Teoria das Estruturas I - Aula 08

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1 Teoria das Estruturas I - Aula 08 Cálculo de Deslocamentos em Estruturas Isostáticas (1) Trabalho Externo das Cargas e Energia Interna de Deformação; Relações entre Energia de Deformação e Esforços Internos; Aplicação da Igualdade entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia Interna de Deformação; Prof. Juliano J. Scremin 1

2 Aula - Seção 1: Trabalho Externo das Cargas e Energia Interna de Deformação 2

3 Trabalho de Uma Força (W) W = F. d. cosα d : deslocamento de corpo rígido; F : força; α : ângulo da força com a horizontal; m : massa do corpo * Só há trabalho da direção do deslocamento

4 Trabalho Externo de uma Carga Aplicada W (1) L : comprimento longitudinal da barra; P : força axial aplicada dx : deslocamento relativo infinitesimal ao longo do eixo longitudinal (eixo x); A : área da seção transversal da barra; dw : trabalho realizado pela força P enquanto a barra se alonga de um comprimento dx dw = P. dx 4

5 Trabalho Externo de uma Carga Aplicada W (2) O trabalho total realizado pela força P enquanto ela é gradualmente aplicada à barra resulta em: δ W = න Pdx 0 5

6 Trabalho Externo de uma Carga Aplicada W (3) No caso de uma deformação linear e elástica, a porção do diagrama força-deslocamento referente ao problema estudado pode ser representada por uma linha reta de equação P = kx δ 1P δ 1kx W = න x dx = න dx 0 0 W = 1 2 kx2 δ 1 0 = 1 2 kδ 1 2 = 1 2 kδ 1. δ 1 W = 1 2 P. δ 1 6

7 Teorema de Clapeyron O trabalho realizado pelas forças externas, variáveis desde zero, em um corpo de material elástico linear e que sofre pequenos deslocamentos, é igual a metade do trabalho que resultaria se as forças externas agissem de modo instantâneo W = 1 2 Pδ 7

8 Analogia de Mola Elástica Linear Mola Equação de Mola: (Relação Força x Deslocamento) P = k. δ k : constante de rigidez da mola Barra Solicitada Axialmente Relação Força x Deslocamento P = k. δ k : rigidez axial da barra Como determinar k?

9 Revisão de RESMAT (1) Barra Solicitada Axialmente Deslocamento ( δ ) δ [ unidade de comprimento ] Deformação ( ε ) δ / L [ adimensional (%) ]

10 Revisão de RESMAT (2) Barra Solicitada Axialmente Relação Força x Deslocamento P = k. δ Como determinar k? σ = P A : tensão normal ε = δ L σ = E. ε : deformação axial : relação tensão x deformação (Módulo de Elasticidade E)

11 Revisão de RESMAT (3) Barra Solicitada Axialmente Relação Força x Deslocamento P = k. δ Como determinar k? σ = P A σ = E. ε ε = δ L Logo, para uma barra solicitada axialmente a rigidez axial k é: P A = E. δ L P = AE L δ k = AE L

12 Energia Interna de Deformação U e o Princípio da Conservação de Energia Mecânica Quando aplicadas a um corpo, as cargas deformam o material. Desde que não haja perda de energia sob a forma de calor, o trabalho externo por elas realizado será convertido em trabalho interno denominado Energia Interna de Deformação (U). Esta energia, sempre positiva, armazena-se no corpo e é provocada pela ação das tensões normais e/ou cisalhantes. Assim sendo, o Princípio da Conservação de Energia Mecânica pode ser expresso como : W Trabalho Externo das Cargas U Energia Interna de Deformação 12

13 Rigidez x Módulo de Elasticidade (Barra Solicitada Axialmente) P = k. δ σ = E. ε P = EA L. δ P A = E. δ L 13

14 Energia de Deformação Específica (por Unidade de Volume) u Se tomarmos a expressão da energia de deformação e dividirmos pelo volume do corpo solicitado (barra prismática axialmente solicitadada ) temos: δ P δ P u = U V = න 0 V dx = න 0 A dx L = න 0 ε σdε A energia de deformação específica u independe da geometria do elemento sendo definida em função da integração das tensões em termos das deformações: ε u = න σdε 0

15 Energia de Deformação x Energia Específica de Deformação É interessante reconhecer que a Energia de Deformação pode ser escrita como a integral de volume da Energia de Deformação Específica sobre o corpo: U = න du V Escrita em função das cargas Escrita em função dos esforços internos (M,V, N e T)

16 Estruturas com Comportamento Elástico Linear Nos estudos que se seguem, o conceito de Energia de Deformação será aplicado às estruturas de comportamento elástico linear. Em tais estruturas: a) É valida a Lei de Hooke (linearidade física, ou seja, tensões diretamente proporcionais às deformações); b) São desprezados os deslocamentos das cargas em função da deformação dos elementos, sendo utilizada sempre a configuração indeformada para posicionamento destas (linearidade geométrica); c) Como consequência é possível a aplicação do Princípio da Superposição dos Efeitos; 16

17 Estado Triplo de Tensões (1) ε x = 1 E [σ x υ(σ y + σ z )] ε y = 1 E [σ y υ(σ x + σ z )] ε z = 1 E [σ z υ(σ x + σ y )] ε x, ε y, ε z : deformações normais em relação aos eixos x,y e z respectivamente σ x, σ y, σ z : tensões normais em relação aos eixos x,y e z respectivamente E : módulo de elasticidade normal υ : coeficiente de Poisson 17

18 Estado Triplo de Tensões (2) γ xy = τ xy G γ xz = τ xz G γ yz = τ yz G γ xy γ xz γ yz : distorções angulares τ xy τ xy τ xy : tensões tangenciais G : módulo de elasticidade transversal (módulo de cisalhamento) 18

19 Energia Interna de Deformação Específica em Função de Estado Triplo de Tensões (1) Diferencial da Energia Interna de Deformação Espefícia correspondente às Tensões Normais: du σ = σ xε x 2 + σ yε y 2 + σ zε z 2 dxdydz Diferencial da Energia Interna de Deformação correspondente às Tensões Tangenciais: du τ = τ xyγ xy 2 + τ xzγ xz 2 + τ yzγ yz 2 dxdydz 19

20 Energia Interna de Deformação Específica em Função de Estado Triplo de Tensões (2) O trabalho elementar interno total será: du = du σ + du τ du = 1 2 σ xε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ xz γ xz + τ yz γ yz dxdydz du = Aplicando a Lei de Hooke Generalizada: 1 2E σ x 2 + σ 2 y + σ 2 z υ E σ xσ y + σ y σ z + σ x σ z + 1 2G τ xy 2 + τ 2 xz + τ 2 yz dxdydz U = න V du U = න V 1 2E σ x 2 + σ 2 y + σ 2 z υ E σ xσ y + σ y σ z + σ x σ z + 1 2G τ xy 2 + τ 2 xz + τ 2 yz dv 20

21 Aula 08 - Seção 2: Relações entre Energia de Deformação e Esforços Internos 21

22 Energia Interna de Deformação devido a Solicitação Axial N (1) Para peças solicitadas somente por carga axial tem-se: σ x = N A σ y = σ z = 0 τ xy = τ xz = τ yz = 0 22

23 Energia Interna de Deformação devido a Solicitação Axial N (2) Dado que: Logo: σ x = N A σ y = σ z = 0 τ xy = τ xz = τ yz = 0 U = න V 1 2E σ x 2 + σ 2 y + σ 2 z υ E σ xσ y + σ y σ z + σ x σ z + 1 2G τ xy 2 + τ 2 xz + τ 2 yz dv U N = න V 1 2E σ x 2 dv = න V 1 2E N A 2 dv = 1 2 න L N 2 EA 2 dx න A da U N = 1 2 න 0 L N 2 EA dx 23

24 Energia Interna de Deformação devido a Momento Fletor M (1) Para peças solicitadas por flexão ao redor do eixo z : σ x = M I y σ y = σ z = 0 τ xy = τ xz = τ yz = 0 U = න V 1 2E σ x 2 + σ 2 y + σ 2 z υ E σ xσ y + σ y σ z + σ x σ z + 1 2G τ xy 2 + τ 2 2 xz + τ yz dv U M = න V 1 2E σ x 2 dv 24

25 Energia Interna de Deformação devido a Momento Fletor M (2) σ x = M I y U M = න V 1 2E σ x 2 dv U M = න V 1 2E M I y 2 dv U M = න V 1 2E M 2 I 2 y2 dv = 1 2 න L M 2 EI 2 dx න A y 2 da = 1 2 න L M 2 dx I EI2 U M = 1 2 න 0 L M 2 EI dx 25

26 Energia Interna de Deformação devido ao Cortante V (1) Para peças solicitadas por corte no plano xz : τ xz = VS bi σ x = σ y = σ z = 0 τ xy = τ yz = 0 U = න V 1 2E σ x 2 + σ 2 y + σ 2 z υ E σ xσ y + σ y σ z + σ x σ z + 1 2G τ xy 2 + τ 2 2 xz + τ yz dv U V = න V 1 2G τ xz 2 dv 26

27 Energia Interna de Deformação devido ao Cortante V (2) τ xz = VS bi U V = න V 1 2G τ xz 2 dv U V = න V 1 2G VS bi 2 dv U V = න V 1 2G V 2 S 2 b 2 I 2 dv = 1 2 න L V 2 GI 2 dx න A S 2 b 2 da Dado que: I = A. i 2 i : raio de giração U V = 1 2 න L V 2 GA 2 i 4 dx න A S 2 b 2 da = 1 2 න L V 2 GA dx 1 Ai 4 න A S 2 b 2 da χ = 1 Ai 4 න A S 2 b 2 da Propriedade Geométrica da Seção Transversal 27

28 Energia Interna de Deformação devido ao Cortante V (3) Verifica-se portanto que o fator (χ) é uma constante que depende somente da forma da seção transversal, denominado Fator de Cisalhamento. Portanto é possível escrever: U V = 1 2 න L Q 2 GA dx 1 Ai 4 න A S 2 b 2 da = 1 2 න L V 2 dx χ GA U V = χ 2 න 0 L V 2 GA dx 28

29 Energia Interna de Deformação devido ao Cortante V (4) Exemplos de alguns Fatores de Cisalhamento já calculados para seções transversais mais comuns: 29

30 Princípio da Conservação de Energia Mecânica Considerando a igualdade entre o Trabalho das Forças Externas e a Energia Interna de Deformação tem-se que: W = 1 P. δ 2 U = 1 2 න 0 Logo: L N 2 EA dx න 0 L M 2 EI dx + χ 2 න 0 L V 2 GA dx L N 2 L P. δ = න 0 EA dx + න M 2 L 0 EI dx + χ න V 2 0 GA dx 30

31 Aula 08 - Seção 3: Aplicação da Igualdade entre o Trabalho Externo das Cargas e a Energia Interna de Deformação 31

32 Aplicação de W = U em Treliças (1) Calcular o deslocamento do ponto B da treliça abaixo: B Como nas treliças ocorrem somente esforços axiais : M = 0 e Q = 0 L N 2 P. δ = න 0 EA dx A C Para todas as barras: E = 200GPa A = 10 x 30 mm Como na treliça em questão não ocorre variação da área da seção transversal das barras: P. δ = EA L i i N i 2 32

33 Aplicação de W = U em Treliças (2) B Da expressão abaixo temos que para calcular o deslocamento do ponto B (onde está aplicada a carga de 100kN) é necessário calcularmos os esforços internos em todas as barras: A C P. δ = i N i 2 EA L i Substituindo os valores dos esforços em cada barra e demais variáveis, tem-se que: 100kN. δ = 166,7kN 2.5,0m+ 133,3kN 2.4,0m ,0m kn m m² 33

34 Aplicação de W = U em Treliças (3) Isolando o deslocamento na expressão tem-se que: δ = kn 2 m kn. 100kN = 0, 035m = 35 mm Consultando as respostas do FTOOL para os deslocamentos na estrutura, obtemos: 34

35 Aplicação de W = U em Treliças (4) Pela comparação com os resultados do FTOOL: Note-se que o software dá como resposta um deslocamento de 35 mm na direção X (Dx) Entretanto além do deslocamento em X o ponto B desloca-se 8,888 mm para baixo em Y (Dy) Conseguimos calcular os 35 mm de deslocamento porque este deslocamento é colinear à força de 100kN considerada. 35

36 Limitações da Aplicação de W = U: Do que vimos até então, o PCEM apresenta as seguintes limitações quanto ao cálculo de deslocamentos: a) Somente é possível o cálculo de deslocamentos colineares (ou correlatos) à forças aplicadas na estrutura; b) Somente é possível calcular os deslocamentos correlatos de pontos onde existam cargas aplicadas; 36

37 Questionamentos : 1. Como calcular o deslocamento vertical (Dy) da treliça que acabamos de estudar dado que a carga aplicada no ponto era somente na vertical? 2. Como calcular o deslocamento de um ponto de uma estrutura em que não há uma carga aplicada, como por exemplo no meio do vão ao lado? 37

38 Resposta aos Questionamentos: Para ambas as situações anteriormente expostas, a resposta é uma só: Imaginamos cargas virtuais unitárias na direção dos deslocamentos que queremos calcular e acoplamos os efeitos destas no segundo termo da expressão da igualdade W = U em conjunto com os efeitos das cargas reais. 38

39 FIM 39