Nota de aula 13 - Estudo da Energia de Deformação - Resistência dos Materiais II

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1 Nota de aula 13 - Estudo da Energia de Deformação - Resistência dos Materiais II Flávia Bastos (retirado da apostila do Prof. Elson Toledo) MAC - Faculdade de Engenharia - UFJF 2o. semestre de 21 Flávia Bastos RESMAT II 1/35

2 Informações sobre este documento: Estes slides servem para auxiliar no desenvolvimento expositivo durante as aulas de resistência dos materiais II ministradas pela professora Flávia Bastos e são baseados na apostila do Prof. Elson Toledo. Flávia Bastos RESMAT II 2/35

3 Estudo da Energia de Deformação Objetivo: Estudar e determinar a quantidade de energia armazenada em corpos deformáveis como os que constituem as estruturas. Finalidade: métodos energéticos que permitem determinar, por exemplo, a posição de equilíbrio dessas estruturas; critérios de resistência; Flávia Bastos RESMAT II 3/35

4 Trabalho de uma força Como modelo inicial para nosso estudo consideramos uma mola longitudinal que se deforma quando sujeita a uma carga F que a deforma quando seu valor vai de zero até o valor final F. Supomos: a) Não há troca de calor com o meio ambiente. b) O movimento de deformação da mola é lento de modo que desprezamos as forças de inércia e a energia cinética do movimento. Flávia Bastos RESMAT II 4/35

5 Trabalho de uma força Chamando: W Trabalho desta força; U T Energia interna acumulada sob a forma de energia de defomação; K Energia cinética, temos que: W = U T + K (1) A segunda hipótese anterior nos permite afirmar que K =, logo: W = U T (2) Flávia Bastos RESMAT II 5/35

6 Trabalho de uma força Sabemos que o trabalho de uma força pode ser obtido: ou: U = W = A2 A 1 F d r (3) U = A2 A 1 (F x dx + F y dy + F z dz) (4) Flávia Bastos RESMAT II 6/35

7 Aplicação ao caso de uma mola No caso da mola: W = U T = xf F (x)dx (5) onde: F Força necessária para produzir o alongamento x f da mola. Logo: W = U T = já que F (x) = kx. xf F (x)dx = xf kxdx (6) Flávia Bastos RESMAT II 7/35

8 Aplicação ao caso de uma mola Temos então: ou, se chamamos x f = x: U T = 1 2 kx2 f (7) Podemos ainda dizer que: U T = 1 2 kx2 (8) U T = 1 2 F x (9) Flávia Bastos RESMAT II 8/35

9 Aplicação ao caso de uma mola Estas expressões constituem o teorema de Clayperon que estabelece que: Quando uma carga cresce progressivamente de zero até o seu valor final, o trabalho de deformação, em regime elástico linear, é a metade do que seria realizado se a carga agisse desde o início com o seu valor final atual. Flávia Bastos RESMAT II 9/35

10 Caso de barras com N constante Podemos imediatamente aplicar esta expressão ao caso de uma barra sujeita e um esforço normal constante já que esta tem comportamento similar ao de uma mola, tendo em vista que: onde observamos que k = ES l l = F l ES F = ES l (1) l e x = l. Flávia Bastos RESMAT II 1/35

11 Caso de barras com N constante Assim, temos para este caso: W = U T = 1 N l (11) 2 com esforço normal N = F e podemos afirmar que: U T = 1 N 2 l 2 ES ou U T = 1 N l (12) 2 Flávia Bastos RESMAT II 11/35

12 Expressões da energia em termos das tensões e deformações Como U T = 1 2 N 2 l ES, multiplicando num. e den. por S: U T = 1 N 2 ls 2 ES 2 U T = N 2 1 S 2 2E V (13) onde V é o volume da barra. Assim, podemos determinar para este caso a energia específica de deformação ou energia por unidade de volume, obtendo-se para esta: du T dv = u = σ2 xx 2E Ou ainda (já que σ xx = Eɛ xx ):... Energia específica de deformação (14) u = 1 2 σ xxɛ xx ou u = 1 2 Eɛ2 xx (15) Flávia Bastos RESMAT II 12/35

13 Barras (curtas) a cortante constante Examinamos em seguida o caso singular de uma barra curta sujeita a um esforço constante (figura***). Neste caso o teorema de Clayperon nos assegura que: U T = Qv 2 Assumindo γ pequeno γ = tgγ = v h, temos: U T = Qγh 2 que multiplicada por S no numerador e denominador fica: U T = QγV 2S (16) (17) (18) Flávia Bastos RESMAT II 13/35

14 Barras (curtas) a cortante constante Logo a energia específica de deformação neste caso é dada por: du T dv = u = Qγ 2S Supomos neste caso que τ = Q S (peças curtas). Lei de Hooke para cisalhamento γ = τ G. Obtemos então: (19) u = 1 2G τ 2 (2) u = τγ 2 (21) u = Gγ2 2 (22) Flávia Bastos RESMAT II 14/35

15 Energia de Deformação para um estado triaxial de tensões Tensões normais Para um prisma com tensão normal σ xx temos (considerando o prisma de comprimento dx e área dydz): du σxx T = σ xx dydz }{{} Força dɛ xx dx }{{} alongamento (23) du σxx T = σ xx dɛ xx dxdydz (24) du σxx T = σ xx dɛ xx dv (25) [ ɛxx ] U σxx T = σ xx dɛ xx dv (26) V Flávia Bastos RESMAT II 15/35

16 Energia de Deformação para um estado triaxial de tensões A energia específica de deformação neste caso pode ser dada então por: u σxx = ɛxx Para as outras tensões (σ yy e σ zz ) obtemos: u σyy = u σzz = ɛyy ɛzz σ xx dɛ xx (27) σ yy dɛ yy (28) σ zz dɛ zz (29) Flávia Bastos RESMAT II 16/35

17 Energia de Deformação para um estado triaxial de tensões e temos que: u = ɛxx ɛyy ɛzz σ xx dɛ xx + σ yy dɛ yy + σ zz dɛ zz (3) onde ɛ xx, ɛ yy e ɛ zz dependem de σ xx, σ yy e σ zz. Flávia Bastos RESMAT II 17/35

18 Energia de Deformação para um estado triaxial de tensões Tensões tangenciais Analogamente teríamos para as tensões tangenciais: u τxy = u τxz = u τyz = γxy γxz γyz τ xy dγ xy (31) τ xz dγ xz (32) τ yz dγ yz (33) Flávia Bastos RESMAT II 18/35

19 Energia específica de deformação com atuação concomitante de σ xx, σ yy, σ zz, τ xy, τ xz e τ yz Obtemos então por unidade de volume: u = σ xx dɛ xx +σ yy dɛ yy +σ zz dɛ zz +τ xy dγ xy +τ xz dγ xz +τ yz dγ yz (34) essas parcelas devem ser somadas (integradas) quando as deformações variam de zero até o valor final. Obtemos então a partir da lei de Hooke generalizada: u = σxx E [dσ xx ν(dσ yy + dσ zz )] + σyy E [dσ yy ν(dσ xx + dσ zz )] + σzz E [dσ zz ν(dσ xx + dσ yy )] + τxy G dτ xy + τxz G dτ xz + τyz G dτ yz (35) Flávia Bastos RESMAT II 19/35

20 Energia específica de deformação com atuação concomitante de σ xx, σ yy, σ zz, τ xy, τ xz e τ yz Integrando o termo da direita quando as tensões variam de zero até seu valor final obtemos: u = 1 2E (σ2 xx+σ 2 yy+σ 2 zz) ν E (σ xxσ yy +σ yy σ zz +σ xx σ zz )+ 1 2G (τ 2 xy+τ 2 xz+τ 2 yz) (36) Utilizando novamente a lei de Hooke generalizada podemos escrever: u = Eν 2(1 + ν)(1 2ν) (ɛ xx+ɛ yy +ɛ zz ) 2 +G(ɛ 2 xx+ɛ 2 yy+ɛ 2 zz)+ G 2 (γ2 xy+γ 2 xz+γ 2 yz) Flávia Bastos RESMAT II 2/35 (37)

21 Energia específica de deformação com atuação concomitante de σ xx, σ yy, σ zz, τ xy, τ xz e τ yz Em termos das tensões principais: u = 1 2E (σ2 1 + σ σ 2 3) ν E (σ 1σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 1 σ 3 ) (38) Flávia Bastos RESMAT II 21/35

22 Densidade de Energia de Distorção Tendo em vista que qualquer tensor de tensão pode ser decomposto como: σ σ = σ h + σ D σ h tensor de tensão hidrostático; σ tensor de tensão desviador. Logo: D (39) u = u hidro + u D (4) u hidro Energia específica de deformação referente à variação de volume; u D Energia específica de distorção. Flávia Bastos RESMAT II 22/35

23 Densidade de Energia de Distorção Como: σ h = σ h (41) com σ h = σ 1+σ 2 +σ 3 3, obtemos para u hidro : obtendo: u hidro = 1 2E (σ2 h + σ2 h + σ2 h ) ν E 3σ2 h (42) u hidro = 1 2ν 6E (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) 2 (43) Flávia Bastos RESMAT II 23/35

24 Densidade de Energia de Distorção Obtém-se u D pela diferença: e temos que: u D = u u hidro (44) u D = 1 + ν 6E [(σ 1 σ 2 ) 2 + (σ 1 σ 3 ) 2 + (σ 2 σ 3 ) 2 ] (45) Flávia Bastos RESMAT II 24/35

25 Energia de deformação em função dos esforços em barras prismáticas Introdução: Tendo em vista a utilização das expressões do trabalho realizado pelos esforços em barras prismáticas e seu emprego em princípios tipo dos trabalhos virtuais, determinam-se a seguir os valores das energias de deformação em barras quando os esforços atuantes nestas são variáveis. Flávia Bastos RESMAT II 25/35

26 Energia de deformação em função dos esforços em barras prismáticas Barra a esforço normal variável Para um trecho de barra sujeito a esforço axial (comprimento dx), generalizando as expressões anteriores, temos que: ou: U T = l N(x) N(x)dx 2 ES (46) U T = l 1 2 N(x) 2 dx (47) ES Flávia Bastos RESMAT II 26/35

27 Energia de deformação em função dos esforços em barras prismáticas Barra a esforço cortante variável U T = l 1 2 Q(x) 2 dx (48) GS Para o caso de barras não curtas onde não é possível desprezar a concomitância da ação de Q com M (momento fletor) utilizamos: U T = l 1 2 kq(x) 2 dx (49) GS Flávia Bastos RESMAT II 27/35

28 Energia de deformação em função dos esforços em barras prismáticas Barra a esforço de flexão Para M (fletor) constante num trecho obtemos pelo teorema de Clayperon para este caso: U T = Mϕ 2 ϕ rotação relativa entre as seções. Neste caso tratamos a barra como uma mola a flexão. Para um trecho de viga de comprimento dx, admitindo-se M = M(x) teríamos: (5) ds elemento de comprimento de arco; dϕ = M EI ds = M dx (51) EI Flávia Bastos RESMAT II 28/35

29 Energia de deformação em função dos esforços em barras prismáticas Barra a esforço de flexão Assim obtemos: U T = l 1 l 2 M(x)dϕ = 1 2 M(x)M(x) dx (52) EI U T = l M(x) 2 dx (53) 2EI Flávia Bastos RESMAT II 29/35

30 Energia de deformação em função dos esforços em barras prismáticas Barra a torção Para uma barra sujeita a um momento torsor constante obtém-se: U T = 1 2 T θ (54) T momento torsor; θ Rotação relativa entre seções medida no plano da seção. Para um trecho de comprimento dx teríamos: I t Momento de inércia polar da seção; dθ = T (x) GI t dx (55) Flávia Bastos RESMAT II 3/35

31 Energia de deformação em função dos esforços em barras prismáticas Barra a torção U T = U T = l l 1 T (x)dθ (56) 2 T (x) 2 2GI t dx (57) Flávia Bastos RESMAT II 31/35

32 Energia de deformação em função dos esforços em barras prismáticas Trabalho ou energia de deformação total Somando-se as contribuições anteriores temos: U T = l 1 N(x) 2 l 2 ES dx + 1 kq(x) 2 l 2 GS dx + M(x) 2 l 2EI dx + T (x) 2 dx 2GI t (58) Flávia Bastos RESMAT II 32/35

33 Cálculo do coeficiente k Vimos que para peças curtas: τ = Q S U = l Q 2 dx (59) 2GS Queremos aplicar relação similar a esta para viga onde: isto é: U = τ = QM s ti l (6) kq 2 dx (61) 2GS Flávia Bastos RESMAT II 33/35

34 Cálculo do coeficiente k Sabemos que em ambos os casos: com: τ 2 l { } U = V 2G dv = 1 τ 2 dydz dx (62) 2G z y l { 1 Q 2 M 2 } s U = 2G z y t 2 I 2 dydz dx (63) l Q 2 { 1 M 2 } s U = 2G I 2 t 2 ds dx (64) U = l k = S I 2 S k Q2 dx (65) 2GS S Flávia Bastos RESMAT II 34/35 Ms 2 ds (66) t2

35 Cálculo do coeficiente k Para seção retangular obtemos K = 1, 2; Para seção circular cheia obtemos K = 1, 11; Para seção circular de parede delgada obtemos K = 2; Flávia Bastos RESMAT II 35/35