Sergio Persival Baroncini Proença

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1 ula n.4 : ESTUDO D FLEXÃO São Carlos, outubro de 001 Sergio Persival Baroncini Proença

2 3-) ESTUDO D FLEXÃO 3.1 -) Introdução No caso de barras de eixo reto e com um plano longitudinal de simetria, quando o carregamento externo ( incluindo-se forças distribuídas, concentradas ou mesmo momentos aplicados em pontos determinados) está contido naquele plano e possui componente transversal ao eixo, observa-se um comportamento particular dito de flexão. Genericamente o termo flexão indica uma mudança de curvatura do eixo. No caso das barras em consideração, como inicialmente a curvatura é nula, ela passa a ser diferente de ero, uma ve aplicado o carregamento. Eventualmente, um outro comportamento que a barra pode apresentar é a torção. Esta resposta tende a aparecer sempre que o plano de carregamento não coincida com o plano longitudinal de simetria; ou então, de modo mais geral, válido inclusive para as barras cujas seções transversais não apresentam qualquer eixo de simetria, quando o plano de carregamento não contenha pontos geométricos, que podem ser identificados em cada uma das seções, denominados centros de torção (*). Para diferenciar melhor os dois comportamentos, tome-se por base uma situação onde o carregamento é transversal ao eixo indeslocado. Geometricamente, enquanto que na flexão as seções transversais giram em torno de um eixo contido no plano da seção e que passa pelo centro de gravidade, na torção elas giram em torno de um eixo perpendicular ao plano e que passa pelo centro de torção (as posições do centro de gravidade e do (*) a determinação da posição do centro de torção será objeto de capítulo específico.

3 centro de torção coincidem nas seções com dois ou mais eixos de simetria). figura 3.1 ilustra os comportamentos em questão. y y Figura 3.1 Comportamentos de flexão e de torção Vale adiantar também que, em geral, por efeito da torção a seção transversal deixa de ser plana, num fenômeno denominado de empenamento (v.fig.3.1). torção é ainda dita livre quando os vínculos não impõem qualquer impedimento ao empenamento. Quando coexistem flexão e torção tem-se, na barra, um estado dito de torção composta. dmitindo-se válidas as hipóteses de proporcionalidade entre carga e deslocamento e de que os vínculos permitem a livre torção, os efeitos de flexão e de torção apresentam-se desacoplados e podem ser estudados independentemente; em outras palavras, vale a superposição de efeitos (v.fig.3.1). No estudo que se desenvolve neste capítulo, aborda-se exclusivamente o efeito de flexão provocado pelo carregamento aplicado, sendo que a torção será tratada em capítulo próprio.

4 3. -) flexão composta e os casos mais simples Inicialmente considere-se, de um outro ponto de vista, não o carregamento aplicado mas os esforços momento fletor, cortante e normal, por ele provocado nas seções transversais ao longo da barra. Sob esse ponto de vista, di-se que a flexão é uma resposta para a qual contribuem cada um daqueles esforços, sendo, por este motivo, denominada flexão composta. flexão composta constitui um caso geral. Entretanto, em algumas situações pode haver flexão sem que o conjunto de esforços mencionados esteja completo, isto é : mesmo na ausência de força normal ou das forças normal e cortante. Por exemplo, considere-se as vigas (*). Nos casos em que por efeito do carregamento e da vinculação apresentada não haja força normal nas seções transversais, as vigas podem exibir modos mais básicos de flexão, assim denominados : flexão simples e flexão pura. Tais modos decorrem da existência ou não, respectivamente, de força cortante acompanhando o momento fletor na seção. No que segue, desenvolve-se o estudo da flexão em seus diferentes modos: pura, simples e composta, deduindo-se expressões para o cálculo de deslocamentos, deformações e tensões nos pontos da barra. Destaca-se, particularmente, dentro do item da flexão pura, a hipótese cinemática geral, válida para todos os modos, que tem como finalidade dar uma interpretação simples para o comportamento das barras em regime de flexão. (*) barras dispostas horiontalmente, com um ou mais apoios e com carregamento transversal ao seu eixo

5 Nota-se que a seqüência de apresentação é a mesma adotada no estudo das barras sob esforço normal isto é : estabelecida a hipótese cinemática, obtém-se, para cada um dos casos, as expressões para a determinação dos valores das componentes de deformação e de tensão. Como se mostrará, as expressões para as componentes de deformação derivam da compatibilidade com o campo de deslocamentos e as de tensão por coerência com o modelo constitutivo adotado, que será, inicialmente, o elásticolinear ) Flexão pura normal Considere-se, inicialmente, uma viga, como a ilustrada na figura 3.a, prismática, simplesmente apoiada e cujas seções transversais apresentam um eixo de simetria. O carregamento externo é constituído por momentos contidos no plano longitudinal de simetria e aplicados nas extremidades apoiadas da viga. Numa análise preliminar sobre o comportamento da viga, é raoável imaginar que a deformação resultante leva ao aparecimento de tensões normais de tração e de compressão em pontos de uma seção transversal genérica. De fato, imaginando-se que a barra seja composta pela superposição de um número grande de lâminas, a mudança de curvatura imposta a todo o conjunto pelo carregamento externo fa com que algumas das lâminas sofram alongamento enquanto outras encurtamento; haverá, inclusive, uma delas que não apresentará qualquer alteração de seu comprimento. Observandose, então, as variações de comprimento de cada lâmina isoladamente, compreende-se que a essas variações devam estar associadas tensões normais longitudinais.

6 Nesse modelo simples de comportamento é usual desconsiderar a pressão exercida de uma lâmina sobre a outra, despreando-se, por conseqüência, tensões normais com direção transversal ao eixo. s tensões normais de tração e de compressão na seção transversal devem ter resultantes iguais em módulo, uma ve que não há força normal à seção, provocada pelo carregamento aplicado, a ser equilibrada internamente. Entretanto essas mesmas resultantes devem gerar um momento que equilibra o momento aplicado pelo carregamento externo. Numa situação como esta, em que nas seções transversais existe somente um momento aplicado e que está contido no plano de simetria da seção, conforme ilustrado na figura 3.b, caracteria-se a chamada flexão pura normal. a) b) Figura 3.- Flexão pura normal Nota-se que na figura 3.b) está representado o vetor do momento fletor, marcado perpendicularmente ao plano de atuação do momento e com sentido definido pela regra da mão direita. Nessa análise preliminar, nada se pode afirmar quanto à distribuição das tensões na seção. Como se mostrará, ela é conseqüência do regime de deformações e das propriedades do material. Como as deformações, por sua ve, derivam do campo de deslocamentos, todo o equacionamento matemático decorre da hipótese adotada sobre o mesmo, a chamada hipótese cinemática.

7 3.3.1-) Hipótese cinemática de Bernoulli-Navier e relação deformação-deslocamento Uma hipótese raoável para a flexão pura, justificada por observação experimental, é que o campo de deslocamentos seja tal que as seções transversais inicialmente planas permaneçam planas e ortogonais ao eixo deslocado. Decorrem dessa hipótese as seguintes relações para as componentes vertical e horiontal do vetor deslocamento d de um ponto P qualquer da viga (v.fig.3.3a): v( x ) = v0( x ) y( 1 cosθ ) u( x ) = y senθ a,b) (3.1 a) b) Figura 3.3 Representação da hipótese cinemática num corte longitudinal Uma ve que a seção permanece plana e ortogonal ao eixo deslocado, o ângulo θ confunde-se com a primeira derivada da função v(x). Por outro lado, nas situações em que o giro θ da

8 seção é muito pequeno, valem as aproximações : cosθ 1; sen θ tgθ θ. ssim, resultam as seguintes formas simplificadas para as componentes horiontal e vertical do deslocamento : a-) o deslocamento vertical de um ponto qualquer da viga é função somente da sua coordenada longitudinal x e igual ao deslocamento do ponto de mesma coordenada situado sobre o eixo : v( x ) = v0( x ) (3.1c) b-) o deslocamento horiontal de um ponto da viga é proporcional ao produto de sua distância ao eixo pela derivada da função deslocamento(v.fig.3.3b): ) d v( x ) u ( x ) = y = y v ( x ) ( 3.1b dx onde o sinal negativo indicada que, para um produto y v ( x ) positivo, o deslocamento é contrário ao sentido apontado pelo eixo x. Observa-se que todo o comportamento da viga está sendo descrito no seu plano longitudinal de simetria, onde variam as coordenadas x e y ; de fato, o campo de deslocamentos independe da coordenada. Portanto, usando-se de uma notação vetorial, e simboliando-se por d o vetor deslocamento de um ponto qualquer, vale a seguinte relação : [ y v ( x )] e1 + v( x ) d ( x,y ) = u( x,y )e ( 3. ) 1 + v( x )e +0 e3 = e

9 onde e 1, e e e 3 são versores associados aos eixos de referência. Tendo sido caracteriado o campo de deslocamentos, as deformações seguem por compatibilidade. Para o cálculo das componentes de deformação, valem as relações gerais (1.11), (1.1) e (1.13), deduidas no capítulo 1 e que as definem no plano. plicando-se aquelas relações resultam : 3.5) u(x) ε x = = y v ( x ) x ( 3.3) v(x) ε y = = 0 y ( 3.4) u(x) v(x) γ xy = + = v + v = 0 y x ( Nota-se, de imediato, que somente uma das componentes não é nula e isto é uma conseqüência direta da hipótese cinemática adotada ) Relações tensão-deformação s expressões das componentes de tensão no mesmo plano (x,y) resultam da consideração de uma resposta elástica linear para o material. Valem, naturalmente, as relações gerais que estendem a aplicação da lei de Hooke para o caso plano. Neste modelo simplificado, porque somente uma das componentes de deformação é não nula e também porque desprea-

10 se a tensão σ y (o que, de forma equivalente, implica em considerar nulo o efeito de Poisson) (*), resultam : a,b,c) σ x = E y v ( x ) ; σ 0 ; τ 0 (3.6 y = xy = Fixando-se numa certa seção, observa-se que σ x se distribui linearmente ao longo da altura. Por outro lado, tem valor constante para todos os pontos que ocupam uma mesma cota y, ou seja : invariável na largura por ser independente de. Nota-se, também, que a (3.6a) indica que a tensão normal é nula nos pontos em que y = 0, os quais se situam sobre o eixo ; além disso, esse eixo divide a seção em onas tracionada e comprimida (os sinais das tensões mudam), recebendo, por isso, o nome de Linha Neutra ) Relações de equilíbrio O equilíbrio estático deve ser atendido de uma forma geral. ssim, as resultantes das tensões normais e de cisalhamento na seção devem ser iguais, respectivamente, aos esforços normal e cortante oriundos do carregamento externo; além disso, as tensões normais devem também gerar um momento resultante na seção igual ao momento fletor calculado em função do carregamento externo. Portanto, valem as seguintes condições: V = τ xy d (3.7 a) (*) a seção gira permanecendo rígida no seu plano.

11 N = M σ = x σ d x y d (3.7 b) (3.7 c) No caso estudado, sabe-se que o carregamento externo não provoca na seção transversal esforço normal e esforço cortante; portanto, segue que V = 0 e N = 0. Por um lado, a condição de esforço cortante nulo é trivialmente atendida tendo-se em vista a (3.6c); por outro lado, substituindo-se a (3.6 a) na (3.7b) segue que: N ( x )= E v ( x ) y d (3.8) Portanto, para que o esforço normal calculado pelas tensões σ x seja nulo então : yd = 0, o que é possível se o eixo, com relação ao qual se medem as distâncias y, passar pelo centro de gravidade da seção. Conclui-se, por conseqüência, que neste caso a linha neutra deve conter o centro de gravidade da seção ) O problema de análise estrutural Conhecidos o carregamento e as condições de contorno, o problema de análise estrutural consiste em determinar os campos de deslocamento, deformação e de tensão em qualquer ponto da viga. resposta para este problema pode ser encontrada combinando-se as (3.6a) e (3.7c), o que, em última análise, é

12 a combinação das relações de equilíbrio, compatibilidade e constitutiva. Dessa forma resulta : onde M ( x )= E v ( x ) y d = E I v ( x ) (3.9) I = y d é o momento de inércia da seção com relação ao eixo. (3.9) constitui-se em expressão geral para o cálculo da componente vertical do deslocamento dos pontos da viga em função da distribuição de momentos devida ao carregamento aplicado, devendo-se, naturalmente, acrescentar as condições de contorno. forma mais usual para aquela expressão é a seguinte : M ( x ) v ( x )= E I (3.10) Essa última forma é também denominada relação momentocurvatura, uma ve que, sendo os giros muito pequenos, v ( x ) pode ser interpretada como a curvatura da elástica no ponto. De fato, da geometria diferencial, a curvatura ( 1 r) num ponto de uma curva qualquer definida pela função v(x) é dada por : 1 r = v ( x ) 3 [ 1+ v ( x ) ] 1 Então se v ( x ) << 1 resulta que v ( x ), onde r é o raio de r curvatura no ponto.

13 Para exemplificar a integração da (3.10), no caso em análise o momento tem distribuição constante ao longo do comprimento, de modo que se pode deduir facilmente a seguinte relação para v(x): M x v(x) = 1 + x (3.11) E I Impondo-se as condições de contorno que consistem em deslocamento vertical nulo nas extremidades da viga, conforme ilustrado na figura (3.a), as constantes 1 e ficam determinadas por : v(0) = 0 1 = 0 ; v(l) = 0 = M L E I por: ssim, os deslocamentos verticais podem ser calculados M v(x)= L E I x L x L (3.1) Um aspecto importante a ressaltar é que combinando-se as (3.6a) e (3.9) de tal modo a eliminar a curvatura, obtém-se uma expressão que permite determinar a tensão normal em qualquer ponto da seção transversal diretamente em função de sua geometria e do momento imposto pelo carregamento externo : M σ x= y (3.13) I Essa relação mostra que a distribuição de x σ é linear na altura da seção (v.fig.3.b).