Flambagem PROF. ALEXANDRE A. CURY DEPARTAMENTO DE MECÂNICA APLICADA E COMPUTACIONAL

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1 ROF. ALEXANDRE A. CURY DEARTAMENTO DE MECÂNICA ALICADA E COMUTACIONAL

2 O que é e por que estudar? Onde ocorre? Que fatores influenciam? Como evitar? or que, normalmente, é desejável que a diagonal das treliças estejam sob tração? Flambagem local RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF

3 Carga crítica de Euler (Casos perfeitos carregamento axial) Considere-se uma coluna birrotulada, carregada axialmente. Analisando-se os esforços na seção Q, a configuração de equilíbrio pode ser escrita como: M ( x) y Da teoria da flexão, sabemos que a deflexão (flecha) é calculada por: d y M ( x) dx d y dx y d y dx y 0 d y dx k y 0 onde k RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 3

4 Carga crítica de Euler (Casos perfeitos carregamento axial) d y dx k y 0 A solução desta EDO é dada por: y( x) Asin kx B cos kx Esta é a equação diferencial de equilíbrio para a coluna em estudo, sujeita às condições de contorno definidas a partir dos tipos de apoio. Neste caso: Em x 0, y 0 Em x L, y 0 Valendo-se da 1ª condição de contorno, tem-se que B=0! y( L) Asin kl A ª condição de contorno nos fornece: 0 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 4

5 Carga crítica de Euler (Casos perfeitos carregamento axial) y( L) Asin kl Esta equação nos fornece possibilidades de solução: 0 A 0 sin kl 0 A 1ª solução, evidentemente, não nos atende, pois teríamos y(x) = 0! ara a ª solução, temos: 0 sin kl kl n, n 1,,3... k n L Sendo k n L n n L e y( x) Asin n x L cargas críticas configurações de equilíbrio RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 5

6 Carga crítica de Euler (Casos perfeitos carregamento axial) A carga crítica de Euler se dá para n = 1, assim: cr L menor momento de inércia da seção! y( x) Asin x L ara cada valor de n, tem-se um valor correspondente da carga crítica e da forma de flambagem. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 6

7 Carga crítica de Euler (Casos perfeitos carregamento axial) ara outras condições de apoio, deve-se resolver a mesma EDO, modificando-se a expressão M(x) e as condições de contorno. Equação geral para a carga crítica de Euler: cr L e onde Le ou L flamb comprimento efetivo ou de flambagem RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 7

8 Carga crítica de Euler (Casos perfeitos carregamento axial) Ensaio em laboratório para diferentes condições de apoio: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 8

9 Carga crítica de Euler (Casos perfeitos carregamento axial) A tensão crítica pode ser calculada dividindo-se a carga crítica pela área da seção transversal da coluna: cr A L A cr e Mas I (raio de giração) cr A Le ode-se definir a relação acima destacada como índice de esbeltez, dado por: Finalmente, tem-se: cr E Curva de Euler Le E menor raio de giração da seção! ergunta 1: Dadas barras de aço, uma CA-40 e outra CA-50 (igual comprimento, seção transversal e condições de apoio), qual estaria mais propensa a sofrer flambagem? ergunta : Caso a coluna não possua eixo de simetria (perfil L, por exemplo), qual valor utilizar para o momento de inércia? RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 9

10 Carga crítica de Euler (Casos perfeitos carregamento axial) Importante: As equações anteriormente deduzidas para a carga crítica de Euler são válidas somente no regime linear elástico de deformações! Assim, antes de se analisar a possibilidade de flambagem, deve-se verificar se a tensão atuante é menor que a tensão de escoamento do material em estudo. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 10

11 O gráfico abaixo ilustra os resultados obtidos em ensaios com colunas de diferentes índices de esbeltez: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 11

12 Ex.1) Sejam os dois perfis mostrados abaixo, ambos possuindo a mesma área de seção transversal. Qual deles suporta maior carga, antes de flambar? Considere L ef = 3m, E = 105 Ga e e = 70 Ma. a) b) 40 mm 60 mm 45 mm 60 mm RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 1

13 Ex.) A seção transversal de uma coluna de comprimento efetivo L pode ser construída a partir do arranjo de 3 tábuas de mesmas dimensões, conforme mostram as figuras abaixo. Qual arranjo é mais eficiente em relação à ocorrência de flambagem? a) b) d d d/3 d/3 d RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 13

14 Carga excêntrica (Casos imperfeitos) Considere-se uma coluna birrotulada, carregada fora do eixo, com uma excentricidade e. De forma similar ao caso anterior, a configuração de equilíbrio pode ser escrita como: M ( x) ( e y) Da teoria da flexão, sabemos que a deflexão (flecha) é calculada por: d y M ( x) dx d y ( e y) dx d y dx y e d y dx k y k e onde k RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 14

15 Carga excêntrica (Casos imperfeitos) d y dx k y k e A solução desta EDO é dada por: y( x) Asin kx B cos kx e Esta é a equação diferencial de equilíbrio para a coluna em estudo, sujeita às condições de contorno definidas a partir dos tipos de apoios. Em x 0, y 0 Em x L, y 0 A partir das condições de contorno, chega-se a equação da linha elástica de flambagem: kl y( x) e tan sin kx cos kx 1 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 15

16 Carga excêntrica (Casos imperfeitos) É de maior interesse, porém, conhecer o valor da máxima deflexão que, neste caso, ocorre em x = L/ (à meia altura): max kl kl kl kl y( L ) e tan sin cos 1 e sec 1 Substituindo k na expressão acima, vem: max L e sec 1 É possível reescrever a equação acima em função da carga crítica de Euler: L cr cr L max e sec 1 L crl O que acontece se a carga externa for igual à carga crítica? E, se =, =? max e sec 1 cr RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 16

17 Máximo momento fletor O máximo momento fletor também ocorre, neste caso, em x = L/ (à meia altura) e pode ser calculado como: M max M ( L ) ( e max ) e sec k L Substituindo k na expressão acima, vem: M max e sec cr RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 17

18 Máxima tensão normal A máxima tensão normal também ocorre em x = L/ (à meia altura) e pode ser calculada pela teoria da flexão composta: onde W I c max A M W é o módulo de resistência a flexão e c é distância entre a fibra analisada e a LN da seção. max Substituindo o valor de M max na expressão acima, tem-se: max ec 1 A sec L EA Equação da secante Índice de excentricidade RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 18

19 O gráfico abaixo mostra as diversas situações representadas pela Equação da Secante. Importante: E se as condições de apoio forem diferentes do caso rótularótula? Nesse caso, basta substituir a variável L por L e nas equações. Mas, atenção! Essa substituição é correta somente para a condição engaste-livre. ara a condição engaste-rótula, uma nova EDO deverá ser formulada (com condições de contorno específicas) ara a condição engaste-engaste, estas análises simplesmente não fazem sentido! or quê? RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 19

20 Ex.3) Uma carga = 37 kn é aplicada excentricamente (e = 1, mm) a uma coluna de aço de 3 mm de diâmetro e 1, m de comprimento. ede-se determinar: a) a máxima deflexão lateral, b) a máxima tensão normal. Adotar E = 00 Ga. Ex.4) Seja um tubo circular de latão de,8 m de comprimento, conforme mostrado abaixo. Sobre ele, aplica-se uma carga com excentricidade e = 5 mm. Adotando E = 10 Ga, determine: a) o valor da carga de forma que a máxima deflexão lateral seja igual a 5 mm; b) o valor da máxima tensão normal. 108 mm 10 mm RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ROF. ALEXANDRE CURY - MAC/UFJF 0