 146, ,2 m Deslocamento vertical do nó B (com tabela Kurt-Bayer): O diagrama virtual da carga vertical no nó B é nulo, portanto não há deslocamento (desprezível). Rotação no nó B (com tabela Kurt-Bayer): EIθ B ( 1 3,5 ( 1,) ( 32,5 5)) + (3,5 ( 1,) ( 5)) 2 EIθ B 144, θ B 312, Resposta a) δ hb 2 cm e θ B,6 rad,6 rad Para determinarmos o valor percentual que P2 deve majorado para o ponto B não ter deslocamento devemos calcular qual o valor da coordenada do momento fletor no ponto D quando a deflexão é nula. Já que o valor da carga P2 altera a coordenada no ponto D do diagrama de momento fletor, então: ( 1 3,5 (2 ( 7, y) + ( 7, 5) + ( 3,5 y) ( 3,5 5))) + ( 1 3,5 ( 3,5) ( 5)) 2 y + 7 Portanto, um diagrama de momento fletor que apresenta em D o valor de +7 knm, não irá gerar deslocamento B: 4

5 Figura 1 Diagrama com majoração da carga P2 A partir do ponto C até o ponto D houve um aumento de 12 knm no diagrama de momento, então para determinar a carga P2 que gera esse esforço basta dividirmos pelo braço de alavanca: P 2 12 knm 3,5 m 34,286 kn Assim, quando é aplicada uma carga P2 de 34,286 kn, não teremos deslocamento horizontal em B, portanto com um aumento de 29,286 kn em relação a carga de 5, kn atual. Aumento percentual P 2 P 2 P 2 29,286 5, 586 % Resposta b) A carga deve ser majorada em 586 % do valor atual. 3) Uma barra quadrada é feita de plástico PVC com módulo de elasticidade E 9 GPa e deformação por escoamento ε e,1 mm/mm. Determine as dimensões a de sua menor seção transversal, de modo que não falhe por flambagem elástica. As extremidades da barra estão presas por pinos e seu comprimento é de 1.25 mm. FONTE: HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Prentice Hall, 21. 5

6 SOLUÇÃO: ÁREA A a² MOMENTO DE INÉRCIA I a4 12 RAIO DE GIRAÇÃO r I A a 4 12 a² a 12 TENSÃO DE ESCOAMENTO σ e ε e E,1 9 MPa 9 MPa Para determinar o menor valor de a de modo que a barra não falhe por flambagem, a tensão crítica de flambagem deve ser igualada à tensão de escoamento, pois desta forma a estrutura irá falhar por resistência. TENSÃO CRÍTICA DE FLAMBAGEM MENOR DIMENSÃO DE a σ cr π2 E ( KL r ) ² 9 π2 9 ( 1, 1,25 a ) ² 12 a ± 4, m A solução negativa da equação de segundo grau não tem significado físico. Portanto a menor seção da barra para que a estrutura não falhe por flambagem, e sim, por resistência é 43,59 x 43,59 mm². 6

7 4) Pela Analogia de Mohr, determine o diagrama de momentos fletores da viga de inércia constante abaixo. Unidades SI. TABELA DE CONVERSÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO DA VIGA REAL PARA VIGA CONJUGADA Tabela de conversão Fonte: MARTHA, L. F. C. R. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. Rio de Janeiro: ELSEVIER, 21. SOLUÇÃO Carregamento da viga conjugada: Equilíbrio à rotação em B ( M ): ( M B EI L BC 2 ) L BC 3 + (M C EI L BC 2 ) 2 L BC 3 M c M B 2 7

8 Portanto o valor do momento em C é igual a metade do valor do momento em B. Equilíbrio à rotação em A ( M ): + ( 64 EI 2, 2 ) (2, 2 3 ) + (64 EI 8, 8, ) (2, ) + ( M B 2 EI 7, 2 ) (1 + 7, 2 3 ) ( M B EI 1, 2 ) (1, 2 3 ) (M B EI 7, 7, ) (1, ) +85, , ,67 M B 33,33 M B 43,17 M B 128, 5,83 M B M B 25,18 knm Momento no ponto de aplicação da carga: M c M B 2 25,18 12,59 knm 2 M 64 25, ,96 knm 8

9 5) Desenhe a Linha de Influência de Momentos Fletores na Seção S da viga abaixo. Divida cada vão em quatro partes para preencher a Tabela. Usar três casas decimais. Inércia constante. VÃO AB VÃO BC Posição da Carga Móvel P 1, kn a b Lvão E D MA MB MC MS [m] [m] [m] [m] [knm] [knm] [knm] [knm] [knm] [knm] (Coluna a e b da Tabela se referem às distâncias entre a posição da Carga Móvel e os apoios do vão carregado, conforme fórmulas dos Termos de Carga). FORMULÁRIO Coeficientes de Propagação: α AB L AB 2 (L AB + L BC ) α BC L BC α CB L CB 2 (L CB + L BA ) α BA L BA Momentos nos apoios do vão AB carregado: (Para obter os momentos do vão BC carregado, as fórmulas abaixo devem ser adaptadas conforme exposto em aula) M A Termos de Carga α BA 1 (α BA α AB ) (α AB ) M B α AB 1 (α AB α ) (α BA BA ) L 2 (L + b) 9 L 2 (L + a)

10 SOLUÇÃO Inicialmente deve-se calcular os Coeficientes de Propagação da viga. O apoio C não possui engastamento, assim a propagação do momento M B para M C, quando o vão AB está carregado, deve ser igual a zero, portanto: α BC O apoio A não possui engastamento, assim a propagação do momento M B para M A, quando o vão BC está carregado, deve ser igual a zero, portanto: Os coeficientes de propagação são: α AB L AB α BA 2 (L AB + L BC ) α BC L BC 2 2 (2 + 32) 32,192 Portanto temos: α CB L CB 2 (L CB + L BA ) α BA L BA 32 2 (32 + 2) 2,38 1

11 Foi imposto que cada vão fosse dividido em quatro partes para determinação dos valores da Linha de Influência na seção S (LIM s ). Para o vão AB teremos as seguintes posições da carga móvel a partir do apoio A a cada 5, m ( L AB 4 Posições da Carga Móvel no Vão AB:, 5, 1, 15 e 2. 5, m) Para o vão BC teremos as seguintes posições da carga móvel a partir do apoio A a cada 8, m ( L BC 4 Portanto, a primeira coluna pode ser preenchida: Posições da Carga Móvel no Vão BC: 2, 28, 36, 44 e 52. 8, m) VÃO 1 VÃO 2 Posição da Carga Móvel Q 1, kn [m] Os valores a e b representam a distância entre a carga e os apoios do vão L carregado, conforme fórmula dos Termos de Carga. Assim os valores a, b e L podem ser preenchidos diretamente: VÃO 1 VÃO 2 Posição da Carga Móvel Q 1, kn a b Lvão [m] [m] [m] [m]

12 Termos de Carga e Momentos em B para vão AB carregado: Quando a carga está na posição (sobre o apoio A) e na posição 2 (sobre o apoio B), ou o valor de a ou de b é igual a zero, desta forma os Termos de Cargas são nulos, e já estão preenchidos na Tabela. Posição 5: M B L 2 (L + b) (2 + 15) 6,563 knm α AB 1 (α AB α ) (α BA BA L 2 (L + a) (2 + 5) 4,688 knm ),192 ( 6,563 4,688),9 knm 1 (,192 ) Posição 1: M B α AB 1 (α AB α ) (α BA BA L 2 (L + b) 2 2 (2 + 1) 7,5 knm L 2 (L + a) 2 2 (2 + 1) 7,5 knm ),192 ( 7,5 7,5) 1,44 knm 1 (,192 ) Posição 15: M B α AB 1 (α AB α ) (α BA BA L 2 (L + b) (2 + 5) 4,688 knm L 2 (L + a) (2 + 15) 6,563 knm ),192 ( 4,688 6,563) 1,26 knm 1 (,192 ) Preenchendo a Tabela, temos os seguintes Termos de Carga e Momentos em B quando o vão AB está carregado: VÃO 1 Posição da Carga Móvel Q 1, kn a b Lvão E D MA MB MC [m] [m] [m] [m] [knm] [knm] [knm] [knm] [knm] ,563 4,688 -, ,5 7,5-1, ,688 6,563-1,

13 Termos de carga para vão BC carregado: Quando a carga está na posição 2 (sobre o apoio B) e na posição 52 (sobre o apoio C), ou o valor de a ou de b é igual a zero, desta forma os Termos de Cargas são nulos, e já estão preenchidos na Tabela. Posição 28: L 2 (L + b) ( ) 1,5 knm M B α CB 1 (α CB α BC ) (α BC L 2 (L + a) (32 + 8) 7,5 knm ),38 ( 7,5 1,5) 3,234 knm 1 (,38 ) Posição 36: L 2 (L + b) 32 2 ( ) 12, knm M B α CB 1 (α CB α BC ) (α BC L 2 (L + a) 32 2 ( ) 12, knm ),38 ( 12, 12,) 3,696 knm 1 (,38 ) Posição 44: L 2 (L + b) (32 + 8) 7,5 knm M B α CB 1 (α CB α BC ) (α BC L 2 (L + a) ( ) 1,5 knm ),38 ( 1,5 7,5) 2,31 knm 1 (,38 ) Preenchendo a Tabela, temos os seguintes Termos de Carga e Momentos em B quando o vão BC está carregado: VÃO 1 VÃO 2 Posição da Carga Móvel Q 1, kn a b Lvão E D MA MB MC [m] [m] [m] [m] [knm] [knm] [knm] [knm] [knm] ,563 4,688 -, ,5 7,5-1, ,688 6,563-1, ,5 7,5-3, , 12, -3, ,5 1,5-2,

14 Para determinação dos Momentos na seção S, deve-se considerar dois casos: Caso 1: Quando Vão AB está carregado Nessa condição, o vão BC está descarregado, portanto o diagrama de Momentos no vão descarregado é uma reta. Desta forma o valor do Momento no vão BC será sempre: M(x) M B + ( M C M B ) x L BC Sendo x a seção de interesse, temos x 8, m (um quarto do vão) para a Seção S. Ou pela relação entre os triângulos M B BC e M s SC, temos: M S 3 4 M B Desta forma, podemos preencher os valores na do M s Tabela quando o vão AB está carregado. Caso 2: Quando Vão BC está carregado A partir da teoria de Estabilidade I, temos o equilíbrio da viga BC: Para equilíbrio à rotação no Ponto C, temos: +(V B,dir L BC ) M B P b Portanto: Então o Momento em S é: V B,dir +M B + P b L BC M B + b 32 M S V B,dir 8, M B ( M B + b 32 ) 8, M B 14

15 Para posição 28 (b 24 e M B 3,234 )* M S ( M B + b 32 ) 8, M 3, B ( ) 8, 3,234 3,575 knm 32 *Obs.: Os valores de M B e P devem ser inseridos na fórmula em valores absolutos, pois os sinais já foram considerados no cálculo do equilíbrio à rotação no ponto C devido ao sentido apresentado no esquema estrutural da viga BC. (Equilíbrio em C: +(V B,dir L BC ) M B P b ) Para posição 36 (b 16 e M B 3,696 ) M S ( M B + b 32 ) 8, M 3, B ( ) 8, 3,696 1,228 knm 32 Para posição 44 (b 8 e M B 2,31 ) M S ( M B + b 32 ) 8, M B ( 2, ) 8, 2,31,268 knm 32 Preenchendo a Tabela com os valores obtidos, temos: VÃO 1 VÃO 2 Posição da Carga Móvel Q 1, kn a b Lvão E D MA MB MC MS [m] [m] [m] [m] [knm] [knm] [knm] [knm] [knm] [knm] ,563 4,688 -,9 -, ,5 7,5-1,44-1, ,688 6,563-1,26 -, ,5 7,5-3,234 3, , 12, -3,696 1, ,5 1,5-2,31, Com os valores obtidos na Tabela, pode-se desenhar a Linha de Influência de Momentos em S: 15