Capítulo 1 MÉTODOS DE ENERGIA

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1 Capítulo 1 MÉTODOS DE ENERGIA 1.1. INTRODUÇÃO Em geral, o estudo da mecânica dos sólidos (corpos rígidos e deformáveis) baseia-se no Método Newtoniano, apoiando-se nas análises vetoriais, sob diversas condições de carregamentos. Em outras palavras, empregam-se os conceitos fundamentais de Tensão e Deformação. De forma alternativa, tal estudo, também pode ser realizado através do Método Lagrangeano, a partir de análises escalares. Estes conceitos, permitem uma solução matemática mais agradável para problemas relativos à deformações e, além disso, extremamente úteis no estudo de peças submetidas a cargas de choque ou impacto. Vale registrar que este trabalho dará ênfase no cálculo de deslocamentos (deflexões) a partir dos Métodos de Energia. Inicialmente, este capítulo abordará os conceitos primários de trabalho externo (força e momento) e de energia interna de deformação, priorizando a fase elasto-linear dos materiais, quando submetidos às tensões normais (esforço normal e momento fletor) e de cisalhamento (esforço cortante e momento torçor). Também serão apresentados outros conceitos relativos à reologia do material, tais como, Tenacidade e Resiliência. Em seguida, será apresentado o Princípio da Conservação da Energia, igualando o trabalho oriundo de ações externas com a energia interna provocada pelos esforços internos. Vale ressaltar que tal princípio é de grande utilidade no cálculo de deslocamento, apenas em casos que se tem a ação de apenas uma força aplicada na estrutura. Por fim, apresentam-se o Teorema de Castigliano e o Princípio do Trabalhos Virtuais para cálculo de deslocamentos lineares e angulares, considerando um número qualquer de cargas externas, bem como de quaisquer naturezas TRABALHO EXTERNO E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO Neste item, será apresentada a definição de trabalho (externo) oriundo de uma força e de um momento (binário; conjugado), bem como sua relação com a energia de deformação (trabalho interno) de um corpo.

2 Trabalho de uma Força Considerando uma barra com comprimento L, submetida a uma força axial P, provoca um alongamento x. P* x* Figura 1 - Barra submetido a ação de uma força "P" Figura 2 - Curva força-deslocamento Por definição, tem-se que o trabalho elementar dt realizado pela ação de uma força P é dado da seguinte maneira: (1) Vale ressaltar que o trabalho externo total (trabalho de deformação) T realizado pela força P é numericamente igual a área sob a curva forçadeslocamento, apresentada na Figura 2. Esta grandeza, no Sistema Internacional de Unidades (S.I.), é representada por N (Newton) x m (metro) ou J (Joule). Particularizando a análise somente à fase elasto-linear do material (ver Figura 2) e, considerando que o elemento estrutural esteja submetido gradualmente a uma ação externa P, cujo valor varia de zero até um máximo, igual a P *, afirmar-se que, a força P é proporcional ao alongamento x. Desta forma, escreve-se: (2) Portanto, substituindo a eq. (2) na eq. (1), adequando o limite de integração e, integrando, tem-se: (3)

3 Com base na forma gradual de aplicação da força P e, de acordo com a eq. (3), entende-se que o trabalho (T) realizado é igual ao valor médio da força P* multiplicado pelo alongamento x*. Isto pode ser representado pela hachura sólida (escura), no gráfico da Figura 3. P P P* x* x Figura 3 - Fase elasto-linear x* Considerando um acréscimo de força axial de tração (P ), provoca no elemento, um acréscimo de alongamento, igual a (x`) e, desta forma, tem-se um trabalho (T ) realizado igual a (ver hachura sólida (clara) do gráfico da Figura 3): (4) Portanto, vale observar que para esta nova situação, ou seja, com um acréscimo de alongamento (x ) e uma força (P*) já aplicada, o trabalho (T) realizado, torna-se: (5) Em resumo, o trabalho total realizado pela ação conjunta das forças (P*) e (P ) é igual a soma das áreas sob o gráfico da Figura 3, ou seja, a soma dos valores apresentados pelas equações (3), (4) e (5), dado por: ( ) (6) A partir da equação (6), estabelece o Teorema de Clapeyron: O trabalho realizado pelas forças externas, variáveis desde zero, em corpo de material elástico linear e que sofre pequenos deslocamentos, é igual a

4 metade do trabalho que resultaria se as forças externas agissem de modo instantâneo Trabalho de um Momento (conjugado) De forma análoga, o trabalho devido a ação de um momento externo é dado da seguinte maneira: (7) Considerando que o elemento estrutural, na fase elásto-linear, esteja submetido gradualmente a uma ação externa M, cujo valor varia de zero até um máximo, o trabalho realizado será: (8) Entretanto, se o momento já estiver aplicado e ocorrer um acréscimo de momento devido a outros carregamentos, gerando uma rotação adicional θ*, o trabalho realizado será igual a, (9) Em resumo, quando as cargas externas são aplicadas gradualmente (zero a um valor máximo) em um corpo qualquer e, desde que não haja perda de calor sob forma de energia (fase elástica), diz-se que ocorre conservação de energia no sistema. Em outras palavras, pode afirmar que o trabalho externo realizado pelas ações externas converte-se em trabalho interno, agora denominado por Energia de Deformação. Tal energia, sempre positiva (força/momento e deslocamento com o mesmo sentido), é armazenada no corpo pela atuação das tensões normais e de cisalhamento Tensão Normal De acordo com a Figura 4 e, considerando o material na fase elastolinear, é possível representar a Energia de Deformação em função das tensões normais.

5 Figura 4 - Sólido infinitesimal submetido a tensão uniaxial Considerando um tensão axial atuante na direção z (faces superior e inferior), conforme Figura 4, representa-se a força e, consequentemente, o trabalho externo, da seguinte maneira: (10) Sabendo-se que df z é aplicada gradualmente e crescente, tem-se, (11) Substituindo a eq. (10) na eq. (11) e integrando, obtem-se: (12a) Rearranjando, (12b) Portanto, considerando um sistema conservativo de energia, sob a ação de uma tensão uniaxial, pode-se escrever a Energia de Deformação (interna), da seguinte maneira: (13) Desta expressão, também define-se Densidade de Energia de Deformação u, como sendo: (14) Comparando as eqs. (13) e (14), observa-se que, em relação à tensão normal, tem-se: (15)

6 A eq. (15), considerando σ z como a tensão normal última (ruptura), define-se o Módulo de Tenacidade, representando a Energia de Deformação (interna) por unidade de volume, como sendo o valor necessário para provocar a ruptura no material. O gráfico abaixo (Figura 5) representa tal valor, ou seja, é numericamente igual a área sob a curva, considerando o par coordenado tensão e deformação de ruptura. Figura 5 - Módulo de Tenacidade A eq. (15), considerando σ z como a tensão normal de proporcionalidade, define-se o Módulo de Resiliência, representando a Energia de Deformação (interna) por unidade de volume, como sendo aquela que o material pode absorver sem provocar o escoamento no mesmo. O gráfico abaixo (Figura 6) representa tal valor, ou seja, é numericamente igual a área sob a curva, considerando o par coordenado tensão e deformação no limite superior da fase elasto-linear. Figura 6 - Módulo de Resiliência Força Normal Um corpo de seção transversal variável A x, submetido a um esforço externo axial, gera, internamente uma tensão normal σ x. Tal tensão pode ser

7 expressa através da relação entre o Esforço Normal N e a citada área. Desta forma, a eq. 13 pode ser escrita como: (16) Conforme a Figura 5 e considerando seção transversal constante ao longo do comprimento L, tem-se: (17) Figura 7 - Corpo submetido a força axial Momento Fletor Para um corpo de seção transversal prismática A, submetido a um momento fletor M, gera internamente, uma tensão normal σ x. Portanto, a energia de deformação elástica, a partir da eq. 13, pode ser escrita como: ( ) (18a) Readequando a equação anterior, ( ) ( ) ( ) (18b) Tensão de Cisalhamento Figura 8 - Corpo submetido a momento fletor De acordo com a Figura 9 e, considerando o material na fase elastolinear, é possível representar a Energia de Deformação em função das tensões de cisalhamento.

8 Figura 9 - Sólido infinitesimal submetido a tensão de cisalhamento Considerando um estado puro de cisalhamento atuante nas faces do elemento, representa-se a força correspondente e, consequentemente, o trabalho externo, da seguinte maneira: (19) Sabendo-se que df z é aplicada gradualmente e crescente, tem-se, (20) Substituindo a eq. (19) na eq. (20) e integrando, obtêm-se: (21a) Rearranjando, (21b) Portanto, considerando um sistema conservativo de energia, sob a ação de uma tensão de cisalhamento, pode-se escrever a Energia de Deformação (interna), da seguinte maneira: (22) Esforço Cortante Um corpo de seção transversal A, submetido a uma ação externa perpendicular ao eixo x, gera internamente uma tensão de cisalhamento. Figura 10 - Corpo submetido a tensão de cisalhamento oriundo da flexão

9 Considerando um corpo cuja relação entre o comprimento da peça (trecho de momento fletor de mesmo sinal) e altura não for superior a unidade, define-se como sendo peça curta. Neste caso, a tensão de cisalhamento (média) devida ao efeito da flexão, é dada pela relação entre o esforço cortante V e a área da seção transversal, isto é: (23a) Desta forma, considerando seção transversal prismática, a energia de deformação será dada por: ( ) (23b) De outra forma, para um corpo cuja relação entre o comprimento da peça e altura seja superior a unidade, tem-se o efeito preponderante da flexão e, por isso, tal tensão pode ser expressa através da seguinte expressão:. Assim sendo, a eq. 22 pode ser escrita como: Rearranjando a equação acima, ( ) (24a) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) (24b) Para facilitar a resolução da integral interna da eq. (24b), define-a como sendo fator de forma - f c, para cisalhamento e, este parâmetro tem o objetivo de adequar a variação da tensão de cisalhamento ao longo da seção transversal. Em outras palavras, é um fator adimensional que adequa o valor máximo da tensão de cisalhamento (na flexão) em relação a tensão média de cisalhamento, considerando a forma da seção transversal. Seja: (24c) Resolvendo a equação acima para algumas seções transversais usuais, têm-se os seguintes valores: *Seção retangular: *Seção circular cheia: *Seção circular vazada com parede delgada:

10 Conforme a Figura 10 e considerando seção transversal constante ao longo do comprimento L, tem-se: ( ) (25) Momento Torçor Para um corpo de seção transversal variável A x, ligeiramente cônica, submetido a um momento torçor T, gera internamente, uma tensão de cisalhamento. Figura 11 - Barra não-prismática sob ação de momento torçor Sabe-se que esta tensão varia linearmente a partir do centro da seção e, particularmente, a uma distância, a tensão de cisalhamento é dada por Portanto, a energia de deformação elástica, a partir da eq. 22, será: Readequando a equação anterior, ( ) (25a) ( ) ( ) (25b) Conforme a Figura 12 e considerando seção transversal constante ao longo do comprimento L, tem-se: (26) Figura 12 - Barra prismática sob ação de momento torçor

11 Para o caso geral de Estado Uniaxial de Tensões, têm-se: ( ) ( ) (27) Tensão Multiaxial Para o Estado Multiaxial de Tensões (Figura 13) e considerando o corpo na fase elasto-linear, determina-se a Energia de Deformação Interna utilizando a superposição de efeitos. Isto é feito a partir das equações (12a) e (21a). Veja: ( ) (28) Lei de Hooke Generalizada, [ ( )] [ ( )]. (29a) { [ ( )] (29b) { Substituindo as eqs. (29a; 29b) na eq. (28), obtêm-se a equação da Energia de Deformação Elástica (interna) para o Estado Multiaxial de Tensões: * ( ) ( ) ( )+ (30) O caso particular de Estado Multiaxial de Tensões Principais (Fig. 13b): * ( ) ( )+ (31) Figura 13 - Estado multiaxial de tensões

12 1.3. TEOREMAS GERAIS DE DEFORMAÇÕES Para retomar os conceitos básicos, afirma-se que o Trabalho Externo T ext realizado é igual variação da Energia Interna U int de um corpo. Considerando que um corpo elástico, inicialmente descarregado, seja submetido ao efeito de forças externas e, desconsiderando troca de calor no sistema, pode afirmar que o Trabalho Externo é igual a variação da Energia Interna (cinética e de deformação). Além disso, se o corpo for gradualmente solicitado (cargas estáticas) e não sofrer deslocamentos de corpo rígido, a variação da Energia Cinética pode ser desconsiderada. Sendo assim, o Trabalho Total Externo realizado pelas forças externas é igual a Energia de deformação Interna armazenada no corpo. A seguir serão apresentados alguns teoremas importantes, que de alguma maneira se relacionam com o cálculo de deformações Teorema de Maxwell ou da Reciprocidade de Deslocamentos O Teorema de Maxwell foi postulado por James Clerk Maxwell em Para a demonstração, considera-se uma viga submetida a duas forças externas, conforme mostrado na Figura 14. Figura 14 - Esquema estático de viga - ação de duas forças externas Inicialmente, considera-se somente a atuação de uma força externa, sendo aplicada no ponto C 1, cujo valor varia gradualmente de zero a P1. Figura 15 - Esquema estático de viga - ação de "P1" A aplicação desta força gera deformação na viga e, consequentemente, provoca os deslocamentos x 11 e x 21. Tais deslocamentos são proporcionais entre si, podendo ser escritos da seguinte maneira:

13 { (32) Assim sendo, conforme o Teorema de Clapeyron, tem-se: (33) Substituindo a eq. (32) na eq (33), (34) Mantendo a aplicação da carga P 1 e, considerando o sistema da Figura 15 em equilíbrio na posição deformada (ver Figura 17 linha tracejada), aplicase a força externa P 2, gradualmente, no ponto C 2 (ver Figura 16). Figura 16 - Esquema estático de viga - ação de "P2" A aplicação da força P 2 deforma novamente a viga (ver Figura 17 linha contínua), provocando os deslocamentos x 12 e x 22. Figura 17 - Deformada da viga - sob ação das forças "P1"e "P2" Tais deslocamentos são proporcionais entre si, podendo ser escritos da seguinte maneira: { (35) Conforme o Teorema de Clapeyron, tem-se: (36) Substituindo a eq. (35b) na eq (36), (37)

14 No ponto C 1, devido o deslocamento x 12 causado pela aplicação da força P 2, gera o seguinte valor de energia de deformação (Teorema de Clapeyron): (38) Substituindo a eq. (35a) na eq (38), (39) Portanto, a partir da superposição de efeitos, tem-se a energia de deformação total no elemento, a partir da soma das expressões apresentadas nas equações (34), (37) e (39): (40) Fazendo o inverso, ou seja, aplicando primeiramente a força P 2 e, em seguida, a Força P 1, obtém-se: (41) Sabendo-se que a energia de deformação apresentada nas equações (40) e (41) são iguais, chega-se a seguinte conclusão: (42) Desta conclusão, definiu-se o Teorema de Maxwell: O deslocamento do ponto k, provocado por uma força externa aplicada no ponto i, é igual ao deslocamento do ponto i, provocado por uma força externa aplicada no ponto k, desde que as direções das forças e deslocamentos coincidam nos respectivos pontos. Do referido teorema, tem-se: (43) A figura abaixo ilustra a definição. Figura 18 - Ilustração da aplicação do Teorema de Maxwell

15 Teorema de Castigliano O Teorema de Castigliano (2º Teorema), a seguir demonstrado, foi postulado pelo engenheiro civil (especializado em ferrovias) Carlo Alberto Castigliano, em Para a demonstração, considera-se uma viga submetida a duas forças externas, conforme mostrado anteriormente na Figura 14. A partir da equação (40) ou (41), realiza-se a derivada parcial da energia de deformação em relação às cargas P i, ou seja, para o caso apresentado, em relação as cargas P 1 e P 2. Veja: { (44a) Substituindo as equações (32) e (35) na (44), { (44b) Desta forma, tem-se o 2º Teorema de Castegliano: (44c) A expressão acima, apresentada em termos dos esforços solicitantes: ( ) ( ) ( ) ( ) (45) Para o cálculo de deslocamento, empregando o Teorema de Castegliano, adotam-se dois procedimentos: a) No cálculo do deslocamento de um ponto do corpo, onde exista uma carga aplicada, cujo valor seja conhecido, considera-se, inicialmente, uma carga literal P j. Após o cálculo do deslocamento, substitui-se a carga literal pelo seu valor numérico; b) No cálculo do deslocamento de um ponto do corpo, onde não exista uma carga aplicada, considera-se, inicialmente, uma carga literal P j aplicada no ponto j e na direção do deslocamento a ser determinado. Após o cálculo do deslocamento, substitui-se a carga literal pelo valor zero.