Efeitos de 2ª 2 Ordem

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1 Prof. uciano ima - lucianolima@uerj.br Eq.. Diferencial Efeitos 2ª 2 Ordem Programa de Pós-GraduaP Graduação em Engenharia Civil estrado Acadêmico Faculdade de Engenharia FEN/UERJ Professor: uciano Rodrigues Ornelas de ima 2 Até o presente momento, efeitos separados = GK φ' EI φ' '' = EI v' ' = EI u' ' EI Pv' ' = q EI Pu' ' = q t w V V = EI = EI u' '' v' '' Equilíbrio na estrutura indeformada forças internas independentes umas das outras 1

2 Prof. uciano ima - lucianolima@uerj.br 3 A partir de agora, as equações serão formuladas no membro deformado a forma da seção transversal não se modifica As forças internas e as deformações não são independentes devem ser consideradas na formulação Considera-se se o caso mais geral barra prismática carregada nas etremidades com momento fletor, cortante e normal de compressão usar regra da mão direita para o momento fletor Assume-se se pequenas deformações efeito incluído comportamento elástico carregadas inicialmente as etremidades não se deslocam (apoio de garfo) u = u = v = v imitações seção transversal continua plana nenhuma força a aplicada ao longo do membro a a força a aial é constante P compressão positiva momentos positivos regra da mão-direita 2

3 Prof. uciano ima - lucianolima@uerj.br 5 Esta solução permite avaliar flambagem lateral de vigas flambagem torsional de colunas fleão biaial Observando-se a figura ao lado carga aial P compressão B, B, T, T B, B R T, T R R e R atuam no centro de cisalhamento 6 Observando-se a figura abaio a a linha média m da seção transversal eios principais e Q é um ponto qualquer ao longo da seção com coordenadas (,) a partir do centróide S é o centro de cisalhamentro localiado a e a partir do centróide Deslocamentos positivos a partir do centro de cisalhamento u, v e φ positivos nas direções indicadas 3

4 Prof. uciano ima - lucianolima@uerj.br 7 ove-se S para S S através s de deslocamentos u e v ove-se Q para Q Q devido aos deslocamentos u e v e depois para Q Q devido à rotação φ (tudo positivo) Os deslocamentos de Q para Q Q são u e v paralelos aos eios e e os deslocamentos de Q Q para Q Q são: a.φ.sin.sinα // eio a.φ.cos.cosα // eio ogo, u A = u a.φ.sin.sinα e v A = v-v a.φ.cos.cosα 8 ogo, u A = u a.φ.sin.sinα e v A = v-v a.φ.cos.cosα onde a é a distância entre Q e S mas sinα = ( -)/a e cosα=( -)/a que fornece u Q = u φ.. ( -) e v Q = v - φ.( -) O centróide também m se desloca u C = u φ. e v C = v - φ. Os deslocamentos de qq ponto são estabelecidos em termos de u, v, φ e sua localiação original

5 Prof. uciano ima - lucianolima@uerj.br 9 todos os esforços os mostrados são positivos R = ( ) TY BY ponto qualquer A ao longo do comprimento (positivo) P.u R. Y BY c X = Y = BY ( ) P. ( u φ ) TY BY plano 1 todos os esforços os mostrados são positivos R Y = ( ) TX BX X ponto qualquer A ao longo do comprimento (positivo) P.v R. X BX c Y = X = BX ( ) P. ( v φ ) TX BX Pelo equilíbrio do momento torsor,, Z pode eistir plano 5

6 Prof. uciano ima - lucianolima@uerj.br 11 a seção transversal não sofre deformações ao longo do comprimento da barra sistema de coordenadas na configuração deformada deslocamentos u c, v c e rotação φ novo sistema de coordenadas ξ (i) e η (eta) 12 os momentos anteriores em relação aos eios e são agora modificados para representarem os momentos em relação aos novos eios ξ e η ξ = cosφ sinφ ξ = φ η = cosφ mas cosφ=1 e sinφ = φ (pequenas rotações) sinφ η = φ 6

7 Prof. uciano ima - lucianolima@uerj.br 13 as deformações também resultam em momentos de torção qualquer seção transversal a uma distância da seção inferior inclinação em relação ao eio original momentos e tem componentes no eio ζ (eta) seção transversal du ζ1 = d dv d (onde sin = tan = ângulo) deslocamento em = u inclinação du/d (plano ) eio ξ projetado no plano ângulo du/d deslocamento em = v inclinação dv/d (plano ) eio η projetado no plano ângulo dv/d 1 como o plano que contém m a seção transversal está inclinado surgem componentes nos planos ξ ζ e η ζ as componentes são Pdu/d d na direção de ξ e Pdv/d d na direção de η Como P atua ao longo de passando pelo centróide, estas componentes causam momentos torsores ζ2 em relação ao centro de cisalhamento = P du d ζ 2 dv d 7

8 Prof. uciano ima - lucianolima@uerj.br 15 considerando-se se o cisalhamento no diagrama de corpo livre de B para A visto no plano, tem-se R.v R.u = u ( ) ( ) v = T B T B u ( ) ( ) v ζ 3 = T B T B 16 finalmente, considerando-se se a parcela referente ao empenamento 2 seções dζ as tensões normais devido a P, ξ e η são inclinadas em relação ao eio ζ e possuem uma componente que causa torção em relação ao eio ζ o elemento de tensões é σda e está inclinado segundo um ângulo adφ/dζ e o momento torsor em relação ao CS vale ζ dφ = a. σda.a. dζ 8

9 Prof. uciano ima - lucianolima@uerj.br 17 integrando-se ao longo de toda a seção transversal, tem-se ζ dφ = a. σda.a. dζ dφ ζ = ζ σ 2.a da d A se ogo k = σ.a 2 da A e porque dζ d ζ = ζ1 ζ 2 ζ 3 ζ ζ dφ = k dζ ζ v = u' v' P..u' P..v' u ( ) ( ) k. φ' T B T B 18 conhecendo-se os momentos ξ, η e ζ, pode-se equacionar a resistência interna do membro assumindo-se se cos da inclinação 1 ξ η ζ = EI v" = B v" = EI u" = B u" = GJφ' EI φ"' = C φ' C φ"' w T e ξ = φ = Bv" η = φ = Bu" mas X Y = = BX BY w ( ) P. ( v φ ) TX BX ( ) P. ( u φ ) TY BY 9

10 Prof. uciano ima - lucianolima@uerj.br 19 portanto, B ( ) P. ( v φ ) ( ) P. ( u φ ) φ = B v" T T B B e negligenciando-se os termos que envolvem produtos de derivadas P. ( u φ )φ B φ 2 fleão na maior inércia fleão na menor inércia ( ) P. = ( ) B v" P.v φ B T B B T ( ) P. = ( ) B u" P.u φ B T B B T B B 1

11 Prof. uciano ima - lucianolima@uerj.br 21 torção ( C k) φ ' u' ( ) P. Cwφ"' T B T B ( ) P. v' B T B v u ( ) ( ) T B T B = 22 as equações são funções lineares de três deformações, u, v e φ com derivadas de 3ª 3 ordem Estas equações não são independentes umas das outras Fleão na maior inércia depende do ângulo de torção Fleão na menor inércia depende do ângulo de torção Torção depende de u, v, u u e v v 11