RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AMB 28 AULA 8

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1 Resistências dos Materiais dos Materiais - Aula 5 - Aula 8 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AMB 28 AULA 8 Membros Carregados axialmente Professor Alberto Dresch Webler

2 Veremos Introdução; Variações nos comprimentos de membros carregados axialmente; Variações no comprimentos de barras não uniformes. 2

3 lajesmargutti.com.br cicloaraxa.com.br 1. Introdução Componentes submetidos apenas a tensão e compressão são chamados de membros carregados axialmente. Barras sólidas com eixos longitudinais retos são o tipo mais comum, embora cabos e molas espirais também suportem cargas axiais Exemplos: Barras de treliça; Aros de bicicleta; Pilares 3

4 1. Introdução Relembrando que já vimos o comportamento de tensão e deformação de tais membros. Obtivemos as equações para tenções agindo em seções transversais. σ= P A E para as deformações em direções longitudinais. ε = δ l 4

5 2.1 Variações de membros carregados axialmente - Mola Quando uma carga é aplicada ao longo de uma mola, como mostrado na figura, a mola é alongada ou encurtada dependendo do sentido de aplicação da carga. 5

6 2.1 Variações de membros carregados axialmente - Mola Se aplicarmos cargas podemos ter compressão ou tração. Porém, não se deve dizer que as espirais individuais estão submetidos a tensões de compressão ou tração. Em vez disso, as espirais agem basicamente em cisalhamento direto e torção. Entretanto, o alongamento ou encurtamento total de uma mola é análoga ao comportamento de uma barra em tração ou compressão, e por isso a mesma terminologia é utilizada. 6

7 2.1 Variações de membros carregados axialmente - Mola Molas O Alongamento de uma mola aparece na Figura abaixo. Cuja a parte superior mostra a mola em seu cumprimento natural L (também chamado de comprimento são tensionado, comprimento relaxado ou comprimento livre) e parte inferior mostra os efeitos de se aplicar uma carga de tração. 7

8 2.1 Variações de membros carregados axialmente - Mola Sob a ação da força P, o comprimento da mola aumenta em um valor δ e seu comprimento final é L+ δ. Se o material da mola é elástico linear, a carga e o alongamento serão proporcionais: P=K.δ δ=f.p Sendo K e f constantes de proporcionalidade. 8

9 2.1 Variações de membros carregados axialmente - Mola A constante K é chamada de rigidez da mola e é definida como a força exigida para produzir uma unidade de alongamento, isto é: K= P δ Similarmente, a constante f é conhecida como flexibilidade e é definida como alongamento produzido por uma carga de valor unitário, isto é: f= δ P 9

10 2.1 Variações de membros carregados axialmente Mola Embora tenhamos usado uma mola em tração nessa discussão, também pode ser usado para compressão. A rigidez e a flexibilidade estão relacionadas. K= 1 f 10

11 2.1 Variações de membros carregados axialmente Mola Outros termos para a rigidez e a flexibilidade de uma mola são constante da mola e compliância, respectivamente. 11

12 2.1 Variações de membros carregados axialmente Barras prismáticas Barras prismáticas Nas barras prismática quando carregadas axialmente sofrem alongamento sob tração e encurtamento sob compressão. Em geral em que formas de barras prismáticas trabalhamos? Mas existe uma infinidade de formas! 12

13 2.1 Variações de membros carregados axialmente Barras prismáticas O alongamento δ de uma barra prismática submetida a uma carga de tração é mostrada abaixo. Se a carga age através do centroide da seção transversal da extremidade, a tensão normal é uniforme nas seções transversais longe das extremidades é dada pela formula. σ= P A 13

14 2.1 Variações de membros carregados axialmente Barras prismáticas Além disso se a barra é feita de uma material homogêneo, a deformação axial é: ε= δ L Vamos também assumir que o material é elástico linear, o que significa que ele segue a lei de Hooke. A tensão e a deformação longitudinal estão relacionadas pela equação σ=e.ε 14

15 2.1 Variações de membros carregados axialmente Barras prismáticas O que fica se combinarmos todas essas relações básicas? δ= PL EA Essa equação mostra que o alongamento é diretamente proporcional e carga (P) e ao comprimento (L) e inversamente proporcional ao módulo de elasticidade (E) e a área da seção transversal (A). 15

16 2.1 Variações de membros carregados axialmente Barras prismáticas O produto EA é conhecido pela rigidez axial. Essa equação se aplica tanto a tração quanto a compressão. Lembrando que quando está em compressão em geral consideramos negativo pois houve um encurtamento e positivo em tração pois ocorre um alongamento. 16

17 2.1 Variações de membros carregados axialmente Barras prismáticas Em geral para metais como aço e alumínio o alongamento é grande? Exemplo, uma barra de alumínio de 2m de comprimento e submetido a uma tensão de compressão moderada de 48MPa. Se o módulo de elasticidade é de 72GPa. Qual o encurtamento da barra? δ= PL EA É 0,0013m ou 1,3mm 17

18 2.1 Variações de membros carregados axialmente Barras prismáticas Consequentemente, qual a razão de variação? =0,0013/2=0,00065 logo=1/1500 = Assim é 0,999 o comprimento final em relação inicial. Em muitos cálculos podemos dizer que não variou! 18

19 2.1 Variações de membros carregados axialmente Barras prismáticas A rigidez e a flexibilidade de uma barra prismática são definidas das mesmo modo que para uma mola. Rigidez é a força necessária para produzir um alongamento unitário P/δ E a flexibilidade é o alongamento devido a uma carga unitária δ/ P 19

20 2.1 Variações de membros carregados axialmente Barras prismáticas Assim, vemos que a rigidez e a flexibilidade de uma barra prismática, são, respectivamente. k= EA L f= L EA Ambas tem um papel especial na análises de grandes estruturas por métodos computacionais. 20

21 estruturasdemetal.blogspot.com 2.1 Variações de membros carregados axialmente - CABOS Cabos são usados para transmitir grandes forças de tração, por exemplo, levantar ou puxar objetos pesados como: Elevador Torres 21

22 2.1 Variações de membros carregados axialmente - CABOS Diferentemente de molas e barras prismáticas, os cabos não resistem à compressão. Além disso, eles têm pequena resistência a flexão, por isso podem ser curvos ou retilíneos. Todavia, um cabo é considerado um membro carregado axialmente porque é submetido apenas as forças de tração. 22

23 goingtoup.wordpress.com 2.1 Variações de membros carregados axialmente - CABOS Os cabos são construídos de n maneiras, mas o tipo mais comum é: É formado por seis cordões enrolados de formas helicoidal em torno de um cordão central 23

24 2.1 Variações de membros carregados axialmente - CABOS A área de seção transversal de um cabo é igual a soma das áreas de seção transversal de cada um dos fios que formam o cabo e é chamada área efetiva ou área metálica. Essa área e menor que a área de um circulo com o mesmo diâmetro do cabo porque existem espaços entre cada um dos fios. Por exemplo um cabo de 25mm de diâmetro tem 300mm 2 e a área do circulo é 491mm 2 24

25 2.1 Variações de membros carregados axialmente - CABOS O módulo de elasticidade de um cabo de aço é igual, maior ou menor que do aço? Menor!! Visto que sob a mesma tração, o alongamento do cabo é maior que o alongamento de uma barra sólida de mesmo material e de mesma seção transversal metálica, porque os fios em um cabo esmagam-se da mesma forma que as fibras em uma corda. 25

26 2.1 Variações de membros carregados axialmente - CABOS Assim o módulo de elasticidade de uma cabo é menor que o módulo de elasticidade do material do qual ele é feito. O módulo de elasticidade do cabo, ou também chamado de módulo efetivo feito de aço está em torno de 140GPa, ao passo que do aço é 210GPa. 26

27 2.1 Variações de membros carregados axialmente - CABOS Na prática, as dimensões da seção transversal e outras propriedades dos cabos são fornecidas pelos fabricantes. Para o uso na resolução de problemas nesta disciplina (nunca para aplicações de engenharia), é listada na tabela a seguir. 27

28 2.1 Variações de membros carregados axialmente - CABOS Propriedades de cabos de aço. Diâmetro nominal Peso aproximado Área efetiva Carga máxima mm N/m mm 2 kn 12 6,1 76, , , , , , ,

29 2.1 Variações de membros carregados axialmente - CABOS O que significa carga máxima? Devemos sempre nos basear na tensão admissível! O fator de segurança variam entre 3 e 10. Os cabos de aço são construído em aços de alta resistências, podendo chegar a tensões altas de 1400MPa. 29

30 2.1 Variações de membros carregados axialmente - Exemplo Uma armação rígida ABC de perfil L consiste em uma braço horizontal AB (comprimento b=280mm) e um braço vertical BC (comprimento c=250mm) e está presa por um pino no ponto B, como mostrado na Figura a seguir. O pino está fixo na armação externa BCD, que fica em uma bancada de laboratório. A posição do ponteiro em C é controlada por um mola (rigidez k =750N/m) afixada a uma haste com rosca. A posição da haste com rosca é ajustada girando-se a porca serrilhada. 30

31 2.1 Variações de membros carregados axialmente - Exemplo O passo das roscas (isto é, distância de uma rosca para a próxima) é =1,6mm, o que significa que uma revolução completa da porca moverá a barra com a mesma intensidade. Inicialmente, quando não há peso no braço, a porca é girada até que o apontador na extremidade do braço BC esteja diretamente sobre a marca de referência na barra mais externa. 31

32 2.1 Variações de membros carregados axialmente - Exemplo Se um peso W=9N é colocado no braço A, quantas revoluções na porta são necessária para trazer o apontador de volta para a marca? (Obs. As deformações das partes de metal do dispositivo podem ser desconsideras, pois são desprezíveis se comparadas à variação no comprimento da mola). 32

33 2.1 Variações de membros carregados axialmente - Exemplo Braço Armação Porca serrilhada Mola Haste com rosca 33

34 2.1 Variações de membros carregados axialmente - solução Calculando o momento em relação ao ponto B, temos F= w.b c Logo, o alongamento será δ= F k = w.b ck 34

35 2.1 Variações de membros carregados axialmente - solução Alongamento é igual ao numero de revoluções X distancia de cada revolução. δ=n.d= w.b ck Resultados numéricos. n= w.b c.k.d = (9N)(280mm) revoluções. (250mm)( 0,75N )(1,6mm)=8,4 mm 35

36 2.1 Variações de membros carregados axialmente - Exemplo O dispositivo na Figura a seguir consiste em uma viga horizontal ABC sustentada por duas barras verticais BD e CE. A barra CE é fixada por pinos em ambas extremidades, mas a barra BD está fixada na fundação pela extremidade inferior. A distância de A até B é 450mm e de B até C é 225mm. As barras BD e CE têm comprimentos de 480mm e 600mm, respectivamente, e suas áreas de seção transversal são 1020mm 2 e 520mm 2, respectivamente. As barras são feitos de aço, tendo módulo de elasticidade E=205GPa. Assumindo que a viga ABC seja rígida, encontre a máxima carga admitida P max se o descolamento do ponto A está limitado a 1mm. 36

37 2.1 Variações de membros carregados axialmente - solução 37

38 2.1 Variações de membros carregados axialmente - solução 38

39 2.1 Variações de membros carregados axialmente - solução Resolvido em sala 39

40 2.3 Variações no comprimento de barras não uniformes Quando uma barra prismática de material elástico linear é carregado apenas nas extremidades, podemos obter a variação em seu comprimento por meio da equação δ=pl/ea, como está descrito anteriormente. Agora veremos aplicações em situações mais gerais. 40

41 2.3 Variações no comprimento de barras não uniformes Barras com carregamento Axial em Ponto intermediário Como eu verifico a deformação de uma barra onde há carregamento por uma ou mais cargas axiais agindo em pontos intermediários! Por exemplo: 41

42 2.3 Variações no comprimento de barras não uniformes Barras com carregamento Axial em Ponto intermediário Primeiramente temos que identificar os segmentos da barra, por exemplo AB, BC e CD. Logo consideramos para cada segmento o conjunto de forças aplicados aquele determinado segmento, consideramos a soma de forças N. 42

43 2.3 Variações no comprimento de barras não uniformes Barras com carregamento Axial em Ponto intermediário 43

44 2.3 Variações no comprimento de barras não uniformes Barras com carregamento Axial em Ponto intermediário Obtemos assim: N 1 = -P B + P C + P D N 2 = P C + P D N 3 = P D 44

45 2.3 Variações no comprimento de barras não uniformes Barras com carregamento Axial em Ponto intermediário Logo, para obtermos a variação de comprimento, utilizaremos os somatórios de forças. δ 1 = N 1 L 1 EA δ 2 = N 2 L 2 EA δ 3 = N 3 L 3 EA Para determinação da variação dotal é realizado a somatório da forças. 45

46 2.3 Variações no comprimento de barras não uniformes Barras Formadas por segmentos prismáticos Barras Formadas por segmentos prismáticos O processo descrito anteriormente, pode ser aplicada quando a barra consiste em vários segmentos prismáticos, cada um com forças axiais, dimensões e materiais diferentes. δ = n i=1 Ni L i E i A i 46

47 2.3 Variações no comprimento de barras não uniformes Barras com Variações contínuas de Cargas ou dimensões Algumas vezes, a força axial N e a área da seção transversal A variam continuamente ao longo do eixo de uma barra. Como também a força axial variando continuamente. 47

48 2.3 Variações no comprimento de barras não uniformes Barras com Variações contínuas de Cargas ou dimensões Podemos utilizar a equação? δ 1 = N 1 L 1 EA O A é a mesma? Logo não, assim devemos determinar a variação de comprimento de um elemento diferencial da barra e então integrar para determinar comprimento da barra. 48

49 2.3 Variações no comprimento de barras não uniformes Barras com Variações contínuas de Cargas ou dimensões Assim para determinarmos a deformação total dδ = N x dx EA(x) Integrando termos que δ = 0 L dδ = 0 L N x dx EA(x) 49

50 2.3 Variações no comprimento de barras não uniformes Barras com Variações contínuas de Cargas ou dimensões Limitações As equações aplicam-se apenas a barras feitas de materiais elásticos lineares, como mostrado pelo módulo de elasticidade; Distribuição de tensão uniforme para barras prismáticas, mas não para barras afiladas e, por isso, a equação específica. 50

51 Façam em Casa 51

52 Exemplo Uma barra vertical de aço é sustentado por um pino em sua extremidade superior e carregada por uma força P 1 em sua extremidade inferior (Figura a seguir). Uma viga horizontal BDE é presa por um pino à barra vertical na junção B e sustentada no ponto D. A viga está submetida a uma força P2 na extremidade E. A parte superior da barra vertical (segmento AB) tem comprimento L 1 =500mm e área de seção transversal A 1 =160mm2; a parte inferior (seguimento BC) tem comprimento L 2 =750mm e área A2= 100mm2. Ó modulo de elasticidade E do aço é 200GPa. As partes esquerda e direita da viga BDE têm comprimentos a=700mm e b=625mm, respectivamente. 52

53 Exemplo Calcule o deslocamento vertical δ c no ponto C se a carga P 1 =10kN e a carga P 2 =25kN (desconsidere os pesos da barra e da viga). 53

54 Exemplo Resolvido em sala 54

55 Exemplo Uma barra afilada AB de seção transversal circular sólida e comprimento L(figura a seguir) é suportada na extremidade B e submetida a uma carga de tração P na extremidade livre A. Os diâmetros da barra nas extremidades A e B são d A e d B, respectivamente. Determine o alongamento da barra devido à carga P, assumindo que o ângulo de afilamento é pequeno. O que significa isso? Ler no livro na pagina 82 55

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57 Exemplo Resolvido em sala. 57

58 Lista 8 Bons estudos 58