Resistência dos Materiais

Transcrição

1 Resistência dos Materiais Prof. Antonio Dias Antonio Dias / Resistência dos Materiais 1

2 Flexão

3 Diagramas de força cortante e momento fletor Elementos longos e retos que suportam cargas perpendiculares a seu eixo longitudinal são denominados vigas. Vigas são classificadas de acordo com o modo como são apoiadas.

4 As funções de cisalhamento e momento podem ser representadas em gráficos denominados diagramas de força cortante e momento fletor. Direções positivas indicam que a carga distribuída age para baixo na viga e a força cortante interna provoca uma rotação em sentido horário.

5 Exemplo 6.1 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga dada.

6 Solução: Um diagrama de corpo livre do segmento esquerdo é mostrado abaixo. A aplicação das equações de equilíbrio produz F y M 0; 0; P V P M x (1) () Segmento esquerdo da viga se estende até a distância x na região BC. F y 0; M 0; P P V 0 V L P M P x P x M (3) P L x (4)

7 O diagrama tensão representa as equações 1 e 3 O diagrama de momento representa as equações e 4

8 Exemplo 6. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura.

9 Solução: A carga distribuída é substituída por sua força resultante. A intensidade da cargar triangular na seção é determinada por cálculo proporcional: w 0 x w w 0 ou w L L A resultante do carregamento distribuído é determinada pela área sob o diagrama: F y 0; w0l 1 w0 x x V L 0 V w0 L L x (1) M 0; w0l 3 w0l x 1 w0 x x L 1 3 x M 0 ()

10 O diagrama de força cortante representa a equação 1 Momento fletor representa a equação

11 Exemplo 6.3 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada ao lado.

12 Solução: Duas regiões de x devem ser consideradas para se descreverem as funções de cisalhamento e momento da viga inteira. 0 x 1 5 m, F y 0; M 0; 5,75V 80 5,75x 0 V 1 5,75 kn M 0 M (1) 5,75x 80 knm () 1 5 m x M 1 F 10 m, y 0; 0; 5, ,75x M 1 x 5V 0 V 15,75 5x x 5 5,5x 15,75x 9,5 knm (4) 15 5 x M 0 kn (3)

13 O diagrama de força cortante representa as equações 1 e 3 O momento fletor das equações e 4

14 Método gráfico para construir diagramas de força cortante e momento fletor Regiões de carga distribuida Essas duas equações proporcionam um meio conveniente para se obter rapidamente os diagramas de força cortante e momento fletor para uma viga: inclinação do diagrama de força cortante em cada ponto dv dx w x intensidade da carga distríbuida em cada ponto inclinação do diagrama de momento em cada ponto dm dx V cisalhamento(forç a cortante) em cada ponto

15 Podemos integrar essas áreas entre quaisquer dois pontos para mudar a carga distribuída e a força cortante. mudança na força cortante V w xdx área sob a carga distribuída mudança no momento M V xdx área sob o diagrama de força cortante

16 Regiões de força e momento concentrados Alguns dos casos comuns de carregamento:

17 Exemplo 6.4 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga.

18 Solução: As reações são mostradas são mostradas no diagrama de corpo livre ao lado: De acordo com a convenção de sinal, em x = 0, V = +P e em x = L, V = P. Visto que w = 0, a inclinação do diagrama de força cortante será zero, portanto: dv dx w 0 em todos os pontos Para o diagrama de força cortante de acordo com a convenção de sinal, em x = 0, M = PL e em x = L, M = 0. O diagrama de força cortante indica que o cisalhamento é positivo constante. Portanto, dm dx V P em todos os pontos

19 Exemplo 6.5 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga.

20 Solução: A reação no apoio fixo é mostrada no diagrama de corpo livre: Visto que não existe nenhuma carga distribuída na viga, o diagrama de força cortante terá inclinação nula em todos os pontos. Pelo diagrama de força cortante, a inclinação do diagrama de momento será nula. V = 0.

21 Exemplo 6.6 Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga.

22 Solução: A reação nos apoios foram calculadas e são mostradas no diagrama de corpo livre: A carga distribuída na viga é positiva, porém decrescente. Portanto, a inclinação é negativa decrescente. A curva do diagrama de momento que apresenta esse comportamento de inclinação é uma função cúbica de x.

23 Deformação por flexão de um elemento reto A seção transversal de uma viga reta permanece plana quando a viga se deforma por flexão. Isso provoca uma tensão de tração de um lado da viga e uma tensão de compressão do outro lado.

24 A deformação longitudinal varia linearmente de zero no eixo neutro. A lei de Hooke se aplica quando o material é homogêneo. O eixo natural passa pelo centroide da área da seção transversal.

25 A fórmula da flexão O momento resultante na seção transversal é igual ao momento produzido pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo neutro. My I σ = tensão normal no membro M = momento interno I = momento de inércia y = distância perpendicular do eixo neutro Pela regra da mão direita, o sinal negativo é compressivo já que age na direção negativa de x.

26 Exemplo 6.8 A viga simplesmente apoiada tem a área de seção transversal mostrada na figura abaixo. Determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga e represente a distribuição de tensão na seção transversal nessa localização.

27 Solução: O momento máximo interno na viga é. M,5 knm

28 Por razões de simetria, o centroide C e, portanto, o eixo neutro, passa a meia altura da viga, e o momento de inercia é I I Ad , ,50,0 0,50,000,16 0,00,3 6 4 m 1 1 Aplicando a fórmula da flexão, para c = 170 mm, 3 máx Mc I,5 0,17 301,3 10 ; máx 6 1,7 MPa (Resposta)

29 Exemplo 6.9 A viga mostrada na figura tem área de seção transversal em forma de um Determine a tensão de flexão máxima que ocorre na viga na seção a a. canal.

30 Solução: O momento interno resultante deve ser calculado em torno do eixo neutro da viga na seção a a. Visto que o eixo passa pelo centroide, y ya A 0,1 0, 0,015 0,010,00,5 0,0,015 0,00,5 0,05909 m 59,09 mm

31 Aplicando a equação do equilíbrio de momento sobre o eixo neutro, temos M NA 1,00,05909 M 0 M 4,859 knm 0;,4 O momento de inércia sobre o eixo neutro é I , ,50,0 0,50,00, ,01 3 0,0150, 0,0150, 0,1 0, m A tensão de flexão máxima ocorre nos pontos mais afastados do eixo neutro. máx Mc I 4,859 0, 0, , , MPa (Resposta)

32 Concentrações de tensão A tensão normal máxima em cada uma das descontinuidades ocorre na seção que passa pela menor área de seção transversal. Uma vez que K for obtido, a tensão de flexão máxima é determinada por máx K Mc I

33 Exemplo 6.14 A transição na área da seção transversal da barra de aço é obtida por filetes de redução. Se a barra for submetida a um momento fletor 5 kn m, determine a tensão normal máxima desenvolvida no aço. A tensão de escoamento é σ e = 500 MPa.

34 Solução: Pela geometria da barra, r h , w h ,5 K é 1,45 e temos máx K Mc I 1, ,04 0,00, MPa Este resultado indica que o aço permanece elástico, visto que a tensão está abaixo da tensão de escoamento (500 MPa).

35 Exemplo 6.15 A viga é feita de uma liga de titânio cujo diagrama tensão-deformação pode ser aproximado, em parte, por duas retas. Se o comportamento do material for o mesmo sob tração e sob compressão, determine o momento fletor que pode ser aplicado à viga e que fará com que o material, nas partes superior e inferior da viga, seja submetido a uma deformação de 0,050 mm/mm.

36 Solução: O ponto onde a tensão elástica máxima é 0,05 1,5 0,01 y y 0,3 cm 3 mm Resultantes e suas locações são determinadas como mostrado: T 1 y 1 C 1 0, , 1,1 11,0 mm ,6 kn

37 T y T y 3 3 C 0,3 C 3 3 O momento produzido por essa distribuição de tensão normal em torno do eixo neutro é, portanto, M 33, , 0,9 9 mm ,3 0, mm 59 31, , knmm 5,40 knm kn ,5 kn (Resposta)

38 Exemplo 6.16 A viga mostrada na figura está sujeita a um momento inteiramente plástico de M p. Se esse momento for removido, determine a distribuição de tensão residual na viga. O material é elástico perfeitamente plástico e tem tensão de escoamento de σ e = 50 MPa.

39 Solução: A partir de cálculos, temos I 8, mm. 4 Portanto, máx Mc I ; adm , ,1 N/mm 85,1 MPa Como esperado, r y. O ponto de tensão normal nula foi determinado por proporção. 81, y y 109,61mm